文档内容
1.1.2 探索勾股定理 教学设计（第 2 课时 定理证明与深化应用）
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第一章“勾股定
理”1.1 探索勾股定理（第2课时），内容包括：通过“分割”、“补形”、“拼图”等方法与面积法结
合证明勾股定理，并运用定理解决与三角形相关问题．
2.数学思想方法
·数形结合：将几何图形（正方形面积）与代数运算（平方和）紧密联系起来。
·几何转化：
·分类讨论：从等腰直角三角形入手，再推广到一般直角三角形。
根据以上分析，确定本节课的教学重点：理解勾股定理的不同证明方法，能利用勾股定理解决实际问题。
1.教学目标
（1）经历勾股定理的证明过程，了解面积法证明勾股定理的不同拼图方法；掌握勾股定理，熟练运用勾
股定理计算直角三角形的边长，并能解决一部分实际问题；
（2）通过计算面积、“割、补、拼图”等活动，将几何图形（正方形面积）与代数运算（平方和）紧密
联系起来，强化数形结合、转化等的数学思想方法，发展演绎推理能力．
（3）经历“提出问题→分析问题→数学建模→解决问题→总结反思”的勾股定理解决实际问题的例题探
究学习过程，提高分析和解决问题的能力，形成勾股定理解直角三角形的数学应用意识，初步形成勾股定
理解直角三角形的数学模型观念．
2.目标解析
（1）一部分学生能积极参与割、补、拼图等活动，并能用字母表示出相关图形的面积，利用代数运算证
明勾股定理；大部分学生能独立解决含直角三角形的多步计算问题.
（2）“发展演绎推理能力”体现在学生能有效观察图形特征，选择转化图形的方法（分割、补全、拼
图），通过不同的面积表达，证明a2+b2=c2；在这一探索过程中强化数形结合、转化的思想方法.
（3）学生在经历例题学习后，会在简单的情景中，抽象出直角三角形，并应用勾股定理解决问题，形成
勾股定理的应用意识.·知识与能力基础：学生在学习本节课之前，八年级学生已熟练掌握完全平方公式，具备一定的计算能力和
代数式表示能力；在之前的学习中（如整式运算、图形面积）接触过数形结合思想，这为勾股定理的学习
奠定了基础。
·认知特点：抽象逻辑思维正在发展，通过上一节课的学习，在勾股定理的探索上有一定的数形结合思想分
析问题的经验。
·潜在困难与教学策略
结合学生的认知特点分析分析在教学过程中学生会遇到以下困难：①验证环节中利用面积割补法（特
别是“补”法或“总统证法”）理解拼图原理及面积相等关系的建立是难点；②在具体情景中抽象出直角
三角形，并应用勾股定理解决问题。
根据以上分析确定下面的教学策略：①采用“特殊到一般思想（用字母表示边长和面积）→面积法证
明勾股定理→勾股定理的不同证明方法→应用深化”的模式进行勾股定理的证明教学模式；②通过小组合
作拼图（面积割补法）对猜想进行逻辑证明，突破验证难点；③例题分析→例题讲解→变式应用→阶梯式
练习”的勾股定理的应用的教学模式；④结合数学史激发兴趣。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：利用面积法（割补法/拼图法）证明勾股定理.
1.直接引入
上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，那么如何验证勾股定理呢？你有方法验证它吗？据不完全统计，
验证的方法有400多种，今天我们就继续探究勾股定理的证明。
2.温故知新
在学习勾股定理之前，先回顾一下相关知识：
(1)勾股定理： 直角三角形 两直角边的平方和 等于 斜边的平方 。如图，Rt△ABC中，∠C=90°，则 a 2 + b 2 = c 2 .
(2)完全平方公式： ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 ； ( a - b ) 2 = a 2 -2 ab + b 2（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节课勾股定理的证明做铺垫）
（教学建议：学生回答．回顾勾股定理和完全平方公式，有利于学生更好的进行勾股定理的证明）
3.学习目标
（1）经历面积法证明勾股定理的不同方法的学习过程，体会数形结合的思想方法，提高推理能力；
（2）熟练运用勾股定理解直角三角形，会利用勾股定理解决实际问题，形成勾股定理的应用意识。
（教学建议与意图：教师和学生一起进行目标解读，让学生明确本节课的学习任务）
探究点（一） 探索勾股定理——验证（证明）勾股定理
问题1.设直角三角形的三边长为a、b、c，分别以三条边的长度为边长向外作正方形，联系上节课的学习
内容，你能对其中的大正方形进行分割或补形么？怎么做的？
答：
方法一：补形法
问题2.你有多少方法，用a、b、c表示出大正方形ABCD的面积？（教师提示：先将所有三角形和正方形
的面积用a、b、c的关系式表示出来）
答：
大正方形ABCD的面积表示：①4× ab+c2，②(a+b)2，
问题3.如何用上面的两个式子验证勾股定理？答 ： 正 方 形 C 的 面 积 表 示 ： ① S =c2， ② S =S - S =(a+b)2-
正方形 C 正方形 C 大正方形 4 个三角形
ab×4=a2+b2+2ab-2ab=a2+b2.
所以a2+b2=c2.（勾股定理得证）
方法二：分割法
问题4.根据上面的验证过程，你能在图1-6中验证勾股定理么？
答：
小正方形ABCD的面积表示：①(b-a)2，②c2-4× ab；
正方形C的面积表示：S =S + S =(a+b)2- ab×4=a2+b2+2ab-2ab=a2+b2.
正方形C 小正方形 4个三角形
所以a2+b2=c2.（勾股定理得证）
（设计意图：用问题的方式引导学生有效观察图形特征，结合上节课的内容自主选择合适的转化图形的方
法（分割、补全），通过不同的面积表达，证明a2+b2=c2，以此发展演绎推理能力）
（教学建议：方法一由教师引导完成，师生共同证明，方法二让学生自主尝试证明）
问题5.你还有其它方法来证明勾股定理么？
方法三：拼图法（毕达哥拉斯证法）
问题6.如图，正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和一个正方形拼成，你能用两种不同的方式表示出
正方形ABCD的面积么？
答：①S =(a+b)2，②S =4× ab+c2；
正方形ABCD 正方形ABCD根据面积相等列式：(a+b)2 =4× ab+c2；
根据完全平方公式变形：a2+2ab+b2 =2ab+c2；
最后可得：a2+b2=c2.（勾股定理得证）
*方法四：拼图法2 出入相补法（青朱出入图）
探究点（二） 三角形三边的平方的关系
问题1.钝角三角形和锐角三角形是否满足勾股定理？（提示：三边是否满足a2+b2=c2.）
答：不一定
问题2.用数格子的方法，判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.
师生归纳结论：
直角三角形 钝角三角形 锐角三角形
a2+b2
