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5.1 认识二元一次方程组
题型一 判断二元一次方程（组）
1．下列四个方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程是指只含两个未
知数，且含未知数的项的次数是1的整式方程，据此逐一判断即可得答案．
【详解】解：A、 含有3个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
B、 项的次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；C、是分式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
D、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故该选项符合题意．
故选：D．
2．下列式子中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，二
元一次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查方程的分类．根据二元一次方程的概念逐个判断即可得到答案．
【详解】解：① 为二元一次方程；
② 为二元二次方程；
③ 为二元二次方程；
④ 为分式方程；
⑤ 为三元一次方程；
⑥ 为代数式，不是方程；
故为二元一次方程的有①，有1个，
故选：A．
3．下列式子中 ， ， ， 中，是二元一次方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有两个未知数，并且未知数的最高次数
是1的整式方程叫做二元一次方程，根据概念逐个判断即可得答案．
【详解】解：方程 ，含有两个未知数x、y，次数均为1，且为整式方程，符合二元一次方程的
定义；
方程 ，含有三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件；
式子 不是等式，仅为代数式，不构成方程；
不等式 属于不等式而非等式，不符合二元一次方程的定义，综上，只有 是二元一次方程，共1个，
故选：A．
4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，需满足两个条件：①方程组含有两个未知数；②每个方程都
是整式方程且未知数的次数为1．
【详解】解：A． 方程组中第一个方程含 项，次数为 ，不符合一次方程要求，排除．
B． 方程组中第一个方程含 项，次数为 ，不符合一次方程要求，排除．
C． 方程组中两个方程均为一次方程，且仅含 、 两个未知数，符合定义，正确．
D． 方程组含 、 、 三个未知数，不符合“二元”条件，排除．
故选：C．
5．下列属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可．
【详解】解：A：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组；
B：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组；
C；两个方程均为二元一次方程，故该方程组是二元一次方程组；
D：第一个方程是分式方程，故该方程组不是二元一次方程组．
故选：C．
题型二 代数法判断二元一次方程（组）的解6．若 是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立
的未知数的值，据此把 代入对应方程组中的两个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案．
【详解】解：A、把 代入方程 中，方程左边 ，方程左右两边不相等，则
不是方程 的解，即 不是方程组 的解，不符合题意；
B、把 代入方程 中，方程左边 ，方程左右两边相等，则 是方程
的解，把 代入方程 中，方程左边 ，方程左右两边相等，则 是
方程 的解，即 是方程组 的解，符合题意；
C、把 代入方程 中，方程左边 ，方程右边 ，方程左右两边不相等，则 不是方程 的解，即 不是方程组 的解，不符合题意；
D、把 代入方程 中，方程左边 ，方程右边 ，方程左右两边不相等，则
不是方程 的解，即 不是方程组 的解，不符合题意；
故选：B．
7．以 为解的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的关键；
根据方程组的解的定义，将方程组的解代入，判断即可．
【详解】解：当 时，
则 ， ， ，
故 是方程组 的解．
故选：D．
8．下列各组值中，是二元一次方程组 的解的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把每个选项的解分别代入方程组进行判断即可．
【详解】解：A．把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边=右边；把 代入方
程 ，左边 ，左边≠右边，故选项A不是方程组的解；
B．把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边≠右边；把 代入方程
，左边 ，左边=右边，故选项B不是方程组的解；
C．把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边=右边；把 代入方程 ，
左边 ，右边 ，左边≠右边，故选项C不是方程组的解；
D．把 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边=右边；把 代入 ，左
边 ，右边 ，左边=右边，故选项D是方程组的解．
故选：D．
题型三 根据二元一次方程（组）的定义求参数
9．方程 是二元一次方程，则m、n的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：
①首先是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次；
根据二元一次方程的概念列出方程，求解字母的值即可．
【详解】 方程 是二元一次方程，， ，
解得 ， ，
故选：C．
10．已知 是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0
且次数等于1是解题的关键．
根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可．
【详解】解：∵ 是关于x、y的二元一次方程，
∴ ，解得： ．
故选D．
11．若 是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数都是1的整
式方程叫做二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义解答即可．
【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程，
∴ ，
故答案为：1．
12．若方程 是关于x，y的二元一次方程，则 ．
【答案】0
【分析】此题主要考查二元一次方程的概念，根据二元一次方程的定义可得 ， ，再解方
程可得m、n的值，然后代入 计算即可．【详解】解：由题意得： ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为：0．
13．如果 是一个关于x，y的二元一次方程，那么 的值是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，代数式求值，解题的关键是正确解方程组．
根据二元一次方程的定义列出关于a、b的方程，求出 的值，代入 计算即可．
【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：8．
题型四 根据二元一次方程（组）的解求参数
14．已知 是关于x，y的二元一次方程 的一组解，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
根据二元一次方程的解的意义，将解代入方程，转化为待求字母的方程求解．
【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程 的一组解，
∴ ，解得： ，
故选：A．
15．已知 是关于x，y的二元一次方程 的解，则m的值为 ．【答案】6
【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解方程的解的定义是解题的关键．把 代入方程求解即可．
【详解】解： 是关于x，y的二元一次方程 的解，
，
，
故答案为：6．
16．如果 是关于x，y的二元一次方程 的一个解，那么m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
根据二元一次方程的解的定义把 代入关于x，y的二元一次方程 中即可求出m的值．
【详解】解：把 代入关于x，y的二元一次方程 中，得 ，
解得 ，
故答案为：
17．若 是关于 的二元一次方程 的一组解，则 的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，直接把 代入 ，求出m的值，即可作答．
【详解】解：∵已知 是关于 的二元一次方程 的一组解，
∴把 代入 ，
得 ，
解得 ，故答案为：3
18．若 是关于 ， 的二元一次方程 的解，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的解，将已知解代入方程 中解得a的值即可．
【详解】解：∵ 是关于 ， 的二元一次方程 的解，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
19．若 是方程 的解，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做
二元一次方程的解”，熟记二元一次方程的解的定义是解题关键．将 代入方程 可得一
个关于 的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
20．若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则 ， ．
【答案】 3 1
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题
的关键．将 代入 ，即可求解 ．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为：3；1．
21．若 是 关于 、 的二元一次方程组的解，求 的值．
【答案】14
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把 代入 ，得出关于a
和b的二元一次方程组，求解得出a，b的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：把 代入 得：
解得：
∴
22．已知 是关于 的二元一次方程组 的解，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知
数的值．将 代入方程组计算求出m与n的值，即可确定出所求式子的值．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得 ， ．．
题型五 列二元一次方程（组）
23．已知二元一次方程组 的解是 ，则 表示的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次
方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键．
先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个
解的方程即可得．
【详解】解：由题意，将 代入方程 得： ，解得 ，所以这个方程组的解为
，
A、将 代入得： ，则此项不符合题意；
B、将 代入得： ，则此项不符合题意；
C、将 代入得： ，则此项不符合题意；
D、将 代入得： ，则此项符合题意；
故选：D．
24．若关于 的二元一次方程组 的解为 ，则含 的一次多项式A可以是 ．
【答案】 （答案不唯一）【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，根据 ，可得 ，结合条件可得答案．
【详解】解：∵关于 的二元一次方程组 的解为 ，
∴含 的一次多项式A可以是 ．
故答案为： （答案不唯一）．
25．代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有 个头 只手的哪吒
若干，有 个头 只手的夜叉若干，两方交战，共有 个头， 只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有
个，夜叉有 个，则所列方程组是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键．设
哪吒有 个，夜叉有 个，然后根据等量关系“共有 个头”和“ 只手”列出二元一次方程组即可解
答．
【详解】解： 每个哪吒有 个头，每个夜叉有 个头，交战双方共有 个头，
，
每个哪吒有 只手，每个夜叉有 只手，交战双方共有 只手，
，
根据题意可列出方程组 ，
故答案为： ．
26．已知 ，其中 都是常数，且 ，请你探究：是否存在一个二元一次方
程，其解分别为 与 ，若存在，请你写出这个二元一次方程；若不存在，请你说明理由．
【答案】存在，这个二元一次方程为
【分析】本题考查二元一次方程解的定义，理解方程解的意义是解题的关键．观察 和 ，可得它们的结构是相同的，再结合方程解的定义即可完成解答．
【详解】解： 和 中字母系数相同，常数项也相同，
两个等式可以统一表示为 ，
这个二元一次方程为 ．
27．（1）写出解为 的一个二元一次方程组；
（2）请赋予（1）中所写的二元一次方程组一定的实际意义，编一道真实情境问题，并设出未知数．
【答案】（1） （答案不唯一）；（2）见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
（1）根据二元一次方程组的解的定义即可解答；
（2）根据二元一次方程组的实际意义即可解答．
【详解】解：（1）解为 的一个二元一次方程组可以为 （答案不唯一）．
（2）小明画了一个长方形，他发现长与宽的和是 ，长的2倍是 ，请问长方形的长和宽各是多少厘
米？设长为 ，宽为 （答案不唯一）．
题型一 根据二元一次方程（组）的定义求参数的值
1．若 是关于x、y的二元一次方程，则m的值是 ．
【答案】2
【分析】此题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的
项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义列出方程求解可得答案．
【详解】解：∵ 是关于x、y的二元一次方程，
∴ ，且 ，
解得 ，
故答案为：2．2．若 是关于 的二元一次方程，则（ ）
A． B．
C． D．
下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由．
解：因为 2025是关于 的二元一次方程，
所以 ．
解得 ．故选A．
【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边
都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．
马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可.
【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下：
因为 是关于 ， 的二元一次方程，
所以
解得
故选D．
题型二 在不完整问题中求未知量的值
3．方程组 的解为 由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数 和 ，则数
， ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，先把 代入第二个方程求出 ，再把方程
的解 ， 代入第一个方程即可得到数 的值，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解： ，
把 代入 得 ，
解得： ，
∴方程组的解为 ，即有 ，
把 代入 得： ，
故答案为： ； ．
4．方程组 的解是 ，其中 的值被墨渍盖住了，则 的值为 ．
【答案】8.75
【分析】将 代入 ，得 的值，再将x，y代入 求出p的值，将x，y，p的值代入
即可计算．本题考查利用二元一次方程组的解求参数及求代数式的值，理解相关概念是解题
关键．
【详解】解：将 代入 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
∴ ，
故答案为：8.75．
题型三 同解问题
5．已知 和 都是二元一次方程 的解，则 是否也是方程 的解？
请说明理由．
【答案】不是，见解析【分析】将 和 代入二元一次方程 ，得到 的方程组，求得 的值，再检
验即可．
【详解】解：不是．理由如下：
将 和 分别代入方程 ，得
由①，得 ．③
将③代入②，得 ，
解得 ．
将 代入③，得 ，
所以原二元一次方程为 ．
将 代入，得 ，
所以 不是方程 的解．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，只要满足方程的左右两边相等，即可知是原方程的解．
6．已知关于 的二元一次方程 的部分解如表 ，关于 的二元一次方程 的
部分解如表 ，则关于 的二元一次方程组 的解是 ．
表
表2【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义解答即可，掌握二元一次方程组
解的定义是解题的关键．
【详解】解：由表可知， 既是方程 的解，又是方程 的解，
∴二元一次方程组 的解是 ，
故答案为： ．
题型四 错解问题
7．甲、乙两人同时解关于x，y的二元一次方程组 时，甲看错了方程①中的 ，得到方程组
的解为 乙看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 试计算 的值．
【答案】9
【分析】根据甲看错方程①的 ，但方程②的 不受影响，所以用甲的解代入方程②可求 ；乙看错方程
②的 ，但方程①的 不受影响，用乙的解代入方程①可求 ，最后计算 ．本题主要考查二元一次方
程组的解的概念，熟练掌握方程组的解能使方程左右两边相等，利用错解求正确的未知参数是解题的关键．
【详解】解：把 代入方程②，得 ，
解得 ．
把 代入方程①，得 ，解得 ．所以 ．
题型五 方程组的解与代数式求值
8．已知二元一次方程 的一个解是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
先将 代入 得到 ，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵二元一次方程 的一个解是 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
9．已知 是关于 ， 的方程组 的解，则 的值．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的
方程组，解方程组可求出 ， ，再整体代入计算即可．
【详解】解：把 代入 ，
得 ，
② ①得 ，即 ，
② ①得 ，即 ，
所以 ．
10．已知 是关于x、y的方程组 的解，求 的立方根．【答案】－2
【分析】将 代入方程组得出关于a、b的方程组，解方程组即可得出a、b的值，然后代入 求
值，最后求立方根即可．
【详解】解：将 代入方程组，得 ，
① ② ，得 ，解得b＝－3，
将b＝－3代入①，得 ，解得a＝－1，
∴ ，
∵ 的立方根是－2，
∴ 的立方根是－2．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，代数式求值，立方根定义，得出关于a、b的
方程组，解出a、b的值，是解答的关键．
11．已知关于 、 的方程组 的解是
(1)求 、 的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了根据方程组的解求参数的值，求代数式的值，求一个数的平方根．列出关于 、 的
二元一次方程组是解题的关键．
（1）把 ， 代入方程组，得出关于 ， 的方程组，解方程组求出 、 的值；
（2）将 、 的值代入求出 的值，再求其平方根即可．
【详解】（1）解：∵关于 、 的方程组 的解是 ，把 ， 代入 ，得 ，
解得： ，
故 ， ．
（2）解：将 ， 代入 ，得 ，
∵ 的平方根是 ，
故 的平方根是 ．
题型六 根据情境列二元一次方程（组）
12．在《九章算术》卷八方程篇中，记录了这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，
燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕雀重一斤．问燕雀一枚各重几何？”其大意是：“现在有 只雀，
只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，
只雀、 只燕重量共一斤，问雀和燕各重多少？”古代记 斤为 两，设 只雀 两， 只燕 两，则下列
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，可得 ；根据 只雀、 只燕重量共
一斤，可得 ．从而可得相应的方程组，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是明确题意，列出相应的方程组．
13．南宁至北海全长206千米，一辆小汽车和一辆客车同时从南宁、北海两地相向开出，经过1小时10分
钟相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶30千米．设小汽车和客车的平均速度分别为 千米/小时和 千
米/小时，则下列方程组正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意的等量关系是解题的关键．设小汽车和客车的平均速度
分别为 千米/小时和 千米/小时，根据等量关系：“相遇时两车走的路程之和为 千米”，“ 小汽车
比客车多行驶 千米”，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：设小汽车和客车的平均速度分别为 千米/小时和 千米/小时，
依题意可得出方程组： ．
故选：D．
14．有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原
数大63，设原两位数的个位数字为 ，十位数字为 ，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方
程组 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列代数式，列二元一次方程组，把原两位数的十位数字乘以10再加上个位数字可
得原两位数，把原两位数的个位数字乘以10再加上十位数字可得新两位数，再根据原两位数的两个数字之
和为11，新两位数比原两位数大63建立方程组即可．
【详解】解：设原两位数的个位数字为 ，十位数字为 ，
∴原来的两位数为 ，现在的两位数为 ，
∴ ，
故答案为： ； ．15．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、
图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，
根据寻找出的关系，可列方程组为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据每行、每列及对角线上的三个数之和都相等，
即可列出关于 ， 的二元一次方程组，此题得解，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关
键．
【详解】解： 第一列与对角线上的三个数之和相等，
∴ ；
第二行与第三列上的三个数之和相等，
∴ ．
根据题意可列出方程组 ，
故答案为： ．
16．甲、乙二人分别从相距 的A，B两地出发，相向而行．如图，是小华绘制的甲、乙二人运动两次
的情形，设甲的速度是 ，乙的速度是 ，根据题意所列的方程组是 ．【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设甲的速度是 ，乙的速度是 ，根
据路程=速度×时间结合两次运动的情形，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设甲的速度是 ，乙的速度是 ，
依题意，得： ．
故答案为： ．
题型七 根据几何关系列二元一次方程（组）
17．如图，将正方形 的一角折叠，折痕为 ，点 恰好落在点 处， 比 大 ．设
和 的度数分别为 和 ，可列方程组为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由几何图形抽象出二元一次方程组，以及翻折变换的问题，关键知道正方形的四个角
都是直角．根据将正方形 的一角折叠，折痕为 ， 比 大 可列出方程组．【详解】解：根据题意可得 ．
故答案为： ．
18．现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一
矩形中，记图2中阴影部分周长为 ，面积 ；图3中阴影部分周长为 ，面积为 ．已知
，则 = ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列代数式、方程组的应用等知识点，根据图形表示出 、 、 、 成为解题
的关键．
先根据图形表示出 、 、 、 ，再根据方程组得到a、b、c的关系，然后代入计算即可．
【详解】解：图2中阴影部分的周长 ，面积 ；
图2中阴影部分的周长 ，面积 ；
∵ ，
∴ ，整理得： ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
题型一 方程组与新定义问题
1．关于x，y的二元一次方程均可以变形为 的形式，其中a，b，c，均为常数且 ， ，
规定：方程 的“关联系数”记为 ．
(1)【探索发现】二元一次方程 的“关联系数”为______．
(2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为 ，若 ，为该方程的一
组解，且 均为正整数，求m，n的值．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程
组的方法．
（1）根据关联系数的定义进行解答即可；
（2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为 ，把 代入，得出 ，根据
m、n均为正整数，求出结果即可；【详解】（1）解：∵规定：方程 的“关联系数”记为 ，
∴二元一次方程 的“关联系数”为 ；
故答案为： ；
（2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为 ，
∴二元一次方程为 ．
∵ 为该方程的一组解，
∴ ，即 ．
∵m，n均为正整数，
∴ 或
2．若关于 、 的二元一次方程变形为 的形式（ 、 是常数， ），则其中一对常数 、
称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为 ．例如二元一次方程 变形为 ，则
二元一次方程 的“相伴系数对”为 ．
(1)二元一次方程 的“相伴系数对”为____________．
(2)已知 是关于 、 的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为 ，求出这
个二元一次方程；
(3)关于 、 的二元一次方程 ，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求 的
值．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键．
（1）先把二元一次方程 变形为 ，根据“相伴系数对”的定义解答即可；
（2）先根据“相伴系数对”的值写出方程 ，然后把 的值代入即可求出k的值，从而写
出方程；
（3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于 的方程，从而求出 的值．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴二元一次方程 的“相伴系数对”为 ，
故答案为： ；
（2）解：∵方程的“相伴系数对”为 ，
∴该方程为 ，
∵ 是关于 、 的二元一次方程的一个解，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
即 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
即 ，∵关于 、 的二元一次方程 的“相伴系数对”之和为2，
∴ ，
整理得 ，
即 ．
