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5.4 二元一次方程与一次函数
题型一 二元一次方程（组）与一次函数的关系
1．以方程 的解 为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；以方程 的解
为坐标的所有点组成的图形是函数 的图象；用函数观点看，解方程组 的含义是
解得当自变量取 时，函数 和函数 有相同的函数值 ．
2．利用一次函数的图象解二元一次方程组
题型二 根据交点坐标求方程组的解
3．如图，直线 与 交于一点，则方程组 的解是（ ）A． B． C． D．
4．如图，直线 与 相交于点A，则关于x的方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
5．若一次函数 与 的图象交点为 ，则二元一次方程组 的解为
．
6．如图，直线 和直线 交于点A，则方程组 的解是
7．在平面直角坐标系中，一次函数 和 的图象如图所示，则关于 的方程组
的解为 ．题型三 根据函数解析式联立方程组求交点坐标
8．已知 是一次函数 与一次函数 的交点，则 点的坐标是 ．
9．函数 与 的图象如图所示，则 ．
10．如图，两条直线 ， 的交点坐标是 ，可以看作方程组 的解．
11．若直线 经过一次函数 和 的交点，求 的值．
题型四 根据任意两组变量的值确定一次函数解析式
12．某商场购进一批商品，销售一段时间后发现销售量y（单位：个）与售价x（单位：元/个）之间成一
次函数关系，部分数据如下表所示：
x 40 50
y 170 150y与x之间的函数表达式为 ．
13．已知一次函数的图象经过点 和 ，求这个一次函数的解析式．
14．已知一次函数的图象经过点 和点 ，求这个一次函数的解析式．
15．已知一次函数的图象过 和 两点．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若点 在这个函数图象上，求 ．
16．已知一次函数的图象经过 和 两点，求一次函数的解析式．
17．如图，直线 经过A，B两点．
(1)求直线AB的函数表达式．
(2)若直线AB分别交x轴、y轴于C，D两点，求 的面积．题型一 根据交点坐标求方程组的解（需要变形）
1．如图，直线 ， 的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 的图象与函数 的图象的交点坐标为 ，则方程组
的解为 ．
题型二 确定实际问题中的一次函数解析式
3．陕西省近年来不断推进储能项目发展．重力储能是一种新型储能方式，它能通过提升或放下重物实现
能量的储存或释放．重力储能分为两部分：①输入电能提升重物，储存能量；②放下重物，释放能量输出
电能．某风力发电站采用了这种储能方式．测量人员对储能过程进行了一次 的监控，其中储存的能量
与时间 各段成一次函数关系，请你根据绘制的图象回答下列问题．
(1)求 段的函数表达式．
(2)根据数据分析，该重力储存系统的储存效率为 （储存能量与输入电能之比），综合效率为 （输出电能与输入电能之比）．请你计算该发电站在这一天中运行几小时后损失的电能达到了 ．
题型三 根据方程组解的情况判断对应直线的位置关系
4．若方程组 有无穷多组解，则直线 不经过第 象限．
题型四 求直线与坐标轴围成的三角形的面积
5．如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 在第二象限交于点 ，且 ，
，则方程组 的解为 ．
6．已知直线 和直线 相交于点P，直线 , 分别与x轴相交于点A，B．
(1)求点P的坐标；
(2)求 的面积．
7．如图，点O为坐标原点，已知直线 经过点 ，与x轴交于点A．(1)求b的取值；
(2)若直线 与直线 相交于点C，求 的面积；
(3)在x轴上存在一点P，使得 是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
题型五 新定义问题
8．定义：一次函数 和一次函数 为“逆反函数”．如 和
为“逆反函数”．如图，一次函数 的图象分别交 轴、 轴于点B，A．
(1)请写出一次函数 的“逆反函数” 的解析式：_____；若点 在 的函数图象上，则 的值是
_____．
(2)若一次函数 图象上的一点 也是它的“逆反函数” 图象上的点．
①求点 的坐标．
②求 的面积．
9．定义：形如 的函数称为正比例函数 的“分移函数”，其中 叫“分移值”．例如，函数 的“分移函数”为 ，其中“分移值”为1．
(1)已知点 在 的“分移函数” 的图象上，求 的值；
(2)已知点 ， 在函数 的“分移函数”的图象上，求 的值；
(3)点 ， ．已知函数 的“分移函数”中的“分移值”为5，且此“分移函数”的
图象与线段 有两个交点，请直接写出 的取值范围．【观察发现】
如图，将含有 的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作雨线，这样就得到了
两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用．
【探究迁移】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点．
①则 ；
②C，D是正比例函数 图象上的两个动点，连接 ，若 ，则 的最小值
是 ；
（2）如图2，一次函数 的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线 绕点A逆时针旋转
得到直线l，求直线l对应的函数表达式；
【拓展应用】
（3）如图3，点A在x轴负半轴上， ，过点A作 轴交直线 于点B，P是直线
上的动点，Q是y轴上的动点，若 是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写
出所有符合条件的点Q的坐标．
