文档内容
第一章 三角形的证明
1.3.2直角三角形全等的判断导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。
2、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一
步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。
3、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过“HL”定理的推导渗透
变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。
学习重点：
掌握“HL”定理的推导过程；运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题。
学习难点：
“HL”定理的获得与证明以及如何用几何语言有条理的，清晰的阐述自己的观点。
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预习自测
知识链接
1、判定三角形全等的方法有： 。
2、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，根据下列条件△ABC与△DEF全等吗？理由是什么？
（1） AB=DE，BC=EF （ ）
（2）∠ A=∠D，AC=DF ( ) A
（3）AB=DE ，AC=DF ( ）
F
E
B C
直角边 斜边
D
►
教学过程
探究1：直角三角形全等的特有判断定理“HL”
活动一：
1、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, AB=5cm。
2、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, CB=4cm。
把画好的三角形剪下来，同组之间比较一下，它们全等吗?
活动二
如图1-21，已知线段a和c（a＜c），求作：Rt△ABC，使∠C=90°，AC=a，AB=c.
1作法：
1、作射线CN,
2、过C点作射线CN的垂线CM.
3、在射线CM上截取CB=a
4、以B为圆心，以线段c的长度为半径作弧，交射线CN与点A.
5、连接AB，△ABC就是所要作的直角三角形。
把画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系？
猜想：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 。
探究2：验证猜想
已知：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC
≌Rt△A′B′C′.
证明：在Rt△ABC中，∠C=90°
AC =AB 一BC ( )．
在Rt△ A′B′C′中， ∠C′=90°
A′C′ =A′B′ —B′C′2 ( )．
∴AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′．
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′( )
小结：直角三角形全等的判定定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
【强调】在使用“HL”时,同学们应注意什么?
（1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
（2）注意对应相等.
书写格式:
∵在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中
AB =A′B′
BC =B′C′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL)
想一想
1、到现在为止，你能够用几种方法判断两个直角三角形全等？
2答： 。
2、一般三角形（非直角三角形）有几种判断三角形全等的方法？
答： 。
典例精析
例题1：如图1-23，有两个长度相等的梯子，左边梯子的高度AC与右边梯子的水平长度DF相等，
两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？
解：根据题意可知：∠EAB=∠EDF=90°.
在Rt△CAB和Rt△FDE中，
BC=EF,
AC=DF
∴ Rt△CAB和Rt△FDE ( ).
∴∠CBA=∠DEF.( ）
∵∠DEF+∠EFD=90°（ ）
∴∠CBA+∠EFD=90°，
例题2：已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．
证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠EAD=∠ABC=90°.
E
在Rt△EAD和Rt△ABC中，
ED=AC，
EA=AB，
∴ Rt△EAD≌Rt△ABC ( ). F C
∴∠AED=∠BAC.
∵∠EAF+∠BAC=90°， A D B
∴∠EAF+∠AED=90°，
∴∠EFA=90°，
∴ED⊥AC.
课堂作业、巩固提高
基础达标：
1．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件
是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
3第1题 第2题 第3题
3．如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍
A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度（ ）
A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小再增大
4．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（ ）
A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30°
5.已知:如图，AC⊥BC，BD⊥AD, AC=BD， 求证：AD=BC.
6.已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC,BC⊥BD．求证：AD＝BC.
能力提升：
7.如图，已知△BAC中∠ABC=90°，CD为高，且CD、CE平分
∠ACB,
(1)求∠B的度数
（2）求证CE是AB的中线。且AB=2CE
4拓展迁移
8、如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中
点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回
答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
五、总结反思、拓展升华
三角形全等的判断
SSS：如果两个三角形的三条边长度分别相等，那么这两个三角形全等。
SAS：如果两个三角形的一条边和它相邻的两个角，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三
角形全等。
ASA：如果两个三角形的两个角和夹在它们中间的一条边，与另一个三角形的相应部分相等，则这
两个三角形全等。
AAS：如果两个三角形的任意两个角和不夹着它们的一条边，与另一个三角形的相应部分相等，则
这两个三角形全等1。
5HL：在直角三角形中，如果两个三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个三角形全等。
课外作业
基础达标：
1．下列语句中不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等，D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全
等
2．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（ ）
A．100度 B．120度 C．135度 D．140度
3．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的
长是（ ）
A．2.5 B ． C ． D．2
D
A
B C
第3题 第4题 第5题
4．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，
则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
5.已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC. 求证：AD∥BC．
6.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：
∠ABD＝∠CED．
6能力提升：
7.如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2 ,∠AOB的平分线OC交AB于C，
过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O
运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O
时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等
腰三角形？求出所有满足条件的t值．
拓展迁移：
8. 如图1，已知∠ABC＝90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作
∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．
7（1）求证：BE＝BF；
（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．
课堂作业参考答案
1、 A
2、 D
3、 C
4、 A
5、证明：∵AC⊥BC,BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA，
AC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
6.证明：连接DC.
∵ AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠A=∠B=90°.
8在Rt△ADC和Rt△BCD中，
DC=CD，
AC=BD，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL).
∴AD=BC.
7.(1)解：∵BAC中∠ABC=90°，CD、CE平分∠ACB
∴∠ACD=∠DCE=∠ECB=30°
∠DCB=60°
∵CD为AB边上的高
∴∠B=90°-60°=30°
(2)解：由（1）得∠ACD=∠DCE=∠ECB=30°
∠A=60° ∠ACE=60°
∴三角形ACE是等边三角形，AC=AE=CE
∠B=30°,∠BCE=30°,
∴EB=CE
∴AE=CE=EB
∴CE是AB的中线。且AB=2CE
8.（1）证明：如图1，连接DM、DE
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高,M是BC的中点
∴
∴DM=EM
又∵N是DE的中点
△DEM是等腰三角形
∴MN⊥DE
（2）猜想∴∠DME＝180°﹣2∠A；
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
9理由如下：连接DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC
∠BME＝∠ACB+∠CEM=2∠ACB
∠CMD＝∠ABC+∠MDB=2∠ABC
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC）＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）＝2∠BAC﹣180°．
∴∠DME＝2∠BAC﹣180°．
课外作业参考答案
1、C
2、C
3、B
4、C
5、证明: ∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
AD=CB，
BD=DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）
∴∠ADB=∠CBD
∴AD∥BC.
6.证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，
∴BD=AD=DC∴∠A＝∠ABD，
∵DE⊥AC，∴∠CED+∠C＝90°．
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠CED，
∴∠ABD＝∠CED．
7.（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2
10∴∠B＝30° OA＝ OB＝ ，
由勾股定理得：AB＝3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，
∴OC＝BC，
在△AOC中，AO +AC ＝CO ，
求出OC=BC=2
（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，
则CP＝2﹣t，CQ＝t，
过P作PH⊥OC于H，
∠HCP＝60°，∠HPC＝30°
CH＝ CP＝ （2﹣t），HP＝ （2﹣t），
②当t＝2时，P和C重合，Q和O重合，此时△CPQ不存在；
③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，
过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，
∵CO＝2，∠NOC＝60°，CZ=
CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2，
∠NOC＝60°，
∴∠GPO＝30°，
OG＝ OP＝ （4﹣t） PG＝ （4﹣t），
④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）
11过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2，
CM＝ BC＝1，BM=
OM=OB- BM= PQ=BC=2
综合上述：S与t的函数关系式是：S＝
（3） 解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，
∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，
①OM＝PM时，
∠MOP＝∠MPO＝30°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，
∴OP＝2OQ，
∴2（t﹣2）＝4﹣t，
解得：t＝
②PM＝OP时，
此时∠PMO＝∠MOP＝30°，
∴∠MPO＝120°，
∵∠QOP＝60°，
∴此时不存在；
③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，
OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，
∴∠OPG＝30°，
∵∠AOC＝30°，OM＝OP，
∴∠OPM＝∠OMP＝75°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45° ∴PG＝QG
OG+QG＝OQ，
12即 t=
综合上述：当t 为 或 时，△OPM是等腰三角形．
8.（1）证明：∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC，∠DBC＝45°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝22.5°，
∴∠BFE＝67.5°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EBF﹣∠EFB＝67.5°，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF；
2）∵∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD＝AD＝CD，
∴△ABD、△CBD是等腰三角形，
由已知得，△ABC是等腰三角形，
由（1）得，△BEF是等腰三角形，
∵AF是∠BAC的平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴点E是△ABC的内心，
∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，
∴△AEC是等腰三角形．
13
