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7．1 为什么要证明
1．了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理；(重点)
2．会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．(难点)
一、情境导入
人的视觉有时候受到周围环境和自身经验的影响，会引导我们做出错误的判断．只有通
过科学的方法推理论证，做出的判断才是正确的．如图，图中的四边形是正方形还是梯形？
你能肯定吗？怎样来验证你的结论呢？快来学习本节知识吧！
二、合作探究
探究点一：数学的结论必须经过严格的论证
当n＝1，2，3，4，5时，代数式n2－3n＋7的值是质数吗？你能肯定：对于所有的自
然数，式子n2－3n＋7的值都是质数吗？
解析：把1，2，3，4，5等自然数代入n2－3n＋7中进行验证．
解：当n＝1，2，3，4，5时，n2－3n＋7的值分别是5，5，7，11，17，全是质数．而当n＝6时，
n2－3n＋7＝62－18＋7＝25＝52.所以对于所有自然数，式子n2－3n＋7的值不都是质数．
方法总结：判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的
证明或实验验证．
探究点二：检验数学结论的常用方法
【类型一】 实验验证
先观察再验证．
(1)图①中实线是直的还是弯曲的？
(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？
(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？
解析：①②用直尺量；③用三角板平推．
解：观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的；(2)a更长一些；(3)AB与 DC不平行．而
第 1 页 共 3 页我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的；(2)a与b一样长；(3)AB平行于CD.
方法总结：有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅
靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论．
【类型二】 举出反例
当n为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2的值都等于1吗？
解析：对于代数式(n2－5n＋5)2，n的取值为正整数，要判断(n2－5n＋5)2的值是否为1，
可以先取值分别求出代数式的值．
解：当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；当n＝3时，
(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；当n＝4时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝52＝
25≠1.所以当n为正整数时，(n2－5n＋5)2不一定等于1.
方法总结：验证特例是判断一个结论错误的最好方法．
【类型三】 推理证明
如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；
(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数；
(3)由(1)、(2)你发现了什么？
(4)你能肯定上述的发现吗？
解析：图中∠AOB、∠COD均与∠BOC互余，根据角的和、差关系，可求得∠AOB与∠COD的
度数．通过计算发现∠AOB＝∠COD，于是可以归纳∠AOB＝∠COD.
解：(1)∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°.∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC－
∠BOC＝90°－30°＝60°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.
(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝
36°.
(3)由(1)、(2)可发现：∠AOB＝∠COD.
(4)∵∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°，∴∠AOB＋∠BOC＝
∠BOC＋∠COD.∴∠AOB＝∠COD.
方法总结：检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理
→正确结论．
三、板书设计
为什么,要证明)
经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑，以此激发学
生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识，了解检验数学结论的常用方法：
第 2 页 共 3 页实验验证、举出反例、推理论证等．
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