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专题5.2 解二元一次方程组（知识解读）
【学习目标】
1、分析实际问题，用含有两个未知数的方程来表示实际问题中的等量关系．
2、了解什么是二元一次方程及其一个解，什么是二元一次方程组及其解．
3、会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．
【知识点梳理】
考点1 解二元一次方程组
（1）消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组
转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
（2）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入
另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简
称代入法．
（3）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别
相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简
称加减法
【典例分析】
【考点1：二元一次方程组的解法：代入消元法】
【典例1】（2022春•江津区校级期中）用代入消元法解方程组：【变式1-1】（2022春•南安市期中）关于x、y的二元一次方程组 ，用代入法消
去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A．3x﹣x﹣5＝8 B．3x+x﹣5＝8 C．3x+x+5＝8 D．3x﹣x+5＝8
【变式1-2】（2022春•方城县期中）运用代入消元法解二元一次方程组 ，使代
入后化简比较简便的变形是（ ）
A． B． C． D．y＝2x﹣5
【变式1-3】（2022春•扶沟县期末）（1）用代入消元法解方程组 ；
【考点2：二元一次方程组的解法：加减消元法】
【典例2】（2022春•方城县期中）运用加减消元法解方程：
（1） ． （2）
【变式2-1】（2022春•张家川县期末）关于x、y的二元一次方程组 ，用加减
消元法消去x后得到的结果为（ ）
A．y＝2 B．2y＝2 C．﹣2y＝2 D．12y＝36
【变式2-2】（2022春•晋安区校级期末）观察下列一元二次方程组、最适合用加减消元法
解的是（ ）A． B．
C． D．
【变式2-3】（2022春•伊川县期中）解方程组： （用加减消元法）．
【变式2-4】（2022春•朝阳区校级期中）用加减法解方程组 ．
【考点3同解型】
【典例3】（20247．（2021•饶平县校级模拟）已知关于x，y的方程组 和
有相同解，求（﹣a）b值．【变式3-1】（2022春•梁山县期末）已知关于x，y的方程组 和 的
解相同，则（3a+b）2021的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2021
【变式3-2】（2021春•九龙坡区期末）若关于x、y的方程组 和 有
相同的解，则（a+b）2021的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2021
【变式 3-3】（2021•饶平县校级模拟）已知关于 x，y 的方程组 和
有相同解，求（﹣a）b值．
【考点4：错解型】
【典例4】（2022•南京模拟）解方程组 时，小强正确解得 ，而小刚看错
了c，解得 ．
（1）求出c的值；
（2）求a，b的值．
【变式4-1】（2022春•张湾区期中）甲、乙两人同时解方程组 ，甲正确解得，乙因抄错c，解得 ，求a、b、c的值．
【变式4-2】（2021春•铜官区期末）解方程组 时，小强正确解得 ，而小
刚只看错了c，解得
（1）小刚把c错看成了什么数？并求出原方程组中的c值．
（2）求a，b的值．
【考点5：方程组的含参数问题】
【典例5】（2022春•张湾区期中）关于x，y、的方程组 的解x，y的和为10，
则k的值为（ ）
A．10 B．14 C．0 D．﹣14
【变式5-1】（2022春•永川区期末）已知 是二元一次方程组 的解，则
m+3n等于（ ）
A．9 B．6 C．5 D．12
【变式5-2】（2022春•永年区校级期末）已知 是方程组 的解，则a﹣b的
值是（ ）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【变式5-3】（2022春•射洪市期中）若关于x，y的方程组 的解互为相反数，则m的值等于（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
专题5.2 解二元一次方程组（知识解读）
【学习目标】
1、分析实际问题，用含有两个未知数的方程来表示实际问题中的等量关系．
2、了解什么是二元一次方程及其一个解，什么是二元一次方程组及其解．
3、会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．【知识点梳理】
考点1 解二元一次方程组
（1）消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组
转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
（2）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入
另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简
称代入法．
（3）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别
相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简
称加减法
【典例分析】
【考点1：二元一次方程组的解法：代入消元法】
【典例1】（2022春•江津区校级期中）用代入消元法解方程组：
【解答】解：（1） ，
把②代入①得2（1﹣5y）+3y＝﹣19，
解得y＝3，
把y＝3代入②得x＝1﹣5×3＝﹣14，
∴方程组的解为 ；
（2） ，由②得x＝13﹣4y③，
把③代入①得，2（13﹣4y）+3y＝16，
解得，y＝2，
把y＝2代入③得x＝13﹣4×2＝5，
所以方程组的解为 ；
【变式1-1】（2022春•南安市期中）关于x、y的二元一次方程组 ，用代入法消
去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A．3x﹣x﹣5＝8 B．3x+x﹣5＝8 C．3x+x+5＝8 D．3x﹣x+5＝8
【答案】D
【解答】解：关于x、y的二元一次方程组 ，
用代入法消去y后所得到的方程为3x﹣（x﹣5）＝8，
去括号得：3x﹣x+5＝8．
故选：D．
【变式1-2】（2022春•方城县期中）运用代入消元法解二元一次方程组 ，使代
入后化简比较简便的变形是（ ）
A． B． C． D．y＝2x﹣5
【答案】D
【解答】解： ，
由②，得y＝2x﹣5，
D．
故选：
【变式1-3】（2022春•扶沟县期末）（1）用代入消元法解方程组 ；【解答】解：（1） ，
由①得t＝3s﹣5③，
并把③代入②得5s+2（3s﹣5）＝15，
解得s＝ ，
把s＝ 代入③得t＝3× ﹣5，
解得t＝ ，
∴方程组的解为
【考点2：二元一次方程组的解法：加减消元法】
【典例2】（2022春•方城县期中）运用加减消元法解方程：
（1） ． （2）
【解答】（1） ，
①﹣②得：
4y＝12，
解得：y＝3，
把y＝3代入①得：
2x+3＝7，
解得：x＝2，
∴原方程组的解为： ．
（2） ，
①×3+②得12x+2x＝27+1，解得x＝2，
把x＝2代入①得8﹣y＝9，
y＝﹣1，
∴方程组的解为 ．
【变式2-1】（2022春•张家川县期末）关于x、y的二元一次方程组 ，用加减
消元法消去x后得到的结果为（ ）
A．y＝2 B．2y＝2 C．﹣2y＝2 D．12y＝36
【答案】B
【解答】解： ，
②﹣①得：2y＝2，
故选：B．
【变式2-2】（2022春•晋安区校级期末）观察下列一元二次方程组、最适合用加减消元法
解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】【解答】解：适合用加减消元法的方程组满足两式子中某一未知数系数相等或
互为相反数，
A、C、D中的x、y系数均不一样，
B中y的系数互为相反数，可利用加法消元法进行计算，
故选：B．
【变式2-3】（2022春•伊川县期中）解方程组： （用加减消元法）．【解答】解： ，
①+②，得4x＝4，
解得x＝1，
把x＝1代入②，得y＝﹣1，
故原方程组的解为： ．
【变式2-4】（2022春•朝阳区校级期中）用加减法解方程组 ．
【解答】解： ，
①+②×2得：6x＝1，
解得：x＝ ，
把x＝ 代入②得： ﹣y＝1，
解得：y＝﹣ ，
则方程组的解为 ．
【考点3同解型】
【典例3】（20247．（2021•饶平县校级模拟）已知关于x，y的方程组 和
有相同解，求（﹣a）b值．
【解答】解：因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为
，解方程组（1）得 ，
代入（2）得 ，
解得： ．
所以（﹣a）b＝（﹣2）3＝﹣8．
【变式3-1】（2022春•梁山县期末）已知关于x，y的方程组 和 的
解相同，则（3a+b）2021的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2021
【答案】A
【解答】解：联立得： ，
解得： ，
把 代入其他方程得： ，
①+②得：3a+b＝﹣1，
∴（3a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
故选：A．
【变式3-2】（2021春•九龙坡区期末）若关于x、y的方程组 和 有
相同的解，则（a+b）2021的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2021
【答案】A
【解答】解：由题意，关于x、y的方程组 与方程组 的解相同，
解方程组 得 ．把解 代入方程组 中得 ，
（①+②）÷4，得a+b＝﹣1．
∴（a+b）2021
＝（﹣1）2021
＝﹣1．
故选：A．
【变式 3-3】（2021•饶平县校级模拟）已知关于 x，y 的方程组 和
有相同解，求（﹣a）b值．
【解答】解：因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为
，
解方程组（1）得 ，
代入（2）得 ，
解得： ．
所以（﹣a）b＝（﹣2）3＝﹣8．
【考点4：错解型】
【典例4】（2022•南京模拟）解方程组 时，小强正确解得 ，而小刚看错
了c，解得 ．
（1）求出c的值；
（2）求a，b的值．【解答】解：（1）把 代入方程组 得： ，
解得：c＝1；
（2）由题意得，
把 代入①得：a+2b＝6，即a＝6﹣2b③，
把③代入2a+b＝6，得：12﹣4b+b＝6，
解得：b＝2，
把b＝2代入③得：a＝2，
则a、b的值分别为2、2．
【变式4-1】（2022春•张湾区期中）甲、乙两人同时解方程组 ，甲正确解得
，乙因抄错c，解得 ，求a、b、c的值．
【解答】解：把 代入方程组得： ，
由②得：c＝﹣5，
把 代入ax﹣by＝2中得：2a+6b＝2③，
由①得：a＝2﹣b④，
把④代入③中得：b＝﹣ ，
把b＝﹣ 代入④得：a＝ ，
∴a＝ ，b＝﹣ ，c＝﹣5．
【变式4-2】（2021春•铜官区期末）解方程组 时，小强正确解得 ，而小刚只看错了c，解得
（1）小刚把c错看成了什么数？并求出原方程组中的c值．
（2）求a，b的值．
【解答】解：（1）把 代入cx﹣4y＝﹣2，得
﹣2c﹣16＝﹣2，
解得c＝﹣7，
所以小刚把c错看成了﹣7，
把 代入cx﹣4y＝﹣2，得
2c﹣8＝﹣2，
解得c＝3，
所以原方程组中的c值是3；
（2）由题意得，
，
解得 ，
所以a、b的值分别为1，2．
【考点5：方程组的含参数问题】
【典例5】（2022春•张湾区期中）关于x，y、的方程组 的解x，y的和为10，
则k的值为（ ）
A．10 B．14 C．0 D．﹣14
【答案】B
【解答】解：两式相加得：3x+3y＝2k+2，
∴3（x+y）＝2k+2，
∵x，y的和为10，
∴x+y＝10，
∴2k+2＝30，∴k＝14．
故选：B．
【变式5-1】（2022春•永川区期末）已知 是二元一次方程组 的解，则
m+3n等于（ ）
A．9 B．6 C．5 D．12
【答案】A
【解答】解：∵ 是二元一次方程组 的解，
∴ ，
①+②得，m+3n＝9，
故选：A．
【变式5-2】（2022春•永年区校级期末）已知 是方程组 的解，则a﹣b的
值是（ ）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：将 代入方程组 得，
，
①﹣②得，2a﹣2b＝4，
∴a﹣b＝2，
故选：B．
【变式5-3】（2022春•射洪市期中）若关于x，y的方程组 的解互为相反数，
则m的值等于（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
【答案】C【解答】解：两个方程相加得：5x+5y＝3m+3，
∴x+y＝ ，
∵解互为相反数，
∴x+y＝0
∴3m+3＝0，
解得m＝﹣1，
故选：C．
