文档内容
7.1 为什么要证明 教学设计
1.教学内容
本课选自“北师大版2024八年级上册”第七章《证明》之7.1“为什么要证明”，围绕“直观与
归纳可能产生偏差”“推理证明的必要性”展开。主要涉及观察、归纳与证明的差异，形成对严格推
理的初步认识，并为后续平行线的判定与性质等内容打下逻辑基础。
2.内容解析
教学内容通过幻觉图示、测量验证、反例举证等案例引导学生意识到“眼见不一定为实”“少量
归纳可能失准”，从而突出逻辑推理对保障数学结论正确性的意义。学生将在实验与推理中理解：只
有严谨的推理才能可靠地揭示一般性规律。
1.教学目标
•通过对观察、归纳所得结论的质疑，理解证明的必要性。
•经历多个实例分析与验证，区分“猜想”与“证明”，并尝试用逻辑推理验证结论。
•建立“必须进行严格证明”的思维模式，培养严谨的数学态度。
2.目标解析
• 强调让学生真实感受直观与归纳的局限，体会数学结论需经推理方能服众。
• 引导学生在实例操作中亲身感悟，初步掌握简单推理步骤，有意识区分猜想与严谨证明。
• 聚焦数学思想方法，培养他们谨慎、求真的学习品质。
3.重点难点
• 教学重点：认识“证明”的不可或缺性。
• 教学难点：从具体案例中抽象出推理方法，克服对直觉与经验的过度依赖。
学生已具备一定的观察、测量、简单归纳经验，但对结论的普适性尚缺乏警觉。通过错觉、反
例和推理示例，可激发他们反思，逐步建立严谨思维意识，为后续学习平行线判定与性质的严格证明
等内容奠定基础。
创设情景，引入新课问题情境：
1.章节导读
2.观察与思考
俗话说眼见为实，是真的吗？你怎么验证？
①韦德螺旋：这真是一个螺旋吗？
英国视觉科学家、艺术家尼古拉斯·韦德向我们展示了他的弗雷泽螺旋幻觉的变体形式.虽然图形看起
来像螺旋，但实际上它是一系列同心圆.
②
图中的横线是平行的吗？ 四边形是正方形吗？
③
线段a与线段b哪个比较长？
教师提问：想一想：仅靠观察得到的结论一定正确吗？
学生思考并讨论：观察所得到的结论不一定正确。
④一个掷币游戏中，连续掷9次均正面朝上，那么掷第10次仍是正面朝上。
教师提问：下一个猜测结论会是这样吗？学生思考并讨论：猜测所得到的结论不一定正确。
⑤ 如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙
能有多大？（地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：
c1 c 1
0.16(m)
2 2 2
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头。
【设计意图】通过展示生活中常见的视觉错觉或直觉误差实例，创设课堂情境，激发学生的好奇心与
探究欲，帮助他们认识到“仅凭观察与直觉可能得出错误结论”，从而引出本节课“为什么要证明”
的话题，明确学习方向：证明在数学中的必要性。
探究点1：证明的必要性
1.尝试思考
（1）代数式n2-n+11的值是质数吗？取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论：对于所有的自然数
n，n2-n+11的值都是质数？与同伴进行交流.
解：
n 0 1 2 3 4 5 ...
n2 -n+11 11 11 13 17 23 41 ...
当n=11时,n2-n+11的值为121=112，所以，对于所有自然数n,n2-n+11的值未必都是质数。
（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB,AC的中点，连接DE. DE与BC有怎样的位置关系和数
量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.
解：位置关系：
数量关系：
思考：你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？2.思考交流
通过观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你
的经验与困惑，并与同伴进行交流。
3.知识归纳
(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；
(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；
(3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；
(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质。
【设计意图】通过具体实例，让学生亲身感受“仅仅从少量测量或观察中得到的结论，可能不适用于
所有情形”，从而初步认识到“推理和证明”的必要性。
探究点2：检验数学结论常用的方法
1.想一想
【类型一】 实验验证
线段a与线段b比较谁更长？
解：视觉上看，我们感觉线段a比线段b长一点，但用直尺来测量两条线段的长度，我们发现线段a
与线段b一样长.
【类型二】 举出反例
费 马：当 n = 0，1，2，3，4 时，22n +1= 3，5，17，257，65537。都是质数.
对于所有自然数 n，22n +1的值都是质数
欧 拉：当 n = 5 时，22n +1= 4 294 967 297 = 641×6 700 417.
举反例是说明数学结论错误的有效方法.
【类型三】 推理验证
回顾勾股定理的验证过程．
提示：利用图形：
2.知识归纳①检验数学结论常用的方法：
主要有：实验验证、举出反例、推理证明
实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；
举出反例法多用于验证某结论是不是正确的；
推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．
②检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．
【设计意图】通过“实验验证”“举反例”“推理验证”三种方法的介绍，让学生明白：尽管观察和
测量能给出直观依据，但要想对结论进行严格的论证，需要通过规范的推理与证明，从而感受数学的
严谨与科学性。
1.下列说法正确的是（ ）
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C．对于自然数n，n²+n+37一定是质数
D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
解：D．
2.下列问题用到推理的是（ ）
A.根据a=10，b=10，得到a=b
B.观察得到三角形有三个角
C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘
D.由经验可知过两点有且只有一条直线
解：A．
3.甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，一个人不小心打碎了玻璃窗.老师问他们时，他们这样说.
甲说：“玻璃是丙或丁打碎的.”乙说：“肯定是丁打碎的.”丙说：“我没有打碎玻璃.”丁说：“我没有
干这种事.”他们的老师听了之后说“他们中有三位都不会说谎.”由此我们知道，打碎玻璃的同学是（
）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
解：D.
4.小刚和小明在手工制作课上，用同种小铁丝制作的楼梯模型如图所示，那么他们用的材料长度（
）A.小明用的多
B.小刚用的多
C.一样多
D.无法判断
解：C．
5. 警方抓获一个由甲、乙、丙、丁四人组成的盗窃团伙，其中只有一个人是主谋.经过审讯，A，B，C
三名警察各自得出结论.A：主谋是甲或乙；B：甲不是主谋；C：乙和丙都不是主谋.已知三名警察中只
有一个人的推测正确，则主谋是_____.
【点拨】在进行推理时，可以先假设，然后看有没有矛盾：若没有矛盾，则假设就是正确的；若有矛
盾，则假设就是错误的.即先假设某种情形成立，再通过逻辑逐步推理，得出特殊事实应遵循的规律，
进而观察是否与事实相符或相矛盾，从而作出判断.
解：丙。
6.当n为正整数时，n²+3n+1的值一定是质数吗？
解：当n=1，2，3，4，5时， n²
+3n+1的值分别是5，11，19，29，41，全是质数．
而当n=6时， n²+3n+1=55=5×11，是一个合数.
所以当n为正整数时，n2+3n+1的值不一定是质数．
7.课本181页 随堂练习
8.课外阅读
九章算术
【设计意图】通过“随堂练习”的练习题，让学生将“观察、猜测、推理、验证”的思维过程落到实
处，从中进一步感悟“证明”的必要性。主板书 副板书
第七章 证明 （7.1 为什么要证明） 例题
探究点1 证明的必要性
探究点 2 检验数学结论常用的方法 学生练习板演
课堂小结
1. 必做题：教科书习题7.1第2，3题。。
2. 探究性作业：归纳是数学发现的重要方法，但仅仅由几种特殊情况归纳出来的结论并不可靠，了解
数学史上有关这一方面的事例。和自己的同伴交流。
