文档内容
3 勾股定理的应用
应用勾股定理解决实际问题
1.两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞,一只朝北面挖,每分钟挖8 cm,另一只朝东面挖,每分钟挖
6 cm,10 min之后两只小鼹鼠相距 ( )
A.100 cm B.50 cm
C.140 cm D.80 cm
2.(2025抚顺一中期中)如图是一个滑梯示意图,四边形CEBD为长方形,若将滑道AC水平放置,则
刚好与AB一样长,已知滑梯的高度CE=3 m,CD=1 m,求滑道AC的长。
应用直角三角形的判定条件解决实际问题
3.李老师要做一个直角三角形教具,做好后量得三边长分别是20 cm,21 cm和29 cm,则这个教具
。(填“合格”或“不合格”)
4.如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、
乙轮船每小时分别航行12 n mile和16 n mile,1 h后两船分别位于点A,B处,且相距20 n mile。已
知甲船沿北偏西40°方向航行,则乙船沿 方向航行。
5.(五育文化)为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助学生更
好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八(1)
班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地。
(1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为 5 m,12 m,13 m时,小明很快就给出这块试验基地的面积。请你写出完整的求解过程;
(2)如图所示,八(2)班的劳动试验基地的三边长分别为AB=15 m,BC=14 m,AC=13 m,请帮助他们求
出该试验基地的面积。
1.(数学文化)《九章算术》中的“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高
几何。”意思是一根竹子,原高1丈(1丈=10尺),中间有一处折断,竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底
部3尺,则折断处离地面的高度是 ( )
A.3尺 B.4尺
C.3.2尺 D.4.55尺
2.(数学文化)在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地。送行
二步与人齐,五尺人高曾记。仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉。良工高士素好奇,算出索长有几。”
此问题可理解为:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地的距离AB为1尺。将它往前水平推送
10尺,即A'C=10尺,则此时秋千的踏板离地的距离A'D就和身高5尺的人一样高。若运动过程中
秋千的绳索始终拉得很直,则绳索OA的长为 尺。
3.国庆假期中,小华与同学去玩探宝游戏,按照探宝图,他们从门口A处出发先往东走8 km,又往北
走2 km,遇到障碍后又往西走3 km,再向北走到6 km处往东拐,仅走了1 km,就找到了宝藏,则门
口A处到藏宝点B的直线距离是 。
4.(五育文化)劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分。如图,△ABC区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地,小路AD将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分。现用皮
尺测量得到AB=13 m,AC=15 m,AD=12 m,BD=5 m。
(1)请判断小路AD是否与BC垂直,并说明理由;
(2)求劳动场地△ABC的面积。
5.(应用意识)台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候,
有极强的破坏力。如图,有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动,已知点C为一海港,且点C
与直线AB上的两点A,B的距离分别为AC=300 km,BC=400 km,又AB=500 km,以台风中心为圆心
周围250 km以内为受影响区域。
(1)求∠ACB的度数;
(2)海港C受台风影响吗?为什么?
(3)若台风移动的速度为20 km/h,当台风移动到点E处时,海港C刚好受到影响,当台风移动到点
F时,海港C刚好不受影响,即CE=CF=250 km,则台风影响该海港持续的时间有多长?【详解答案】
基础达标
1.A
2.解:设AC的长为x m,则AB=AC=x m。
因为EB=CD=1 m,
所以AE=(x-1)m。
在Rt△AEC中,∠AEC=90°,
由勾股定理,得AC2=CE2+AE2,
即x2=32+(x-1)2。
解得x=5。
答:滑道AC的长为5 m。
3.合格 4.北偏东50°
5.解:(1)因为52+122=25+144=169,132=169,
所以52+122=132。
所以这个三角形是直角三角形。
1
所以这块试验基地的面积为 ×5×12=30(m2)。
2
(2)如图,过点A作AD⊥BC于点D。
设BD=x m,则CD=(14-x)m,
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2,
所以AB2-BD2=AC2-CD2,
即152-x2=132-(14-x)2。
解得x=9。
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
因为AB=15 m,BD=9 m,
又152-92=144=122,
所以AD=12 m。1
所以该试验基地的面积为 ×14×12=
2
84(m2)。
能力提升
1.D 解析:设竹子折断处离地面x尺。根据勾股定理,得x2+32=(10-x)2,解得x=4.55,所以折断处离地面的高度是
4.55尺。故选D。
2.14.5 解析:设秋千绳索的长为x尺。由题意,知OC=x-(5-1)=(x-4)(尺),CA'=10尺,OA'=x尺,在Rt△OCA'中,
OC2+CA'2=OA'2,所以(x-4)2+102=x2。解得x=14.5。所以绳索OA的长为14.5尺。
3.10 km 解析:如图,过点B作BC⊥AC,垂足为C,延长ND交AC于点M。观察图形可知AC=AF-MF+MC=8-
3+1=6(km),BC=2+6=8(km),在Rt△ACB中,AB2=AC2+BC2=62+82=102,则AB=10 km。所以门口A处到藏宝点B的
直线距离是10 km。
4.解:(1)AD与BC垂直。
理由:因为AB=13 m,AD=12 m,BD=5 m,
所以AD2+BD2=AB2。
所以△ABD为直角三角形,且∠ADB=90°。
所以AD与BC垂直。
(2)因为AD⊥BC,
所以AD2+CD2=AC2。
所以CD2=AC2-AD2=152-122=92。
所以CD=9 m。
1 1
所以S = AD×BC= AD×(BD+CD)。
△ABC
2 2
因为BD+CD=5+9=14(m),
1
所以S = ×12×14=84(m2)。
△ABC
2
5.解:(1)因为AC=300 km,BC=400 km,AB=500 km,
所以AC2+BC2=AB2。
所以△ABC是直角三角形,∠ACB=90°。(2)海港C受台风影响。
理由:如图,过点C作CD⊥AB。
因为△ABC是直角三角形,
所以AC×BC=AB×CD。
所以300×400=500×CD。
所以CD=240 km。
因为以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域,
所以海港C受台风影响。
(3)因为CE=CF=250 km,所以△CEF为等腰三角形。
在Rt△CDE中,由勾股定理,得ED2=EC2-CD2=2502-2402,
所以ED=70 km。所以EF=140 km。
因为台风移动的速度为20 km/h,
所以140÷20=7(h)。
答:台风影响该海港持续的时间为7 h。
