文档内容
1.3 三角函数的计算
1．熟练掌握用科学计算器求三角函数值；(重点)
2．初步理解仰角和俯角的概念及应用．(难点)
一、情境导入
如图①和图②，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底
下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm(如箭
头所示)．那么木桩上升多少厘米？
观察图②易知，当楔子沿水平方向前进5cm，即BN＝5 cm时，木桩上升的距离为PN.
在Rt△ PBN中，∵tan10°＝，∴PN＝BNtan10°＝5tan10°(cm)．
那么，tan10°等于多少呢？
对于不是30°，45°，60°这些特殊角的三角函数值，可以利用科学计算器来求．
二、合作探究
探究点一：利用科学计算器解决含三角函数的计算问题
【类型一】 已知角度 ， 用计算器求三角函数值
用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1)sin47°； (2)sin12°30′；
(3)cos25°18′； (4)sin18°＋cos55°－tan59°.
解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入法取近似值．
解：根据题意用计算器求出：
(1)sin47°≈0.7314；
(2)sin12°30′≈0.2164；
(3)cos25°18′≈0.9041；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
方法总结：解决此类问题关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序．
【类型二】 已知三角函数值 ， 用计算器求锐角的度数
已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：
(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；
(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；
(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.
解析：熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入取近似值．解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°；
(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°；
(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.
方法总结：解决此类问题关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序．
【类型三】 利用计算器比较三角函数值的大小
(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30°________2sin15°cos15°；
②sin36°________2sin18°cos18°；
③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；
④sin60°________2sin30°cos30°；
⑤sin80°________2sin40°cos40°.
猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α________2sinαcosα；
(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验证(1)
中提出的猜想．
解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边的值，比较大小；(2)通过计算
△ABC 的面积来验证．
解：(1)①＝ ②＝ ③＝ ④＝ ⑤＝ 猜想：＝
(2)已知0°＜α＜45°，则sin2α＝2sinαcosα.
证明：S ＝AB·sin2α·AC，S ＝×2ABsinα·ACcosα，∴sin2α＝2sinαcosα.
△ABC △ABC
方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来
得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到．
探究点二：利用三角函数解决实际问题
【类型一】 非特殊角三角函数的实际应用
如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，
∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
解析：(1)过点C作CD⊥AB于D，根据AC＝10千米，∠CAB＝25°，求出CD、AD，
根据∠CBA＝45°，求出BD、BC，最后根据AB＝AD＋BD列式计算即可；(2)根据(1)可知
AC、BC的长度，即可得出公路改直后该段路程比原来缩短的路程．
解：(1)过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，∵AC＝10 千米，∠CAB＝25°，∴CD＝
sin∠ CAB·AC ＝ sin25°×10≈ 0.42×10 ＝ 4.2( 千 米 ) ， AD ＝ cos∠ CAB·AC ＝
cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)．∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，BC＝＝
≈5.9(千米)，∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)．所以，改直后的公路AB的长约为
13.3千米；(2)∵AC＝10千米，BC＝5.9千米，∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．所以，
公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米．
方法总结：解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出
有关线段的长．
【类型二】 仰角、俯角问题
如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂
直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时
测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外
活动小组算一算塔高DE大约是多少米(结果精确到个位)．
解析：根据锐角三角函数关系表示出BF的长，进而求出EF的长，得出答案．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.∵∠A＝45°，∴AF＝DF.设EF＝x，
∵tan25.6°＝≈0.5，∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，故tan61.4°＝＝＝1.8，解得x≈31.故
DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
所以，塔高DE大约是81米．
方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角
形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
三、板书设计
三角函数的计算
1．已知角度，用计算器求三角函数值
2．已知三角函数值，用计算器求锐角的度数
3．仰角、俯角的意义
本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多地参与
到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课
堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活
充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才
能真正提高课堂教学效率，提高成绩.
