文档内容
1.1 探索勾股定理
题型一 应用勾股定理解直角三角形
1．我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是
中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形， ， ，若跨度
尺，上弦 尺，则中柱 的长 尺．
2．如图，在 中， ，斜边 的垂直平分线l交 于点D，连接 ．若 ，
则 的周长为 ．3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在 中， ，点 在 的延长线上，过点
作 于点 ，交 于点 ， ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长．
题型二 应用勾股定理求（证明）线段的平方和
4．已知 中， ， ， 的对边分别为 、 、 ，若 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的
“垂美”四边形 ，对角线 相交于点O．若 ，则 的值为（ ）
A．20 B．16 C．18 D．25
题型三 勾股定理与图形面积转化
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为 ．7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S，S，
1 2
S，若S＝9π，则S+S 等于 ．
3 3 1 2
题型四 应用勾股定理构造直角三角形解决问题
8．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高 的树顶飞到一棵高
的树顶上，两棵树相距 ，则喜鹊至少要飞 ．
9．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽
度 为 ，支架脚 的长度为 ， ，保持此时 的形状不变，当 平分
时，点 到 的距离是（ ）
A． B． C． D．
10．某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高 的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图1所示，
人只要移至该门口 及 以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高 的学生走到D处，
门铃恰好自动响起，如图2所示．求此时该学生头顶C到门铃A的距离．11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，树根下有一个蛇洞，树高 ，树顶有一只鹰，它看见一条
蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路
线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇．
题型五 面积法验证勾股定理
12．（24-25八年级下·云南文山·期中）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦
图”，它解决的数学问题是（ ）
A．勾股定理 B．三角形内角和定理
C．三角形全等 D．中心对称图形
13．我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的
研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．C． D．
题型一 “勾股树图”与等面积法
1．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）如图， 中， ，分别以 的三条边为一
条边在 的外部作等腰直角三角形， 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，
下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，分别以等腰 的边 ， ， 为直径画半圆，若
，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．如图，以 的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为 、 ，
的面积 ，若 ， ，则 的值为 ．4．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上
生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如
图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的
图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2026 B．2025 C． D．
5．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形 的边长为 ，其面积标记为 ，以 为斜边作
等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，…，按此规律，
则 的值为 ．（结果用含 的式子表示）
6．（24-25八年级下·四川广元·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角
三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树
而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如
果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ．题型三 “赵爽弦图”与图形的面积转化
7．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而构造的精妙
图形，它最早用严谨的“数形结合”方法，直观揭示了直角三角形三边的数量关系，展现了中华民族的数
学智慧．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形 ，中间阴影部分是一个小正方形 ，
这样就组成一个“赵爽弦图”．若 ， ，则正方形 的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它是由4个全等的直角三角
形与1个小正方形拼接而成．如图，已知“赵爽弦图”中大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用
x，y表示直角三角形的两直角边（ ），下列三个结论：① ；② ；③ ．
其中正确结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的
直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别记
为 ， ， ．若 ，则 的长是（ ）A． B．4 C．5 D．
题型二 拼图法验证勾股定理
10．（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的
方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长
方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理 ．
下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程．
证明：如图，连接 ，由题意，得 ， ，
……11．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角
形拼成如图1所示图形，其中四边形 和四边形 都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角
形三边长 ， ， 之间的一个重要结论：
【深入思考】
如图2，在 中， ， ， ， ，以 为直角边在 的右侧作等腰直角
，其中 ， ，过点 作 ，垂足为点 ．
(1)求证： ， ．
(2)请你用两种不同的方法表示梯形 的面积，并证明：
12．（2025·河南安阳·二模）阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理．
第一步：在一张长方形的纸板上画两个边长分别为 ， 的正方形 和正方形 ，连接 ，
得到以 为对称轴的六边形 ，如图①；
第二步：将长方形纸板沿 折叠，沿四边形 的边剪下六边形 ，再沿 把剩余的纸板剪
开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②；
第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形；
第四步：比较图①，图③中的两个六边形 和六边形 ，由它们的面积相等可得结论．
解决问题：若设图①中六边形 的面积为 ，图③中六边形 的面积为 ，
．小强同学得出了以下四个结论：① ；② ；③ ；④ ．则其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
1．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦
图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形 ，连接 ，交
于点P．如图所示，若 ， ，则正方形 的面积为（ ）
A．28 B．25 C．30 D．24
2．【知识回顾】
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两
直角边长分别为 ， ，斜边长为 ．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了
勾股定理 ．请写出证明过程．
【类比迁移】
（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若 ， ，则空白部分的面积为
___________．
【能力提升】
（3）如图3，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 的长为 ，请求出
的值．3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有
著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的 和
按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c， ．
(1)请你利用图1证明勾股定理；
(2)如图2，在 中， ， ， ，且 ，当 是钝角三角形时，猜想 与
之间的关系，并说明理由；
(3)已知 的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足 ，求 的
斜边的长．
