文档内容
7.1 为什么要证明
1.通过对观察、归纳所得结论的质疑，理解证明的必要性。
2.经历多个实例分析与验证，区分“猜想”与“证明”，并尝试用逻辑推理验证结论。
教学重点：认识“证明”的不可或缺性。
教学难点：从具体案例中抽象出推理方法，克服对直觉与经验的过度依赖。
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P180-P181页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
问题情境：
1.章节导读
2.观察与思考
俗话说眼见为实，是真的吗？你怎么验证？
（1）韦德螺旋：这真是一个螺旋吗？
英国视觉科学家、艺术家尼古拉斯·韦德向我们展示了他的弗雷泽螺旋幻觉的变体形式.虽然图形看起来像
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司螺旋，但实际上它是一系列同心圆.
（2）
图中的横线是平行的吗？ 四边形是正方形吗？
（3）
线段a与线段b哪个比较长？
思考：想一想：仅靠观察得到的结论一定正确吗？
（4）一个掷币游戏中，连续掷9次均正面朝上，那么掷第10次仍是正面朝上。
思考：下一个猜测结论会是这样吗？
（5） 如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙
能有多大？（地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
●探究一：证明的必要性
◆1.尝试思考
（1）代数式n2-n+11的值是质数吗？取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论：对于所有的自然数n，
n2-n+11的值都是质数？与同伴进行交流.
【解答】解：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司n 0 1 2 3 4 5 ...
n2 -n+11 ...
当n=11时，n2-n+11的值为 = ²，所以，对于所有自然数 n,n2-n+11的值未必都是
。
（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB,AC的中点，连接DE. DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？
请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.
【解答】：位置关系：
数量关系：
思考：你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？
◆2.思考交流
通过观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经
验与困惑，并与同伴进行交流。
◆3.知识归纳
(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；
(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；
(3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；
(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质。
●探究二：检验数学结论常用的方法
◆1.想一想
【类型一】 实验验证
线段a与线段b比较谁更长？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【类型二】 举出反例
费 马：当 n = 0，1，2，3，4 时，22n+1= 3，5，17，257，65537。都是质数.
对于所有自然数 n，22n+1的值都是质数
欧 拉：当 n = 5 时，22n+1= 4 294 967 297 = 641×6 700 417.
举反例是说明数学结论错误的有效方法.
【类型三】 推理验证
回顾勾股定理的验证过程．
提示：利用图形：
◆2.知识归纳
（1）检验数学结论常用的方法：
主要有： 、举出反例、推理证明
实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；
举出反例法多用于验证某结论是不是正确的；
推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．
（2）检验数学结论的具体过程：观察、 、实验→ →结论→推理正确结论．
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨为什么要证明，以及检验数学结论常用的方法；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1.下列说法正确的是（ ）
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C．对于自然数n，n²+n+37一定是质数
D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
2.下列问题用到推理的是（ ）
A.根据a=10，b=10，得到a=b
B.观察得到三角形有三个角
C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘
D.由经验可知过两点有且只有一条直线
3.甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，一个人不小心打碎了玻璃窗.老师问他们时，他们这样说.甲说：
“玻璃是丙或丁打碎的.”乙说：“肯定是丁打碎的.”丙说：“我没有打碎玻璃.”丁说：“我没有干这种事.”他
们的老师听了之后说“他们中有三位都不会说谎.”由此我们知道，打碎玻璃的同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4.小刚和小明在手工制作课上，用同种小铁丝制作的楼梯模型如图所示，那么他们用的材料长度（ ）
A.小明用的多
B.小刚用的多
C.一样多
D.无法判断
5. 警方抓获一个由甲、乙、丙、丁四人组成的盗窃团伙，其中只有一个人是主谋.经过审讯，A，B，C三名
警察各自得出结论.A：主谋是甲或乙；B：甲不是主谋；C：乙和丙都不是主谋.已知三名警察中只有一个人
的推测正确，则主谋是_____.
6.当n为正整数时，n²+3n+1的值一定是质数吗？
7.课本181页 随堂练习
8.课外阅读
九章算术
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型一：观察与实验
1．通过观察，你能肯定的是( )
A．图形中线段是否相等 B．图形中线段是否平行
C．图形中线段是否相交 D．图形中线段是否垂直
2．下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述中，正确的是（ ）
A．只需观察就可以得出 B．只需依靠经验获得
C．通过亲自实验得出 D．必须进行有根据的推理
3．能说明“n2＋3n＋1一定是质数”不正确的反例是（ ）
A．n＝4 B．n＝5 C．n＝6 D．n＝7
4．小明花整数元网购了一本课外书，让同学们猜书的价格.甲说：“至少15元.”乙说：“至多13元.”丙
说：“至多10元”.小明说：“你们都猜错了.”这本书的价格为( )
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
5．某公园计划砌一个形状如图1所示的喷水池，后来有人建议改为图2的形状，且外圆直径相同，喷
水池边缘的高度、宽度相同，你认为砌喷水池的边缘（ ）
A．图1需要的材料多 B．图2需要的材料多
C．图1、图2需要的材料一样多 D．无法确定
题型二：归纳与类比
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司6．如图，点P是直线l外一点，过点P 画直线PA，PB，PC，分别交已知直线l于点A，B，C，请你
用量角器量∠1，∠2，∠3 的度数，并量线段 PA，PB，PC 的长度，你发现的规律是
°
7.．费马在1640年提出猜想：22n+1是素数，92年后的1732年瑞士数学家欧拉发现：当n＝5时，
225+1是一个合数，即能分解成除1和本身外的其它因数的积，从而说明费马的这个猜想不成立．合
数225+1中有一个因数是641，另一个因数是在641中的41左右插入0与数a，形式为6a0041a， 则另
一个因数是 .
8．连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成2个大小相同的长方形，选右边的长方形进
行第二次操作，又可将这个长方形分成2个更小的正方形…重复这样的操作，经过仔细地观察与思考，
1 (1) 2 (1) 3 (1) n−1 (1) n
猜想 + + +…+ + 的值等于( )
2 2 2 2 2
(1) n (1) n−1 (1) n
A．1 B． C．1− D．1−
2 2 2
9．（2024八上·北京市期中）若一个整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“丰
利数”．例如，2是“丰利数”，因为2=12+12．
（1）请你判断20 “丰利数”．（填“是”或“不是”）
（2）最小的三位数“丰利数”是 ．
10．（2024八上·北京市期中）如图①是某年某月的月历，用如图②所示的“凹”字型框在月历中任意圈
出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为a ，a ，a，a ，a ．
1 2 3 4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）用含a的代数式表示：a = ；
4
（2）a a −a a = ．
1 3 2 4
题型三：猜想与证明
11．下列说法正确的是( )
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是数学家的事，与我们学生没有多大关系
C．对于自然数n，代数式n2＋n＋3的值一定是质数
D．有10个人订了9个房间，则至少有一个房间的人数不少于2
12．小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
关于这个证明，下面说法正确的是( )
A．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
13．在上完数学课后，王磊发现操场上的旗杆与旁边一棵大树的影子好像平行，但他不敢肯定，此时
他最好的办法是( )
A．找来三角板、直尺，通过平移三角板来验证影子是否平行
B．作一直线截两影子，并用量角器测出同位角的度数，若相等则影子平行
C．构造几何模型，用已学过的知识证明
D．相信自己，两个影子就是平行的
14．旋转是一种图形变换，在图形的旋转过程中会产生数量和位置关系的变与不变．如图，∠AOB＝
90°，将∠AOB绕点O旋转，∠AOB的边OA始终在直线CD的上方，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，甲、
乙、丙三位同学给出了如下猜想：甲：α与β一定互余；乙：α与β有可能互补；丙：若α增大，则β
一定减小．你认为猜想正确的是( )
A．甲 B．乙 C．甲、丙 D．乙、丙
15．先观察再验证：
⑴图1中的实线是 (填“直的”或“弯的”)；
⑵图2中两条线段a，b (填“一样”或“不一样”)长；
⑶图3中的直线AB与CD (填“平行”或“不平行”).
▲1．为什么要证明？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；
(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；
(3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；
(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质。
▲2．检验数学结论常用的方法：
主要有： 、举出反例、推理证明
实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；
举出反例法多用于验证某结论是不是正确的；
推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
