文档内容
7.1 为什么要证明
1.通过对观察、归纳所得结论的质疑，理解证明的必要性。
2.经历多个实例分析与验证，区分“猜想”与“证明”，并尝试用逻辑推理验证结论。
教学重点：认识“证明”的不可或缺性。
教学难点：从具体案例中抽象出推理方法，克服对直觉与经验的过度依赖。
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P180-P181页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
问题情境：
1.章节导读
2.观察与思考
俗话说眼见为实，是真的吗？你怎么验证？
（1）韦德螺旋：这真是一个螺旋吗？
英国视觉科学家、艺术家尼古拉斯·韦德向我们展示了他的弗雷泽螺旋幻觉的变体形式.虽然图形看起来像
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司螺旋，但实际上它是一系列同心圆.
（2）
图中的横线是平行的吗？ 四边形是正方形吗？
（3）
线段a与线段b哪个比较长？
思考：想一想：仅靠观察得到的结论一定正确吗？
观察所得到的结论不一定正确。
（4）一个掷币游戏中，连续掷9次均正面朝上，那么掷第10次仍是正面朝上。
思考：下一个猜测结论会是这样吗？
猜测所得到的结论不一定正确。
（5） 如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙
能有多大？（地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
【解答】解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：
c1 c 1
0.16(m)
2 2 2
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头。
●探究一：证明的必要性
◆1.尝试思考
（1）代数式n2-n+11的值是质数吗？取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论：对于所有的自然数n，
n2-n+11的值都是质数？与同伴进行交流.
【解答】解：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司n 0 1 2 3 4 5 ...
n2 -n+11 11 11 13 17 23 41 ...
当n=11时，n2-n+11的值为121=112，所以，对于所有自然数n,n2-n+11的值未必都是质数。
（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB,AC的中点，连接DE. DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？
请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.
【解答】：位置关系：
数量关系：
思考：你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？
◆2.思考交流
通过观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经
验与困惑，并与同伴进行交流。
◆3.知识归纳
(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；
(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；
(3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；
(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质。
●探究二：检验数学结论常用的方法
◆1.想一想
【类型一】 实验验证
线段a与线段b比较谁更长？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解：视觉上看，我们感觉线段 a 比线段 b 长一点，但用直尺来测量两条线段的长度，我们发现线段 a 与线
段 b 一样长 .
【类型二】 举出反例
费 马：当 n = 0，1，2，3，4 时，22n+1= 3，5，17，257，65537。都是质数.
对于所有自然数 n，22n+1的值都是质数
欧 拉：当 n = 5 时，22n+1= 4 294 967 297 = 641×6 700 417.
举反例是说明数学结论错误的有效方法.
【类型三】 推理验证
回顾勾股定理的验证过程．
提示：利用图形：
◆2.知识归纳
（1）检验数学结论常用的方法：
主要有：实验验证、举出反例、推理证明
实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；
举出反例法多用于验证某结论是不是正确的；
推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．
（2）检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨为什么要证明，以及检验数学结论常用的方法；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1.下列说法正确的是（ ）
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C．对于自然数n，n²+n+37一定是质数
D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
解：D．
2.下列问题用到推理的是（ ）
A.根据a=10，b=10，得到a=b
B.观察得到三角形有三个角
C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘
D.由经验可知过两点有且只有一条直线
解：A．
3.甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，一个人不小心打碎了玻璃窗.老师问他们时，他们这样说.甲说：
“玻璃是丙或丁打碎的.”乙说：“肯定是丁打碎的.”丙说：“我没有打碎玻璃.”丁说：“我没有干这种事.”他
们的老师听了之后说“他们中有三位都不会说谎.”由此我们知道，打碎玻璃的同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
解：D.
4.小刚和小明在手工制作课上，用同种小铁丝制作的楼梯模型如图所示，那么他们用的材料长度（ ）
A.小明用的多
B.小刚用的多
C.一样多
D.无法判断
解：C．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5. 警方抓获一个由甲、乙、丙、丁四人组成的盗窃团伙，其中只有一个人是主谋.经过审讯，A，B，C三名
警察各自得出结论.A：主谋是甲或乙；B：甲不是主谋；C：乙和丙都不是主谋.已知三名警察中只有一个人
的推测正确，则主谋是_____.
【点拨】在进行推理时，可以先假设，然后看有没有矛盾：若没有矛盾，则假设就是正确的；若有矛盾，
则假设就是错误的.即先假设某种情形成立，再通过逻辑逐步推理，得出特殊事实应遵循的规律，进而观察
是否与事实相符或相矛盾，从而作出判断.
解：丙。
6.当n为正整数时，n²+3n+1的值一定是质数吗？
解：当n=1，2，3，4，5时， n²+3n+1的值分别是5，11，19，29，41，全是质数．
而当n=6时， n²+3n+1=55=5×11，是一个合数.
所以当n为正整数时，n2+3n+1的值不一定是质数．
7.课本181页 随堂练习
8.课外阅读
九章算术
题型一：观察与实验
1．通过观察，你能肯定的是( )
A．图形中线段是否相等 B．图形中线段是否平行
C．图形中线段是否相交 D．图形中线段是否垂直
【答案】C
【解析】【解答】解：图形中的线段是否相等、平行、垂直往往目测不准，但是能判断线段是否相交，
故选 C.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】平面内两直线的位置关系有：平行或相交.线段是否相等、平行、垂直往往目测不准，但是能
判断线段是否相交.
2．下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是（ ）
A．只需观察就可以得出 B．只需依靠经验获得
C．通过亲自实验得出 D．必须进行有根据的推理
【答案】D
【解析】【解答】解：经验，观察或实验只能为数学活动提供思路，要想得到正确结论，每一步都要
有严密的逻辑推理过程，
故选：D.
【分析】先分析每个选项的正确性，再根据数学结论判断的严谨性确定正确选项.
3．能说明“n2＋3n＋1一定是质数”不正确的反例是（ ）
A．n＝4 B．n＝5 C．n＝6 D．n＝7
【答案】C
【解析】【解答】解：A.n=4，n2+3n+1=16+12+1=29，故本选项错误；
B.n=5，n2+3n+1=25+15+1=41，故本选项错误；
C.n=6，n2+3n+1=36+18+1=55，故本选项正确；
D.n=7，n2+3n+1=49+21+1=71，故本选项错误；
故答案为：C.
【分析】将各选项中的n值代入表达式n2+3n+1，计算结果并判断是否为质数，若结果不是质数则为
反例.
4．小明花整数元网购了一本课外书，让同学们猜书的价格.甲说：“至少15元.”乙说：“至多13元.”丙
说：“至多10元”.小明说：“你们都猜错了.”这本书的价格为( )
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元；
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，
所以这本书的价格是14元.
故选：C.
【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本题.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．某公园计划砌一个形状如图1所示的喷水池，后来有人建议改为图2的形状，且外圆直径相同，喷
水池边缘的高度、宽度相同，你认为砌喷水池的边缘（ ）
A．图1需要的材料多 B．图2需要的材料多
C．图1、图2需要的材料一样多 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：设大圆的直径是D，根据圆周长公式，得图(1)中，需要2πD；
图(2)中，中间的三个小圆的直径之和是D，所以需要2πD.
故答案为：C.
【分析】计算两个不同形状喷水池边缘的周长，通过比较周长来判断所需材料的多少，周长计算公式
为：周长=π×直径.
题型二：归纳与类比
6．如图，点P是直线l外一点，过点P 画直线PA，PB，PC，分别交已知直线l于点A，B，C，请你
用量角器量∠1，∠2，∠3 的度数，并量线段 PA，PB，PC 的长度，你发现的规律是
°
【答案】在三角形中，随着角度数的增大，角所对着的线段的长度减小.
【解析】【解答】解：根据测量得，∠2>∠1>∠3，PC>PA>PB，
故在三角形中，随着角度数的增大，角所对着的线段的长度减小.
故答案为：在三角形中，随着角度数的增大，角所对着的线段的长度减小..
【分析】在三角形中，大角对大边.
7.．费马在1640年提出猜想：22n+1是素数，92年后的1732年瑞士数学家欧拉发现：当n＝5时，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司225+1是一个合数，即能分解成除1和本身外的其它因数的积，从而说明费马的这个猜想不成立．合
数225+1中有一个因数是641，另一个因数是在641中的41左右插入0与数a，形式为6a0041a， 则另
一个因数是 .
【答案】6 700 417
【解析】【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，…，
∴225的个位数字是6，
∴225+1个位数字是7，
∵合数225+1中有一个因数是641，
∴另一个因数个位数字是7，
∴另一个因数是6 700 417．
故答案为：6 700 417．
【分析】根据规律得出225的个位数字是6，则225+1个位数字是7，从而得出答案.
8．连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成2个大小相同的长方形，选右边的长方形进
行第二次操作，又可将这个长方形分成2个更小的正方形…重复这样的操作，经过仔细地观察与思考，
1 (1) 2 (1) 3 (1) n−1 (1) n
猜想 + + +…+ + 的值等于( )
2 2 2 2 2
(1) n (1) n−1 (1) n
A．1 B． C．1− D．1−
2 2 2
【答案】D
1 1
【解析】【解答】解：根据题意可得， =1− ；
2 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1 (1) 2 (1) 2
+ =1−
2 2 2
1 (1) 2 (1) 3 (1) 3
+ + =1−
2 2 2 2
…
1 (1) 2 (1) 3 (1) n−1 (1) n (1) n
+ + +…+ + =1−
2 2 2 2 2 2
故选：D．
1 (1) 2 (1) 2 1 (1) 2 (1) 3 (1) 3
【分析】由图中可知： + =1− ； + + =1− …故左侧式子的和等于1减去最
2 2 2 2 2 2 2
后一个加数，据此求解.
9．（2024八上·北京市期中）若一个整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“丰
利数”．例如，2是“丰利数”，因为2=12+12．
（1）请你判断20 “丰利数”．（填“是”或“不是”）
（2）最小的三位数“丰利数”是 ．
【答案】是；100
【解析】【解答】解：（1）∵20=4+16=22+42
∴20是“丰利数”．
故答案为：是．
（2）解：∵62=36,82=64，62+82=100
∴最小的三位数“丰利数”是100
故答案为：100．
【分析】（1）根据新定义得出20=4+16=22+42，进行判断；
（2）根据新定义得出62+82=100最小的三位数“丰利数”是100．
10．（2024八上·北京市期中）如图①是某年某月的月历，用如图②所示的“凹”字型框在月历中任意圈
出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为a ，a ，a，a ，a ．
1 2 3 4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）用含a的代数式表示：a = ；
4
（2）a a −a a = ．
1 3 2 4
【答案】a−6；−14
【解析】【解答】（1）解：由题意知，a =a+1−7=a−6，
4
故答案为：a−6；
（2）解：由题意知，a =a−1−7=a−8，a =a−1，a =a+1，
1 2 3
∴a a −a a =(a−8)(a+1)−(a−1)(a−6)=a2−7a−8−(a2−7a+6)=−14，
1 3 2 4
故答案为：−14．
【分析】（1）根据日历中数的排列规律：同1列相邻两个数相差7，同1行相邻两个数相差1，由题
意知，a =a+1−7=a-6；
4
（2）解：由题意知，a =a−1−7=a−8，a=a-1，a=a+1，代入
1 2 3
a a −a a =(a−8)(a+1)−(a−1)(a−6)=﹣14．
1 3 2 4
题型三：猜想与证明
11．下列说法正确的是( )
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是数学家的事，与我们学生没有多大关系
C．对于自然数n，代数式n2＋n＋3的值一定是质数
D．有10个人订了9个房间，则至少有一个房间的人数不少于2
【答案】D
【解析】【解答】解：判断一个数学结论的正确与否还要进行推理论证，A不符合题意；
推理对于每个人都很重要，B不符合题意；
当n=2时，n2+n+3=9，9不是质数，C不符合题意；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司有10个人订了9个房间，则至少有一个房间的人数不少于2，D符合题意；
故选：D.
【分析】根据推理的意义、质数的概念、抽屉原则对各个选项进行分析判断.
12．小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
关于这个证明，下面说法正确的是( )
A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
【答案】D
【解析】【解答】解：小强通过测量得∠AOC＝23°，∠BOC＝23°，得出∠AOC＝∠BOC，这种测量
的方法证明结论，具有偶然性，缺少推理的依据，不严谨，
所以小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
故选：D．
【分析】根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的推理过程即可求解.
13．在上完数学课后，王磊发现操场上的旗杆与旁边一棵大树的影子好像平行，但他不敢肯定，此时
他最好的办法是( )
A．找来三角板、直尺，通过平移三角板来验证影子是否平行
B．作一直线截两影子，并用量角器测出同位角的度数，若相等则影子平行
C．构造几何模型，用已学过的知识证明
D．相信自己，两个影子就是平行的
【答案】B
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】【解答】解：A项，平移三角板，实际不容易操作，比较麻烦，并且不很准确，故本选项不
符合题意；
B项，根据同位角相等，两直线平行得出方法正确，并且操作简便，故本选项符合题意；
C项，没有具体的操作方法，故本选项不符合题意；
D项，没有理论依据，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据平行线的判定方法，结合各选项进行判定即可.
14．旋转是一种图形变换，在图形的旋转过程中会产生数量和位置关系的变与不变．如图，∠AOB＝
90°，将∠AOB绕点O旋转，∠AOB的边OA始终在直线CD的上方，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，甲、
乙、丙三位同学给出了如下猜想：甲：α与β一定互余；乙：α与β有可能互补；丙：若α增大，则β
一定减小．你认为猜想正确的是( )
A．甲 B．乙 C．甲、丙 D．乙、丙
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，当OB在直线CD的上方时，
∵∠AOB＝90°，
∴α+β+∠AOB＝180°，即α+β＝90°，
∴此时α与β互余，α增大，β减小，
如图，当OB在直线CD的下方时且∠BOD＝β＝45°时，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝β＝45°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴α+β＝180°，即α与β有可能互补，故甲错误，乙正确.
如图，当OB在直线CD的下方时，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣β，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴α﹣β＝90°，即β＝α﹣90°，此时α增大，β增大，故丙错误．
故选：B．
【分析】分OB在直线CD的上方、OB在直线CD的下方时且∠BOD=∠β=45°和OB在直线CD的下
方三种情况，分别画图解答即可.
15．先观察再验证：
⑴图1中的实线是 (填“直的”或“弯的”)；
⑵图2中两条线段a，b (填“一样”或“不一样”)长；
⑶图3中的直线AB与CD (填“平行”或“不平行”).
【答案】直的；一样；平行
【解析】【解答】（1）图1中的实线是直的，
故答案为：直的.
（2）图2中两条线段a，b一样长，
故答案为：一样.
（3）图3中的直线AB与CD平行，
故答案为：平行.
【分析】（1）在图①中一条黑色的边取两点EF，并延长，通过观察可得出黑色边是直的结论；
（2）测量给定线段长度，得出线段a与b一样长的结论；
（3）判断图③中直线AB与CD是否平行人任在AB上取两点，利用三角板过这两点作CD的垂线，
量出两条垂线长度，根据平行线间距离处处相等，得出AB平行CD的结论.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司▲1．为什么要证明？
(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；
(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；
(3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；
(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质。
▲2．检验数学结论常用的方法：
主要有：实验验证、举出反例、推理证明
实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；
举出反例法多用于验证某结论是不是正确的；
推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
