文档内容
5.6 二元一次方程与一次函数
课堂知识梳理
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数
的图象相同，是同一条直线．
一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元
一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标．
平行的两条直线没有交点，并且它们组成的方程组是无解的．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．直线 与直线 的交点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
联立两直线的解析式求解即可．
【详解】
解：由题意得：，解得
则直线 与直线 的交点为 ．
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查了直线的交点坐标，掌握直线交点的坐标即为两直线解析式组成方程组的解．
2．如果直线 与 交点坐标是（a，b），则 是下面哪个方程组的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
两直线的交点为两直线的解析式所组成的二元一次方程组的解，由此即可得．
【详解】
解：由题意， 是方程组 的解，
这个方程组可变形为 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程组的解的关系，熟练掌握两直线的交点为两直线的解析式所组成的二
元一次方程组的解是解题关键．
3．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（ ）A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20
【答案】D
【解析】
【分析】
两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】
解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一
元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值．
4．在平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
联立两个一次函数解析式求得交点坐标，进而即可求解．
【详解】
解： ，解得 ，
即交点坐标为 ，在第一象限，
故选A．
【点睛】
本题考查了求一次函数交点问题，解二元一次方程组求交点是解题的关键．
5．已知直线 与 交点的坐标为 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据方程与函数的关系，求方程组 的解就是求直线 与 交点的坐标，因此可以
把交点坐标 代入直线 中，求出a的值，即可得答案．
【详解】
解：把交点坐标 代入直线 中，得： ，解得 ，
∴交点坐标是 ，即方程组 的解是 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了方程与函数的关系，两个函数的交点坐标对应的其实就是两个方程的公共解．从这个角度看，
我们只需求出直线 与 交点的坐标为 就是要求的方程组的解．6．如图所示，在直角坐标系中的两条直线分别是 和 ，那么方程组 的解是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两直线的交点，即为二元一次方程组的解即可得到答案．
【详解】
解：∵，在直角坐标系中的两条直线分别是 和 ，且它们的交点为（2，-1），
∴方程组 的解是 ，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，熟知两直线的交点坐标与二元一次方程组的解
的关系式解题的关键．
7．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组 的解是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由两条直线的交点坐标（m，4），先求出m，再求出方程组的解即可．
【详解】
解：∵y＝x＋2的图象经过P（m，4），
∴4＝m＋2，
∴m＝2，
∴一次函数y＝kx＋b与y＝x＋2的图象相交于点P（2，4），
∴方程组 的解是 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两
个函数图象的交点坐标．
8．若关于x，y的二元一次方程组 无解，则直线 与 的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系即可判断．
【详解】解：∵二元一次方程组 无解，即直线 与 无交点，
∴两直线的位置关系为平行，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是熟知他们的关系，有一解为相交，有无数
解为重合，无解为平行．
9．如图，已知 ， ，若直线 与线段 有公共点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出直线过点A、B的k值，再结合图象即可求得k的取值范围．
【详解】
解：当直线 过点A（1，3）时，则k+1=3，解得：k=2，
当直线 过点B（5，1）时，则5k+1=1，解得：k=0，
当x=0时，y=1，则直线经过定点（0，1），
∵直线 与线段 有公共点，
∴0≤k≤2，
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键．
10．如图，一次函数 与 交于点A，则方程组 的解是______．【答案】
【解析】
【分析】
根据二元一次方程组的解即为两直线的交点坐标解答．
【详解】
解：∵一次函数 与 交于点A（2，−1），
∴方程组 的解是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数
的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程
组的解．
11．如果直线y＝ x＋n与直线y＝mx－1的交点坐标为（1，－2），那么m＝________，n＝________．
【答案】 －1 －
【解析】
【分析】
将点（1，－2）分别代入直线解析式即可求解．
【详解】解：将点（1，－2）代入y＝ x＋n得
-2＝ ×1＋n
解得n=－
将点（1，－2）代入y＝mx－1得
-2＝m×1－1
解得m=-1
故答案为：-1；－ ．
【点睛】
本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，明确两直线的交点坐标即为两直线组成的二元一次方程组的
解是解题关键．
12．已知二元一次方程组 的解为 ，则图中三角形ABC的面积为_______．
【答案】24
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组与一次函数的结合，先将 变形为 得到一次函数
和 的交点为A（2，6），将A（2，6）分别代入到 和 ，求出一次函数表达
式，再令y=0，得到B，C两点的坐标，从而求得三角形的面积即可．
【详解】解：∵二元一次方程组 的解为 ，
即二元一次方程组 的解为 ，
∴一次函数 和 的交点为A（2，6）．
将A（2，6）代入 得6=2k+4，解得k=1，
∴y=x+4，
令y=0，即x+4=0，解得x=-4，
∴B（-4，0），
将A（2，6）代入 得6=-3×2+b，解得b=12，
∴y=-3x+12
令y=0，即-3x+12=0，解得x=4，
∴C（4，0），
∴BC=8，
∴ ．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组与一次函数的结合，二元一次方程组的解就是两条一次函数的交点，还考查了
待定系数法求解析式、求与坐标轴的交点坐标以及求三角形的面积．
13．在平面直角坐标系xoy中，一次函数 的图象是由函数y＝2x的图象向下平移5个单位得
到的．解答下列问题：
(1)直接写出k和b的值；
(2)分别写出一次函数 与x轴交点A和y轴交点B的坐标；
(3)求△AOB的面积．
【答案】(1)k＝2，b＝-5；(2) ， ；(3)
【解析】【分析】
（1）根据一次函数平移的性质，即可求解；
（2）分别令 ， ，即可求解；
（3）根据 ，即可求解．
(1)
解：∵一次函数 的图象是由函数y＝2x的图象向下平移5个单位得到的．
∴一次函数 的解析式为 ，
∴k＝2，b＝-5；
(2)
解：当 时， ，
当 时， ，解得 ，
∴点 ， ；
(3)
解：∵点 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
14．如图，直线l 的函数表达式为y＝ x+2，且l 与x轴交于点A，直线l 经过定点B（4，0），C（﹣1，
1 1 2
5），直线l 与l 交于点D．
1 2(1)求直线l 的函数表达式；
2
(2)求 ADB的面积；
(3)在△x轴上是否存在一点E，使 CDE的周长最短？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明
理由． △
【答案】(1)y=-x+4
(2)S ADB=
△
(3)存在，E的坐标是（ ，0）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可直接求得l 的函数解析式；
2
（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）求得D关于x轴的对称点，然后求得经过这个点和C点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．
(1)
解：设l 的解析式是y=kx+b，
2
根据题意得： ，解得： ，
则函数的解析式是：y=-x+4；
(2)
解：在y= x+2，中令y=0，解得：x=-4，则A的坐标是（-4，0）．
解方程组 ，得： ，
则D的坐标是（ ．
则S ADB= × = ；
△
(3)
解： D（2，2）关于x轴的对称点是D′（2，-2），
则设经过（2，-2）和点C的函数解析式是y=mx+n，则 ，
解得： ，
则直线的解析式是y=- x+ ．
令y=0，- x+ =0，解得：x= ．
则E的坐标是（ ，0）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积以及对称的性质，正确确定E的位置是本题的
关键．
培优第二阶——拓展培优练
15．已知直线 与 交于点 ，若 与 轴交于 点， 是 轴上一点，且
，则点 的横坐标为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】
【分析】
由点P是两直线的交点，可分别求出m与b的值，从而可求得A点的坐标，设点B的横坐标为a，由面积
条件可求得a，即求得点B的横坐标．
【详解】
∵点 是直线 与 的交点，
∴m=1+1=2，
即 ．把点P的坐标代入 中，得 ，
∴b=4，
即 ．
上式中，令y=0，即 ，解得：x=2，
即点A的坐标为(2，0)．
设点B的横坐标为a，则 ，
∴ ，
即 ，
解得：a=6或a=-2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了两直线的交点，直线与坐标轴的交点，三角形面积，解绝对值方程等知识，掌握一次函数图像
上点的坐标特征是解题的关键；注意不要漏解．
16．若一次函数 与 的图象交点恰好在一次函数 的图象上，则方程组
的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】
将已知函数关系式联立方程组，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可得．
【详解】
解：由 解得 ，
∴一次函数y=3x与一次函数y=2x-2的交点的坐标为（-2，-6），∴方程组 的解为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，关键是掌握两个一次函数的交点即为方程组的解．
17．如图，直线l：y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l：y＝﹣ x﹣3与x轴，y轴分别交
1 2
于C，D两点．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）设直线l，l 交于点P，求△PAD的面积．
1 2
【答案】（1）28；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据直线解析式求得A、B、C、D的坐标，然后根据四边形ABCD的面积= ABC的面积+ ACD的
面积求得即可； △ △
（2）解析式联立成方程组，解方程组求得P的坐标，根据S PAD=S PBD-S ABD即可求得．
△ △ △
【详解】
解：（1）当x=0时，y＝﹣2x+4=4；当y=0时，﹣2x+4=0，x=2，
∴A（2，0），B（0，4）；
∴OA＝2，OB＝4；
当x=0时， =-3；当y=0时， ，x=-6，∴C（﹣6，0），D（0，﹣3）；
∴OC＝6，OD＝3，
∴AC＝2+6＝8，
∴S ABCD＝ AC×OB+ AC×OD
四边形
＝ ×8×（4+3）＝28；
（2）根据题意可知： ，
解这个方程组得： ，
∴P（ ， ），
∴S PAD＝S PBD﹣S ABD
△ △ △
＝ ×7× + ×7×2
＝ ．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，两条直线相交问题，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关
键．
18．如图，已知一次函数y=﹣ x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y= x的图象相
交于点C．（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点
P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式： ．
【答案】（1）点C的坐标为（4，3）；（2）Q点的坐标为（1， ）或（7，﹣ ）；（3）y=x﹣7．
【解析】
【分析】
（1）解析式联立，解方程组即可求得C的坐标；
（2）求得A、B点的坐标，分两种情况讨论求得即可；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，通过证得△PCM≌△C′PN（AAS），
求得C′（3+m，m-4），即可得出结论．
【详解】
（1）由方程组 得 ，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）∵一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（ ，0），B（0，8），
∵点Q在直线AB上，
∴设Q（x， ），
当Q点在C的上方时，S OCQ=S OBC﹣S OBQ=12，
△ △ △
∴ ×8×4﹣ =12，解得，x=1，
∴此时Q的坐标为（1， ）；
当Q点在线段AC上时，
S OAC= × ×3=9.6<12，不存在，舍去；
△
当Q点在A的下方时，S OCQ=S OAC+S OAQ=12，
△ △ △∴ × ×3+ =12，解得，x=7，
∴此时Q的坐标为（7，﹣ ），
故Q点的坐标为（1， ）或（7，﹣ ）；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，
∵C（4，3），
∴OM=4，CM=3，
∴PM= ，
∵∠CPM+∠C′PN=90°=∠CPM+∠PCM，
∴∠C′PN=∠PCM，
在△PCM和△C′PN中，
，
∴△PCM≌△C′PN（AAS），
∴PN=CM=3，C′N=PM=4﹣m，
∴ON=3+m，
∴C′（3+m，m﹣4），
∴点C′始终在直线上y=x﹣7运动，
故答案为：y=x﹣7．
【点睛】
本题考查了两条直线相交问题，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键：（1）解由
解析式联立构成的方程组；（2）分类讨论；（3）表示出C′的坐标．19．如图1，在平面直角坐标 中，直线 ： 与 抽交于点 ，直线 ： 与 轴交于点 ，
与 相交于 点．
（1）请直接写出点 ，点 ，点 的坐标： _________， ________， _______．
（2）如图2，动直线 分别与直线 、 交于 、 两点．
①若 ，求 的值；
②若存在 ，求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（-1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①t=1或3；②（0，-3）或（4，9）
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数与x轴的交点纵坐标为0即可求出AB坐标，联立两个一次函数即可求出C点坐标；
（2）①设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），则PQ=|t+1-3t+3|=2，即可求解；
②在y轴负半轴取点M使NM=NK，过点M作直线m∥AC交l 于点Q，则点Q为所求点，进而求解；当点
2
M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），进而求解．
【详解】
（1）对于直线l：y=3x-3①，
2
令y=3x-3=0，解得x=1，故点B（1，0），
对于l：y=x+1，同理可得：点A（-1，0），
1则 ，解得 ，
故点C的坐标为（2，3），
故答案为：（-1，0）、（1，0）、（2，3）；
（2）①点P在直线l 上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），
1
则PQ=|t+1-3t+3|=2，
解得t=1或3；
②当点Q在x轴下方时，如下图，
设直线l 交y轴于点K，过点B作直线n∥AC交y轴于点N，
1
在y轴负半轴取点M使NM=2NK，过点M作直线m∥AC交l 于点Q，则点Q为所求点，
2
理由：∵M、Q在直线m上，且m∥AC，
∴S MAC=S QAC，
同理△S NAC=△S BAC，
∵MN=△2KN，则△m、l
1
之间的距离等于2倍n、l
1
之间的距离，
∴S AQC=2S ABC，
由直△线l
1
的表达△式知点K（0，1），
设直线n的表达式为y=x+b，将点B的坐标代入上式并解得b=-1，
∴ N（0，-1），
∵NK=1-（-1）=2，
∴MN=NK=2，
∴M（0，-3），
在直线m的表达式为y=x-3②，联立①② 解得 ，
∴Q（0，-3）；
②当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），
同理可得，过点M且平行于AC的直线表达式为y=x+5③，
联立①③ 解得 ，
∴ Q的坐标为（4，9）；
综上，点Q的坐标为（0，-3）或（4，9）．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计算等，其
中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B（3，0）.平行于
y轴的直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x=1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）.
（1）求直线AB的表达式；
（2）求 ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）当△S ABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标.
△
【答案】（1）y＝﹣ x+1；（2） n﹣1；(3) （3，4）或（5，2）或（3，2）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）根据铅直高度与水平宽度的积可得三角形的面积；
（3）先计算当S ABP＝2时，P的坐标，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，分三种情况讨论：
△分别以三个顶点为直角顶点画三角形，根据图形可得C的坐标．
【详解】
（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把点A（0，1），点B（3，0）代入得： 解得： ，
∴直线AB的解析式是：y＝﹣ x+1；
（2）∵P（1，n），
∴D（1， ），即PD＝n﹣ ，
∴S ABP＝ PD▪OB＝ （n﹣ ）×3＝ n﹣1；
△
（3）当S ABP＝2时，2＝ n﹣1，解得n＝2，
△
∴点P（1，2）．
∵E（1，0），
∴PE＝BE＝2，
∴∠EPB＝∠EBP＝45°
①如图1，∠CPB＝90°，BP＝PC，
过点C作CN⊥直线x＝1于点N．
∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°，
∴∠NPC＝∠EPB＝45°．
又∵∠CNP＝∠PEB＝90°，BP＝PC，
∴△CNP≌△BEP，
∴PN＝NC＝EB＝PE＝2，
∴NE＝NP+PE＝2+2＝4，
∴C（3，4）．
②如图2，∠PBC＝90°，BP＝BC，
过点C作CF⊥x轴于点F．
∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，
∴∠CBF＝∠PBE＝45°．
又∵∠CFB＝∠PEB＝90°，BC＝BP，∴△CBF≌△PBE．
∴BF＝CF＝PE＝EB＝2，
∴OF＝OB+BF＝3+2＝5，
∴C（5，2）．
③如图3，∠PCB＝90°，
∴∠CPB＝∠EBP＝45°，
∠CPB＝∠EBP，BP＝BP，∠PCB＝∠PEB＝90°
∴△PCB≌△BEP，
∴PC＝CB＝PE＝EB＝2，
∴C（3，2）．
∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，
综上所述点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）．
【点睛】
本题是待定系数法求函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征，以及三角形的面积的综合应用，求得
直线的解析式是关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
21．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点
A，则关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由图象交点坐标可得方程组的解．
【详解】
解：由图象可得直线 与直线 相交于点A（1，3），
∴关于x，y的二元一次方程组 的解是 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组的解．
22．（2022·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，直线 与 相交于点 ，则关
于x，y的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】先把点P代入直线 求出n，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可；
【详解】
解：∵直线 与直线 交于点P（3，n），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴1=3×2+m，
∴m=-5,
∴关于x，y的方程组 的解 ；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键．
23．（2022·贵州贵阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的
图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数 的图象中， 的值随着 值的增大而增大；
②方程组 的解为 ；
③方程 的解为 ；
④当 时， ．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标
可判断③④，从而可得答案．
【详解】
解：由一次函数 的图象过一，二，四象限， 的值随着 值的增大而减小；
故①不符合题意；
由图象可得方程组 的解为 ，即方程组 的解为 ；
故②符合题意；
由一次函数 的图象过 则方程 的解为 ；故③符合题意；
由一次函数 的图象过 则当 时， ．故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③，
故选B
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的
交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
24．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是
（1，2），则方程组 的解是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】
解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
∴联立y=3x-1与y=kx的方程组 的解为： ，
即 的解为： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解
题的关键．
