文档内容
5.4.2 二元一次方程组与一次函数（第 2 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课选自北师大版 2024 年八年级上册第五章 “二元一次方程组” 第 4 节第 2 课时，核心内容
是利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，同时通过实际问题情境，进一步深化二元一次方程组与一
次函数的联系，体会数形结合、转化与方程思想的应用。
2.内容解析
从知识脉络来看，本节课是在学生已经掌握一次函数表达式（y=kx+b，k≠0）、二元一次方程组的解
法（消元法、图象法）以及两者联系（方程组的解是函数图象交点坐标，反之亦然）的基础上展开的。其
核心逻辑是 “待定系数法”—— 通过设出函数表达式，将已知条件（点的坐标或实际数量关系）转化为
二元一次方程组，求解系数后确定函数表达式。
本节课既是对一次函数和二元一次方程组知识的综合运用，也是后续学习反比例函数、二次函数表达
式确定的重要铺垫，同时为解决实际生活中 “相遇问题”“费用计算问题” 等提供了代数与几何相结合
的解题思路，体现了数学知识的实用性和关联性。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤（待
定系数法的应用）；二元一次方程组与一次函数的内在联系。
1.教学目标
（1）掌握利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤，能根据已知条件（两点坐标或实际
情境中的数量关系）求出一次函数的表达式。
（2）进一步理解二元一次方程组与一次函数的内在联系，在对比图象法与代数法的过程中，深化数
形结合的意识和转化、方程思想的运用。
（3）能运用所学知识解决实际问题，提升分析问题、转化问题和解决问题的能力，感受数学与生活
的密切联系。
2.目标解析
（1）学生需能独立完成 “设表达式→代条件列方程组→解方程组→写表达式” 的完整流程，针对
不同情境（已知两点坐标、实际生活问题）准确列出方程组并求解。
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1（2）学生能清晰阐述 “通过函数图象交点解决方程组问题” 与 “通过方程组确定函数表达式”
的双向转化关系，体会图象法的直观性与代数法的准确性。
（3）学生能将实际问题中的数量关系转化为函数与方程模型，例如相遇问题中通过确定两人的距离 -
时间函数表达式，求解相遇时间。
（一）已有知识及掌握情况
学生已经学习了一次函数的概念、图象和性质，知道一次函数表达式为 y=kx+b（k≠0），且理解函数
图象上的点的坐标满足函数表达式；在本章前几节中，学生掌握了二元一次方程组的两种解法（消元法、
图象法），并了解了方程组的解与函数图象交点的关系。大部分学生具备基本的代数运算能力和简单的数
形结合思维，但对知识的综合运用能力和实际问题转化能力有待提升。
（二）预估教学中遇到的困难及解决办法
1、难以将实际问题中的数量关系转化为函数表达式和二元一次方程组。例如在相遇问题中，无法准
确理解 “到 A 地的距离 s 是骑车时间 t 的一次函数”，进而无法设出表达式并提取列方程组的条件。
解决办法：通过线段图、图象等直观手段辅助分析，引导学生梳理题目中的关键信息（如 “1 小时后
乙距 A 地 80 千米”“2 小时后甲距 A 地 30 千米”），明确变量之间的对应关系；先分解问题，让学
生先确定单一函数的表达式，再过渡到综合问题。
2、对 “待定系数法” 的本质理解不透彻，仅机械记忆步骤，遇到变式问题（如免费携带行李问题中
求 “免费携带质量”）时难以灵活运用。
解决办法：在导入新课和典例分析中，反复强调 “待定系数法” 的核心是 “通过已知条件确定未知
系数”，结合具体例题说明每一步骤的意义（如 “设表达式是为了明确未知量 k 和 b”“代条件是为了建
立关于 k 和 b 的方程”）；通过基础巩固练中的变式题，让学生在练习中深化理解，提升灵活性。
3、对比图象法与代数法时，无法清晰区分两者的优缺点，在实际解题中不知道如何选择合适的方法。
解决办法：通过同一问题（如相遇问题）的三种解法对比，引导学生自主总结图象法 “直观但不准
确”、代数法 “准确但不直观” 的特点；在练习中设置不同类型的题目，让学生根据题目要求（如 “求
准确值”“大致判断”）选择合适的方法，强化方法选择的意识。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：将实际问题转化为函数模型和二元一次方程组；灵活运用
待定系数法解决变式问题，深化对数学思想的理解。
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2复习回顾
1、一次函数的表达式是什么？函数图象上的点的坐标与函数表达式有什么关系？
y = kx + b(k≠0）点在函数图象上，其坐标满足函数表达式
2、求解二元一次方程组有哪些方法？
消元法(代数法)、图象法
3、二元一次方程组与一次函数有何联系?
二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点坐标也
是它们所对应的二元一次方程组的解．
(设计意图：通过复习旧知，唤醒学生对相关知识的记忆，为新课中 “设表达式”“代点列方程组”“利
用图象法辅助分析” 等环节做好铺垫，搭建新旧知识的桥梁.)
（教学建议：提问时关注不同层次的学生，对于回答不完整的学生，引导其结合课本或笔记补充；重点强
调 “点的坐标满足函数表达式” 这一关键前提，因为这是后续列方程组的核心依据．）
新课导入
已知一次函数的图象经过点 (2,3) 和 (0,5) ，如何求出这个一次函数的表达式？
设：设所求一次函数的表达式为y=kx+b（k=0）；
{ 2k+b=3
代：将点(2,3)和(0,5) 分别代入表达式，得到方程组
0×k+b=5
解：解得 k=−1；b=5
写：一次函数表达式为y=−x+5
(设计意图：通过简单的两点求函数表达式问题，让学生初步感知待定系数法的基本流程，体会 “通过列
方程组求解未知系数” 的思路，降低后续复杂问题的难度.)
（教学建议在 “代条件列方程组” 环节，强调 “每个点的坐标都能代入表达式得到一个方程”，两个
点对应两个方程，从而组成方程组；解方程组时，可让学生口述解题过程，教师板书，强化消元法的应
用．）
探究点1 用二元一次方程组确定一次函数表达式
1. A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，
则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米; 2小时后甲距A
地30千米. 经过多长时间两人将相遇 ?
你是怎样做的？与同伴交流。你能用线段图表示出来吗？
甲 乙距A地80千米 乙
A
2小时后甲距A地30千米
1小时后 B
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3方法一：分别画出两人s与t之间关系的图象,找出交点的横坐标就行了!
方法二：对于乙,s是t的一次函数,可以设s=kt+b.当t=0时,s=100;当t=1时,s=80.将它们分别代入s=kt+b中,可
以求出k,b的值,也即可以求出乙的s与t之间的函数表达式. s=−20t+100
因为甲为正比例函数，设甲的关系式为s=kt,当t=2时s=30，
即30=2k，k=15,所以 s=15t
300
{s=−20t+100 { s=
联立两个表达式
s=15t 解得
7
20
t=
方法三： 1 h后乙距离A地80 km,即乙的速度是207 km/h;
2 h后甲距离A地30 km,也即甲的速度是15 km/h,
由此可以求出甲、乙两人的速度和……
20
设同时出发后t小时相遇，则15t+20t=100，∴t=
7
交流与思考：1.以上用三种方法解决问题，它们有什么不同？
方法一：用图象法解决问题
方法二：用二元一次方程组解决问题
方法三：用一元一次方程解决问题
其中图象法有什么优缺点？
画图象的方法可以直观地获得问题的结果,但有时却难以获得问题的准确结果.为了获得准确的结果,我们
一般用代数方法.
（设计意图：通过实际相遇问题，让学生体会待定系数法在实际情境中的应用，感受 “确定函数表达式→
解决实际问题” 的完整流程；分组探究不同方法，培养学生的合作意识和发散思维；对比三种方法的优缺
点，帮助学生建立 “根据问题需求选择合适方法” 的意识，深化数形结合思想。.）
（教学建议：在确定乙的函数表达式时，引导学生思考 “出发时乙在 B 地，距 A 地 100 千米”，即
t=0 时 s=100，从而获得第二个条件；对于基础较弱的小组，可先引导其确定甲的表达式（正比例函数，
条件更简单），再过渡到乙的表达式；分享环节中，鼓励不同小组展示解题过程，教师针对性点评，纠正
易错点（如乙的函数表达式中斜率的意义是 “速度的相反数”.）
典例分析
例1 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李
费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90
kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组 {5=60k+b
{ 1 10=90k+b
k=
6
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 b=−5 4解得
1
∴y与x之间的表达式为：y= x-5
6
（2）当x=30时，y=0. ∴旅客最多可免费携带30千克的行李．
总结归纳：像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得
到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b.
2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组.
3.解这个二元一次方程组得k，b.
4.进而求出一次函数的表达式.
例2 求经过点 ( -1, 1) 和 (2, 7)的一次函数表达式。
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
把点（-1，1）与（2，7）分别代入，得：
{−k+b=1
{k=2 2k+b=7
解方程组得
b=3
∴这个一次函数的解析式为: y=2x+3
（设计意图：通过典例 1 的训练（不仅求表达式，还求特殊值），提升学生的灵活运用能力；典例 2 回
归基础，强化待定系数法的基本流程；基础巩固练针对本节课重点和易错点设计，帮助学生及时巩固知识，
查漏补缺.）
（教学建议：典例 1 中，强调 “免费携带” 的实际意义是 y=0，引导学生将实际问题转化为数学问题
（求函数值为 0 时的自变量值）；基础巩固练中，对于图象类题目，引导学生从图象中提取关键点坐标
（如与 y 轴交点确定 b 的值），再用待定系数法求 k；订正时，重点讲解易错点（如 k 的符号、方程组
求解错误等）．）
1.已知一个正比例函数的图象经过点(－3，-12)，则这个正比例函数的表达式是 y=4 x .
2.已知一次函数图象经过 (1,1) , (2,−1) ,则函数表达式为( y=−2x+3 )
3.已知函数 y=2x+b的图像经过点(a，7)和(－2，a)，则这个函数的表达式为 __ y=2x+5 _
4. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空:
2
(1)b=___2___,k=____−__; (2)当x=30时，y=__-18____;(3)当y=30时，x=___-42___.
3
5.某公司销售人员的个人月收入 y （元）与其每月的销售量 x （千件）之间的关系如图所示，则销售人
员的销售量为3千件时的月收入是__1400____元.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 56.已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的表达式.
解：设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)
∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），∴b=2
2
∵一次函数的图象与x轴的交点是( − ，0)，
k
则 解得k=1或-1.
故此一次函数的表达式为 y=x+2或y=-x+2.
7. 甲、乙两工程队同时修筑水渠，且两队所修水渠总长度相等．右图是两队所修水渠长度y(m)与修筑时间
x(h)的函数图象的一部分．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）直接写出甲队在0≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式 y=10 x ；
（2）直接写出乙队在2≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式 y=20x-3 0 ；
设计意图：基础作业针对本节课重点，强化知识巩固；拓展作业延续实际问题情境，进一步提升学生的转
化能力和应用能力，实现 “学以致用”.
教学建议: 明确要求 “写出完整的解题步骤，包括设表达式、列方程组、求解过程”，培养学生规范解题
的习惯；拓展作业可作为选做题，满足不同层次学生的需求.
教学活动
1、引导学生自主总结本节课的核心知识：
利用二元一次方程组确定一次函数表达式的步骤（设、代、解、写）。
二元一次方程组与一次函数的联系
用到的数学思想（转化思想、方程思想、数形结合思想）。
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 62、教师补充完善，强调待定系数法的核心是 “通过方程确定未知系数”，鼓励学生在后续学习中灵活运
用数学思想解决问题。
设计意图：通过自主小结，让学生梳理本节课的知识脉络，深化对核心知识和数学思想的理解；教师
补充强调重点，帮助学生形成完整的知识体系.
教学建议：小结时，可采用 “提问引导” 的方式，如 “本节课我们学习了如何确定一次函数表达式
关键步骤是什么？”“我们用到了哪些之前学过的数学思想？”，引导学生有序梳理，避免小结流于形式。
1.必做题：习题5.4 第5、6题.
2.探究性作业：习题5.4 第7题.
5.4.1 二元一次方程组与一次函数（第2课时）
一、待定系数法
1. 定义：设表达式→代条件列方程组→解方程组→写表达式
2. 步骤：设→代→解→写
二、核心思想：数形结合思想、转化思想
4. 例题区：（学生板演区域）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7
