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专题5.24《分式与分式方程》全章复习与巩固 （知识讲解）
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
3．掌握分式的四则运算．
4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的
知识体系．
5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解
法，体会解方程中的化归思想．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、分式的有关概念及性质
1．分式
A
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 B 叫做分式.其中A
叫做分子，B叫做分母.
特别说明：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即
A
当B≠0时，分式 B 才有意义.2.分式的基本性质
（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
要点二、分式的运算
1．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这
样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的
分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
a b ab
c c c ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
a c ac
（2）乘法运算 b d bd ，其中a、b、c、d 是整式，bd 0.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
a c a d ad
（3）除法运算 b d b c bc ，其中a、b、c、d 是整式，bcd 0.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
要点三、分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，
方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的
值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.
特别说明：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将
所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程
的解.
要点四、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓
住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知
量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
【典型例题】
类型一、分式及其基本性质
1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
．
【答案】整式： ；分式：
【分析】根据分式的定义和整式的定义分析即可，一般地，如果 、 （ 不等于
零）表示两个整式，且 中含有字母，那么式子 就叫做分式，其中 称为分子， 称为分母．
整式： ；
分式：
【点拨】本题考查了分式与整式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
举一反三：
【变式】下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？
．
【答案】分式： ， ， ；整式： ，
见解析
【分析】根据分式和整式的定义求解即可．
解：分式： ， ， ；整式： ．
两类式子的区别是：分式的分母中必须含有未知数，整式的分母中不含未知数．
【点拨】本题主要考查分式的定义，解题的关键是掌握如果A，B表示两个整式，并
且B中含有字母，那么式子 叫做分式；单项式和多项式统称为整式．
2、已知分式 ，当 时无意义，当 时，分式的值为0，求当
时分式的值．
【答案】
【分析】分式无意义的条件是分母等于0，分式等于0的条件是分子等于0，且分母不
等于0．
解：∵当y=-3时无意义，
∴-3+b=0，
∴b=3．∵当y=2时分式的值为0，
∴2-a=0，2+3≠0，
∴a=2．
∴该分式为 ，
当x=-7时，
．
答：当x=-7时分式的值为 ．
【点拨】本题考查了求分式的值以及分式无意义的条件和分式值为0的条件，解题时
注意分式为0的条件是分子等于0，且分母不等于0．
举一反三：
【变式】当a取何值时，分式 的值为零？
【答案】3
【分析】分式值为0的条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，
缺一不可．
答案：解：由分式 的值为零，得 ，且 ，解得 ．所以当
时，分式 的值为零．
易错：解：由分式 的值为零，得 ，解得 ．所以当 时分式
的值为零．
错因：只考虑了分子为零，没有考虑分母不为零．
满分备考：首先求出使分子为0的字母的值，再检验求得的这个字母的值是否使分母
的值不为0．当该值能使分母的值不为0时，就是所要求的字母的值．
类型二、分式运算
3、已知 ，
(1) 求 的值； (2) 求 的值； (3) 求 的值．【答案】(1) ； (2) ； (3)
【分析】（1）两边同除以x得出 的值；（2）把（1）两边平方整理得出
的值；（3）分子分母同除以 ，代入（2）的数值解决问题
(1) ，
∴
∴ ；
(2) ∵
∴
∴ ；
(3) ∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
举一反三：
【变式】先化简，再求值： ，其中x＝3．
【答案】 ，
【分析】先根据分式的加减法法则计算括号内，再根据分式的乘除法法则计算即可．
原式==
= ．
当x=3时，原式= ．
【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的通分和约分是解题的关键．
4、先化简： ，再在不等式 的非负整数解中选取
一个合适的解作为 的取值，代入求值．
【答案】 ，1
【分析】根据分式的运算法则先化简，再解一元一次不等式，找到不等式的整数解，
将符合分式的整数解代入化简即可求解．
解：原式
解不等式 得
所以不等式的非负整数解为0，1
因为 ，所以 取0
当 时，
【点拨】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加、减、乘、除运算，一元一次
不等式的解法，分式有意义的条件是解决本题的关键．
举一反三：
【变式】先化简，再求值： ，其中 的值从 的整数解中
选取．
【答案】 ，当 时，原式 ．【分析】根据分式的混合运算法则即可化简．再根据使分式有意义的条件结合不等式
的整数解，即可得出a的值，最后代入求值即可．
解：原式
的整数解为：0， ， ， ．
∵由使分式有意义的条件可知 ，
∴ 取0和 时，原分式无意义．
∴ 只能取 ，
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
【点拨】本题考查分式的化简求值，使分式有意义的条件和不等式的整数解．掌握分
式的混合运算法则是解题关键．
类型三、分式方程的解法
5、 解分式方程：
【答案】
【分析】根据解分式方程的步骤解方程即可．
解：方程两边乘 ，得：
整理，得： ，
解得： ，
检验：当 时，所以，原分式方程的解为 ．
【点拨】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意验根．
举一反三：
【变式】 (1) (2)
【答案】(1) ； (2) 无解
【分析】
（1）先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，再验根，即得到答案．
（2）先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，再验根，即得到答案．
(1) 解：
等式两边同时乘 ，即得：
整理，得：
经检验 是原方程的根，
所以原方程的解为 ．
(2)
等式两边同时乘 ，即得：
整理得：
解得： ．
经检验 是增根，故原方程无解．
【点拨】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的方法是解题关键．注意解分式方程
要验根．
类型四、分式方程的应用
6、 在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了 、 两种不同型号的口罩，已
知 型口罩的单价比 型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买 型口罩的数量与用5000
元购买 型口罩的数量相同．（1） 、 两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买 型口罩数量是
型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买 型口罩的数量最多是多少个？
【答案】（1） 型口罩单价为4元/个， 型口罩单价为2.5元/个；（2）增加购买
型口罩的数量最多是422个
【分析】
（1）设 型口罩单价为 元/个，则 型口罩单价为 元/个，根据用8000元购
买 型口罩的数量与用5000元购买 型口罩的数量相同可得关于x的分式方程，解方程并
检验后即得结果；
（2）设增加购买 型口罩的数量是 个，根据m个A型口罩的费用与2m个B型口罩
的费用之和不超过3800元可得关于m的不等式，求出不等式的解集后结合实际情况即得结
果．
解：（1）设 型口罩单价为 元/个，则 型口罩单价为 元/个，
根据题意，得： ，解方程，得 ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意，∴ （元），
答： 型口罩单价为4元/个， 型口罩单价为2.5元/个；
（2）设增加购买 型口罩的数量是 个，则增加购买 型口罩数量是2 个，
根据题意，得： ，
解不等式，得： ，
∵ 为正整数，∴正整数 的最大值为422，
答：增加购买 型口罩的数量最多是422个．
【点拨】本题考查了分式方程和不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准
相等与不等关系是解题的关键．
举一反三：
【变式】为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来
进行垃圾分类，甲种机器人比乙种机器人每小时多分20kg，甲种机器人分类900kg垃圾所
用的时间与乙种机器人分类700kg垃圾所用的时间相等．
(1)甲乙两种机器人每小时各分类多少垃圾？(2)现在两种机器人共同分类860kg垃圾，工作2小时后乙种机器人因机器维修退出，
求乙种机器人退出后甲种机器人还需工作多长时间才能完成？
【答案】(1)甲型机器人每小时分类垃圾90kg，乙型机器人每小时分类垃圾70kg
(2)乙种机器人退出后甲种机器人还需工作6小时才能完成
【分析】
（1）根据甲型机器人分类900kg垃圾所用的时间与乙型机器人分类700kg垃圾所用的
时间相等列出方程求解即可；
（2）根据(1)求得的答案通过计算即可求得答案．
(1) 解：设乙型机器人每小时分类垃圾xkg，则甲型机器人每小时分类垃圾（x+20）
kg，
根据题意得： ，
解得 x＝70，
经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意．
则x+20＝90．
答：甲型机器人每小时分类垃圾90kg，乙型机器人每小时分类垃圾70kg．
(2) 解：[860﹣2（70+90）]÷90＝6（小时）．
答：乙种机器人退出后甲种机器人还需工作6小时才能完成．
【点拨】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程解决，关键是理解题意，找出题
目中的等量关系，列出方程．
