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能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式的化简求值
例题练习题答案
例1 (1)已知s=√3t−7+√7−3t−5，则st的值为（ ）
A： −35
B： 35
C： 35
−
3
D： 35
3
【答案】C
【解析】要使s=√3t−7+√7−3t−5有意义，
3t−7≥0
{
则
7−3t≥0
7
得t= ，
3
故s= −5，
7 35
∴st= ×(−5)= − ．
3 3
故选：C．
(2) 已知实数a、b、c满足2|a−1|+√2a−b+(c+b)2=0，求2a+b−c的值．
【答案】 ∵2|a−1| +√2a−b+(c+b)2=0，
又∵|a−1| ≥0 ，√2a−b≥0，(c+b)2≥0 ，
a−1=0
{
∴ 2a−b=0
c+b=0
a=1
{
∴ b=2
c= −2
∴2a+b−c=2+2+2=6.
(3) 已知实数x满足|2015−x|+√x−2016=x，求x−20152
的值．【答案】由题意得，x−2016≥0
得x≥2016，
则x−2015+√x−2016=x，
∴√x−2016=2015，
解得x=20152+2016，
则x−20152=2016.
练1.1 √2m+n+ | m2−9 |
若 =0，求3m+6n的立方根．
√3−m
【答案】由题，得
√2m+n=0
{
| m2−9 | =0
3−m>0
解得m= −3，n=6，
则3m+6n=27，
∴3m+6n的立方根为3．
练1.2 已知实数x满足|2017−x|+√x−2019=x，求x−20172
的值.
【答案】解：∵√x−2019有意义，∴x≥2019，
∴|2017−x|=x−2017，
|2017−x|+√x−2019=x−2017+√x−2019=x
即√x−2019=2017，
两边平方，得x−2019=20172
，
∴x−20172=2019.
例2
实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+
√
(a−b)2 的结果是（ ）
A： −2a+b
B： 2a−b
C： −b
D： b
【答案】A
练2.1
化简：
√ x2−6x+9− (√3−x )2
=（ ）
A： 2x−6
B： 0C： 6−2x
D： 2x+6
【答案】B
例3 1
√
若ab<0，化简二次根式 −a2b3 的结果是（ ）
a
A： b√b
B： −b√b
C： b√−b
D： −b√−b
【答案】D
√
练3.1 1
化简二次根式(a−2) 的结果是（ ）
2−a
A： √2−a
B： −√2−a
C： √a−2
D： −√a−2
【答案】B
例4 计算：
√
(1) 1
√48÷√3− ×√12+√24；
2
【答案】原式=4−√6+2√6=4+√6
(2) (3+√5) 2 − ( 4+√7 )( 4−√7 ) ；
【答案】原式=9+5+6√5−(16−7)=5+6√5
(3) (√3+1 )( 3−√3 ) ；
【答案】原式=3√3−3+3−√3=2√3
√ √
(4) a 1 2a
( )
√ 3a2÷ −3 × ．
2 2 3
√
【答案】 1 1 2 2 1
原式= − × 3a2⋅ ⋅ a= − a
3 2 a 3 3练4.1 计算：
√3 √3
（1）√12× ÷√3+ ；
4 2
√ √
b 1
√
（2） ÷ ab2×a+ (a>0，b>0)．
2a 2b
【答案】 √12 √3 2√3 √3
（1）原式= + = + =√3
4 2 4 2
√ √
b 1 √2b
（2）原式= ÷ab2×a2+ =
2a 2b b
练4.2 计算：
√
(1) ( 1 1)
3√18+ √50−4 ÷√32；
5 2
√
【答案】 1 1
( )
3√18+ √50−4 ÷√32
5 2
= ( 9√2+√2−2√2 ) ÷4√2
=8√2÷4√2
=2
√ √
(2)4 x 1
√25x+9 −2x2⋅ ．
5 9 x3
√ √
【答案】4 x 1
√25x+9 −2x2⋅
5 9 x3
√x
=4√x+3√x−2x2⋅
x2
=7√x−2√x
=5√x
例5 把下列各式分母有理化：
7+4√3 a√b−b√a a−b
（1） ； （2） ； （3） ．
2+√3 √ab √a−√b
【答案】 ( 7+4√3 )( 2−√3 )
解：（1）原式= =2+√3；
( 2+√3 )( 2−√3 )
（2）原式 =√a−√b；(√a+√b )(√a−√b )
（3）原式= =√a+√b．
√a−√b
练5.1 阅读下面问题：
1 1×
(√2−1 )
= =√2−1；
√2+1 (√2+1 )(√2−1 )
1 1×
(√3−√2 )
= =√3−√2；
√3+√2 (√3+√2 )(√3−√2 )
1 1×
(√5−2 )
= =√5−2，根据以上解法，试求：
√5+2 (√5+2 )(√5−2 )
(1) 1
的值；
√7+√6
【答案】 1 √7−√6
=
√7+√6 (√7+√6 )(√7−√6 )
=√7−√6
(2) 1
（n为正整数）的值；
√n+1+√n
【答案】 1 √n+1−√n
=
√n+1+√n (√n+1+√n )(√n+1−√n )
=√n+1−√n
(3) 1 1 1 1 1
+ + +⋯+ + 的值．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
【答案】 1 1 1 1 1
+ + +⋯+ +
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
=√2−1+√3−√2+⋯+√99−√98+√100−√99
= −1+√100
= −1+10
=9
练5.2 4 4 4 4
化简： + + +…+ .
√2+2 2+√6 √6+√8 √2n+√2n+2【答案】 4 ( 2−√2 ) 4 (√6−2 )
原 式 = +
(√2+2 )( 2−√2 ) ( 2+√6 )(√6−2 )
4
(√8−√6 )
4
(√2n+2−√2n )
+ +⋯+
(√8+√6 )(√8−√6 ) (√2n+√2n+2 )(√2n+2−√2n )
=2 ( 2−√2 ) +2 (√6−2 ) +2 (√8−√6 ) +…+2 (√2n+2−√2n )
=2
(√2n+2−√2 )
=2√2n+2−2√2
例6 (1) 若a=3−√10，则代数式a2−6a+9的值是________．
【答案】10
(2) 1 x+1 x−1
当x=√2−1时，求代数式 ÷ − 的值．
x−2 x2−4x+4 x+1
【答案】 1 x+1 x−1
解： ÷ −
x−2 x2−4x+4 x+1
1 x+1 x−1 x−2 x−1
= ÷ − = −
x−2 (x−2)2 x+1 x+1 x+1
1
= −
x+1
当x=√2−1时，
1 √2
原式= − = −
√2−1+1 2
(3) 1 1
若00
√ √
√ √
x x 1 1
− = −
x2+3x+1 x2+9x+1 1 1
x+ +3 x+ +9
x x
√ √
1 1 11√5−5√11
= − =
2+3 2+9 55
例7 先阅读下列的解答过程，然后作答．有这样一类题目：将
√ a±2√b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2=a且mn=√b，则
a±2√b可变为m2+n2±2mn，即变成(m±n)2 ，从而使得 √ a±2√b化简．
例如：5+2√6=3+2+2√6= (√3 )2 + (√2 )2 +2√2⋅√3= (√3+√2 )2 ，
√
∴ √ 5+2√6= (√3+√2 )2 =√3+√2．
请仿照上例解下列问题：
（1） √ 4+2√3 （2） √ 10−4√6．
【答案】 （1） √ 4+2√3= √ 3+2√3+1= √ (√3+1 )2 =√3+1
（2） √ 10−4√6= √ 10−2√24= √ 4−2√24+6
√
= (√4−√6 )2 =√6−2
练7.1 化简：
（1） √ 8−2√15； （2） √ 16+6√7．
【答案】 解：（1） √ 8−2√15= √ (√3 )2 + (√5 )2 −2√15=√5−√3
√ √
（2） √ 16+6√7= 32+ (√7 )2 +2×3√7= ( 3+√7 )2 =3+√7
能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式的化简求值
自我巩固答案
1 3
已知y=√x−24+√24−x−8，求√x−5y的值．
【答案】∵y=√x−24+√24−x−8，
∴x−24=24−x=0 ，
∴x=24 ，
y=0−8= −8 ，
3
∴√x−5y
3
= √24+40
=4 ．
2 实数a、b在数轴上的位置如图，化简 √ a2− √ b2− √ (a−b)2 ．
【答案】由图可知：a<0，b>0，
则a−b<0，
∴原式= −a−b−(b−a)= −a−b−b+a= −2b.
√√
3 y
已知xy>0，化简二次根式x − 的正确结果是（ ）
x2
A： −√−y
B： −√y
C： √−y
D： √y
【答案】A
4 计算：
(1)√12+√27
；
√3
【答案】√12+√27
√3
2√3+3√3
=
√3
5√3
=
√3
=5
(2)( 2√2−√3 )2 ；
【答案】( 2√2−√3 )2
=(2√2) 2 −2×2√2×√3+(√3) 2
=8−4√6+3
=11−4√6
√
(3) 1
√48+6 −√75；
3
√
【答案】 1
√48+6 −√75
3
=4√3+2√3−5√3
=√3
√
(4) 1
( )
2√12−3 ×√6−3√27．
3√
【答案】 ( 1)
2√12−3 ×√6−3√27
3
= ( 4√3−√3 ) ×√6−9√3
=3√3×√6−9√3
=9√2−9√3
5 计算：
√ √
2 1 b 3 b
√ ( √ )
（1） +√18−4 ； （2） ab5⋅ − a3b ÷3 (a>0，b>0)．
√2−1 2 a 2 a
√
【答案】 2 1
解：（1） +√18−4
√2−1 2
2×
(√2+1 )
= +3√2−2√2=3√2+2
(√2−1 )
×
(√2+1 )
√
b 3 b
√ ( √ )
（2） ab5⋅ − a3b ÷3
a 2 a
√
b 3 1 a
( )
= b2√ab⋅ − a√ab ×
a 2 3 b
√
1 b3√ab a 1
= − × ×a√ab× = − ab3√ab
2 a b 2
6 1 √3+2
已知x= ，y= ，求x2−xy+y2 的值．
√2+1 2−√3
【答案】 1 √2−1
解：x= = =√2−1
√2+1 (√2+1 ) × (√2−1 )
√3+2 ( 2+√3 )2
y= = =7+4√3
2−√3 ( 2−√3 ) × ( 2+√3 )
x2−xy+y2
= (√2−1 )2 − (√2−1 ) × ( 7+4√3 ) + ( 7+4√3 )2
=2−2√2+1− ( 7√2+4√6−7−4√3 ) +49+56√3+48
=107−9√2+60√3−4√6
7 a2−b2
(
a2+b2
)
先化简,再求值 ÷ 1− ,其中a=2+√3,b=2−√3.
a2b+ab2 2ab【答案】 (a−b)(a+b) 2ab−a2−b2 a−b [ 2ab ] 2
解：原式= ÷ = ⋅ − = −
ab(a+b) 2ab ab (a−b)2 a−b
当a=2+√3,b=2−√3时,
a−b=2√3,
2 √3
∴原式= − = − .
2√3 3
√
8 1
如果x2−3x+1=0，求 x2+ −2的值．
x2
√ √
【答案】 1 1
( )2
解： x2+ −2= x−
x2 x
∵x2−3x+1=0,3x=x2+1
∴x>0
x2−3x+1=0两边同时除以x
1 1
得x+ −3=0, +x=3
x x
√ √
1 1
( )2 ( )2
原式= x− = x+ −4
x x
√
= 32−4=√5
9 1 1 1
计算： + +⋯+ ．
1+√2 √2+√3 √2015+√2016
【答案】 √2−1 √3−√2
原式= +
( 1+√2 )(√2−1 ) (√2+√3 )(√3−√2 )
√2016−√2015
+⋯+
(√2015+√2016 )(√2016−√2015 )
=
(√2−1 )
+
(√3−√2 )
+
(√4−√3 )
+...
+
(√2015−√2014 )
+
(√2016−√2015 )
=√2016−1=12√14−1
10 化简 √ 12−2√35的结果为（ ）
A： √7+√5
B： √5−√7
C： √7−√5
2D： √7−√5
【答案】D
能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式的化简求值
课堂落实答案
√ √
1 1 1
若y= x− + −x−6，则xy=_____．
2 2
【答案】−3
【解析】 1
{x− ≥0
2
1
−x≥0
2
1
∴x= ，
2
∴y=0+0−6= −6，
∴xy= −3，
故答案为：−3
2
化简二次根式
√ −a3
的正确结果是（ ）
A： a√−a
B： a√a
C： −a√−a
D： −a√a
【答案】C
√
3 1
将a 根号外的部分移到根号内，正确的是（ ）
a
A： √a
B： −√a
C： √−a
D： −√−a
【答案】A4 计算
(1)( 2√3−1 )2 + (√3+2 )(√3−2 ) ；
【答案】原式=12−4√3+1+(3−4)
=12−4√3
【解析】利用完全平方公式和平方差公式计算；
√
(2) 1
(√6−2√15 ) ×√3−6 ．
2
【答案】原式=√6×3−2√15×3−3√2
=3√2−6√5−3√2= −6√5
【解析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
5 1 1
若√x+ =√6，且x≥1，则√x− =__________．
√x √x
【答案】√2
【解析】 ( 1 )2 ( 1 )2
解： √x− = √x+ −4= (√6 )2 −4=2
√x √x
1
由于x≥1,√x− ≥0
√x
1
则√x− =√2
√x
能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式的化简求值
精选精练
1 1
若y= √ x2−4+ √ 4−x2+ +2，则x−y的值为__________．
2−x
【答案】 17
−
4
2 a
化简：
√ 2a3+ √ a2− √ 2ab2− (√a )2
．
b
【答案】 解：∵ √ 2a3有意义∴a≥0
a
√ 2a3+ √ a2− √ 2ab2− (√a )2
b
a
=a√2a+a− √2a|b|−a
b
a |b|
( )
=a√2a− √2a|b|=a√2a 1− =0或者2a√2a
b b
√ √
3 1 b a
已知a+b=2，ab= ，求 + 的值．
2 a b
【答案】 1
解：∵a+b=2，ab=
2
∴a>0，b>0
√ √
b a √ab √ab
+ = +
a b a b
a+b
=√ab⋅
ab
√
1
= ×2×2
2
=2√2
4 (√7+√3 )( 10−2√21 )
化简： =__________．
√7−√3
【答案】4
5 阅读材料回答问题．
（1）观察探索：
√ √ √ √ √ √
2 8 4×2 2 2 2
2− = = =2 ，即 2− =2 ；
5 5 5 5 5 5
√ √ √ √ √ √
3 27 9×3 3 3 3
3− = = =3 ，即 3− =3 ．
10 10 10 10 10 10
√
5
（2）大胆猜想： 5− 等于多少？
26
（3）灵活运用：再举一个例子并通过计算验证，猜想并写出一般表达式．
√ √
【答案】 5 5
解：（2）根据题意猜想得： 5− =5 ；
26 26
√ √ √ √√ √ √ √
6 6×37−6 6×36 6
（3） 6− = = =6 ，
37 37 37 37
√ √
n n
得到一般性规律为 n− = n （n为正整数）．
n2+1 n2+1
6 观察下列各式及验证过程：
√ √ √ √ √ √
1 1 1 2 1 1 1 2 1 2
− = ，验证： − = = = ；
2 3 2 3 2 3 2×3 22×3 2 3
√ √ √ √ √ √
1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 3
( ) ( )
× − = ，验证： × − = = = ；
2 3 4 3 8 2 3 4 2×3×4 2×32×4 3 8
√ √ √ √ √ √
1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 4
( ) ( )
× − = ，验证： × − = = = ．
3 4 5 4 15 3 4 5 3×4×5 3×42×5 4 15
√
1 1 1
( )
（1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 × − 的变形结果并进行验
4 5 6
证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意的自然数，且n≥2）表示的等式．
√ √
【答案】 1 1 1 1 5
( )
解：（1） × − =
4 5 6 5 24
√ √ √ √
1 1 1 1 5 1 5
( )
验证： × − = = =
4 5 6 4×5×6 4×52×6 5 24
√ √
1 1 1 1 n+1
( )
（2） − =
n n+1 n+2 n+1 n(n+2)
能力强化 / 初二 / 春季
第 2 讲 勾股定理的应用
例题练习题答案
例1 (1)若a=4，b=5，∠C=90∘，则c=____________；
【答案】√41
(2)若a+b=2+2√2，a:b=1:√2，∠C=90∘，则c=____________；
【答案】2√3
(3)若直角三角形的两边长为5、12，则第三边的长为___________．【答案】13或√119
练1.1 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90∘，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方
形，若S +S =100，S =36，则S =（ ）
1 4 3 2
A： 136
B： 64
C： 50
D： 81
【答案】B
例2 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正
确的是（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】C
练2.1 有四个三角形，分别满足下列条件：
①一个内角等于另外两个内角之和；
②三个内角之比为3：4：5；
③三边长分别为9，40，41；
④三边之比为8：15：17．
其中，能构成直角三角形的个数有（ ）
A： 1个
B： 2个C： 3个
D： 4个
【答案】C
例3 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C 的面
积依次为2、4、3，则正方形D的面积为( )
A： 9
B： 8
C： 27
D： 45
【答案】A
练3.1 如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中最大
的直角三角形两直角边长分别为2，3，则正方形A，B，C，D的面积之和为（ ）
A： 13
B： 26
C： 47
D： 94
【答案】A
例4 (1)在Rt△ABC中，30∘所对的直角边是√3，则另一条直角边的长是（ ）
A： 4
B： 4√3
C： 3
D： 6√3
【答案】C(2)如图，在 △ABC、 △ADE中，C、E两点分别在AD、AB上，且BC与DE相交于F点，若
∠A=90∘，∠B=∠D=30∘，AC=AE=1，则四边形AEFC的周长为（ ）
A： 2√2
B： 2√3
C： 2+√2
D： 2+√3
【答案】B
(3)如图，△ABC中，∠B=45∘，∠A=105∘，AB=2，求BC的长．
【答案】解：经过A点作AD⊥BC于D，
∵∠B=45∘
∴∠BAD=45∘
AB
在RtΔABD中，BD= =√2
√2
在RtΔADC中，∠CAD=∠BAC−∠BAD=105∘ −45∘ =60∘
∴CD=√2×√3=√6
∴BC=CD+BD=√6+√2．
练4.1 (1)如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120∘，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么
BE:EA=_________．
【答案】3:1
(2)在△ABC中，∠C=90∘，∠B=15∘，点D在AB上，DE是AB的中垂线，BE=8cm，AE=
______，AC=__________．
【答案】8cm；4cm例5 如图，四边形ABCD中，已知AB=√6，BC=5−√3，CD=6，∠ABC=135∘和∠BCD=120∘，
那么AD的长为___________．
【答案】2√19
练5.1 (1)把两个同样大小的含45∘角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直
角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一条直线上，若AB=√2，则CD的长
为（ ）
A： √2+1
B： √2−1
C： √3−1
D： √3
【答案】C
(2)在四边形ABCD中，AB=4，CD=2，∠C=135∘，∠B=∠D=90∘，求四边形ABCD的面
积．
【答案】解：如图所示，延长DC交AB的延长线于点E，
∵∠C=135∘，∠B=∠D=90∘，
∴∠E=45∘．
BE √2
在RtΔBCE中， = ①，
CE 2
DE 2+CE √2
在RtΔADE中， = = ②，
AE 4+BE 2
①②联立得CE=4√2−4，BE=4−2√2，
√2
∴BC= CE=4−2√2，DE=CD+CE=4√2−2，
2
∴AE=AB+BE=8−2√2，
√2
∴AD= AE=4√2−2，
21 1 1 1
∴S =S −S = AD⋅DE− BE⋅BC= × ( 4√2−2 )2 − × ( 4
四边形ABCD ΔADE ΔBCE
2 2 2 2
．
例6 野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60∘方向前进了3千米，第二小组向南偏东30∘方
向前进了3千米，经观察、联系，第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为( )
A： 南偏西15 ∘ ，3√2千米
B： 北偏东15 ∘ ，3√2千米
C： 南偏西15 ∘ ，3千米
D： 南偏西45 ∘ ，3√2千米
【答案】A
练6.1 如图，某港口P位于南北延伸的海岸线上，东面是大海，“远洋”号，“长峰”号两艘轮船同时离
开港P，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，
它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60∘
方向航行，那么“长峰”号航行的方向是 ．
【答案】南偏东30°
例7 一个长方形抽屉长12厘米，宽9厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗
细）可以是( )
A： 15厘米
B： 13厘米
C： 9厘米
D： 8厘米
【答案】A练7.1 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部
的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和
小圆孔的大小忽略不计）范围是( )
A： 12⩽b⩽13
B： 12⩽b⩽15
C： 13⩽b⩽16
D： 15⩽b⩽16
【答案】D
例8 如图，ABCD是长方形地面，长AB=10m，宽AD=5m，中间竖有一堵砖墙高MN=1m．一只蚂蚱
从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m．
【答案】13
【解析】
如图所示，
将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加2米，则AB＝10＋2＝12m，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝12m，宽AD＝5m，
∴AC= √ AB2+BC2= √ 52+122=13m，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走13m的路程。
练8.1 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个
相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短
路程为 dm．
【答案】25
能力强化 / 初二 / 春季第 2 讲 勾股定理的应用
自我巩固答案
1 已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部
分的面积为（ ）
A： 9
B： 3
C： 9
4
D： 9
2
【答案】D
【解析】设以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形的底边上的高分别为h ，h ，h ，
1 2 3
1 1 1
则h
1
= AC，h
2
= BC，h
3
= AB，
2 2 2
即：阴影部分的面积为：
1 1 1 1 1 1 1
× ×AC×AC+ × ×BC×BC+ × ×AB×AB=
( AC2+BC2+AB2)
，
2 2 2 2 2 2 4
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC2+BC2=AB2
，AB=3，
1 1 9
所以阴影部分的面积为：
×2AB2= ×32=
，故选D．
4 2 2
2 已知：a，b，c为一个直角三角形的三边长，且有 √ (a−3)2+(b−2)2=0，求直角三角形的斜边
长．
【答案】 解：∵ √ (a−3)2+(b−2)2=0，
∴a−3=0，b−2=0，
解得：a=3，b=2，
①以a为斜边时， 斜边长为 3 ；
√
②以a，b为直角边的直角三角形的斜边长为 32+22=√13，
综上所述， 即直角三角形的斜边长为 3 或√13．3 如图，∠B为直角，BC长为2，AB长为3，正方形AGHF的面积为36，正方形CDEF的面积为49，
求△AFC的面积．
【答案】解：∵正方形AGHF的面积为36，∴AF=6，
又∵正方形CDEF的面积为49，∴FC=7，
∵∠B为直角，BC长为2，AB长为3，∴AC=√13,
∵AC2+FA2=FC2
,
∴ΔACF是直角三角形，
1 1
故S = AC⋅AF= ×√13×6=3√13
ΔACF
2 2
4 三角形的两边长分别为2，7，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是（ ）
A： √53
B： 3√5
C： √53或3√5
D： √47或3√5
【答案】C
【解析】解：设第三条边长为x，
∵三角形是直角三角形，
∴可得，22+72=x2 或22+x2=72
，
解得x=√53或x=3√5．
故选：C．
5 如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形
A、B、C、E的面积分别为4、2、3、12，则正方形D的面积为（ ）
A： 4
B： 5
C： 2D： 3
【答案】D
6 如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若
正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（ ）
A： 13
B： 26
C： 47
D： 89
【答案】C
7 如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=CB，点E在BC上，∠CAE=15∘，AE=6，则EB的长度
为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
【答案】B
8 如图，在△ABC中，∠A=45∘，∠B=30∘，CD⊥AB，垂足为D，AD=1，则BD的长为（ ）
A： √2
B： 2
C： √3
D： 3【答案】C
9 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30∘，公路PQ上A处距O点240米．如果火车行
驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶
时，A处受噪音影响的时间为( )
A： 16秒
B： 18秒
C： 20秒
D： 22秒
【答案】A
10 如图，长方体的底面积为30cm2 ，长、宽、高的比为3:2:1，则：
（1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？
（2）长方体的表面积和体积分别是多少？
（3）若一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到顶点B，直接写出从点A爬行到点B的最短路程
是 cm．
【答案】解：（1）设长方体的高为xcm，则长为3xcm，宽为2xcm，由题意得
3x⋅2x=30，解得x=√5，
则3x=3√5，2x=2√5．
答：这个长方体的长、宽、高分别是3√5cm、2√5cm、√5cm．
（2）长方体的表面积为：(3√5×2√5+3√5×√5+2√5×√5)×2
=(30+15+10)×2
=110(cm2)，
长方体的体积为：3√5×2√5×√5=30√5(cm3)．
答：长方体的表面积是110cm2 ，体积是30√5cm3
；
（3）展开前面上面由勾股定理得AB2=(2√5+√5)2+(3√5)2=90；
所以最短路径的长为AB=√90=3√10(cm)．
故答案为3√10．
能力强化 / 初二 / 春季第 2 讲 勾股定理的应用
课堂落实答案
1 如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线
段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段，并写出这两条线段的长
度．
【答案】解：表示无理数的线段AB，表示有理数的线段CD．
∵ΔABE是直角三角形，
∴AB= √ 22+22=2√2，
√
同理，CD= 42+32=5，
故答案为：表示无理数的线段AB，表示有理数的线段CD
2 一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A： 4
B： 8
C： 10
D： 12
【答案】C
3 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正
方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是( )
A： 18
B： 114
C： 194
D： 324
【答案】B
4 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，AC=2，则AB=（ ）A： 4
B： 2√3
3
C： 4√3
3
D： √3
3
【答案】C
5 如图，开口玻璃罐的长、宽、高分别为16，6和6，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂
蚁
正好在罐外长方形ABCD的中心H处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是（ ）
A： √145
B： √205
C： √277
D： 17
【答案】C
能力强化 / 初二 / 春季
第 2 讲 勾股定理的应用
精选精练
1 已知|x−6|+(y−8)2+z2−20z+100=0，若三角形的边长分别为x，y，z，则该三角形最长边上
的高为___________．
【答案】4.8
2 观察图，每个小正方形的边长均为1，求：图中阴影正方形的面积是多少？它的边长是多少？【答案】 解：由勾股定理得，阴影部分的边长a= √ 12+32=√10，
所以图中阴影部分的面积S=(√10)2=10．
所以图中阴影正方形的面积是10，它的边长是√10．
3 已知：整式A＝ ( n2−1 )2 +(2n)2 ，整式B>0；
尝试：化简整式A；
发现：A＝B2 ，求整式B；
联想：由上可知，B2= ( n2−1 )2 +(2n)2 ，当n>1时，n2−1，2n，B为直角三角形的三边长．
如图所示：
填写下表中B的值：
直角三角形三边 n2﹣1 2n B
勾股数组Ⅰ ／ 8 __________
勾股数组Ⅱ 35 ／ __________
【答案】 解：A=(n2−1)2+(2n)2=n4−2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2
，
∵A=B2 ，B>0，
∴B=n2+1，
当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=17；
当n2−1=35时，n2+1=37．
故答案为：17；37
4 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为
S 1，S 2，则S 1 +S 2的值等于___________．【答案】 1 AC 1 1
解：S = π( )2= πAC2 ，S = πBC2 ，
1 2
2 2 8 8
1 1
所以S
1
+S
2
= π(AC2+BC2)= πAB2=8π．
8 8
故答案为：8π．
5 在△ABC中，高AD、BE所在直线交于H点，若BH=AC，则∠ABC的值为（ ）
A： 45∘
B： 135∘
C： 60∘
D： 45∘或135∘
【答案】D
6 1
棱长分别为7cm，6cm两个正方体如图放置，点P在E F 上，且E P= E F ，一只蚂蚁如果要沿
1 1 1 1 1
3
着长
方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是_______．
【答案】√233cm
【解析】解：如图，有两种展开方法：
√
方法一：PA= 132+82=√233cm，
方法二：PA= √ 152+62=√261cm．
故需要爬行的最短距离是√233cm．
故答案为：√233cm ．
能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合例题练习题答案
例1 已知：如图，四边形ABDC，AB=4，AC=3，CD=12，BD=13，∠BAC=90∘，则四边形
ABDC的面积是 ．
【答案】36
练1.1 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60∘，BC=4√5，CD=8，求∠ADC的度数．
【答案】解：连接BD，
∵AB=AD，∠A=60∘，
∴ΔABD是等边三角形，
∴∠ADB=60∘，DB=4，
∵42+82=(4√5)2
，
∴DB2+CD2=BC2
，
∴∠BDC=90∘，
∴∠ADC=60∘ +90∘ =150∘.
例2 如图所示，MN为我国领海线，MN以左为我国领海，以右为公海．上午9时50分我国缉私艇A发
现在其正东方向有一走私艇C正以每小时16海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其6海
里，正在MN上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是10海里，缉私艇B测得C与其
距离为8海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国领海？
【答案】解：设MN与AC相交于E，如下图所示：
则∠BEC=90∘
∵AB2+BC2=62+82=102=AC2
，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC=90∘，
由于MN⊥CE，所以走私艇C进入我国领海的最近的距离是CE，
1 1
由S = AB×BC= AC×BE，
△ABC
2 2
得BE=4.8，由CE2+BE2=BC2 ，得CE=6.4，
∴6.4÷16=0.4(h)=24(min)
9时50分+24分=10时14分．
答：走私艇C最早在10时14分进入我国领海．
练2.1 如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点，若AB=AC=10，BC=12，则BM的最小值为（ ）
A： 25
B： 9.6
C： 10
D： 4.5
【答案】B
例3 如图，已知荷叶高出水面0.6m，一阵风吹来，荷叶紧贴水面，这时它偏离原来的水平距离为1.2m
，求荷叶的高度．
【答案】解：设荷叶的高度为xm，根据题意可得：
CO=(x−0.6)m，BC=1.2m，
故(x−0.6)2+1.22=x2
，
解得：x=1.5，
答：荷叶的高度为1.5m．
练3.1 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m
后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．【答案】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为(x+1)m
在RtΔABC中，AB2+BC2=AC2
∴x2+52=(x+1)2
解得x=12
∴AB=12
∴旗杆的高12m．
例4 在长方形ABCD中，AB=16，BC=8，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，
那么AF的长为（ ）
A： 10
B： 8
C： 6
D： 4
【答案】A
练4.1 长方形纸片ABCD中，AD=4，AB=10，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，DF的
长为__________．
【答案】5.8
例5 在平面直角坐标系中，若A ( x ,y ) ，B ( x ,y ) ，则AB= √ (x −x )2+(y −y )2
1 1 2 2 1 2 1 2
(1)点P(−2,7)，Q(3, −5)，求PQ的长．
【答案】解：∵P(−2,7)，Q(3, −5)，
√
∴PQ= (−2−3)2+(7+5)2=13；
【解析】根据两点间距离公式即可得到结论；
(2)
利用两点间距离公式求
√ x2+4+ √ (3−x)2+36+1的最小值．
【答案】
解：如图，利用两点间距离公式求
√ x2+4+ √ (3−x)2+36+1的最小值，
本题可以化归为：在x轴上找一点P(x,0)，使其与两定点A(0,2)，B(3,6)的距离之和为最小，
√ √
即
(x−0)2+(0−2)2+ (x−3)2+(0−6)2
有最小值．
作A点关于x轴的对称点A′(0, −2)，连接BA′ ，与x轴的交点即为所求的P点．
√ √
此时
x2+4+ (3−x)2+36有最小值，
√
其最小值=AB′ = (0−3)2+(−2−6)2=√73．
√ √
∴
x2+4+ (3−x)2+36+1的最小值=√73+1．
【解析】
利用两点间距离公式求
√ x2+4+ √ (3−x)2+36+1的最小值，本题可以化归为：在x
轴上找一点P(x,0)，使其与两定点A(0,2)，B(3,6)的距离之和为最小，然后根据两点间
距离公式即可得到结论．
练5.1 如图，AD⊥AB，BC⊥AB，且AD=2，BC=3，AB=12，P是线段AB上的一个动点，连接PD，
PC．
(1)设AP=x，用二次根式表示线段PD，PC的长；
【答案】解：在直角ΔADP中，∵∠A=90∘，AD=2，AP=x，
∴PD= √ AD2+AP2= √ 4+x2 ；
在直角ΔBCP中，∵∠B=90∘，BC=3，PB=AB−AP=12−x，
∴PC= √ PB2+BC2= √ (12−x)2+9；
【解析】根据勾股定理即可用二次根式表示线段PD，PC的长；
(2)设y=PD+PC，求当点P在线段AB上运动时，y的最小值；
【答案】 解：作D点关于AB的对称点D′ ，连接CD′ ，交AB于P，则PD′ =PD，
CD′ =PD′ +PC=PD+PC，即为y的最小值．
过D′ 作AB的平行线，交CB的延长线于E．
在ΔCED′ 中，∠E=90∘，D′E=AB=12，CE=CB+BE=CB+AD=3+2=5，
√
由勾股定理，得CD′ = D′E2+CE2=13，
故y的最小值为13；【解析】 作D点关于AB的对称点D′ ，连接CD′ ，根据勾股定理求出CD′ 的长，即为y的最小
值；
(3)
利用（2）的结论，试求代数式
√ x2+9+ √ (24−x)2+16的最小值．
【答案】解：如下图．构造图形，AB=24，AD⊥AB，AD=3，BC=4，PA=x，PB=24−x
，
√ √
PD= x2+9，PC= (24−x)2+16，
由对称性可知，PC+PD的最小值为
√
PC+PD′ =CD′ = D′E2+CE2
√
= 242+(4+3)2=25．
√ √
故代数式
x2+9+ (24−x)2+16的最小值为25．
【解析】根据勾股定理构造出图形，利用两点之间线段最短的方法即可求出代数式的最小值．
例6 已知Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90∘，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以
AD为边作Rt△ADE，AD=AE，连接CE．
(1)如图①，当点D在边BC上时，
①请写出BD和CE之间的数量关系为_____，位置关系为_____；
②线段CE+CD=_____AC ；
【答案】证明：如图1中，①∵AB=AC，∠BAC=90∘，∴∠ABC=∠ACB=45∘，
∵AD=AE，∠DAE=90∘，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC
{
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ABC=∠ACE=45∘，
∴∠ECB=90∘，
∴BD⊥CE；
②结论：CE+CE=√2AC．
理由：由①得BD=CE，
∴BC=√2AC，
∵BC=BD+CD=CE+CD，
∴CE+CD=√2AC；
【解析】①根据AB=AC，∠BAC=90∘，AD=AE，∠DAE=90∘，证△BAD≌△CAF，推出
CE=BD，CE⊥BD即可；
②结论：CE+CE=√2AC．由△ABC是等腰直角三角形，得到BC=√2AC，
BC=BD+CD，由此即可得出结论；
(2)尝试探究
如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中AC、CE、CD之间存在的数量
关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【答案】解：如图2中，存在数量关系为：CE=√2AC+CD；
理由：由（1）同理可得
在△ABD与△ACE中，
AB=AC
{
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，在等腰直角三角形ABC中，
BC=√2AC，
∴BD=BC+CD=√2AC+CD，
∴CE=√2AC+CD；
【解析】结论：CE=√2AC+CD，如图2中，先证明△BAD≌△CAE，推出BD=CE即可，再根
据等腰直角三角形性质即可解决问题．
(3)拓展延伸
如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC=4，CE=2，求线段CD的长．
【答案】解：由（1）同理
在△ABD与△ACE中，
AB=AC
{
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CD=BC+BD=BC+CE．
∵BC=4，CE=2，
∴CD=6．
【解析】根据SAS证△BAD≌△CAE，推出CE=BD即可，由此即可解决问题．
练6.1 如图，已知CA=CB，CF=CE，∠ACB=∠FCE=90∘，
且A、F、E三点共线，AE与CB交于点D．
(1) 求证：AF2+AE2=AB2
【答案】证明：如图中，
∵∠ACB=∠FCE=90∘，
∴∠ACF=∠BCE，
在△ACF和△BCE中，CA=CB
{
∠ACF=∠BCE，
CF=CE
∴△ACF≌△BCE(SAS)，
∴AF=BE，∠CAE=∠CBE，
∵∠CAD+∠ACD+∠ADC=180∘ =∠DBE+∠EDB+∠DEB,
∴∠DEB=∠ACD=90∘，
∴BE2+AE2=AB2
,
∴AF2+AE2=AB2
，
【解析】如图1中，欲证明AF=BE，只要证明△ACF≌△BCE即可．
(2)若AC=√17，BE=3，则CE=_____．
【答案】解：∵△ACF≌△BCE，
∴∠AFC=∠CEB，
∵∠CFE=∠CEF=45∘，
∴∠AFC=∠CEB=135∘，
∴∠AEB=90∘，
∵AC=BC=√17，
∴AB=√2AC=√34，
√
在Rt△AEB中，AE= AB2−BE2=√34−9=5，
∵AF=BE=3，
∴EF=2，
√2
∴CE= EF=√2．
2
故答案为：√2
能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合
自我巩固答案
1 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则四边形ABCD的面积是
（ ）A： 16√15
B： 16√5
C： 32√15
D： 16√17
【答案】A
2 如图，这是一块农家菜地的平面图，其中BD=4m，CD=3m，AB=13m，AC=12m，
∠BDC=90∘，则这块地的面积为（ ）
A： 24m2
B： 30m2
C： 36m2
D： 42m2
【答案】A
3 两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则
乙杯中的液面与图中点P的距离是（ ）
A： 2cm
B： 4√3cm
C： 6cm
D： 8cm
【答案】C
4 如图，一场大风后，一棵大树在高于地面1米处折断，大树顶部落在距离大树底部3米处的地面
上，那么树高是（ ）A： 4m
B： √10m
C： (√10+1 ) m
D：
(√10+3 )
m
【答案】C
【解析】 根据勾股定理可知：折断的树高= √ 12+32=√10米，
则这棵大树折断前的树高= ( 1+√10 ) 米．
故选：C．
5 小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m
，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）
A： 2m
B： 2.5m
C： 2.25m
D： 3m
【答案】A
6 校园内有两棵树，相距8米，一棵树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一
棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ）
A： 8米
B： 9米
C： 10米
D： 11米
【答案】C
7 如图，P是线段AB上一动点，且AB=4，CA⊥AB，BD⊥AB，CA=1，BD=2，PA=a，PB=b
√ √
，若M= a2+1+ b2+4，则M的最小值为（ ）
A： 5
B： 4
C： 3D： 2
【答案】A
8 如图所示，已知△ABC，分别以AB，AC边作图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，下列结
论：①△AEC≌△ABF；②EC=FB；③EC⊥FB；④MA平分∠EMF，正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
【答案】D
9 如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，连接AB′，并
有AB′ =3，则∠A′的度数为（ ）
A： 125°
B： 130°
C： 135°
D： 140°
【答案】C
10 已知等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为腰作等腰Rt△ADE，
∠DAE=90°．连接CE．
（1）如图，求证：△ACE≌△ABD；
（2）点D运动时，∠BCE的度数是否发生变化？若不变化，求它的度数；若变化，说明理由；（3）若AC=√8，当CD=1时，请直接写出DE的长．
【答案】解：（1）∵ΔABC和ΔADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE．
在ΔACE和ΔABD中，
AC=AB
{
∠CAE=∠BAD，
AE=AD
∴ΔACE≅ΔABD；
（2）∵ΔACE≅ΔABD，
∴∠ACE=∠ABD=45°，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+ 45°= 90°；
∴∠BCE的度数不变，为90°；
（3）①点D在线段BC上时，如图1，
∵AB=AC=√8，∠BAC=90°，
∴BC=4．
∵CD=1，
∴BD=3．
∵ΔACE≅ΔABD，
∴CE=BD=3．
∵∠BCE=90°，
∴DE= √ CD2+EC2= √ 12+32=√10；
②点D在线段BC延长线上时，如图2，
∵AB=AC=√8，∠BAC=90°，
∴BC=4．
∵CD=1，∴BD=5．
∵ΔACE≅ΔABD，
∴CE=BD=5．
∵∠BCE=90°，
∴∠ECD=90°，
√ √
∴DE= CD2+EC2= 12+52=√26．
综上所述：DE的长为√10或√26．
能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合
课堂落实答案
1 一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，木板的面积为_____．
【答案】解：如图所示，连接AC，
∵∠B=90∘，AB=4，BC=3，
∴AC= √ AB2+BC2=5，
∵DC=12，AD=13，
∴52+122=169=132
，
∴△ADC是直角三角形，
1 1
∴S =S −S = DC⋅AC− AB⋅BC=30−6=24．
木板 ΔADC ΔABC
2 2
2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于点D，CD=2，AB=6.设AC=x，BC=y，则代
数式(x+y)2−3xy+2的值是_________．
【答案】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
1 1
∴ xy= AB⋅CD，x2+y2=AB2=62=36，
2 2
∴xy=AB⋅CD=6×2=12，∴(x+y)2−3xy+2=x2+2xy+y2−3xy+2=36−12+2=26；
故答案为：26．
3 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知
红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是（ ）
A： 1米
B： 1.5米
C： 2米
D： 2.5米
【答案】B
4 √ √
代数式 x2+4+ (12−x)2+9的最小值为( )
A： 12
B： 13
C： 14
D： 11
【答案】B
5 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与 △ACP′ 重
合，如果AP=3，那么PP′ =_________．
【答案】解：∵ΔABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90∘，
∵ΔABP绕点A逆时针旋转后，能与ΔACP′
重合，
∴AP=AP′ ，∠PAP′ =∠BAC=90∘，
∴ΔAPP′
为等腰直角三角形，
∴PP′ =√2AP=3√2．
故答案为3√2．
能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合
精选精练1 如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上
的G点，并且折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为_____．
【答案】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90∘，
由折叠及轴对称的性质可知，ΔABF≅ΔGBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH=GH，
∴∠BAH+∠ABH=90∘，
又∵∠FAH+∠BAH=90∘，
∴∠ABH=∠FAH，
∴ΔABF≅ΔDAE(ASA)，
∴AF=DE=5，
在RtΔABF中，
BF= √ AB2+AF2= √ 122+52=13，
1 1
S = AB⋅AF= BF⋅AH，
ΔABF
2 2
∴12×5=13AH，
60
∴AH= ，
13
120
∴AG=2AH= ，
13
∵AE=BF=13，
120 49
∴GE=AE−AG=13− = ，
13 13
49
故答案为： ．
13
2 如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，AC=6，BC=8，
∠CAE:∠BAE=1:2．
（1）求∠B的度数；
（2）求△ACE的周长；（3）求CE的长．
【答案】解：（1）如图，由题意得：∠B=∠BAE；
∵∠CAE:∠BAE=1:2，
∴设∠CAE=α，则∠B=∠BAE=2α；
∴∠B+∠BAC=90°，即5α=90°，
∴α=18°，∠B=2α=36°．
（2）由题意得：AE=BE，
∴AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC=14，
即ΔACE的周长为14．
（3）设BE=AE=λ，则EC=8−λ；
由勾股定理得：λ2=(8−λ)2+62
，
25
解得：λ= ，
4
7
∴CE= ．
4
3 在如图所示的方格中，点A，B，C，D都在格点上，且AB＝BC＝2CD＝4，P是线段BC上的动点，
连结AP，DP．
（1）设BP＝x，用含字母x的代数式分别表示线段AP，DP的长，求x＝2时，AP+DP的值；
（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值．
（3）根据（2）中的结论，请构图求出代数式
√ x2+4+ √ (12−x)2+9的最小值．
【答案】解：（1）由题意结合图形知：
AB=4，BP=x，CP=4−x，CD=2，√ √ √
∴AP= AB2+BP2= 42+x2= 16+x2 ；
√ √ √
DP= PC2+CD2= 22+(4−x)2= x2−8x+20；
当x=2时，AP+DP=√20+√8=2√5+2√2；
（2）存在．
如图，作点A关于BC的对称点A′ ，连接A′D，
∴A′E=4，DE=6，
√ √
则A′D= A′E2+DE2= 42+62=2√13，
∴最小值为2√13．
（3）如图：BC=12，AB=2，CD=3，AB⊥BC，DC⊥BC，P是CB上一点．设PB=x．
作A′E⊥DC于E．
√ √
则PA+PD= x2+4+ (12−x)2+9，
由（2）可知
√ x2+4+ √ (12−x)2+9的最小值= √ 122+52=13．
4 √ √
已知a>0，b>0，且a+b=7，则代数式 x2+a2+ (11−x)2+b2 的最小值为_____．
【答案】解：如图所示：设A(0,a)，B(11,b)，P点坐标为P(x,0)，
则PA= √ x2+a2 ，PB= √ (11−x)2+b2 ，
√ √
x2+a2+ (11−x)2+b2 的最小值就是PA+PB的最小值，
∵PA+PB的最小值为： √ 112+(a+b)2= √ 112+72=√170，
√ √
∴代数式 x2+a2+ (11−x)2+b2 的最小值为√170．
故答案为√170．
5 （1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段
AD绕点A逆时针旋转90∘得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是________，位置关系是
________；（2）探究证明：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使
点D落在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD、BD、CD之间的等量关系，并证明．
【答案】解：（1）在RtΔABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45∘，
∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在ΔBAD和ΔCAE中，
AB=AC
{
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴ΔBAD≅ΔCAE(SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45∘，
∵∠ACB=45∘，
∴∠BCE=45∘ +45∘ =90∘，
故答案为：BD=CE，BD⊥CE；
（2）2AD2=BD2+CD2
，理由是：
如图2，∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAD=∠CAE，
在ΔABD和ΔACE中，
AB=AC
{
∵ ∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∵ΔBAD≅ΔCAE(SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45∘，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45∘ +45∘ =90∘，
∴DE2=CE2+CD2
，
∵AD=AE，∠DAE=90∘，
∴DE=√2AD，
∴2AD2=BD2+CD2
.
6 （1）问题发现：如图1，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D是BC的中点，以点D为顶点
作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE和AF的数量关系是__________．
（2）类比探究：如图2，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α(0∘ <α≤360∘)，则
（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】解：（1）∵ΔABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD=BD=DC，∠BDA=90∘，
∵四边形DFGE是正方形，
∴DE=DF，∠EDF=90∘，
∴∠BDE=∠ADF=90∘，
BD=AD
{
在ΔBDE和ΔADF中， ∠BDE=ADF，
DE=DF
∴ΔBDE≅ΔADF(SAS)，
∴BE=AF
故答案为：BE=AF；
（2）成立；理由如下：
当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，
∵在RtΔABC中，AB=AC，D为斜边BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADE+∠EDB=90∘，
∵四边形DFGE为正方形，
∴DE=DF，且∠EDF=90∘，
∴∠ADE+∠ADF=90∘，
∴∠BDE=∠ADF，
BD=AD
{
在ΔBDE和ΔADF中， ∠BDE=∠ADF，
DE=DF
∴ΔBDE≅ΔADF(SAS)，
∴BE=AF；
当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：
∵∠BDE=∠BDF+90∘，∠ADF=∠BDF+90∘，
∴∠BDE=∠ADF，BD=AD
{
在ΔBDE和ΔADF中， ∠BDE=∠ADF，
DE=DF
∴ΔBDE≅ΔADF(SAS)，
∴BE=AF；
综上所述，（1）中的结论BE=AF成立；
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第 4 讲 平行四边形与矩形进阶
例题练习题答案
例1 (1)如图，平行四边形ABCD中，∠C=108∘，BE平分∠ABC，则∠ABE等于（ ）
A： 18°
B： 36°
C： 72°
D： 108°
【答案】B
(2)平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC，BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周
长大2cm，则CD=_________cm．
【答案】4练1.1 如图，在平行四边形ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，平行四边形ABCD
的周长是14，则DM等于（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
【答案】C
例2 如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别是OC、OD中点．求证：四边形AFBE
是平行四边形．
【答案】证明：∵AC//BD，
∴∠C=∠D，∠CAO=∠DBO，AO=BO．
∴ΔAOC≌ΔBOD（AAS）．
∴CO=DO．
∵E、F分别是OC、OD的中点，
1 1
∴OF= OD= OC=OE．
2 2
由AO=BO、EO=FO,
得四边形AFBE是平行四边形．
练2.1 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵BE=FC，
∴BC=EF，AB=DF
{
在△ABC和△DFE中， AC=DE，
BC=EF
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
（2）由（1）知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
例3 (1)如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15∘，则下列结论：
①△ODC是等边三角形；
②BC=2AB；
③∠AOE=135∘；
④S ΔAOE =S ΔCOE，
其中正确的结论有_________________．
【答案】①③④
【解析】 解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝45°+15°＝60°，
又∵矩形中OA＝OB＝OC＝OD，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
由等边三角形的性质，AB＝OA，
∴AC＝2AB，
由垂线段最短BC＜AC，
∴BC＜2AB，故②错误；
∵∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∴BO＝BE，
∵∠COB＝180°﹣60°＝120°，1
∴∠BOE= （180°﹣30°）＝75°，
2
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故③正确；
∵△AOE和△COE的底边AO＝CO，点E到AC的距离相等，
∴S △AOE＝S △COE，故④正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
(2)如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于
E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值为__________．
【答案】12
5
练3.1 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M
，连接DE、BO．若∠COB=60∘ ，FO=FC，则下列结论：①FB 垂 直 平 分 OC；
②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S :S =2:3．其中正确结论的个数是（ ）
△AOE △BCM
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
【答案】B
【解析】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60∘，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，故①正确；
②∵△BOC为等边三角形，FO=FC，
∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB=∠EOB=90∘，
∴BO≠BM，
∴△EOB与△CMB不全等；
故②错误；
③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30∘，
∴∠ADE=∠CBF=30∘，∠BEO=60∘，
∴∠CDE=60∘，∠DFE=∠BEO=60∘，
∴∠CDE=∠DFE，
∴DE=EF，
故③正确；
④易知△AOE≌△COF，
∴S =S ，
△AOE △COF
∵S =2S ，
△COF △CMF
2FM
∴S△AOE :S△BCM =2S△CMF :S△BCM = ，
BM
∵∠FCO=30∘，
CM
∴FM= ，BM=√3CM，
√3
FM 1
∴ = ，
BM 3
∴S :S =2:3，
△AOE △BCM
故④正确；
所以其中正确结论的个数为3个；
故选：B．
例4 如图，在矩形ABCD中， AD=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，EC=2，则ΔAEF的面积为
_________．【答案】25
4
【解析】AD=5,EC=2，则BE=3,AB=4，
在RtΔCEF中，设CF=x，则EF=DF=4−x,4+x2=(4−x)2
，
3 5 1 5 25
解得x= ，∴EF= ，ΔAEF的面积为 ×5× = ．
2 2 2 2 4
练4.1 如图,矩形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在C' 处,BC' 交AD于点E,AD=8,AB=4,则DE的长为___.
【答案】5
例5 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，在不添加任何辅
助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件：____________________（填上你认
为正确的一个答案即可）．
【答案】解：可以添加条件∠DAB=90∘，
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=90∘，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠DAB=90∘．
练5.1 已知:如图,D是△ABC的边AB上一点,CN//AB,DN交AC于点M,MA=MC.
(1)求证:AD=CN;
【答案】 ∵CN//AB,
∴∠DAC=∠NCA,
在△AMD和△CMN中,
∠DAC=∠NCA
∵{ MA=MC ,
∠AMD=∠CMN
∴△AMD≌△CMN(ASA),∴AD=CN.
(2)若∠AMD=2∠MCD,求证:四边形ADCN是矩形.
【答案】 ∵∠AMD=2∠MCD,∠AMD=∠MCD+∠MDC,
∴∠MCD=∠MDC,
∴MD=MC,
由①知四边形ADCN是平行四边形,
∴MD=MN=MA=MC,
∴AC=DN,
∴四边形ADCN是矩形.
例6 如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC及其外角∠CAF的平分线，CE⊥AE．求证：
AB=DE．
【答案】证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴∠ABC=∠ACB，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90∘，
∵AE平分∠CAF，
∴∠CAE=∠FAE，
又∵∠CAF=∠ABC+∠ACB，
∴∠FAE=∠ABC，
∴AE//BC，
∴∠DAE=∠ADB=90∘，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90∘，
∴四边形ADCE是矩形，
∴DE=AC，∴AB=DE．
练6.1 在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF、BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【答案】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DF∥BE，
又∵DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴平行四边形BFDE是矩形；
（2）∵CF=3，BF=4，
∴在Rt△BFC中，由勾股定理可得：BC=5，
∴DF=BC=AD，
∴∠DAF=∠DFA，
又∵DC∥AB，
∴∠DFA=∠FAB，
∴∠DAF=∠FAB，
∴AF平分∠DAB.
能力强化 / 初二 / 春季
第 4 讲 平行四边形与矩形进阶
自我巩固答案
1 在平行四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C=2:3:2，则∠D=（ ）
A： 36∘
B： 108∘
C： 72∘
D： 60∘
【答案】B
2 如图，在□ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠2=112∘，则∠1=（ ）
A： 22∘
B： 18∘
C： 108∘
D： 118∘【答案】A
3 如图，在□ABCD中，AB=BD，点E在BD上，CE=CB．如果∠A=70∘，那么∠DCE等于（ ）
A： 20∘
B： 25∘
C： 30∘
D： 35∘
【答案】C
4 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F为对角线BD上的点，BE＝DF，求证：四边形AFCE是平行
四边形．
【答案】连接AC交BD于点O，
在平行四边形ABCD中，
OA=OC和OB=OD，
因为BE=DF，所以OE=OF，
所以四边形AFCE是平行四边形．
5 在四边形ABCD中，已知AD∥BC，再从①AD=BC；②AB=CD；③AB∥CD；④AB=AD中选择
一个能判定四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A： 1种
B： 2种
C： 3种
D： 4种
【答案】B
6 如图，在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′ 处，BC′
交
AD于点E，则△BDE的面积为（ ）A： 12
B： 20
C： 10
D： 6
【答案】C
【解析】可知 ，则有△AEB≌△ ED，则有 ，由勾股定理可
知 ，解得 ，所以面积为 ，故选C．
7 在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是
（ ）
A： AB=CD，AD=BC，AC=BD
B： AO=CO，BO=DO，∠A=90°
C： ∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD
D： ∠A=∠B=90°，AC=BD
【答案】C
8 一个矩形被分成4个不同的三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积
是21cm2
，则该矩形的面积为（ ）
A： 60 cm2
B： 70 cm2
C： 120 cm2
D： 140 cm2
【答案】A
9 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若
∠EAC=2∠CAD，则∠BAE的度数为（ ）A： 20∘
B： 22.5∘
C： 27.5∘
D： 30∘
【答案】B
10 如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF
．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．
【答案】证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF．
∴EH=GF．
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴AB−AE=CD−CG，AD−AH=BC−CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．
∴GH=EF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
设∠A=α ，则∠D=180∘ −α ．
180∘ −α α
∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH= =90∘ − ．
2 2
∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，
∴AD−AH=CD−CG，即DH=DG．
180∘ − ( 180∘ −α ) α
∴∠DHG=∠DGH= = ．
2 2
∴∠EHG=180∘ −∠DHG−∠AHE=90∘．
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．
能力强化 / 初二 / 春季第 4 讲 平行四边形与矩形进阶
课堂落实答案
1 如果平行四边形的一边长是14，那么它的两条对角线的长可以是（ ）
A： 16和12
B： 16和18
C： 18或10
D： 36或6
【答案】B
2 如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线
上，求证：AE=CF．
【答案】证明：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB//CD，AB=CD
∴∠BAC=∠ACD
∵∠BAE=180°-∠BAC，∠DCF=180°-∠ACD
∴∠BAE=∠DCF
又∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠BEA=∠DFC=90°
则，在△BAE和△DFC中
∠BAE=∠DCF，∠BEA=∠DFC，AB=CD，
∴△BAE≌△DCF，
∴AE=CF.
3 在四边形ABCD中，AB=CD=4cm，BC=8cm，则下列哪个条件成立时可以使该四边形为平行四边
形（ ）
A： AD=4cm
B： AD=8cm
C： AD=2cm
D： AD=6cm【答案】B
4 如图.矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且
EF=3.则AB的长为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
【答案】D
5 如图，在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，连接BE、CE．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当BC=2AB，求∠BEC的大小．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90∘，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE．
∴△ABE≌△DCE．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，∠A=90∘．
∵BC=2AB，
∴AD=2AB，
∵AD=2AE，
∴AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=45∘，
同理可得∠DEC=45∘，
∴∠BEC=180∘ −∠AEB−∠DEC
=180∘ −45∘ −45∘，
∴∠BEC=90∘．
能力强化 / 初二 / 春季第 4 讲 平行四边形与矩形进阶
精选精练
1 如图，点E，F在平行四边形ABCD的对角线BD上，BE=DF，若平行四边形ABCD的面积是
20cm2，△ABE的面积是3cm2，则平行四边形AECF的面积是________cm2．
【答案】8
【解析】解：∵BE=DF，
∴S ΔABE =S ΔADF =3cm2 ，
又∵平行四边形ABCD的面积是20cm2，
∴S =10cm2 ，
ΔABD
∴S =4cm2 ，
ΔAEF
∴平行四边形AECF的面积是8cm2
，
故答案为：8．
2 从□ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，其中E、F、G、H分别为垂足．证明：
EF=GH
【答案】证明：连结EH，FG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO=90∘，
在ΔAOE和ΔCOG中，
∠AOE=∠COG
{
∠AEO=∠CGO=90∘，
OA=OC
∴ΔAOE≅ΔCOG(AAS)，
∴OE=OG，
同理可得OF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，∴EF=GH．
3 E为△ABC中AC边上一点，ED∥AB交BC于点D，F为AB边上一点，AF=DE，延长FD到点G，使
DG=FD，连接AG，求证：DE，AG互相平分．
【答案】连接EG、AD，如图所示：
∵ED∥AF，且ED=AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE=DF，AE∥FD，
又DG=DF，
∴AE=DG，
∴四边形AEGD是平行四边形，
∴ED，AG互相平分．
4 在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．
(1) 如图①，将矩形纸片沿AN折叠，点B落在对角线AC上的点E处，求BN的长；
(2) 如图②，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于
点F，且AG=GE，求BM的长；
【答案】 解：(1) 设BN=x，在Rt△ENC中，由勾股定理得：x2+42=(8−x)，
解得：x=3，
∴BN=3；
(2) 设BM=x，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90∘ =∠A，
∠A=∠E;
{
在△GAM和△GEF中， AG=GE; ，
∠AGM=∠EGF;∴△GAM≌△GEF(ASA)，
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6−x，
∴DF=8−x，CF=8−(6−x)=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：(x+2)2=(8−x)2+62
，
24
解得：x= ，
5
24
∴BM= ；
5
5 如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任意一点，PG⊥AD，PF⊥BE
，垂足分别为F、G．求证：PF+PG=AB．
【答案】连接PE，计算面积可得
1
S = DE⋅AB=S +S
ΔBDE ΔBEP ΔDEP
2
1 1
= BE⋅PF+ DE⋅PG
2 2
1
= DE(PF+PG)，
2
即PF+PG=AB．
6 如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线
于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，FO=CO，
∴EO=FO．
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：
∵EO=FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
1
∴∠2+∠4= ×180°=90°．
2
即∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．
【解析】
能力强化 / 初二 / 春季
第 5 讲 菱形、正方形进阶
例题练习题答案
例1 (1)菱形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长
=_______，面积=_______．
【答案】20，24
(2)如图，菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60∘，则关于菱形ABCD，以下结论正确的有
____________．
①较短的对角线长为a；②较长的对角线长为√3a；
③周长为4a；
√3
④面积为
a2
；
2
⑤若点E为BC的中点，将AB沿AE折叠，AB与AC重合．
【答案】①②③④⑤
练1.1 如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90∘，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相
交于点E、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=6，BC=8，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AO=CO，AC⊥EF，
∵AD//BC，
∴∠AEO=∠CFO，
在ΔAEO和ΔCFO中，
∠EAO=∠FCO
{
∠AEO=∠CFO，
AO=CO
∴ΔAEO≅ΔCFO(AAS)，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵∠B=90∘，AB=6，BC=8，
∴AC= √ AB2+BC2=10，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=FC，
在RtΔABF中，设AF=x，则BF=8−x
∵AB2+BF2=AF2
，
∴62+(8−x)2=x2
，
25
∴x= ，
4
√√
25 15
√
∴OF= CF2−OC2= ( )2−52= ，
4 4
15
∴EF=2OF= ．
2
例2 (1)如图，菱形ABCD中，点E在边BC上，AE与BD相交于点F．求证：∠AEB＝∠DCF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AD=DC，∠ADB=∠CDB，
∵DF=DF，
∴ΔADF≅ΔCDF(SAS)，
∴∠DAF=∠DCF，
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∴∠AEB=∠DCF．
(2)如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，点E在AD上，且AE=2，点P是对角线BD上的
一个动点，则PE+PA的最小值是___________．
【答案】2√7
练2.1 如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD=16，点P、Q分别是BD、AB上的动点，则AP+PQ的
最小值为（ ）
A： 12
B： 11
C： 9.6
D： 4.8
【答案】C例3 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边AB上一点，延长AD至F使DF=BE，连接CF．
（1）求证：∠BCE=∠DCF；
（2）过点E作EG∥CF，过点F作FG∥CE，问四边形CEGF是什么特殊的四边形，并证明．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=∠BCD=90∘，BC=CD，
∴∠B=∠CDF=90∘，
BE=DF
{
在ΔBCE与ΔDCF中 ∠B=∠CDF，
BC=DC
∴ΔBCE≅ΔDCF(SAS)，
∴∠BCE=∠DCF；
（2）解：四边形CEGF是正方形，
理由：∵EG//CF，FG//CE，
∴四边形CEGF是平行四边形，
∵ΔBCE≅ΔDCF，
∴CE=CF，
∴四边形CEGF是菱形，
∵∠BCE=∠DCF，
∴∠ECF=∠BCD=90∘，
∴四边形CEGF是正方形．
练3.1 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F．求证：OE=OF．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，∠BAD=2∠DAC，∠ABC=2∠DBC，
∴∠BAD+∠ABC=180∘，
∵∠CAD=∠DBC，∴∠BAD=∠ABC，
∴2∠BAD=180∘，∴∠BAD=90∘，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
1 1
∴AC⊥BD，AC=BD，CO= AC，DO= BD，
2 2
∴∠COB=∠DOC=90∘，CO=DO，
∵DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE=90∘，∠EDH+∠DEH=90∘，
∵∠ECO+∠DEH=90∘，
∴∠ECO=∠EDH，
∠ECO=∠EDH
{
CO=DO
在ΔECO和ΔFDO中， ，
∠COE=∠DOF=90∘
∴ΔECO≅ΔFDO(ASA)，
∴OE=OF．
例4 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E、H分别在BC、AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=∠DAH=90∘，
∴∠HAO+∠OAD=90∘，
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90∘，
∴∠HAO=∠ADO，
在ΔABE和ΔDAH中，
∠BAE=∠ADH
{
AB=DA
，
∠ABE=∠DAH=90∘
∴ΔABE≅ΔDAH(ASA)，
∴AE=DH.
(2)如图2，在正方形ABCD中，点H、E、G、F分别在AB、BC、CD、DA上，若EF⊥HG于点
O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由．【答案】解：EF=GH．
理由：如图，
过点A作AM//EF交BC于M，
则四边形AMEF为平行四边形，
∴AM=EF，
过点D作DN//GH交AB于N，
同理，DN=GH，
∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根据（1）的结论得AM=DN，
所以EF=GH．
(3)已知，如图3，在（2）的条件下，若BC=4，点E为BC的中点，DF=3AF，连接FH、HE、
EG、GF．求四边形HEGF的面积．
【答案】解：如图，
过点F作FP⊥BC于点P，
∵四边形ABCD是正方形，BC=4，
∴AD=BC=AB=FP=4，
∵E为BC的中点，DF=3AF，∴BE=2，AF=1，
∴PE=2−1=1，
√
在RtΔFPE中，EF= PF2+PE2=√17，
由（2）得：HG=EF，
∴HG=√17，
∵EF⊥HG，
1 17
∴四边形HEGF的面积= ×EF×GH= ．
2 2
练4.1 如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，
HA=EB=FC=GD，连接EG，FH，交点为O．
（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边
形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为
______________cm2
．
【答案】解：（1）四边形EFGH是正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90∘，AB=BC=CD=DA，
∵HA=EB=FC=GD，
∴AE=BF=CG=DH，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90∘，
∴∠DHG+∠AHE=90∘，
∴∠GHE=90∘，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）∵HA=EB=FC=GD=1cm，AB=BC=CD=AD=3cm，
∴GF=EF=EH=GH= √ 12+22=√5cm，
∵由（1）知，四边形EFGH是正方形，
∴GO=OF，∠GOF=90∘，√10
由勾股定理得：GO=OF= cm，
2
1 1 √10 √10 9
∵S FCGO = ×1×2+ × × = cm2 ，
2 2 2 2 4
(
√10 √10)2
∴S = + −S FCGO ×4=10−9=1cm2 ．
2 2
例5 (1)如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF=25∘，则∠AED的
度数为（ ）
A： 60∘
B： 65∘
C： 70∘
D： 75∘
【答案】C
(2)如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给
出下列五个结论：
①AP=EF；
②AP⊥EF；
③∠PFE=∠BAP；
④PD=EC；
⑤PB2+PD2=2PA2
，
正确的有____________．【答案】①②③⑤
【解析】解：①正确，连接PC，由四边形PECF是矩形，四边形ABCD是正方形，可得PC=EF
，PC=PA，∴AP=EF；
②正确；延长AP，交EF于点N，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得AP⊥EF
；
③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP；
④错误，PD=√2PF=√2CE；
⑤正确，PB2+PD2=PE2+BE2+PF2+DF2=2EF2=2PA2
．
练5.1 (1)如图，已知P是正方形ABCD内的一点，且△ABP为等边三角形，那么∠DCP=___________．
【答案】15°
(2)如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．
①求证：△BCP≌△DCP；
②求证：∠DPE=∠ABC；
③把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=
_______．
【答案】解：①证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
∴易证△BCP≌△DCP（SAS）；
②
证明：由①知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴180°−∠1−∠CDP=180°−∠2−∠E，
即∠DPE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC；
③解：与②同理可得：∠DPE=∠ABC，
∵∠ABC=58°，
∴∠DPE=58°．
例6 边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．
（1）若点F在边BC上（如图）；
①求证：CE=EF；
②若BC=2BF，求DE的长．
（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请直接写出DE的长．
【答案】解：（1）①证明：∵正方形ABCD关于BD对称，
∴ΔABE≅ΔCBE，
∴∠BAE=∠BCE．
又∵∠ABC=∠AEF=90∘，
∴∠BAE=∠EFC，
∴∠BCE=∠EFC，
∴CE=EF．
②过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵CE=EF，
∴N是CF的中点．
∵BC=2BF，CN 1
∴ = ．
BC 4
又∵四边形CDMN是矩形，ΔDME为等腰直角三角形，
∴CN=DM=ME，
√2
∴ED=√2DM=√2CN= a．
4
（2）如图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵正方形ABCD关于BD对称，
∴ΔABE≅ΔCBE，
∴∠BAE=∠BCE．
又∵∠ABF=∠AEF=90∘，
∴∠BAE=∠EFC，
∴∠BCE=∠EFC，
∴CE=EF．
∴FN=CN．
又∵BC=2BF，
3
∴FC= a，
2
3
∴CN= a，
4
1
∴EN=BN= a，
4
3√2
∴DE= a．
4
练6.1 正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，
AE．
（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，∴∠DBC＝∠CDB＝45°，
∵∠PBC＝α，
∴∠DBP＝45°﹣α，
∵PE⊥BD，且O为BP的中点，
∴EO＝BO，
∴∠EBO＝∠BEO，
∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；
（2）连接OC，EC，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
在Rt△BPC中，O为BP的中点，
1
∴CO=BO= BP，
2
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠COP＝2α，
由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，
∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，
又由（1）知BO＝EO，
∴EO＝CO．
∴△EOC是等腰直角三角形，
∴EO2+OC2＝EC2，
√2
∴EC=√2OC= BP，
2
即BP=√2EC，
∴BP=√2AE．
能力强化 / 初二 / 春季
第 5 讲 菱形、正方形进阶
自我巩固答案
1 如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60∘，有下列结论：①AE=BF；
②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（ ）
A： 3
B： 4
C： 1
D： 2
【答案】A
【解析】连接BD，∵四边形ABCD是菱形，
1
∴AD=AB，∠ADB= ∠ADC，AB//CD，
2
∵∠A=60∘，
∴∠ADC=120∘，∠ADB=60∘，
同理：∠DBF=60∘，
即∠A=∠DBF，
∴ΔABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60∘，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60∘，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在ΔADE和ΔBDF中，
∠ADE=∠BDF
{
AD=BD ，
∠A=∠DBF
∴ΔADE≅ΔBDF(ASA)，
∴DE=DF，AE=BF，故①正确；
∵∠EDF=60∘，
∴ΔEDF是等边三角形，
∴②正确；
∴∠DEF=60∘，
∴∠AED+∠BEF=120∘，
∵∠AED+∠ADE=180∘ −∠A=120∘，
∴∠ADE=∠BEF；
故④正确．
∵ΔADE≅ΔBDF，∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF．
故③错误．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：A．
2 如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，且AE=CF，求证：□ABCD是菱形．
【答案】证明:∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠CFB=∠AEB=90∘，
在ΔABE与ΔCBF中，
∠B=∠B
{
∠CFB=∠AEB，
AE=CF
∴ΔABE≅ΔCBF(AAS)，
∴BC=BA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴□ABCD是菱形．
3 如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120∘，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，求
EF+BF的最小值．
【答案】解：
连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，作DH⊥BA于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴点B关于AC的对称点为D，∴FD=FB，
∴FE+FB=FE+FD≥DE．
只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），
ΔABD中，AD=AB，∠DAB=120∘，
∴∠HAD=60∘，
∵DH⊥AB，
1 √3
∴AH= AD，DH= AD，
2 2
∵菱形ABCD的边长为2，E为AB的中点，
∴AE=1，AH=1，
∴EH=2，DH=√3，
√
在RtΔEHD中，DE= EH2+DH2=√7，
∴EF+BF的最小值为√7．
4 如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AO=（ ）
A： √5
5
B： 4√5
5
C： 3√5
5
D： 2√5
5
【答案】D
5 如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA=AE交CB的延长线于点F，若AB=4，则四边
形AFCE的面积是（ ）
A： 4B： 8
C： 16
D： 无法计算
【答案】C
6 如图，正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35∘，则∠ANM=（ ）
A： 35∘
B： 45∘
C： 55∘
D： 65∘
【答案】C
7 已知，如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，
A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的对角线长为4，求两个正方形重叠部分的面积．
【答案】（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴∠BOC=90∘，∠OBC=∠OCD=∠OCF=45∘，OB=OC，
∵正方形A′B′C′D′ 的A′B′ 交BC于点E，A′D′ 交CD于点F．
∴∠EOF=90∘，
∵∠BOE=90∘ −∠EOC=∠EOF−∠EOC，∠COF=90∘ −∠EOC=∠BOC−∠EOC，
∴∠BOE=∠COF．
在△OBE和△OCF中，
∠BOE=∠COF，OB=OC，∠OBC=∠OCF，
∴△BOE≅△COF(ASA)．
∴OE=OF；
（2）解：∵△BOE≅△COF，∴S =S ，
ΔBOE ΔCOF
∴S +S =S +S ，
ΔEOC ΔCOF ΔEOC ΔBOE
即S四边形OECF =S ΔBOC．
∵S =2，
ΔBOC
∴两个正方形重叠部分的面积为2．
8 如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于（ ）
A： 20∘
B： 30∘
C： 35∘
D： 40∘
【答案】B
9 如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，
FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （ ）
A： 1
B： 1
2
C： 1
3
D： 1
4
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，
∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，
1 1
∴S = S = ，
阴 正方形ABCD
2 2
故选：B．
10 如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA
上，且D的坐标为(2,0)，P是OB上的一动点，则PD+PA的最小值是（ ）
A： 2√10
B： √10
C： 4
D： 6
【答案】A
【解析】连接CD交OB于P，则CD就是PD+PA和的最小值．
∵在直角△OCD中，∠COD=90°，OD=2，OC=6，
∴CD= √ 22+62 =2√10，
∴PD+PA=PD+PC=CD=2√10．
∴PD+PA和的最小值是2√10．
能力强化 / 初二 / 春季
第 5 讲 菱形、正方形进阶
课堂落实答案
1 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60∘，则对角线AC的长是________．
【答案】6
2 如图，已知菱形ABCD的周长为16，∠ABC=60∘，点E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，
则EP+AP的最小值为（ ）A： 2
B： 2√3
C： 4
D： 4√3
【答案】B
3 如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，EF，GH都过点O，分别交AD，BC于E，F，交
CD，AB于G，H，EF⊥GH，求证：四边形EHFG是正方形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ODG=∠OBH=∠OCF=45∘，AC⊥BD，
∴∠COD=90∘，
∠ODG=∠OBH
{
在ΔODG和ΔOBH中， OD=OB ，
∠DOG=∠BOH
∴ΔODG≅ΔOBH(ASA)，
∴OG=OH，
同理：OE=OF，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∵EF⊥GH，
∴四边形EHFG是菱形，∠GOF=90∘，
∴∠DOG=∠COF，
∠ODG=∠OCF
{
在ΔDOG和ΔCOF中， OD=OC ，
∠DOG=∠COF
∴ΔDOG≅ΔCOF(ASA)，
∴OG=OF，
∴OG=OH=OE=OF，
∴EF=GH，∴四边形EHFG是正方形．
4 如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，
∠PCD=（ ）
A： 60∘
B： 90°
C： 45°
D： 75°
【答案】C
5 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的任意点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，已
知正方形边长为5，求EF的最小值．
【答案】解：
连接PC
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°
∴四边形PECF为矩形
∴EF=PC
1 1 5√2
∵当PC⊥BD时，PC最小，且PC= BD= ⋅√2⋅BC= ,
2 2 2
5√2
∴EF的最小值为
2
能力强化 / 初二 / 春季第 5 讲 菱形、正方形进阶
精选精练
1 如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接
BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①2OG=AB；
②与△EGD全等的三角形共有5个；
③S 四边形ODGF＞S △ABF；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形.
其中正确的是（ ）
A： ①④
B： ①③④
C： ①②③
D： ②③④
【答案】A
2 如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF，∠CFE的角平分线交于点G，∠BEF，
∠DFE的角平分线交于点H．
（1）如果过点G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过点H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点
P，Q，得到四边形MNQP，求证：MNQP是菱形．
（2）在（1）的条件下，连接GH交EF于点K，则MEKG是什么四边形？并证明．
【答案】（1）证明：∵GE平分∠AEF，HE平分∠BEF，
∴∠GEH=90∘，
∵AB//CD，
∴∠AEF+∠CFE=180∘，
1 1
∵∠GEF= ∠AEF，∠GFE= ∠CFE，
2 2
∴∠GEF+∠GFE=90∘，
同理∠EHF=90∘，
∴四边形EGFH是矩形.
∵MN//EF//PQ, AB//CD，∴四边形MNQP是平行四边形，
要证平行四边形MNQP是菱形，只要证MN=NQ.
∵FG平分∠CFE，MN//EF，
∴∠NGF=∠NFG,∴NG=NF.
又∵四边形EGFH是矩形，
∴GE=FH，∠MGE=∠GEF=∠EFH=∠QFH，
由四边形MNQP是平行四边形，可知∠GME=∠FQH，
∴ΔMGE≅ΔQFH，
∴GM=FQ,
又∵NG=NF,
∴MN=NQ，四边形MNQP是菱形.
（2）四边形MEKG是菱形．
理由：∵四边形EGFH是矩形
∴EG=FH，KG=KE，
∴∠KEG=∠KGE=∠AEG，
∴ME//GK，∵MG//EK，
∴四边形MGKE是平行四边形，
∵KE=KG，
∴四边形MGKE是菱形．
3 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最
小值为 ．
【答案】3
【解析】 解：作F点关于BD的对称点F′ ，则PF=PF′ ，连接EF′ 交BD于点P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′ 在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时
EP+FP=EP+F′P=EF′
．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB//CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF=AE=DF′ =1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′ =AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．4 如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB．
（1）求证：PE=PD；
（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
BC=CD
{
∠ACB=∠ACD，
PC=PC
∴△PBC≌△PDC(SAS)，
∴PB=PD，
∵PE=PB，
∴PE=PD；
（2）∠PED=45∘．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90∘，
∵△PBC≌△PDC，
∴∠PBC=∠PDC，
∵PE=PB，
∴∠PBC=∠PEB，
∴∠PDC=∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC=180∘，
∴∠PDC+∠PEC=180∘，
在四边形PECD中，
∠EPD=360∘ −(∠PDC+P∠EC)−∠BCD
=360∘ −180∘ −90∘ =90∘ ，
又∵PE=PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴∠PED=45∘．5 感知：如图1，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A，B重合），连接DE，过点A作
AF⊥DE，交BC于点F，易证：DE=AF．（不需要证明）
探究：如图2，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、CD上的点（点E、F不与正方形的顶点重
合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、H，垂足为O．若E为AB中点，DF=1，AB=
4，求GH的长．
应用：如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BE=CF，BF、AE相交于点G．若AB
=3，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，则△ABG的面积为________，则△ABG
的周长为________．
【答案】感知：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAE=∠ABF=90∘，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠BAF=90∘，∠DAF+∠ADE=90∘，
∴∠ADE=∠BAF，
∠ADE=∠BAF
{
在ΔDAE和ΔABF中， AD=AB ，
∠DAE=∠ABF
∴ΔDAE≅ΔABF(ASA)，
∴DE=AF；
探究：
解：分别过点A、D作AN//GH，DM//EF，分别交BC、AB于点N、M，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，AB=CD，∠DAB=∠B=90∘，
∴四边形DMEF是平行四边形，
∴ME=DF=1，DM=EF，
∵AN//GH，GH⊥EF，∴DM⊥GH，
同理，四边形AGHN是平行四边形，
∴GH=AN，
∵DM//EF，GH⊥EF，
∴AN⊥DM，
∴∠DAN+∠ADM=90∘，
∵∠DAN+∠BAN=90∘，
∴∠ADM=∠BAN，
∠ADM=∠BAN
{
AD=AB
在ΔADM和ΔBAN中， ，
∠DAM=∠ABN=90∘
∴ΔADM≅ΔBAN(ASA)，
∴DM=AN，
∴EF=GH，
∴DM=GH，
∵E为AB中点，
1
∴AE= AB=2，
2
∴AM=AE−ME=2−1=1，
√ √
∴DM= AD2+AM2= 42+12=√17，
∴GH=√17；
应用：
解：∵AB=3，
∴S =3×3=9，
正方形ABCD
∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，
2
∴阴影部分的面积为： ×9=6，
3
∴空白部分的面积为：9−6=3，
BE=CF
{
在ΔABE和ΔBCF中， ∠ABE=∠BCF=90∘，
AB=BC
∴ΔABE≅ΔBCF(SAS)，
∴∠BEA=∠BFC，S
ΔABG
=S四边形CEGF，
1 3
∴S = ×3= ，∠FBC+∠BEA=90∘，
ΔABG
2 2
∴∠BGE=90∘，
∴∠AGB=90∘，设AG=a，BG=b，
1 3
则 ab= ，
2 2
∴2ab=6，
∵a2+b2=AB2=32
，
∴a2+2ab+b2=32+6=15，
即(a+b)2=15，
∴a+b=√15，即BG+AG=√15，
∴ΔABG的周长为√15+3，
3
故答案为： ，√15+3．
2
6 如图①，正方形ABCD中，点E、F都在AD边上，且AE＝FD，分别连接BE、FC，对角线BD交
FC于点P，连接AP，交BE于点G；
（1）试判断AP与BE的位置关系；
（2）如图②，再过点P作PH⊥AP，交BC于点H，连接AH，分别交BE、BD于点N，M，请直接
写出图②中有哪些等腰三角形．
【答案】解：（1）垂直，
理由是：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠CDA=90∘，
∠ADB=∠CDB=45∘，且DP=DP，
∴ΔADP≅ΔCDP，
∴∠DCF=∠DAP，AP=PC，
又AE=DF，∠BAD=∠CDA=90∘，AB=CD，
∴ΔABE≅ΔDCF，
∴∠ABE=∠DCF，
∴∠ABE=∠DAP，
∵∠ABE+∠AEB=90∘，
∴∠DAP+∠AEB=90∘，即∠AGE=90∘，
∴AP⊥BE.
（2）∵AB=BC=CD=DA，
∴ΔABD，ΔBCD是等腰三角形，∵AP⊥PH，∠ABC=90∘，
∴A，B，H，P四点共圆，
∴∠PAH=∠DBC=45∘，
∴∠PAH=∠PHA=45∘ =∠ANG，
∴PA=PH，AG=GN，
∴ΔAPH，ΔAGN是等腰三角形，
∵AP=PH，AP=PC，
∴PC=PH，
∴ΔPHC 是等腰三角形.
能力强化 / 初二 / 春季
第 6 讲 正方形高级技巧
例题练习题答案
例1 在Rt△AEB中，∠AEB=90∘，以斜边AB为边向Rt△AEB外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角
线交于点O，试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，请写出结论并证明．
【答案】解：EA+EB=√2OE
延长EA到F使AF=BE，连接OF
∵∠AEB=90∘，∠BOA=90∘
∴∠EBO+∠EAO=180∘
∵∠FAO+∠EAO=180∘
∴∠EBO=∠FAO
又∵OB=OA，AF=BE
∴△EBO≌△FAO（SAS）
∴OE=OF，∠BOE=∠AOF
∴△OEF是等腰直角三角形.∴EA+EB=EF=√2OE
练1.1 将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积
1
的 ，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的____________．
8
【答案】1
．
2
例2 如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在
射线AC上移动，另一边交DC于Q．
(1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
【答案】PB=PQ,
证明:过P作PE⊥BC,PF⊥CD,
∵P,C为正方形对角线AC上的点,
∴PC平分∠DCB,∠DCB=90∘,
∴PF=PE,
∴四边形PECF为正方形,
∵∠BPE+∠QPE=90∘,∠QPE+∠QPF=90∘,
∴∠BPE=∠QPF,
∴Rt△PQF≅Rt△PBE,
∴PB=PQ;(2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜
想．
【答案】PB=PQ,
证明:过P作PE⊥BC,PF⊥CD,
∵P,C为正方形对角线AC上的点,
∴PC平分∠DCB,∠DCB=90∘,
∴PF=PE,
∴四边形PECF为正方形,
∵∠BPF+∠QPF=90∘,∠BPF+∠BPE=90∘,
∴∠BPE=∠QPF,
∴Rt△PQF≅Rt△PBE,
∴PB=PQ.
练2.1 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE
，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）猜想：如图1，线段OE与线段OF的数量关系为________；
（2）拓展：如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其
他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图2给出证明；如果不成立，请说明理
由．
【答案】（1）∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AM⊥BE，
∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90∘，
∵∠AFO=∠BFM（对顶角相等），
∴∠OAF=∠OBE（等角的余角相等），
又∵OA=OB（正方形的对角线互相垂直平分且相等），
∴ΔAOF≅ΔBOE(ASA)，
∴OE=OF．
故答案为：OE=OF；
（2）成立．理由如下：
∠AOF=∠BOE=90∘，OA=OB，
∵∠ABC=90∘，
∴∠EBC+∠ABM=90∘，
∵∠ABM+∠BAF=90∘，
∴∠EBC=∠BAF，
又∵∠OAB=∠OBC=45∘，
∴∠OAM=∠OBE，
∴ΔAOF≅ΔBOE(ASA)，
∴OE=OF．
例3 如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AM=AD+MC；
（2）若AD=4，求AM的长．
【答案】（1）证明： 过E作EN⊥AM于点N，连接EM，则EN=ED
易证△ANE≌△ADE（HL），∴AN=AD，
又易证△NEM≌△CEM（HL），∴NM=CM，
∴AM=AN+NM=AD+MC
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=4，∠B=90∘，
设MC=x，则BM=4−x，
√ √
AM= AB2+BM2= 42+(4−x)2 ，
∵AM=AD+MC=4+x，
∴ √ 42+(4−x)2=4+x，
解得：x=1，
∴AM=5．
练3.1 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F，求证：
1
EF+ AC=AB．
2【答案】证明：如图，过F作FM⊥AB于点M，
∵AC⊥BD于点E，
1
∴AE= AC，∠ABD=∠CBD=45∘，
2
∵AF平分∠BAC，
∴EF=MF．
又∵AF=AF，
∴RtΔAMF≅RtΔAEF(HL)，
∴AE=AM，
∵∠MFB=∠ABF=45∘，
∴MF=MB，
∴MB=EF，
1
∴EF+ AC=MB+AE=MB+AM=AB．
2
例4 (1)如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D、B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点
F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（ ）
A： 1
B： 5
C： 7
D： 12
【答案】C(2)如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(2,3)，则C点坐
标是________．
【答案】(−3,2)
练4.1 (1)过正方形ABCD的顶点B作直线l，分别过A、C作l的垂线，垂足为E、F，若AE=3，CF=1，
则AB=（ ）
A： 1
B： 2
C： √10
D： 4
【答案】C
(2)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，
OA=4，OB=2，点C，D在第一象限．C点的坐标为____________，D的坐标为
_____________．
【答案】C(6,2)，D(4,6)．
例5 如图1，在正方形ABCD中，P是CD上的一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，
垂足为E、F．（1）求证：BE=EF+DF；
（2）如图2，若点P是DC延长线上的一个动点，请探索BE、DF、EF三条线段之间的数量关系，并
说明理由；
（3）如图3，若点P是CD延长线上的一个动点，请探索BE、DF、EF三条线段之间的数量关系．
【答案】1）证明△ABE≌△DAF，则
BE=AF=AE+EF=DF+EF．
2）证明△ABE≌△DAF，则
BE=AF=AE−EF=DF−EF．
3）证明△ABE≌△DAF，则
BE+DF=AF+AE=EF．
练5.1 如图，G为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BG，CF⊥BG，垂足分别为点E、F．已知
AD=4，则AE2+CF2=___．
【答案】16
例6 如图，正方形ABCD的边长为1，点P是边BC上任意一点（可以与B、C重合），分别过B、C、D作
射线AP的垂线，垂足分别为E、F、G，求BE+CF+DG的最小值．
【答案】如图，作CN⊥DG于N，延长BE交CN于M，
易证四边形CMEF是矩形，∴CF=ME
易证△BCM≌△DAG，∴BE+CF=BE+ME=BM=DG
故BE+CF+DG=2DG
∴当点P和C点重合时，2DG值最小
最小值为√2练6.1 如图，矩形纸片ABCD中，已知AB=5，AD=4，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中剪裁出的一
个正方形．
（1）试求∠BNE+∠CFE的度数；
（2）试求BN+CF的值；
（3）试求点E到BC的距离；
（4）写出EM的最大值和最小值．
【答案】解：（1）如图，
过点E作PQ垂直于AB，分别交AB、CD于点P、Q，
∘
∵∠QFE+∠QEF=∠NEP+∠QEF=90
∴QFE=∠NEP
在ΔEPN和ΔEQF中，
∠FQE=∠EPN
{
∠QFE=∠PEN
EF=NE
∴ΔEQF≅ΔEPN(AAS)
∴∠BNE=∠FEQ
∘
∴∠BNE+∠CFE=90 ；
（2）由ΔEQF≅ΔEPN得证明方法，
同理可得ΔEPN≅ΔEQF≅ΔAMN≅ΔMDF
∴EP=FQ=AN=DM，PN=QE=AM=DF
∴AP=PQ=QD=DA=4
∴四边形APQD为正方形，
∴BN+CF=BP+PN+QF+CQ=4+(5−4)+(5−4)=6；
（3）∵四边形PBCQ是矩形，∴点E到BC的距离等于CQ的长为5−4=1；
√
（4）EM的最大值= 42+42=4√2；最小值=4．
能力强化 / 初二 / 春季
第 6 讲 正方形高级技巧
自我巩固答案
1 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD
上，且∠MEN=90∘，若正方形ABCD的边长为6，则四边形EMCN的面积为（ ）
A： 9
B： 12
C： 16
D： 32
【答案】C
2 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=CF．连接AE、BF．下列结论错误的
是（ ）
A： AE=BF
B： AE⊥BF
C： ∠DAE=∠BFC
D： ∠AEB+∠BFC=120∘
【答案】D
3 如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以C为中心，把△CDB
旋转90∘，则旋转后点D的对应点D′
的坐标是（ ）A： (2,10)
B： (−2,0)
C： (2,10)或(−2,0)
D： (10,2)或(−2,0)
【答案】C
4 如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90∘，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面
积为25，则BE=（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
【答案】D
5 点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，
得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A： 75°
B： 60°
C： 45°
D： 30°
【答案】C6 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B，C重
合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段
之间的关系．
【答案】证明：（1）∵∠BAC=90∘，∠ABC=45∘，
∴∠ACB=∠ABC=45∘，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90∘，
∵∠BAD=90∘ −∠DAC，∠CAF=90∘ −∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
AB=AC
{
∠BAD=∠CAF，
AD=AF
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC；
（2）CF−CD=BC．
7 如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面
积是（ ）
A： 30
B： 34
C： 36
D： 40
【答案】B8 如图，直线l过等腰直角三角形ABC的顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是
（ ）
A： 5
B： √5
C： √11
D： √13
【答案】D
9 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和
EFGH都是正方形，如果AB=10，AH=6，那么EF等于（ ）
A： 8
B： 6
C： 4
D： 2
【答案】D
10 如图，E是正方形ABCD的边BC上的一个动点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在
射线EP上截取线段EF，使得EF=AE，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．
（1）求证：FG=BE；
（2）探究点F是否在∠DCG的平分线上，并说明你的理由．
【答案】（1）证明：∵EP⊥AE，
∴∠AEB+∠GEF=90∘，
又∵∠AEB+∠BAE=90∘，
∴∠GEF=∠BAE，
又∵FG⊥BC，∴∠EGF=90∘，
∠ABE=∠EGF
{
在△ABE与△EGF中， ∠BAE=∠GEF，
AE=EF
∴△ABE≌△EGF(AAS)，
∴FG=BE；
（2）解：点F在∠DCG的平分线上，理由如下：
连接CF，如图：
由（1）知：BC=AB=EG，
∴BC−EC=EG−EC，
∴BE=CG，
又∵FG=BE，
∴FG=CG，
又∵∠CGF=90∘，
1
∴∠FCG=45∘ = ∠DCG，
2
∴CF平分∠DCG．
能力强化 / 初二 / 春季
第 6 讲 正方形高级技巧
课堂落实答案
1 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C(0,4)，D是OA中点，将ΔCDO以C为
旋转中心逆时针旋转90∘，写出此时点D的对应点的坐标________．
【答案】(4,6)．
【解析】 ∵△CDO绕点C逆时针旋转90∘，得到△CBD′
，
则BD′ =OD=2，
∴点D坐标为(4,6)；故答案为：(4,6)．
2 如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形
的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角的度数是（ ）
A： 45°
B： 120°
C： 60°
D： 90°
【答案】D
【解析】解：将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF时，A和B重合，
即∠AOB是旋转角，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠AOB=180°﹣45°﹣45°=90°，
即旋转角是90°，
故选：D
3 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别
交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A： 4
a2
9
B： 1
a2
4C： 5
a2
9
D： 2
a2
3
【答案】A
4 如图，在4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．图中阴影是个正方形，顶点均在格点上，
则这个正方形的边长是__________．
【答案】√10
【解析】
如图 ，
由勾股定理，得
√
AB= AC2+BC2 =√10，
故答案为：√10．
5 过正方形ABCD的顶点B作直线l，分别过A、C作l的垂线，垂足为E、F，若AE=5，CF=2，则
AB=（ ）
A： 2
B： 3
C： √29
D： 5
【答案】C
能力强化 / 初二 / 春季
第 6 讲 正方形高级技巧
精选精练1 如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP
绕O点旋转，这两个正方形重叠部分的面积为_______．
【答案】25
【解析】解：OM交BC于E，OP交CD于F，连接OB、OC，如图，
∵四边形ABCD和四边形OMNP为正方形，
∴∠BOC=90∘，∠OBC=∠OCD=45∘，
∠MOP=90∘，OB=OC，
∵∠BOE+∠EOC=90∘，∠FOC+∠EOC=90∘，
∴∠BOE=∠FOC，
在△BOE和△COF中，
∠OBE=∠OCF
{
OB=OC ，
∠BOE=∠COF
∴△BOE≌△COF，
∴S =S ，
△BOE △COF
1
∴S =S = S
四边形OECF △OBC 正方形ABCD
4
1
= ×10×10=25，
4
即这两个正方形重叠部分的面积为25．
故答案为25．
2 如图，正方形ABCD与正方形DEFG共点于D，连接AG、CE，则∠COH=（ ）
A： 60∘B： 75∘
C： 90∘
D： 105∘
【答案】C
3 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=4√2，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作
EF⊥DE交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90∘，∠ECN=45∘，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90∘，
且NE=NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM=EN，
∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90∘，
∴∠DEN=∠MEF，
又∠DNE=∠FME=90∘，
在△DEN和△FEM中，
∠DNE=∠FME
{
EN=EM ，
∠DEN=∠FEM
∴△DEN≅△FEM(ASA)，
∴ED=EF，
∴矩形DEFG为正方形，
（2）解：CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90∘∵四边形ABCD是正方形，
∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90∘
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD
{
∠ADE=∠CDG ，
DE=DG
∴△ADE≅△CDG(SAS)，
∴AE=CG
∴AC=AE+CE=√2AB=√2×4√2=8，
∴CE+CG=8是定值．
4 如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，AE⊥直线l于点E，若EB=4，则△EBC的面积为
__________．
【答案】8
【解析】如图，作CM⊥l于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90∘，
∵∠AEB=∠CMB=90∘，
∴∠ABE+∠EAB=90∘，∠ABE+∠CBM=90∘，
∴∠CBM=∠EAB，
在ΔABE和ΔBCM中，
∠AEB=∠CMB
{
∠EAB=∠CBM，
AB=BC
∴ΔABE≌ΔBCM，
∴BE=CM=4，1 1
∴S = ⋅EB⋅CM= ×4×4=8．
ΔEBC
2 2
故答案为8．
5 请完成下题：
(1)如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，
CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE=BD+CE．
【答案】证明：∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90∘
∵∠BAC=90∘
∴∠BAD+∠CAE=90∘
∵∠BAD+∠ABD=90∘
∴∠CAE=∠ABD,
∵在ΔADB和ΔCEA中,
∠ABD=∠CAE
{
∠BDA=∠CEA
AB=AC
∴ΔADB≅ΔCEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(2)如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并
且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成
立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】 ∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180∘ −α,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在ΔADB和ΔCEA中,∠ABD=∠CAE
{
∠BDA=∠CEA,
AB=AC
∴ΔADB≅ΔCEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
6 如图1，四边形ABCD是正方形，E是BC边的中点，∠AEF=90∘，EF交正方形外角平分线CF于F
点，则有AE=EF．
（1）如图2，若点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），上述其它条件不变，上述结论还
成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图3，若点E在CB的延长线上时，上述其它条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请证
明；若不成立，请说明理由．
【答案】解：（1）如图2，AE=EF，理由为：
证明：在AB上截取AM=EC，连接ME，
∵AM=EC，AB=BC，
∴AB−AM=BC−EC，即BM=BE，
∴ΔMBE为等腰直角三角形，
∴∠BME=45∘，
∵CF为直角∠DCG的平分线，
∴∠AME=∠ECF=135∘，
∵∠AEF=90∘，
∴∠FEC+∠AEB=90∘，
又∵∠EAM+∠AEB=90∘，
∴∠EAM=∠FEC，
在ΔAEM和ΔEFC中，
∠AME=∠FCE
{
AM=EC ，
∠BAE=∠FEC
∴ΔAEM≅ΔEFC(ASA)，∴AE=EF；
（2）如图3:AE=EF，理由为：
证明：延长AB到M，使AM=CE，连接ME，
∵AM=CE，AB=BC，
∴AM−AB=CE−BC，即BM=BE，
∴∠BME=45∘，
∴∠BME=∠ECF=45∘，
又∠AEF=∠ABE=90∘，
∴∠MAE+∠AEB=90∘，∠CEF+∠AEB=90∘，
∴∠MAE=∠CEF，
在ΔMAE和ΔCEF中，
∠BME=∠ECF
{
AM=CE ，
∠MAE=∠CEF
∴ΔMAE≅ΔCEF(ASA)，
∴AE=EF．
能力强化 / 初二 / 春季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 1
的化简结果是（ ）
√18
A： √18
18
B： 1
3√2
C： √3
6
D： √2
6
【答案】D
【解析】 1 1 √2 √2
= = = ．
√18 3√2 3√2×√2 6故选：D．
2 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，AC=2√3，则AB=（ ）
A： 4
B： 2
C： 4√3
D： 2√3
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，
∵∠C=90∘，∠A=30∘，
AC 2√3
∴AB= = =4．
cos30∘ √3
3
故选：A．
3 若0AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延
长，与BA的延长线交于点G，若\angle EFC=60{}^\circ ，连接GD，判断△AGD的形状并证明．
【答案】含30{}^\circ 角的直角三角形．
提示：连接BD，取BD的中点O，连接OE、OF．
由三角形中位线的性质可得，OE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=OF，由\angle
EFC=60{}^\circ 可得\vartriangle OEF为等边三角形，倒角可得\vartriangle AGF为等边
三角形，可推得\vartriangle AGD为含30{}^\circ 角的直角三角形．
能力强化 / 初二 / 春季
第 9 讲 一次函数
例题练习题答案
例1 下列关系式中，y是x的函数的是________________．（填序号）
①y=3x-1； ②y=\frac{{{x}^{2}}}{5}； ③\left| y \right|=2x； ④y=2\left| x \right|；
⑤{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5； ⑥y=\frac{3}{{{x}^{2}}}．
【答案】①②④⑥
练1.1 下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是( )
A： y：正方形的面积，x：这个正方形的周长
B： y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号
C： y：圆的面积，x：这个圆的直径
D： y：一个正数的平方根，x：这个正数
【答案】D
【解析】解：A、y=(\frac{1}{4}x)^{2}=\frac{1}{16}x^{2}，y是x的函数，故A选项错误；
B、每一个学生对应一个身高，y是x的函数，故B选项错误；
C、y=\pi (\frac{1}{2}x)^{2}=\frac{1}{4}\pi x^{2}，y是x的函数，故C选项错误；
D、y=\pm \sqrt{x}，每一个x的值对应两个y值，y不是x的函数，故D选项正确．
故选：D．
例2 某批发市场对外批发某品牌的玩具，其价格与件数的关系如图所示，请你根据图中描述判断：下
列说法中错误的是（ ）A： 当件数不超过30件时，每件价格为60元
B： 当件数在30到60之间时，每件价格随件数增加而减少
C： 当件数为50件时，每件价格为55元
D： 当件数不少于60件时，每件价格都是45元
【答案】C
【解析】解：由图象可得，
当件数不超过30件时，每件价格为60元，故选项A正确，
当件数在30到60之间时，每件价格随件数增加而减少，故选项B正确，
当件数为50件时，每件价格为：60-\frac{60-45}{60-30}\times (50-30)=50（元），故
选项C错误，
当件数不少于60件时，每件价格都是45元，故选项D正确，
故选：C．
练2.1 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度
y之间的关系用图象描述大致是（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】B
【解析】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述
为：当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长等于火车长，此时y最
大，当火车开始出来时y逐渐变小．
故选：B．
例3 已知关于x的函数y=\left( m+3 \right){{x}^{\left| m \right|-3}}+2n-6是正比例函数，则
mn=_____．
【答案】\pm 12
练3.1 如果函数y=\left( a+2 \right){{x}^{\left| a+1 \right|}}是正比例函数，那么（ ）
A： a=0或a=-2
B： a=2
C： a=-2
D： a=0
【答案】D
例4 已知函数y=\left( m-2 \right)x+{{m}^{2}}-4（m为常数），
(1)当m取何值时，y是x的正比例函数？
【答案】当{{m}^{2}}-4\text{=}0且m-2\ne 0时，y是x的正比例函数，
解得m=-2；
(2)当m取何值时，y是x的一次函数？
【答案】当m-2\ne 0时，即m\ne 2时，y是x的一次函数．
练4.1 当m、n为何值时，函数y=\left( m-3 \right){{x}^{\left| m \right|-2}}+n-2，
（1）是一次函数？
（2）是正比例函数？
【答案】解：（1）由\left| m \right|-2=1得，m=\pm 3，
∵m-3\ne 0，
∴m\ne 3，
所以，m=-3时是一次函数；
（2）由\left| m \right|-2=1得，m=\pm 3，
∵m-3\ne 0，n-2=0，
∴m\ne 3，n=2，
所以，m=-3，n=2时是正比例函数．
【解析】（1）根据一次函数的定义列出绝对值方程和不等式，然后求解即可；
（2）根据正比例函数是特殊的一次函数解答．
例5 已知正比例函数y=kx\left( k<0 \right)图象上的两点A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)、B\left(
{{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)，且{{x}_{1}}<{{x}_{2}}，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A： {{y}_{1}}+{{y}_{2}}>0B： {{y}_{1}}+{{y}_{2}}<0
C： {{y}_{1}}-{{y}_{2}}>0
D： {{y}_{1}}-{{y}_{2}}<0
【答案】C
练5.1 若正比例函数y=\left( 1-2m \right)x的图象经过点A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)和点B\left(
{{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)，当{{x}_{1}}<{{x}_{2}}时，{{y}_{1}}>{{y}_{2}}，则m的取值范围是（ ）
A： m<0
B： m>0
C： m<\frac{1}{2}
D： m>\frac{1}{2}
【答案】D
例6 如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为y=ax、y=bx、y=cx，则a，b，c的大小关系是
（ ）
A： a>b>c
B： c>b>a
C： b>a>c
D： b>c>a
【答案】D
练6.1 如图，正比例函数y=kx、y=mx、y=nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数
k，m，n的大小关系是___________．
【答案】m＜k＜n
例7 已知一次函数y=\left( m+2 \right)x+\left( 1-m \right)，若y值随x值的增大而减小，且此函数图
象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围是（ ）
A： m>-2
B： m<1C： m<-2
D： m<1且m\ne -2
【答案】C
练7.1 给出下列函数：①y=2x；②y=-2x；③y=2x-1；④y=-2x+1，其中y随着x的增大而增大的是
（ ）
A： ①②
B： ③④
C： ①③
D： ②④
【答案】C
例8 在平面直角坐标系中，已知一次函数y=\left( k-2 \right)x-b的图象大致如图所示，则下列结论正
确的是（ ）
A： k>2，b>0
B： k>2，b<0
C： k<2，b>0
D： k<2，b<0
【答案】C
练8.1 函数y=kx+\left| k \right|\left( k\ne 0 \right)在直角坐标系中的图象可能是（ ）
A：
B：
C：D：
【答案】B
【解析】由题意知，b=\left| k \right|>0，故分两情况讨论：
（1）当k>0，图象经过第一、二、三象限；
（2）当k<0，图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
例9 (1)若点M\left( -7,m \right)、N\left( -8,n \right)都在函数y=-\left( {{k}^{2}}+2k+4
\right)x+1（k为常数）的图象上，则m和n的大小关系是（ ）
A： m>n
B： m0
\therefore -\left( {{k}^{2}}+2k+4 \right)<0
\therefore 该函数是y随着x的增大而减少
\because -7>-8
\therefore m{{y}_{2}}，则{{x}_{1}}与{{x}_{2}}的大小关系是（ ）
A： {{x}_{1}}<{{x}_{2}}
B： {{x}_{1}}>{{x}_{2}}C： {{x}_{1}}={{x}_{2}}
D： 无法确定
【答案】B
例10 已知一次函数y=\left( 3m-7 \right)x+m-1，
(1)当m为何值时，函数图象经过原点？
【答案】∵函数的图象经过原点
∴m-1＝0，3m-7\ne 0，
解得：m=1；
(2)若图象不经过三象限，求m的取值范围；
【答案】∵图象不经过三象限，
∴3m-7<0，m-1\ge 0，
解得：1\le m<\frac{7}{3}．
(3)若图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，求整数m的值．
【答案】∵图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，
∴m-1>0，3m-7<0，
解得：10，
解得m>3；
(2)如果这个一次函数又是正比例函数，求m的值；
【答案】根据题意得m-3\ne 0且m-8＝0，
解得m＝8；
(3)如果这个一次函数的图象经过第一、三、四象限，试写一个m的值，不写理由．
【答案】根据题意得：
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m-3>0 \\ m-8<0 \\ \end{array} \right.，
解得：33
C： m\le 3
D： m<3
【答案】B
6 若正比例函数y=\left( 1-4m \right)x的图象y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A： m>\frac{1}{4}
B： m<\frac{1}{4}
C： m>0
D： m<0
【答案】A
7 正比例函数y=kx\left( k\ne 0 \right)的函数值y随x的增大而增大，则y=kx-k的图象大致是（ ）
A：
B：
C：D：
【答案】B
【解析】∵正比例函数y=kx\left( k\ne 0 \right)函数值y随x的增大而增大，
∴k>0，
∴y=kx-k的图象经过第一、三、四象限，
故选：B．
8 已知函数y=\left( m+2 \right)x-2，要使函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A： m\ge -2
B： m>-2
C： m\le -2
D： m<-2
【答案】B
9 点P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right),点P_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)是一次函数y=-4x+3图象上的两个点,且
x_{1}< x_{2},则y_{1}与y_{2}的大小关系是（ ）
A： y_{1}>y_{2}
B： y_{1}>y_{2}>0
C： y_{1}< y_{2}
D： y_{1}=y_{2}
【答案】A
10 已知一次函数y=\left( a+8 \right)x+\left( 6-b \right)，
(1)a、b为何值时，y随x的增大而增大？
【答案】∵y随x的增大而增大
∴a+8>0，解得：a>-8
∴当a>-8时，y随x的增大而增大
b为任意实数
(2)a、b为何值时，图象过第一、二、四象限？
【答案】∵一次函数y=\left( a+8 \right)x+\left( 6-b \right)的图象过第一、二、四象限，
∴\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a+8<0 \\ 6-b>0 \\ \end{array} \right.，
解得：a<-8且b<6．
∴当a<-8且b<6时，一次函数y=\left( a+8 \right)x+\left( 6-b \right)的图象过第
一、二、四象限；(3)a、b为何值时，图象与y轴的交点在x轴上方？
【答案】∵一次函数y＝\left( a+8 \right)x+\left( 6-b \right)的图象与y轴的交点在x轴上方，
∴6-b>0，a+8\ne 0，
解得：b<6，a\ne -8．
∴当b<6且a\ne -8时，一次函数y＝\left( a+8 \right)x+\left( 6-b \right)的图象与y
轴的交点在x轴上方；
(4)a、b为何值时，图象过原点？
【答案】∵一次函数y＝\left( a+8 \right)x+\left( 6-b \right)的图象过原点，
∴a+8\ne 0，6-b=0，
解得：a\ne -8，b=6．
∴当a\ne -8且b=6时，一次函数y＝\left( a+8 \right)x+\left( 6-b \right)的图象过
原点．
能力强化 / 初二 / 春季
第 9 讲 一次函数
课堂落实答案
1 下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】D
2 若函数y=\left( k-1 \right)x+b+2是正比例函数，则（ ）
A： k\ne -1，b=-2B： k\ne 1，b=-2
C： k=1，b=-2
D： k\ne 1，b=2
【答案】B
【解析】解：\because y=(k-1)x+b+2是正比例函数，
\therefore k-1\ne 0，b+2=0．
解得；k\ne 1，b=-2．
故选：B．
3 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A： y=-\frac{1-x}{2}
B： y=-\frac{2}{x}
C： y=-\frac{x}{2}
D： y={{x}^{2}}+1
【答案】A
4 正比例函数y=3x\left( x\ge 0 \right)的大致图象是（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】C
5 如果函数y=kx+2的图象不经过第三象限，那么k的取值范围是（ ）
A： k>0
B： k\ge 0
C： k<0D： k\le 0
【答案】D
能力强化 / 初二 / 春季
第 9 讲 一次函数
精选精练
1 如图，正方形ABCD中，动点P的运动路线为AB→BC，动点Q的运动路线为对角线BD，点P，Q以
同样的速度分别从A，B两点同时出发匀速前进，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之
停止．设点P的运动路程为x，PQ的长为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】B
【解析】 解：P点在AB上运动时，y先变小再增大；
点P在BC上运动时，y逐渐增大；
故选：B．
2 当m=_______时，函数y=-\left( m+2 \right){{x}^{4{{m}^{2}}+1}}+6x-9是关于x的一次函数．
【答案】0或-23 在同一坐标系中，如图所示，正比例函数y={{k}_{1}}x，y={{k}_{2}}x，y={{k}_{3}}x，y={{k}_{4}}x
的图象分别为{{l}_{1}}，{{l}_{2}}，{{l}_{3}}，{{l}_{4}}，则{{k}_{1}}，{{k}_{2}}，{{k}_{3}}，{{k}_{4}}的
大小关系是（ ）
A： {{k}_{1}}<{{k}_{2}}<{{k}_{3}}<{{k}_{4}}
B： {{k}_{2}}<{{k}_{1}}<{{k}_{4}}<{{k}_{3}}
C： {{k}_{1}}<{{k}_{2}}<{{k}_{4}}<{{k}_{3}}
D： {{k}_{2}}<{{k}_{1}}<{{k}_{3}}<{{k}_{4}}
【答案】B
4 若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则函数y=-3kx-b的图象可能为（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】A
5 若式子\sqrt{k-1}有意义，则一次函数y=\left( k-1 \right)x+1-k的图象可能是（ ）A：
B：
C：
D：
【答案】A
6 已知函数y=\left( 5m-2 \right)x+2m+1，
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
【答案】（1）∵函数图象经过原点，
∴2m+1＝0，
解得：m=-\frac{1}{2}．
(2)若这个函数是一次函数，且y随x的增大而增大，求m的取值范围；
【答案】∵这个函数是一次函数，且y随x的增大而增大，
∴5m-2>0，
解得：m>\frac{2}{5}，
∴m的取值范围为m>\frac{2}{5}．
(3)若这个函数是一次函数，且图象不经过第一象限，求m的取值范围．
【答案】∵这个函数是一次函数，且图象不经过第一象限，
∴\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5m-2<0 \\ 2m+1\le 0 \\ \end{array} \right.，
解得：m\le -\frac{1}{2}，
∴m的取值范围为m\le -\frac{1}{2}．
能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数解析式与图象变换
例题练习题答案例1 (1)若点A\left( 2,4 \right)在函数y=kx-2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A： \left( 1,1 \right)
B： \left( -1,1 \right)
C： \left( -2,-2 \right)
D： \left( 2,-2 \right)
【答案】A
(2)如果函数y=ax+b的图象经过\left( -1,8 \right)、\left( 2,-1 \right)两点，那么它也必经过点
（ ）
A： \left( 1,-2 \right)
B： \left( 3,4 \right)
C： \left( 1,2 \right)
D： \left( -3,4 \right)
【答案】C
练1.1 已知正比例函数y=kx图象经过点\left( 3,-6 \right)，求：
(1)这个函数的解析式；
【答案】\because 正比例函数y=kx经过点(3,-6)，
∴-6=3k，
解得：k=-2，
∴这个正比例函数的解析式为：y=-2x；
(2)判断点A\left( 4,-2 \right)是否在这个函数图象上；
【答案】将x=4代入y=-2x得：y=-8\ne -2，
∴点A(4,-2)不在这个函数图象上；
(3)图象上两点B\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)、C\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)，如果
{{x}_{1}}>{{x}_{2}}，比较{{y}_{1}}，{{y}_{2}}的大小．
【答案】\because k=-2<0，
∴y随x的增大而减小，
\because {{x}_{1}}>{{x}_{2}}，
∴{{y}_{1}}<{{y}_{2}}．
例2 (1)已知某一次函数的图象经过A\left( 1,3 \right)、B\left( 0,2 \right)两点，求该一次函数的解
析式．
【答案】解：设函数的解析式为y=kx+b，则：
\left\{ \begin{align} & k+b=3 \\ & 0+b=2 \\ \end{align} \right.，解得：\left\{ \begin{align} & k=1 \\ & b=2 \\ \end{align} \right.，
∴一次函数的解析式为y=x+2．
(2)已知一次函数y=kx+b的图象经过A\left( -2,-1 \right)、B\left( 1,3 \right)两点，求该一次函
数的解析式．
【答案】解：设函数的解析式为y=kx+b，则：
\left\{ \begin{align} & -2k+b=-1 \\ & k+b=3 \\ \end{align} \right.，
解得：\left\{ \begin{align} & k=\frac{4}{3} \\ & b=\frac{5}{3} \\ \end{align}
\right.，
∴一次函数的解析式为y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}．
练2.1 (1)已知y=kx+b，当x=2时，y=-2；当x=0时，y=-6，则该函数解析式为（ ）
A： y=2x-6
B： y=-6x+2
C： y=-2x+6
D： y=-2x-6
【答案】A
(2)一次函数y=kx+b，经过\left( 1,1 \right)、\left( 2,-4 \right)，则k与b的值为（ ）
A： \left\{ \begin{matrix} k=3 \\ b=-2 \\ \end{matrix} \right.
B： \left\{ \begin{matrix} k=-3 \\ b=4 \\ \end{matrix} \right.
C： \left\{ \begin{matrix} k=-5 \\ b=6 \\ \end{matrix} \right.
D： \left\{ \begin{matrix} k=6 \\ b=-5 \\ \end{matrix} \right.
【答案】C
例3 如图，直线{{l}_{1}}的解析式为y=-3x+3，且{{l}_{1}}与x轴交于点D，直线{{l}_{2}}经过点A、B，直
线{{l}_{1}}、{{l}_{2}}交于点C，且A点坐标为\left( 4,0 \right)．
(1)求点D的坐标；
【答案】解：当y＝-3x+3＝0时，x＝1，
∴D\left( 1,0 \right)．(2)求直线{{l}_{2}}的解析式；
【答案】解：设直线{{l}_{2}}的解析表达式为y＝kx+b\left( k\ne 0 \right)，
把A\left( 4,0 \right)、B\left( 3,-\frac{3}{2} \right)代入表达式y＝kx+b，
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4k+b=0 \\ 3k+b=-\frac{3}{2} \\ \end{array}
\right.，解得：\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k=\frac{3}{2} \\ b=-6 \\ \end{array}
\right.，
∴直线{{l}_{2}}的解析表达式为y=\frac{3}{2}x-6．
(3)求C点的坐标．
【答案】解：联立y＝-3x+3和y=\frac{3}{2}x-6，
解得：x＝2，y＝-3，
∴C\left( 2,-3 \right)．
练3.1 如图，正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A\left( m,2 \right)，一次函数图
象经过点B\left( -2,-1 \right)，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
(1)求一次函数解析式；
【答案】解：将A\left( m,2 \right)代入y＝2x，
得：2＝2m，
则m＝1；
将A\left( 1,2 \right)和B\left( -2,-1 \right)代入 y＝kx+b中，
得：\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k+b=2 \\ -2k+b=-1 \\ \end{array} \right.，
解得：\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k=1 \\ b=1 \\ \end{array} \right.，
则解析式为y＝x+1；
(2)求C点的坐标．
【答案】在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，
则C点坐标为\left( 0,1 \right)．
例4 (1)对于直线：y=2x-1，
①求向下平移4个单位后的解析式；
②求向右平移2个单位后的解析式；
③求先向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的解析式．
【答案】①y=2x-5 ② y=2x-5③ y=2x+6
【解析】①y=2x-1-4
②y=2\left( x-2 \right)-1③y=2\left( x+3 \right)-1+1
(2)若直线y=kx+b的图象向上平移3个单位，再向左平移1个单位，平移后的直线的函数解析式
为y=2x+5，求k、b．
【答案】k=2；b=0
【解析】由题意知y=k\left( x+1 \right)+b+3=2x+5
得\left\{ \begin{align} & kx=2x \\ & b+3+k=5 \\ \end{align} \right.
可求出k，b的值
(3)若一次函数y=kx+b的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，平移后的图象与原图象
重合，你能确定k、b的值吗？
【答案】k=-\frac{2}{3}，不能确定b的值
【解析】kx+b=k\left( x+3 \right)+b+2
3k+2=0
解得k=-\frac{2}{3}
练4.1 (1)对于直线：y=-3x+2，
①将该直线向左平移1个单位后得到直线的解析式为_________________；
②将该直线向上平移5个单位后得到直线的解析式为_________________；
③将该直线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到直线的解析式为_________．
【答案】①y=-3x-1
②y=-3x+7
③y=-3x+5
(2)若直线y=mx+n的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的直线的函数解析
式为y=3x-2，则m=_______，n=_______．
【答案】3 ，-3
(3)若一次函数y=kx+1的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，平移后的图象与原图象
重合，则k=_______．
【答案】1
例5 (1)求一次函数y=x-1的图象关于x轴对称的函数解析式；
【答案】y=-x+1
(2)求一次函数y=3x-1的图象关于y轴对称的函数解析式；
【答案】y=-3x-1
(3)求一次函数y=-2x-1的图象关于原点对称的函数解析式．
【答案】y=-2x+1练5.1 (1)一次函数y=-2x+3的图象关于x轴对称直线的函数解析式为________________；
【答案】y=2x-3
(2)一次函数y=-x+2的图象关于y轴对称直线的函数解析式为_______________；
【答案】y=x+2
(3)一次函数y=x-3的图象关于原点对称直线的函数解析式为_______________．
【答案】y=x+3
能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数解析式与图象变换
自我巩固答案
1 关于函数y=-2x+1，下列结论正确的是（ ）
A： 图象必经过点\left( -2,1 \right)
B： y随x的增大而增大
C： 当x>\frac{1}{2}时，y<0
D： 图象不经过第一象限
【答案】C
2 已知一次函数y=-5x+m的图象经过点\left( -2,7 \right)，则下列点在函数图象上的是（ ）
A： \left( 0,-2 \right)
B： \left( 1,8 \right)
C： \left( -3,12 \right)
D： \left( -1,1 \right)
【答案】C
3 已知一次函数图象经过点\left( -2,\text{7} \right)、\left( 2,-\text{1} \right)．
（1）求这个一次函数解析式；
（2）求出图象与两个坐标轴的交点坐标．
【答案】 解：（1）设该一次函数的解析式为y＝kx+b，
根据题意，得：\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -2k+b=7 \\ 2k+b=-1 \\ \end{array}
\right.，
解得：\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k=-2 \\ b=3 \\ \end{array} \right.，
∴这个一次函数解析式为y＝-2x+3；
（2）在这个一次函数解析式y＝-2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴该函数图象与y轴交于点\left( 0,3 \right)；
当y＝0时，-2x+3＝0，
解得：x=\frac{3}{2}，
∴该函数图象与x轴交于点\left( \frac{3}{2},0 \right)．
4 已知，在平面直角坐标系中，直线y=2x+3与直线y=-2x-1交于点C．
（1）求两直线与y轴交点A、B的坐标；
（2）求点C的坐标；
【答案】解：（1）把x=0，代入y=2x+3，得y=3
∴A\left( 0,3 \right)
把x=0代入y=-2x-1，得y=-1
∴B\left( 0,-1 \right)
（2）由题意得方程组：
\left\{ \begin{matrix} y=2x+3 \\ y=-2x-1 \\ \end{matrix} \right.
解之得\left\{ \begin{matrix} x=-1 \\ y=1 \\ \end{matrix} \right.
∴C\left( -1,1 \right)
5 已知一次函数y=kx+b的图象平行于直线y=-3x，且经过点\left( 2,-3 \right)．
(1)求这个一次函数的解析式；
【答案】∵一次函数y=kx+b的图象平行于直线y=-3x，
∴k=-3，
∴y=-3x+b
把点\left( 2,-3 \right)代入得，-3=-3\times 2+b，
解得b=3，
所以，一次函数的解析式为，y=-3x+3；
【解析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求
出b值，即可得解；
(2)当y=6时，求x的值．
【答案】当y=6时，-3x+3=6，
解得x=-1．
【解析】把y=6代入解析式，计算即可求出x的值．
6 对于直线：y=\text{3}x，（1）求向左平移2个单位后的解析式；
（2）求向上平移2个单位后的解析式；
（3）求先向右平移3个单位，再向上平移5个单位后的解析式．
【答案】（1）y=3x+6；
（2）y=3x+2；
（3）y=3x-4.
【解析】（1）y=3\left( x+2 \right)；
（2）y=3x+2；
（3）y=3\left( x-3 \right)+5 .
7 直线{{l}_{1}}与坐标轴分别交于点A\left( 0,3 \right)、B\left( -4,0 \right)．
（1）求直线{{l}_{1}}的解析式；
（2）若直线{{l}_{1}}关于y轴对称的图形为{{l}_{2}}，求{{l}_{2}}的解析式．
【答案】（1）y=\frac{3}{4}x+3；（2）y=-\frac{3}{4}x+3
8 若函数y=kx+b的图象向上平移2个单位，再向右平移1个单位，平移后的直线的函数解析式为
y=x+\text{3}，求k、b的值；
【答案】解：∵函数y=kx+b的图象向上平移2个单位，再向右平移1个单位
∴平移后的解析式为：y=k\left( x-1 \right)+b+2
∴平移后的解析式为：y=kx-k+b+2
∵平移后的解析式为：y=x+\text{3}
∴\left\{ \begin{align} & k=1 \\ & -k+b+2=3 \\ \end{align} \right.
∴\left\{ \begin{align} & k=1 \\ & b=2 \\ \end{align} \right.
9 如图，已知直线AB经过点A\left( 0,4 \right)、B\left( 2,0 \right)．
(1)求直线AB的函数解析式；
【答案】解：设直线AB的函数解析式为y=kx+b，依题意有
\left\{ \begin{matrix} b=4 \\ 2k+b=0 \\ \end{matrix} \right.，
解得\left\{ \begin{matrix} k=-2 \\ b=4 \\ \end{matrix} \right.．
故直线AB的函数解析式为y=-2x+4；
(2)将直线AB向下平移2个单位得到直线CD，使CD与y轴交于点C，与x轴交于点D，求四边形
ABDC的面积．
【答案】解：四边形ABDC的面积=三角形AOB的面积－三角形COD的面积
=4\times 2\div 2-\left( 4-2 \right)\times \left( 2-1 \right)\div 2
=4-1
=3．
故四边形ABDC的面积是3．
10 一次函数y=kx+b的图象，如图所示．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）如果这个一次函数的图象向上平移m个单位得到的图象恰与它向右平移n个单位得到的图象
完全相同，求m、n之间的等式关系．
【答案】解：（1）将\left( 0,2 \right)、\left( 4,0 \right)分别代入y=kx+b，
得\left\{ \begin{align} & b=2 \\ & 4k+b=0 \\ \end{align} \right.，
解得：\left\{ \begin{align} & b=2 \\ & k=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.．
所以这个一次函数的解析式为y=-\frac{1}{2}x+2；
（2）依题意可得：-\frac{1}{2}x+2+m=-\frac{1}{2}\left( x-n \right)+2，
化简得：m=\frac{1}{2}n．
能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数解析式与图象变换
课堂落实答案
1 如图，请在图中获取信息，完成以下问题：
（1）当x=0时，y=___；当y=0时，x=___；
（2）求直线对应的函数表达式．
【答案】解：（1）由图象可得：
直线与x轴的交点坐标为\left( -2,0 \right)，与y轴的交点坐标为\left( 0,1 \right)，
所以可得：当x=0时，y=1；当y=0时，x=-2，
故答案为1；-2；（2）设直线解析式为y=kx+b，
把\left( -2,0 \right)\left( 0,1 \right)代入解析式可得：\left\{ \begin{matrix} -2k+b=0
\\ b=1 \\ \end{matrix} \right.，
解得：\left\{ \begin{matrix} k=\frac{1}{2} \\ b=1 \\ \end{matrix} \right.．
所以解析式为：y=\frac{1}{2}x+1．
【解析】（1）根据图象得出直线与x，y轴的交点坐标解答即可；
（2）将交点坐标代入解析式，利用待定系数法得出解析式即可．
2 一次函数y=-3x+5交y轴于点A，则点A的坐标为（ ）
A： \left( 0,5 \right)
B： \left( 5,0 \right)
C： \left( \frac{5}{3},0 \right)
D： \left( 0,\frac{5}{3} \right)
【答案】A
3 若把一次函数y=2x-3，向下平移3个单位长度，得到的图象解析式是（ ）
A： y=2x
B： y=2x-6
C： y=5x-3
D： y=-x-3
【答案】B
【解析】一次函数y=2x-3向下平移3个单位长度得到的函数解析式为y=2x-3-3=2x-6．
故选：B．
4 一次函数y=-2x+3的图象关于原点对称的直线的函数解析式为（ ）
A： y=-2x-3
B： y=2x-3
C： y=2x+3
D： y=-x+3
【答案】A
5 如图，函数y=-2x+3与y=-\frac{1}{2}x+m的图象交于P\left( n,-2 \right)．
（1）求出m、n的值；
（2）写出P点的坐标．【答案】解:（1）∵y=-2x+3与y=-\frac{1}{2}x+m的图象交于P\left( n,-2 \right)
∴-2=-2n+3
∴n=\frac{5}{2}
∴-2=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}+m
∴m=-\frac{3}{4}
（2）P\left( \frac{5}{2},-2 \right)
能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数解析式与图象变换
精选精练
1 已知y-3与4x-2成正比例，且当x=1时，y=5．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求当x=-2时的函数值．
【答案】（1）解：设y-3=k\left( 4x-2 \right)\left( k\ne 0 \right)，
把x=1，y=5代入，得
5-3=k\left( 4\times 1-2 \right)，
解得k=1，
则y与x之间的函数关系式是y=4x+1；
（2）由（1）知，y=4x+1．
当x=-2时，y=4\times \left( -2 \right)+1=-7．
即当x=-2时的函数值是-7．
【解析】（1）根据正比例函数的定义设出函数解析式，再把当x=1时，y=5代入求出k的值；
（2）把x=-2代入（1）中的解析式进行计算即可．
2 已知一次函数的图象经过A\left( -2,-3 \right)、B\left( 1,3 \right)两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
【答案】设一次函数的表达式为y=kx+b，
则\left\{ \begin{align} & -3=-2k+b \\ & 3=k+b \\ \end{align} \right.，解得：
k=2，b=1．
∴函数的解析式为：y=2x+1．(2)试判断点P\left( -1,1 \right)是否在这个一次函数的图象上；
【答案】将点P\left( -1,1 \right)代入函数解析式，1\ne -2+1，
∴点P不在这个一次函数的图象上．
(3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积．
【答案】当x=0，y=1，当y=0，x=-\frac{1}{2}，
此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积为：\frac{1}{2}\times 1\times \left| -
\frac{1}{2} \right|=\frac{1}{4}．
3 已知一次函数y=2x-5m的图象与x轴的交点在A\left( -1,0 \right)与B\left( 4,0 \right)之间（包括
A、B两点），求m的取值范围．
【答案】在 y=2x-5m 中,令 y=0,
得 x=\dfrac{5}{2}m,
由题意可知:-1\leqslant \dfrac{5}{2}m\leqslant 4,
\therefore -\dfrac{2}{5}\leqslant m\leqslant \dfrac{8}{5},
即 m 的取值范围是 -\dfrac{2}{5}\leqslant m\leqslant \dfrac{8}{5}.
4 如图，直线{{l}_{1}}的解析式为y=3x-3，且{{l}_{1}}与x轴交于点D，直线{{l}_{2}}经过点A、B，直线
{{l}_{1}}、{{l}_{2}}交于点C，且A点坐标为\left( 4,0 \right)．
(1)求点D的坐标；
【答案】解：∵直线{{l}_{1}}的解析式为y=3x-3，且{{l}_{1}}与x轴交于点D
∴当y=0时，x=1，
∴D\left( 1,0 \right)．
(2)求直线{{l}_{2}}的解析式；
【答案】解：设直线{{l}_{2}}的解析表达式为y＝kx+b\left( k\ne 0 \right)，
把A\left( 4,0 \right)、B\left( 3,\frac{3}{2} \right)代入表达式y＝kx+b，
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4k+b=0 \\ 3k+b=\frac{3}{2} \\ \end{array}
\right.，解得：\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k=-\frac{3}{2} \\ b=6 \\ \end{array}
\right.，
∴直线{{l}_{2}}的解析表达式为y=-\frac{3}{2}x+6．(3)求C点的坐标．
【答案】解：联立y=3x-3和y=-\frac{3}{2}x+6，
解得：x=2，y=3，
∴C\left( 2,3 \right)．
5 (1)如右图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax；②y=bx；③y=cx，将a、b、c从
小到大排列并用“<”连接为_________________；
【答案】c1
D： m<4
【答案】C
6 (1)一次函数y=-x+\text{7}的图象关于x轴对称的函数解析式为________________；
【答案】y=x-\text{7}
(2)一次函数y=-\text{4}x-3的图象关于y轴对称的函数解析式为_______________；
【答案】y=\text{4}x-\text{3}
(3)一次函数y=2x+\text{1}的图象关于原点对称的函数解析式为________________．
【答案】y=\text{2}x-1
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第 11 讲 一次函数的应用
例题练习题答案
例1 一次函数y=kx+b\left( k\ne 0 \right)的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b>2的解集应是
_______________．【答案】x>2
【解析】由图象可得：关于x的不等式kx+b>2的解集应是x>2；
故答案为：x>2
练1.1 如图，已知一次函数{{y}_{1}}=-x+b的图象与y轴交于点A\left( 0,4 \right)，{{y}_{2}}=kx-2的图象
与x轴交于点B\left( 1,0 \right)，那么使{{y}_{1}}>{{y}_{2}}成立的自变量x的取值范围是_________．
【答案】x＜2
【解析】解：将点A\left( 0,4 \right)代入一次函数{{y}_{1}}=-x+b
得：0+b=4，
解得：b=4，
故函数解析式为{{y}_{1}}=-x+4；
将点B\left( 1,0 \right)代入{{y}_{2}}=kx-2
得：k-2=0，
解得：k=2，
故函数解析式为{{y}_{2}}=2x-2，
再将{{y}_{1}}=-x+4和{{y}_{2}}=2x-2组成方程组
得：\left\{ \begin{matrix} y=-x+4 \\ y=2x-2 \\ \end{matrix} \right.，
解得：\left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=2 \\ \end{matrix} \right.．
故两函数图象交点坐标为\left( 2,2 \right)．
于是可知，使{{y}_{1}}>{{y}_{2}}成立的自变量x的取值范围是x<2．
故答案为：x<2．
例2 (1)如图，已知函数y=ax-2和y=-x+n的图象交于点P，则不等式ax-2\ge -x+n的解集为
_____________．
【答案】x\ge 1(2)已知直线y=kx+b经过\left( -2,-1 \right)，\left( -3,0 \right)两点，则不等式组\frac{1}
{2}x0 \\ -bx+1\ge 0 \\
\end{array} \right.的解集是（ ）
A： x<\frac{1}{3}
B： -\frac{1}{3}-\frac{1}{3}
时，函数值y的范围是y>0；
因而当y>0时，x的取值范围是x>-\frac{1}{3}；
函数y=-bx+1与x轴交于点\left( 2,0 \right)，即当x\le 2时，函数值y的范围是y\ge 0；
因而当y\ge 0时，x的取值范围是x\le 2；
所以，原不等式组的解集是-\frac{1}{3}-x+m>0的整
数解可能是（ ）
A： 1
B： -1C： -2
D： -3
【答案】B
3 (1)如图为一次函数y=kx+b的图象，则
①kx+b=0的解为___________；
②不等式kx+b\ge 0的解集为___________；
③不等式kx+b<0的解集为___________；
④不等式kx+b\ge 3的解集为____________．
【答案】①x=2；②x\le 2；③x>2；④x\le 0.
(2)如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b>ax+3的解集为
__________．
【答案】x>1；
(3) 如图，直线{{y}_{1}}=kx+b过点A\left( 0,2 \right)，且与直线{{y}_{2}}=mx交于点P\left(
1,m \right)，则不等式组mx>kx+b>mx-2的解集是（ ）
A： 10,
\therefore w随 x的增大而增大,
\because 0⩽x⩽6,
\therefore x=0时, w最小,最小值为 \text{8600}元.
10 有甲、乙两家通讯公司，甲公司每月通话（不区分通话地点）的收费标准如图所示，乙公司每月
通话收费标准如表所示．
（1）观察图象，求甲公司用户月通话时间不超过400分钟时应付的话费金额；
（2）求出甲公司的用户通话时间超过400分钟后，通话费用y（元）与通话时间t（分钟）之间的
函数关系式（写出计算过程）；
（3）王先生由于工作需要，从4月份开始经常去外市出差，估计每月各种通话时间的比例是：
本市接听时间：本市拨打时间：外市通话时间=2：1：1．设王先生每月的各种通话时间总和为
t（分钟），通话费用为y（元），你认为t不少于多少时间时，乙通讯公司比甲公司更合算？请用
计算方法说明理由．月租费 本市接听费 本市拨打费 外市通话费
50元 0元/月 0.10元/分 0.90元/分
【答案】解：（1）30元；
（2）设y=kt+b 过\left( 400,30 \right)，\left( 500,70 \right)，
代入解得y=0.4t-130\left( t>400 \right)．
（3）甲公司：y=\left\{ \begin{align} & 30\left( 0\le t\le 400 \right) \\ & 0.4t-
130\left( t>400 \right) \\ \end{align} \right.，
乙公司：y=50+\frac{2\times 0+0.1\times 1+0.9\times 1}{4}t=50+\frac{t}{4}(t\ge 0)
由于t>400，0.4t-130\ge 50+\frac{t}{4}，
解得t\ge 1200，
t不少于1200分钟时，乙通讯公司比甲公司更合算．
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第 11 讲 一次函数的应用
课堂落实答案
1 如图，一次函数{{y}_{1}}=x+b与一次函数{{y}_{2}}=kx+4的图象交于点P1,3，则关于x的不等式
x+b>kx+4的解集是（ ）
A： x>-2
B： x>0
C： x>1
D： x<1
【答案】C
【解析】当x>1时，x+b>kx+4，
即不等式x+b>kx+4的解集为x>1．
故选：C．2 已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB面积为（ ）
A： 8
B： 6
C： 4
D： 2
【答案】C
3 如果直线y=x+m与两坐标轴围成的三角形面积等于2，则m的值是____．
【答案】\pm 2
【解析】令y=x+m中x=0，则y=m，
直线y=x+m与y轴的交点为\left( 0,m \right)；
令y=x+m中y=0，则x=-m，
直线y=x+m与x轴的交点为\left( -m,0 \right)．
∴直线y=x+m与两坐标轴围成的三角形面积S=\frac{1}{2}\left| m \right|\cdot \left| -m
\right|=\frac{1}{2}{{m}^{2}}=2，
解得：m=\pm 2．
故答案为：\pm 2．
4 甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留）前往终点B地，甲、乙两车之间的距离
y（千米）与甲车行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示．小红通过图象得出4个信息：
①甲车速度为60千米/小时；
②A、B两地相距240千米；
③乙车行驶2小时追上甲车；
④乙车由A地到B地共用\frac{8}{3}小时．
上述信息正确的有（ ）个．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
【答案】A
【解析】由函数图象及题意可以得出：甲车的速度为：
15\div \left( 4-\frac{11}{3} \right)=45km/时，故①错误；
A、B两地的路程为：45\times 4=180km，故②错误；
乙车追上甲车的时间是\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=2小时，故③正确；
乙车由A地去B地的时间为：
\frac{11}{3}-\frac{2}{3}=3小时，故④错误．
综上所述，正确的有1个．
故选：A．
5 某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙
厂直接按印刷数量收取印刷费．甲，乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数
关系图象分别如图中甲，乙所示，下列四种说法：
①甲厂的制版费为1千元；
②当印制证书超过2千个时，乙厂的印刷费用为0.2元/个；
③当印制证书8千个时，选择乙厂节省费用，节省费用500元；
④甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下．每个证书最少降低
0.0625元．
其中正确的个数是（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
【答案】C
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第 11 讲 一次函数的应用
精选精练
1 已知直线{{y}_{1}}=kx+1（k<0）与直线{{y}_{2}}=nx（n>0）的交点坐标为\left( \frac{1}
{3},\frac{1}{3}n \right)，则不等式组nx-325时，{{y}_{A}}=7+\left( x-25 \right)\times 0.01\times 60=0.6x-8，
即{{y}_{A}}与x之间的函数关系式是{{y}_{A}}=\left\{ \begin{align} & \\ & \\
\end{align} \right.\begin{matrix} 7\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix}025 \\ \end{matrix}(3)若某同学每月上网学习时间为70小时，那么选择哪种方式上网学习合算，为什么？
【答案】某同学每月上网学习时间为 70小时,那么选择 B种方式上网学习合算;
理由:设当 x>50时, {y}_{B}与 x之间的函数关系式是 {y}_{B}=kx+b,
\{\begin{array}{c}50k+b=10\\ 75k+b=25\end{array},
得 \{\begin{array}{c}k=0.6\\ b=-20\end{array},
\therefore 当 x>50时, {y}_{B}与 x之间的函数关系式是 {y}_{B}=0.6x-20,
\therefore 当 x=70时, {y}_{A}=0.6\times 70-8=34,
当 x=70时, {y}_{B}=0.6\times 70-20=22,
\because 34>22,
\therefore 某同学每月上网学习时间为 70小时,那么选择 B种方式上网学习合算.
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第 12 讲 一次函数综合（一）
例题练习题答案
例1 如图，若A\left( 6,0 \right)，B\left( 0,3 \right)，点Q从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO
匀速运动，设点Q运动时间为t秒，过Q点作直线AB的垂线，垂足为D，直线QD与y轴交于E点，在
点Q的运动过程中，一定存在△EOQ≌△AOB，请直接写出存在的t值以及相应的E点坐标．
【答案】根据题意，分两种情况：
第一种情况如图所示：
\because A(6,0)，B(0,3)，△EOQ≌△AOB，
\therefore OQ=OB，OE=OA．
\therefore AQ=3，点E的坐标为(0,-6)．
\because 点Q从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，
\therefore 点Q运动的时间t=3秒．
故此时t的值为3，点E的坐标为(0,-6)．
第二种情况如下图所示：\because A(6,0)，B(0,3)，△EOQ≌△AOB，
\therefore OQ=OB，OE=OA．
\therefore AQ=9，点E的坐标为(0,6)．
\because 点Q从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，
\therefore 点Q运动的时间t=9秒．
故此时t的值为9，点E的坐标为(0,6)．
练1.1 如图，直线L：y=-\frac{1}{2}x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C\left( 0,4
\right)，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．
【答案】（1）A（4，0）、B（0，2）；
（2）当0≤t≤4时， S△OCM=8-2t；
当t＞4时， S△OCM=2t-8；
（3）（2,0）或（-2,0）
【解析】解：（1）对于直线AB：y＝−\frac{1}{2}x+2，
当x=0时，y=2；当y=0时，x=4，
则A、B两点的坐标分别为A（4，0）、B（0，2）；
（2）∵C（0，4），A（4，0）
∴OC=OA=4，
当0≤t≤4时，OM=OA-AM=4-t，S△OCM=\frac{1}{2}×4×（4-t）=8-2t；
当t＞4时，OM=AM-OA=t-4，S△OCM=\frac{1}{2}×4×（t-4）=2t-8；
（3）分为两种情况：①当M在OA上时，OB=OM=2，△COM≌△AOB．
∴AM=OA-OM=4-2=2
∴动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟；
M（2，0），
②当M在AO的延长线上时，OM=OB=2，
则M（-2，0），此时所需要的时间t=[4-（-2）]/1=6秒，
即M点的坐标是（2，0）或（-2，0）．例2 如图（含备用图），在平面直角坐标系中，已知直线y=kx+3与x轴相交于点A(2,0)，与y轴交于点
B．
(1)求k的值及\vartriangle AOB的面积
【答案】将点A(2,0)代入直线y=kx+3，得0=2k+3，
解得k=-\frac{3}{2}，
∴y=-\frac{3}{2}x+3，
当x=0时，y=3，
∴B(0,3)，OB=3，
OA=2，
∴{{S}_{\vartriangle AOB}}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\times 2\times
3=3；
(2)点C在x轴上，若\vartriangle ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标
【答案】(-2,0)或(\sqrt{13}+2,0)或(2-\sqrt{13},0)
练2.1 如图，一次函数y=-\frac{3}{4}x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线CD对
折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
(1)点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
【答案】令y=0 ，则x=4 ；令x=0 ，则y=3 ，
故点A的坐标为(4,0) ，点B的坐标为(0,3) ．
【解析】令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可求出A、B两点的坐标；
(2)求OC的长度；
【答案】设OC=x ，则AC=CB=4-x ，
∵\angle BOA=90{}^\circ ，
∴O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=C{{B}^{2}}，
{{3}^{2}}+{{x}^{2}}={{\left( 4-x \right)}^{2}} ，解得x=\frac{7}{8}，
∴OC=\frac{7}{8}．
【解析】OC=x ，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；
(3)在x轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P的坐标．
【答案】设P点坐标为(x,0) ，
当PA=PB 时，\sqrt{{{(x-4)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+9}，
解得x=\frac{7}{8}；
当PA=AB 时，\sqrt{{{(x-4)}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}，
解得x=9 或x=-1 ；
当PB=AB 时，\sqrt{{{x}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}，
解得x=-4 ．
∴P点坐标为\left( \frac{7}{8},0 \right)，\left( -4,0 \right)，\left( -1,0 \right)，
\left( 9,0 \right)．
【解析】根据x轴上点的坐标特点设出P点的坐标，再根据两点间的距离公式解答即可．
例3 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为\left( 4,0 \right)，直线l:y=-2x+4分别与x轴，y轴相交
于B、C两点．
(1)点B的坐标为 ，点C的坐标为
【答案】∵y=-2x+4，
∴当y=0时，x=2，∴B\left( 2,0 \right)，
当x=0时，y=4，∴C\left( 0,4 \right)
(2)在直线l上是否存在点P，使得△APB为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】如果\angle BAP=90{}^\circ ，那么P点横坐标与A点横坐标相同，为4，
当x=4时，y=-4，此时P\left( 4,-4 \right)；
如果\angle BPA=90{}^\circ ，那么A{{B}^{2}}=P{{B}^{2}}+P{{A}^{2}}，
设P点坐标为\left( x,-2x+4 \right)，
则 {{2}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( -2x+4 \right)}^{2}}+{{\left( x-4
\right)}^{2}}+{{\left( -2x+4 \right)}^{2}}，
整理，得5{{x}^{2}}-22x+24=0，
解得{{x}_{1}}=\frac{12}{5}，{{x}_{2}}=2（与B点横坐标相同）
当x=\frac{12}{5}时，y=-\frac{4}{5}，综上所述，在直线l上存在点P\left( 4,-4 \right)，\left( \frac{12}{5},-\frac{4}{5}
\right)使得△APB为直角三角形
练3.1 如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B\left( 0,-1 \right)，与x
轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为\left( 1,n \right)．
(1)则n= ，k= ，b= ；
【答案】2；3；-1
【解析】\because点D在直线y=x+1上，
\therefore n=1+1=2，
\therefore D(1,2)，
\because 一次函数y=kx+b的图象经过点B(0,-1)和点D(1,2)，
\therefore \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} b=-1 \\ k+b=2 \\ \end{array} \right.，
解得\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k=3 \\ b=-1 \\ \end{array} \right.，
故答案为：2；3；-1；
(2)求四边形AOCD的面积；
【答案】在y=x+1中，令x=0可得y=1，
\therefore A(0,1)
由（1）可知一次函数解析式为y=3x-1，
令y=0，可求得x=\frac{1}{3}，
\therefore C\left( \frac{1}{3},0 \right)，
\because B(0,-1)，D(1,2)，
\therefore AB=2，OC=\frac{1}{3}，OB=1，
\therefore {{S}_{\unicode{0x56DB}\unicode{0x8FB9}\unicode{0x5F62}AOCD}}=
{{S}_{\Delta ABD}}-{{S}_{\Delta OBC}}=\frac{1}{2}\times 2\times 1-\frac{1}
{2}\times 1\times \frac{1}{3}=\frac{5}{6}；
(3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】设存在满足条件的点P，其坐标为(x,0)，
\because \angle PCD>90{}^\circ ，
\therefore 当\Delta PCD为直角三角形时，点P在点C的右侧，
\because C\left( \frac{1}{3},0 \right)，D(1,2)，\therefore P{{C}^{2}}={{(x-\frac{1}{3})}^{2}}={{x}^{2}}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}，
P{{D}^{2}}={{(x-1)}^{2}}+{{2}^{2}}={{x}^{2}}-2x+5，
C{{D}^{2}}={{(1-\frac{1}{3})}^{2}}+{{2}^{2}}=\frac{40}{9}，
当\angle PDC=90{}^\circ 时，由勾股定理可得
C{{D}^{2}}+P{{D}^{2}}=P{{C}^{2}}，
即\frac{40}{9}+{{x}^{2}}-2x+5={{x}^{2}}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}，
解得x=7，此时P点坐标为(7,0)；
当\angle DPC=90{}^\circ 时，则有PD\bot x轴，此时P点坐标为(1,0)；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为(7,0)或(1,0)．
例4 如图，矩形ABCO位于直角坐标平面，O为原点，A、C分别在坐标轴上，B的坐标为\left( 8,6
\right)，线段BC上有一动点P，已知点D在第一象限．D是直线y=2x+6上一点，若△APD是等腰直
角三角形，求点D的坐标．
【答案】解：如图1所示，作DE\bot y轴于E点，作PF\bot y轴于F点，可得\angle DEA=\angle
AFP=90{}^\circ ，
根据题意可知当\Delta APD为等腰直角三角形时，只有\angle DAP=90{}^\circ 满足条
件，
\therefore AD=AP，\angle DAP=90{}^\circ ，
\therefore \angle EAD+\angle DAB=90{}^\circ ， \angle DAB+\angle
BAP=90{}^\circ ，
\therefore \angle EAD=\angle BAP，
\because AB//PF，
\therefore \angle BAP=\angle FPA，
\therefore \angle EAD=\angle FPA，
在\Delta ADE和\Delta PAF中，
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \angle DEA=\angle AFP=90{}^\circ \\ \angle
EAD=\angle FPA \\ AD=AP \\ \end{array} \right.，
\therefore \Delta ADE\cong \Delta PAF(AAS)，
\therefore AE=PF=8，OE=OA+AE=14，
设点D的横坐标为x，由14=2x+6，得x=4，\therefore 点D的坐标是(4,14)．
练4.1 如图，直线y\text{=}-\frac{3}{4}x\text{+}3与x轴、y轴分别交于点A，B，在第一象限内是否存在
点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】解：存在点P．理由如下：
\because 直线y=-\frac{3}{4}x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，
\therefore A(4,0)，B(0,3)；
①当\angle PAB=90{}^\circ 时，过P作PD\bot x轴于D，如图1，
\because \angle ABO+\angle OAB=90{}^\circ ， \angle PAD+\angle
OAB=90{}^\circ ，
\therefore \angle ABO=\angle PAD，
在\Delta ABO和\Delta PAD中，
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \angle ABO=\angle PAD \\ \angle AOB=\angle
PDA=90{}^\circ \\ BA=PA \\ \end{array} \right.，
\therefore \Delta ABO\cong \Delta PAD(AAS)，
\therefore AD=OB，PD=OA，
\therefore OD=OA+OB=4+3=7，PD=4，
\therefore P的坐标为(7,4)；
②当\angle PBA=90{}^\circ 时，过P作PE\bot y轴于E，如图2，
同理可证\Delta ABO\cong \Delta BPE，
\therefore BE=OA．PE=OB，
\therefore OE=OB+BE=3+4=7，PE=3，
\therefore P的坐标为(3,7)；③当\angle APB=90{}^\circ 时，如图3，过P作PG\bot x轴，过B作BH\bot PG，
\because \Delta PAB为等腰直角三角形，
\therefore PA=PB，\angle APB=90{}^\circ ，
\therefore \angle BPH+\angle APG=90{}^\circ ，
\because \angle BPH+\angle PBH=90{}^\circ ，
\therefore \angle APG=\angle PBH，
在\Delta PBH和\Delta APG中，
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \angle APG=\angle PBH \\ \angle PHB=\angle
AGP=90{}^\circ \\ PB=PA \\ \end{array} \right.，
\therefore \Delta PBH\cong \Delta APG(AAS)，
\therefore BH=PG，PH=GA，
设BH=PG=x，PH=GA=y，
则x+y=4，x-y=3，
解得x=\frac{7}{2}，y=\frac{1}{2}，
\therefore P的坐标为\left( \frac{7}{2},\frac{7}{2} \right)．
综上，P的坐标为(7,4)或(3,7)或\left( \frac{7}{2},\frac{7}{2} \right)．
能力强化 / 初二 / 春季
第 12 讲 一次函数综合（一）
自我巩固答案
1 如图，已知一条直线经过点A\left( 0,2 \right)、点B\left( 1,0 \right)，将这条直线向左平移与x
轴、y轴分别交于点C、点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为（ ）
A： y=-2x+2
B： y=2x-2
C： y=-x-2
D： y=-2x-2【答案】D
2 如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x-2与x轴交于点A，与y轴交于点B．点C是直线y=2x-2在第
一象限部分上的一点，过点C作CD\bot x轴，垂足为D．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
【答案】当y=0时，2x-2=0，解得x=1，则A(1,0)；
当x=0时，y=2x-2=-2，则B(0,-2)；
(2)①存在一点C，使得△CAD与△BAO全等，则点C的坐标为 ；
②是否存在一点C，使得△COD与△BAO全等？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，说
明理由．
【答案】①\because A(1,0)，B(0,-2)，
\therefore OA=1，OB=2，
∵△CAD≌△BAO，
\therefore CD=OB=2，AD=OA=1，
\therefore C(2,2)；
故答案为(2,2)；
②不存在．理由如下：
当△COD≌△BAO时，OD=OA，CD=BO，此时两三角形重合；
当△COD≌△ABO时，OD=BO=2，CD=AO=1，此时C点坐标为(2,1)，而点(2,1)不在
直线y=2x-2上，所以不存在．
3 直线y=x-1与两坐标轴分别交于A、B两点，点C在坐标轴上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件
的点C的个数为（ ）
A： 8个
B： 7个
C： 5个
D： 4个
【答案】B
4 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(-3,0)，与y轴交于点B，
且与正比例函数y=\frac{4}{3}x的图象的交点为C\left( m,4 \right)．点D在第二象限，△DAB是以
AB为直角边的等腰直角三角形，则点D的坐标为（ ）A： \left( -2,5 \right)
B： \left( -5,3 \right)
C： \left( -2,5 \right) 或\left( -5,3 \right)
D： \left( 5,-3 \right)
【答案】C
5 已知一次函数y=-x+1的图象与x轴、y轴分别交于A点、B点，点M在x轴上，并且使以点A、B、M
为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M有（ ）
A： 3个
B： 4个
C： 5个
D： 6个
【答案】B
6 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为\left( 2,0 \right)，Q是直线x=3上的一个动点，y
轴正半轴上是否存在点P，使△APQ为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请
说明理由．
【答案】解：假设存在，设点P的坐标为(0,m)，点Q点坐标为(3,n)(m>0)．
由两点间的距离公式可知：
PA=\sqrt{4+{{m}^{2}}}，QA=\sqrt{1+{{n}^{2}}}，PQ=\sqrt{9+{{(n-m)}^{2}}}．
根 据 已 知 得 ： \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} PA=QA \\
P{{Q}^{2}}=P{{A}^{2}}+Q{{A}^{2}} \\ \end{array} \right.，
即 \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \sqrt{4+{{m}^{2}}}=\sqrt{1+{{n}^{2}}} \\ 9+{{(n-
m)}^{2}}=4+{{m}^{2}}+1+{{n}^{2}} \\ \end{array} \right.，解得：\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m=1 \\ n=2 \\ \end{array} \right.，或\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} m=-1 \\ n=-2 \\ \end{array} \right.（舍去），
∴P\left( 0,1 \right)．
7 已知一次函数y=ax+b的图象经过点\left( 0,1 \right)，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角
形，则a的值为 （ ）
A： 1
B： -1
C： \pm 1
D： 不确定
【答案】C
8 如图，一次函数y={{k}_{2}}x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y={{k}_{1}}x的图象相交于点
A\left( 4,3 \right)，且OA=OB．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
【答案】解：∵正比例函数y＝{{k}_{1}}x的图象经过点A\left( 4,3 \right)，
∴4{{k}_{1}}＝3，
∴{{k}_{1}}=\frac{3}{4}，
∴正比例函数解析式为y=\frac{3}{4}x．
如图1中，过A作AC⊥x轴于C，
在Rt△AOC中，OC＝4，AC＝3
AO=\sqrt{O{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}}=5，
∴OB＝OA＝5，
∴B\left( 0,-5 \right)，
∴\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4{{k}_{2}}+b=3 \\ b=-5 \\ \end{array} \right.
解得\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{k}_{2}}=2 \\ b=-5 \\ \end{array} \right.，
∴一次函数解析式为y＝2x-5．【解析】根据点A坐标，可以求出正比例函数解析式，再求出点B坐标即可求出一次函数解析
式．
(2)求△AOB的面积；
【答案】如图1中，过A作AD⊥y轴于D，
∵A\left( 4,3 \right)，
∴AD=4，
∴{{S}_{\Delta AOB}}=\frac{1}{2}\cdot OB\cdot AD=\frac{1}{2}\times 5\times
4=10，
【解析】如图1中，过A作AD⊥y轴于D，求出AD即可解决问题．
(3)点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】满足条件的点P的坐标\left( -5,0 \right)或\left( 5,0 \right)或\left( 8,0 \right)或
\left( \frac{25}{8},0 \right)
【解析】如图2中，当OP＝OA时，{{P}_{1}}\left( -5,0 \right)，{{P}_{2}}\left( 5,0 \right)，
当AO＝AP时，{{P}_{3}}\left( 8,0 \right)，
当PA＝PO时，线段OA的垂直平分线为y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{6}，
∴{{P}_{4}}\left( \frac{25}{8},0 \right)，
∴满足条件的点P的坐标\left( -5,0 \right)或\left( 5,0 \right)或\left( 8,0 \right)或
\left( \frac{25}{8},0 \right)．
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第 12 讲 一次函数综合（一）
课堂落实答案
1 如图：直线y=-\frac{3}{4}x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C\left( x,y \right)是直线y=-
\frac{3}{4}x+3上与A、B不重合的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，请直接写出一个
使△BCD与△AOB全等的点C坐标.【答案】因为直线y=-\frac{3}{4}x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
可得：A(4,0)，B(0,3)，
由勾股定理得，AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5，
\because 点C是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线CD与y轴相交于
点D，
\therefore \angle CBD=\angle ABO，
①BC与AB是对应边时，
∵△BCD≌△BAO，
\therefore BD=BO=3，
CD=AO=4，
\therefore OD=OB+BD=3+3=6，
\therefore 点C(-4,6)；
②BC与BO是对应边时，过点C作CE\bot y轴于E，
∵△BCD≌△BOA，
\therefore BC=BO=3，
\therefore CE=BC\centerdot \sin \angle CBD=3\times \frac{4}{5}=\frac{12}{5}，
BE=BC\centerdot \cos \angle CBD=3\times \frac{3}{5}=\frac{9}{5}，
若点C在y轴的左边，则OE=OB+BE=3+\frac{9}{5}=\frac{24}{5}，
此时，点C(-\frac{12}{5},\frac{24}{5})，
若点C在y轴的右边，则OE=OB-BE=3-\frac{9}{5}=\frac{6}{5}，
此时，点C(\frac{12}{5},\frac{6}{5})．
综上所述，存在点C(-4,6)或(-\frac{12}{5},\frac{24}{5})或(\frac{12}{5},\frac{6}{5})，使
△BCD与△AOB全等．
2 如图，一次函数y=kx+1的图形经过点A\left( 1,2 \right)，且与x轴相交于点B，若点P是y轴上一
点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是______．【答案】(0,2+\sqrt{7})，(0,2-\sqrt{7})，(0,\sqrt{7})，(0,-\sqrt{7})
3 已知一次函数y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+1与x轴，y轴交于A，B两点，点M在坐标轴上，若△ABM是
等腰三角形，则符合条件的点M有_____个．
【答案】6
【解析】如图所示，△ABM是等腰三角形，则符合条件的点M有6个，
故答案为：6．
4 如图，点A是直线y=-2x+3上的动点，过点A作AB垂直x轴于点B，y轴上存在点C，能使以A、B、
C为顶点的三角形是等腰直角三角形．请写出一个符合条件的点C的坐标______．
【答案】C的所有可能值为(0,1)，(0,0)，(0,-3)，(0,\frac{3}{4})．
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第 12 讲 一次函数综合（一）
精选精练
1 如图，一次函数y=-\frac{4}{3}x+4的图象分别与x轴，y轴的正半轴交于点E、F，一次函数y=kx-4
的图象与直线EF交于点A\left( m,2 \right)，且交x轴于点P．
(1)求m的值及点E、F的坐标；【答案】一次函数y=-\frac{4}{3}x+4的图象经过点A(m,2)，
得-\frac{4}{3}m+4=2，
解得m=\frac{3}{2}，
\because 一次函数y=-\frac{4}{3}x+4的图象分别与x轴、y轴的正半轴交于点E，F．
\therefore 当y=0时，-\frac{4}{3}x+4=0，解得x=3即E(3,0)；
当x=0时，y=4，即F(0,4)；
(2)求△APE的面积；
【答案】把点A(\frac{3}{2},2)一次函数y=kx-4，得2=\frac{3}{2}k-4，解得k=4，
y=4x-4，当y=0时，x=1，即P(1,0)．
PE=3-1=2，
{{S}_{\Delta APE}}=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2；
(3)若B点是x轴上的动点，问在直线EF上，是否存在点Q(Q与A不重合），使△BEQ与△APE全
等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】存在Q点，B点是x轴上的动点，点Q是直线y=-\frac{4}{3}x+4上的点，设Q(m,n)．
由两点间的距离，得AE=\sqrt{{{(3-\frac{3}{2})}^{2}}+{{2}^{2}}}=\frac{5}{2}，
PE=2．
①当点A与点B为对应顶点时，
\because \Delta APE\unicode{0x224C}\Delta BQE，
\therefore S△_{BQE}=S△_{APE}=2，
\therefore \frac{1}{2}BE\times |n|=2．
\because BE=AE=\frac{5}{2}，
\therefore |n|=\frac{8}{5}，n=\pm \frac{8}{5}．
当n=\frac{8}{5}时，-\frac{4}{3}x+4=\frac{8}{5}，解得m=\frac{9}{5}，即{{Q}_{1}}
(\frac{9}{5},\frac{8}{5})；
当n=-\frac{8}{5}时，-\frac{4}{3}x+4=-\frac{8}{5}，解得m=\frac{21}{5}，即
{{Q}_{2}}(\frac{21}{5},-\frac{8}{5})；
②当点A与点Q为对应顶点时，\because \Delta APE\unicode{0x224C}\Delta
QBE，
则n=-2，把n=-2代入y=-\frac{4}{3}x+4得m=\frac{9}{2}，
\therefore {{Q}_{3}}(\frac{9}{2},-2)，
综上所述：{{Q}_{1}}(\frac{9}{5},\frac{8}{5})，{{Q}_{2}}(\frac{21}{5},-\frac{8}{5})，
{{Q}_{3}}(\frac{9}{2},-2)．2 如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN\bot x轴于点N，y轴上是否存在点P，使
△MNP为等腰直角三角形？小明发现：当动点M运动到\left( -1,1 \right)时，y轴上存在点P\left(
0,1 \right)，此时有MN=MP， △MNP为等腰直角三角形，请你写出在y轴上且在x轴上方点P的坐
标 ．
【答案】(0,\frac{3}{4})，(0,1)
3 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线{{l}_{1}}：{{y}_{1}}=-x+3与直线{{l}_{2}}：{{y}_{2}}=\frac{1}
{3}x+\frac{1}{3}交于点C，分别交x轴交于点A，B．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线{{l}_{1}}上是否存在点P，使△PBA是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不
存在，说明理由．
(1)求点A，B，C的坐标
【答案】A(3,0)，B(-1,0)，C(2,1)
(2)求△ABC的面积
【答案】{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\times 4\times 1=2
(3)在直线{{l}_{1}}上是否存在点P，使△PBA是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不
存在，说明理由．
【答案】存在．
①当AB为直角边时．
如 图 ， 过 点 B 作 {{P}_{1}}B\bot x 轴 ， 交 {{l}_{1}} 于 {{P}_{1}} ， \angle
{{P}_{1}}BA=90{}^\circ ．
易得△A{{P}_{1}}B为等腰直角三角形，{{P}_{1}}(-1,4)．
②当AB为斜边时．如图，过点B作B{{P}_{2}}\bot {{l}_{1}}于{{P}_{2}}，\angle B{{P}_{2}}A=90{}^\circ
．
易得△A{{P}_{2}}B为等腰直角三角形，{{P}_{2}}(1,2)．
综上，在直线{{l}_{1}}上存在点{{P}_{1}}(-1,4)，{{P}_{2}}(1,2)，使\Delta PBA是等腰
直角三角形．
4 如图，直线l：y=-\frac{1}{2}x+2与x轴，y轴分別交于点A，B，在y轴上有一点C\left( 0,4
\right)，动点M从点A出发以毎秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为t秒．
（1）求点A的坐标；
（2）请从①，②两题中任选一题作答．
①．求△COM的面积S与时间t之间的函数表达式；
②．当△ABM为等腰三角形时，求t的值．
【答案】解：（1）对于直线AB:y=-\frac{1}{2}x+2，
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝4，
则A、B两点的坐标分别为A\left( 4,0 \right)、B\left( 0,2 \right)；
（2）①∵C\left( 0,4 \right)，A\left( 4,0 \right)
∴OC＝OA＝4，
当0\le t\le 4时，OM＝OA-AM＝4-t，{{S}_{\Delta }}OCM=\frac{1}{2}\times 4\times
\left( 4-t \right)＝8-2t；
当t>4时，OM＝AM-OA＝t-4，{{S}_{\Delta }}OCM=\frac{1}{2}\times 4\times \left( t-
4 \right)＝2t-8；
②△ABM是等腰三角形，有三种情形：
【1】当BM＝AM时，设BM＝AM＝x，则OM＝4-x，
在Rt△OBM中，∵O{{B}^{2}}+O{{M}^{2}}＝B{{M}^{2}}，
∴{{2}^{2}}+{{\left( 4-x \right)}^{2}}＝{{x}^{2}}，∴x=\frac{5}{2}，
∴AM=\frac{5}{2}，
∴t=\frac{5}{2}时，△ABM是等腰三角形．
【2】当A{M}'＝AB=\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}}=2\sqrt{5}时，即t＝2\sqrt{5}时，△ABM
是等腰三角形．
【3】当BM″＝BA时，
∵OB⊥AM″，
∴OM″＝OA＝4，
∴AM″＝8，
∴t＝8时，△ABM是等腰三角形．
综上所述，满足条件的t的值为\frac{5}{2}s或2\sqrt{5}s或8s．
能力强化 / 初二 / 春季
第 13 讲 一次函数综合（二）
例题练习题答案
例1 如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A\left( 2,1 \right)，B\left( 5,1 \right)，
C\left( 5,5 \right)，当直线y=-x+b与△ABC有交点时，b的取值范围是___________．
【答案】3\le b\le 10
练1.1 如图所示，点A、M、N坐标分别为A\left( 0,1 \right)，M\left( 3,\text{3} \right)，N\left(
4,\text{5} \right)，过点A的直线l：y=-x+b从点A出发，沿y轴向上移动，若直线l与线段MN有交
点，求b的取值范围（ ）
A： \text{6}\le b\le \text{9}
B： 493>92.4，
∴小亮成绩最高．
答：这学期小亮的数学总评成绩最高．
【解析】根据三项成绩比算出三个人的成绩，比较大小即可得出结果．
练2.2 某班学生军训射击，有m人各打中a环，n人各打中b环，那么该班打中a环和b环学生的平均环数
是（ ）
A： \dfrac {a+b}{m+n}
B： \dfrac {1}{2}\left( \dfrac {a}{m} + \dfrac {b}{n} \right)
C： \dfrac {am+bn}{m+n}
D： \dfrac {1}{2}\left(am+bn\right)
【答案】C
例3 某商场一天中售出李宁牌运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示，鞋的尺码(单位：厘米) 23.5 24 24.5 25 26
销售量(单位：双) 1 2 2 5 1
则这11双鞋的尺码组成的一组数据中众数和中位数分别为 （ ）
A： 25，25
B： 24.5，25
C： 26，25
D： 25，24.5
【答案】A
练3.1 北京某一周的每天最高温度（单位：{}^\circ C）情况如图所示，则表示最高温度的这组数的中位
数是（ ）
A： 24
B： 25
C： 26
D： 27
【答案】B
练3.2 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的
一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的
（ ）
A： 众数
B： 中位数
C： 平均数
D： 都可以
【答案】B
例4 某中学义工队利用周末休息时间参加社会公益活动，学校对全体义工队成员参加公益活动的时间
（单位：天）进行了调查统计．根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据信息
回答下列问题：(1)学校义工队共有 名成员；
【答案】40
【解析】学校义工队共有11\div 27.5\% =40名队员，
故答案为：40；
(2)补全条形统计图；
【答案】义工时间为8天的有40-(6+11+9)=14（人)，
补全图形如下：
(3) 义工队成员参加公益活动时间的众数是 天，
中位数是 天；
【答案】8、8.5
(4)义工队成员参加公益活动时间总计达到 天．
【答案】义工队成员参加公益活动时间总计达到6\times 7+14\times 8+11\times
9+9\times 10=343（天)，
故答案为：343．
练4.1 我国是世界上严重缺水的国家之一，某校为了组织“节约用水从我做起”活动，随机调查了本校
120名同学家庭节水措施情况和月人均用水量，如图1、图2是根据调查结果做出的统计图的一部
分．请根据信息解答下列问题：(1)图1中淘米水浇花所在的扇形的圆心角度数为____________________________________；
【答案】{{54}^{\circ }}
(2)补全图2；
【答案】
【解析】由总人数减去其他的人数求出人均用水量为3吨的人数，补全统计图即可；
(3)求120名同学家庭月人均用水量的中位数和众数；
【答案】解：中位数为3（吨），众数为2（吨）．
【解析】将人均用水量按照从小到大顺序排列，找出第60、61个数字，求出平均值即可得到
中位数；人均用水量的各个数值中，人数最多的即为众数．
(4)如果全校学生家庭总人数为3000人，根据这120名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家
庭月用水总量是多少吨？
【答案】解：人均用水量为：
\frac{1\times 10+41\times 2+20\times 3+33\times 4+16\times 5}
{120}\approx 3.033（吨）
则该全校学生家庭用水总量为：
3.033\times 3000\approx 9100（吨）例5 小林同学对甲、乙、丙三个市场某月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月三个市场的
价 格 平 均 值 相 同 ， 方 差 分 别 为 S_{\unicode{0x7532}}^{2}\text{=}7.5 ，
S_{\unicode{0x4E59}}^{2}\text{=}1.5，S_{\unicode{0x4E19}}^{2}\text{=}3.1，那么该月份白
菜价格最稳定的是_______市场．
【答案】乙
练5.1 山区体校甲、乙两队10名参加篮球比赛的队员的身高如下表所示：（单位：\text{cm}）
队员 1号 2号 3号 4号 5号
甲队 176 175 174 171 174
乙队 170 173 171 174 182
设 两 队 队 员 身 高 的 平 均 数 分 别 为 \overline{{{x}_{\unicode{0x7532}}}} ，
\overline{{{x}_{\unicode{0x4E59}}}}，身高的方差分别为{{s}_{\unicode{0x7532}}}^{2} ，
{{s}_{\unicode{0x4E59}}}^{2}，则正确的选项是（ ）
A： \overline{{{x}_{\unicode{0x7532}}}}=\overline{{{x}_{\unicode{0x4E59}}}} ，
{{s}_{\unicode{0x7532}}}^{2}>{{s}_{\unicode{0x4E59}}}^{2}
B： \overline{{{x}_{\unicode{0x7532}}}}<\overline{{{x}_{\unicode{0x4E59}}}} ，
{{s}_{\unicode{0x7532}}}^{2}<{{s}_{\unicode{0x4E59}}}^{2}
C： \overline{{{x}_{\unicode{0x7532}}}}>\overline{{{x}_{\unicode{0x4E59}}}} ，
{{s}_{\unicode{0x7532}}}^{2}>{{s}_{\unicode{0x4E59}}}^{2}
D： \overline{{{x}_{\unicode{0x7532}}}}=\overline{{{x}_{\unicode{0x4E59}}}} ，
{{s}_{\unicode{0x7532}}}^{2}<{{s}_{\unicode{0x4E59}}}^{2}
【答案】D
例6 为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的
次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．
根据上述信息，解答下列各题：
(1)该班级女生人数是_____，女生收看“两会”新闻次数的中位数是_____；
【答案】20，3
【解析】将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第10与11名同学的次数的平
均数．(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百
分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指
数”比女生低5\% ，试求该班级男生人数；
【答案】解：由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为\frac{13}{20}\times
100\% =65\%
所以，男生对“两会”新闻的“关注指数”为60\%
设该班的男生有x人，
则\frac{x-\left( 1+3+6 \right)}{x}=60\% ，解得：x=25．
答：该班级男生有25人．
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量
（如表）．
统计量 平均数（次） 中位数（次） 众数（次） 方差 ……
该班级男生 3 3 4 2 ……
根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两
会”新闻次数的波动大小．
【答案】解：该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为：
\frac{1\times 2+2\times 5+3\times 6+4\times 5+5\times 2}{20}=3；
女生收看“两会”新闻次数的方差为：
\frac{2{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+5{{\left( 3-2 \right)}^{2}}+6{{\left( 3-3
\right)}^{2}}+5{{\left( 3-4 \right)}^{2}}+2{{\left( 3-5 \right)}^{2}}}
{20}=\frac{13}{10}，
因为2>\frac{13}{10}，所以男生比女生的波动幅度大．
练6.1 某校八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图：
（1）根据上图求出下表所缺数据：
平均数 中位数 众数 方差
甲班 8.5 8.5 ______ ______
乙班 ______ 8 10 1.6
（2）根据上表中的平均数、中位数和方差你认为哪班的成绩较好？并说明你的理由．
【答案】解：（1）8.5，0.7，8.5；（2）因为甲、乙两班成绩的平均数相同，而甲班成绩的中位数高于乙班的中位数，甲班
的方差小于乙班的方差，所以甲班的成绩较好．
【解析】（1）由条形图可以看出甲班的众数是8.5，方差是：
\frac{1}{5}\times [{{(8.5-8.5)}^{2}}+{{(7.5-8.5)}^{2}}+{{(8-8.5)}^{2}}+{{(8.5-
8.5)}^{2}}+{{(10-8.5)}^{2}}]=0.7；
乙班的平均数是：
\frac{1}{5}\times (7+10+10+7.5+8)=8.5，
故答案为：8.5，0.7；8.5；
（2）在平均数相同的情况下，甲班中位数更高，方差更小，说明甲班的中等水平高于乙
班的中等水平，且甲班学生成绩波动更小．
例7 一组数据的方差为{{s}^{2}}，如果把这组数据中的每个数据都扩大为原来的3倍，那么所得到的一
组新数据的方差为（ ）
A： \frac{{{s}^{2}}}{3}
B： {{s}^{2}}
C： 3{{s}^{2}}
D： 9{{s}^{2}}
【答案】D
练7.1 已知数据{{x}_{1}}，{{x}_{2}}\ldots {{x}_{10}}的平均数x=20，方差{{x}^{2}}=0.015．
\left( 1 \right) 求3{{x}_{1}}，3{{x}_{2}}\ldots 3{{x}_{10}}的平均数和方差；
\left( 2 \right) 求4{{x}_{1}}-2，4{{x}_{2}}-2\ldots 4{{x}_{10}}-2的平均数和方差；
\left( 3 \right) 由\left( 1 \right)\left( 2 \right)得出的结果，你能发现什么规律？
【答案】解：\left( 1 \right)由\bar{x}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{10}}}{10}=20，得
\begin{align} & \left( \overline{3x}
\right)=\frac{3{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+\cdots +3{{x}_{10}}}{10} \\ &
=3\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{10}}}{10}=60, \\ \end{align}
{{S}_{1}}^{2}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-\bar{x}
\right)}^{2}}+\cdots {{\left( x-\bar{x} \right)}^{2}}}{10}=0.015，
\begin{align} & {{S}_{2}}^{2}=\frac{{{\left( 3{{x}_{1}}-60 \right)}^{2}}+{{\left(
3{{x}_{2}}-60 \right)}^{2}}+\cdots {{\left( 3{{x}_{10}}-60 \right)}^{2}}}{10} \\ &
=9{{x}^{2}}=9\frac{{{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-\bar{x}
\right)}^{2}}+\cdots {{\left( x-\bar{x} \right)}^{2}}}{10} \\ & =9\times 0.015=0.135
\\ \end{align}
\begin{align} & \left( 2 \right)\left( \overline{4x-2} \right) \\ & =\frac{\left(
4{{x}_{1}}-2 \right)+\left( 4{{x}_{2}}-2 \right)+\left( 4{{x}_{3}}-2 \right)+\cdots \left(
4{{x}_{3}}-2 \right)}{10} \\ & =80-2=78 \\ \end{align}
\begin{align} & {{S}^{2}}=\frac{{{\left( 4{{x}_{1}}-2-78 \right)}^{2}}+\cdots +{{\left(
4{{x}_{10}}-2-78 \right)}^{2}}}{10} \\ & =16\times \frac{{{\left( {{x}_{1}}-\bar{x}\right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\cdots {{\left( x-\bar{x}
\right)}^{2}}}{10} \\ & =16\times {{x}^{2}} \\ & =16\times 0.015=0.24 \\ \end{align}
\left( 3 \right)得出以下规律：\left( \overline{ax+b} \right)=a\bar{x}+b，
{{S}^{2}}\left( ax+b \right)={{a}^{2}}{{S}^{2}}\left( x \right)．
能力强化 / 初二 / 春季
第 14 讲 数据的分析
课堂落实答案
1 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为80分、85分、90分，若依次按
照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ）
A： 255分
B： 84.5分
C： 85.5分
D： 86.5分
【答案】D
【解析】解：根据题意得，小王的成绩为：
80\times \frac{2}{2+3+5}+85\times \frac{3}{2+3+5}+90\times \frac{5}{2+3+5}
=16+25.5+45
=86.5（分）
故选：D．
2 某校五人参加孔子学院志愿者选拔考试，已知这5人的平均考试成绩为91分，有2人得92分，1人
得83分，1人得94分，由这5人得分所组成的一组数据的中位数是（ ）
A： 91
B： 92
C： 93
D： 94
【答案】B
3 鞋店卖鞋时，商家主要关注鞋尺码的（ ）
A： 平均数
B： 众数
C： 中位数
D： 都可以【答案】B
4 省运动会举行射击比赛，我市射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛，在选拔赛中，每人
射击10次，计算他们10次成绩的平均数和方差如下表，请你根据表中数据选一人参加比赛，最适
合的人选是_________．
甲 乙 丙 丁
平均数 9.2 9.0 9.0 9.2
方差 2.0 1.8 1.5 1.3
【答案】丁
5 在一次射击训练中，某位选手五次射击的环数分别为5，8，7，6，9，则这位选手五次射击环数
的方差为_____．
【答案】2
【解析】五次射击的平均成绩为：
\bar{x}=\frac{1}{5}\left( 5+7+8+6+9 \right)=7，
方差为：
{{s}^{2}}=\frac{1}{5}[{{\left( 5-7 \right)}^{2}}+{{\left( 8-7 \right)}^{2}}+{{\left( 7-7
\right)}^{2}}+{{\left( 6-7 \right)}^{2}}+{{\left( 9-7 \right)}^{2}}]=2．
故答案为：2．
能力强化 / 初二 / 春季
第 14 讲 数据的分析
自我巩固答案
1 某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据108输入为18，那么由此求出的平均
数与实际平均数的差是（ ）
A： 3.5
B： 3
C： 0.5
D： -3
【答案】D
2 若数据m，2，5，7，1，4，n的平均数为4，则m，n的平均数为（ ）
A： 7.5
B： 5.5
C： 2.5D： 4.5
【答案】D
【解析】∵m+n＝7\times 4-2-5-7-1-4＝28-19＝9，
∴\frac{m+n}{2}=\frac{9}{2}=4.5，
故选：D．
3 某班40名学生的一次体育测验成绩统计如下：
成绩（分） 60 70 80 90 100
人数 7 x 12 y 3
如果已知该班平均成绩为76分，则x，y的值分别为（ ）
A．14，4B．13，5 C．12，6 D．11，7
A： 14，4
B： 13，5
C： 12，6
D： 11，7
【答案】B
4 有一批种子共有98颗，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……，如表是不同
发芽天数的种子数的记录：
发芽天数 1 2 3 4 5 6 7
种子数 8 26 22 24 12 4 2
统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ）
A： 2
B： 3
C： 3.5
D： 4
【答案】B
5 七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，下表是从七
年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况：
节水量（{{\text{m}}^{\text{3}}}） 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数（个） 1 2 2 4 1
那么这组数据的众数和平均数分别是（ ）
A： 0.4和0.34B： 0.4和0.3
C： 0.25和0.34
D： 0.25和0.3
【答案】A
【解析】由表格可知，节水量为\text{0}\text{.4}{{\text{m}}^{\text{3}}}的家庭数最多，为4个，则
众数为：0.4；
这组数据的平均数为：
\frac{1}{10}\times (0.2+0.25+0.25+0.3+0.3+0.4+0.4+0.4+0.4+0.5)=0.34，
故选：A．
6 2016年欧洲杯足球赛中，某国家足球队首发上场的11名队员身高如表：
身高（\text{cm}） 176 178 180 182 186 188 192
人数 1 2 3 2 1 1 1
则这11名队员身高的众数和中位数分别是（ ）（单位：\text{cm}）
A： 180，182
B： 180，180
C： 182，182
D： 3，2
【答案】B
【解析】∵180出现的次数最多，
∴众数是180．
将这组数据按照由小到大的顺序排列：176、178、178、180、180、180、182、182、
186、188、192．
所以中位数为180．
故选：B．
7 甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别
是S_{\unicode{0x7532}}^{2}=1.8，S_{\unicode{0x4E59}}^{2}=0.7，则成绩比较稳定的是
（ ）
A： 甲稳定
B： 乙稳定
C： 一样稳定
D： 无法比较
【答案】B
8 已知一组数据为：4，5，6，8，13，则这组数据的方差是（ ）
A： 6B： 10
C： 10.16
D： 8
【答案】C
9 下表是小红和小明五次数学考试的成绩，小红成绩平均数为95，小明成绩平均数为95，请你分析
一下他们的成绩，并说明谁的数学水平更稳定．
小红 90 95 100 96 94
小明 98 97 95 93 92
【答案】解：小红的数学成绩的方差为：
\frac{1}{5}\text{ }\!\!\times\!\!\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{\left( 90-95
\right)}^{\text{2}}}\text{+}{{\left( 95-95 \right)}^{\text{2}}}\text{+}{{\left( 100-95
\right)}^{\text{2}}}\text{+}{{\left( 96-95 \right)}^{\text{2}}}\text{+}{{\left( 94-95
\right)}^{\text{2}}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }
=\frac{1}{5}\times 52
=10.4；
小明的数学成绩的方差为：
\frac{1}{5}\text{ }\!\!\times\!\!\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{\left( 98-95
\right)}^{\text{2}}}\text{+}{{\left( 97-95 \right)}^{\text{2}}}\text{+}{{\left( 95-95
\right)}^{\text{2}}}\text{+}{{\left( 93-95 \right)}^{\text{2}}}\text{+}{{\left( 92-95
\right)}^{\text{2}}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }
=\frac{1}{5}\times 26
=5.2，
故小明的数学成绩的方差更小，小明的数学水平更稳定．
10 甲、乙两人参加理化实验操作测试，学校进行了6次模拟测试，成绩如表所示：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 平均分 众数
甲 7 9 9 9 10 10 9 9
乙 7 8 9 10 10 10
（1）根据图表信息，补全表格；
（2）已知甲成绩的方差等于1，请计算乙成绩的方差；
（3）从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好些？
【答案】解：（1）表格中，乙的平均分处填写9，乙的众数处填写10；
（2）由（1）知乙的平均分为9，则乙的方差为：
\frac{1}{6}\times [{{\left( 7-9 \right)}^{2}}+{{\left( 8-9 \right)}^{2}}+{{\left( 9-9
\right)}^{2}}+{{\left( 10-9 \right)}^{2}}+{{\left( 10-9 \right)}^{2}}+{{\left( 10-9
\right)}^{2}}]=\frac{1}{6}\times 8
=\frac{4}{3}；
（3）甲与乙的平均分相同，但甲的方差较小，所以甲的成绩更稳定，故可以认为甲的成
绩较好．
【解析】（2）\frac{1}{6}\left[ {{\left( 7-9 \right)}^{2}}+{{\left( 8-9 \right)}^{2}}+{{\left( 9-9
\right)}^{2}}+3{{\left( 10-9 \right)}^{2}} \right]=\frac{4}{3}
能力强化 / 初二 / 春季
第 14 讲 数据的分析
精选精练
1 已知a，b，c的平均值为5，且X，Y，Z的平均值为7，则2a+3X，2b+3Y，2c+3Z的平均值
为（ ）
A： 31
B： \frac{31}{3}
C： \frac{93}{5}
D： 17
【答案】A
2 设一组数据{{x}_{1}}，{{x}_{2}}，\cdots ，{{x}_{n}}的平均数是m，求下列各组数据的平均数：
（1）{{x}_{1}}+3，{{x}_{2}}+3，\cdots ，{{x}_{n}}+3；
（2）2{{x}_{1}}-3，2{{x}_{2}}-3，\cdots ，2{{x}_{n}}-3．
【答案】解：（1）该数据平均数为：
\left( {{x}_{1}}+3+{{x}_{2}}+3+...+{{x}_{n}}+3 \right)\cdot \frac{\text{1}}{n}
=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}} \right)\cdot \frac{\text{1}}{n}+3=m+3；
（2）该数据平均数为：
\left( 2{{x}_{1}}-3+2{{x}_{2}}-3+...+2{{x}_{n}}-3 \right)\cdot \frac{\text{1}}{n}
=2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}} \right)\cdot \frac{\text{1}}{n}-3=2m-3．
3 我市某中学举行“中国梦\cdot 校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选
手
组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩，如图所示．(1) 根据图示填写下表：
平均数 中位数 众数
初中部 _____ 85 _____
高中部 85 _____ 100
【答案】解：初中部的平均数为：
\frac{1}{5}\left( 75+80+85+85+100 \right)=85（分），
初中部的众数为85（分）；
高中部的中位数为80（分），填入表中对应位置即为所求．
(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好？
【答案】初中部成绩好些．
因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些．
4 某校为了解初三学生的身体状况，抽取了一部分同学，测量他们的身高，根据测量数据整理成下
表：
身高h/\text{m} 频数 频率
h<1.60 5 0.1
1.60\le h<1.65 12 0.24
1.65\le h<1.70
1.70\le h<1.75 15 0.3
h\ge 1.75 0.14
完成上表后回答：这组数据的中位数所在的范围是（ ）
A： 1.60\le h<1.65
B： 1.65\le h<1.70
C： 1.70\le h<1.75
D： h\ge 1.75
【答案】B
5 已知数据{{x}_{1}}，{{x}_{2}}，\cdots ，{{x}_{n}}的方差是s_{1}^{2}，且{{x}_{1}}-a，{{x}_{2}}-a，
\cdots ，{{x}_{n}}-a的方差是s_{2}^{2}，则（ ）
A： s_{1}^{2}>s_{2}^{2}
B： s_{1}^{2}0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
6 若一次函数y=\left( k-2 \right)x+1的函数值y随x的增大而增大，则（ ）
A： k<2B： k>\text{2}
C： k>0
D： k<0
【答案】B
【解析】解：由题意，得
k-\text{2}>0，
解得k>\text{2}．
7 用图象法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象如图所
示，则所解的二元一次方程组是（ ）
A： \left\{ \begin{align} & x+y-2=0 \\ & 3x-2y-1=0 \\ \end{align} \right.
B： \left\{ \begin{align} & 2x-y-1=0 \\ & 3x-2y-1=0 \\ \end{align} \right.
C： \left\{ \begin{align} & 2x-y-1=0 \\ & 3x+2y-5=0 \\ \end{align} \right.
D： \left\{ \begin{align} & x+y-2=0 \\ & 2x-y-1=0 \\ \end{align} \right.
【答案】D
8 如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶{{A}_{1}}、{{A}_{2}}、{{A}_{3}}、{{A}_{4}}、{{A}_{5}}爬行，那
么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象大致是（ ）
A：
B：
C：
D：
【答案】A
9 广宇、承义两名同学分别进行5次射击训练，训练成绩（单位：环）如表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
广宇 9 8 7 7 9
承义 6 8 10 8 8
对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（ ）
A： 广宇训练成绩的平均数大于承义训练成绩平均数
B： 广宇训练成绩的中位数与承义训练成绩中位数不同
C： 广宇训练成绩的众数与承义训练成绩众数相同
D： 广宇训练成绩比承义训练成绩更加稳定
【答案】D
【解析】解：广宇的5次射击训练成绩的平均数为：\bar{x}=\frac{1}{5}\left( 9+8+7+7+9
\right)=8，
中位数为：8，
众数为：7和9，
方差为：{{S}^{2}}=\frac{1}{5}\left[ {{\left( 9-8 \right)}^{2}}+{{\left( 8-8 \right)}^{2}}+
{{\left( 7-8 \right)}^{2}}+{{\left( 7-8 \right)}^{2}}+{{\left( 9-8 \right)}^{2}}
\right]=\frac{4}{5}；
承义的5次射击训练成绩的平均数为：\bar{x}=\frac{1}{5}\left( 6+8+10+8+8
\right)=8，
中位数为：8，
众数为：8，
方差为：{{S}^{2}}=\frac{1}{5}\left[ {{\left( 6-8 \right)}^{2}}+{{\left( 8-8 \right)}^{2}}+
{{\left( 10-8 \right)}^{2}}+{{\left( 8-8 \right)}^{2}}+{{\left( 8-8 \right)}^{2}}
\right]=\frac{8}{5}．
10 如图，正方形ABCD的边长为\sqrt{2}，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且
CE=CO，则BE的长度为（ ）
A： \sqrt{3}
B： \frac{\sqrt{10}}{2}
C： \sqrt{5}
D： 2\sqrt{5}【答案】C
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为\sqrt{2}，
∴OB=OC=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \sqrt{2}=1，OB\bot OC，
∵CE=OC，
∴OE=2，
在Rt△OBE中，BE=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}．
11 若\frac{1}{\sqrt{x-1}}有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】x>1
12 若\Delta ABC得三边a，b，c满足(a-b)(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0，则\Delta ABC的形状为
________．
【答案】等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
【解析】\because (a-b)(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0，
\therefore a=b或a^{2}+b^{2}=c^{2}．
当只有a=b成立时，是等腰三角形．
当只有第二个条件成立时：是直角三角形．
当两个条件都成立时：是等腰直角三角形．
13 已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO=4，BO=3，则菱形的面积等于___________．
【答案】24
14 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点E、F，已知
AD=4cm，图中阴影部分的面积总和为6 cm2，对角线AC长为________cm．
【答案】5
15 一次函数经过点\left( -5,3 \right)，且与直线y=-x-1平行，则此一次函数的解析式为
_____________．
【答案】y=-x-2
16 小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果
小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为__________km．
【答案】0.3
17 一只蚂蚁从长为\quantity{4}{cm}、宽为\quantity{3}{cm},高是\quantity{5}{cm}的长方体纸箱的A点
沿纸箱爬到B点,那么它所行的最短路线的长是___\unit{cm}.【答案】\sqrt{74}
18 如图，将直线y=-x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A\left( 2,-4 \right)，且与y轴交于点B，在x
轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为__________．
【答案】\left( \frac{2}{3},0 \right)
19 计算：
（1）\left( \sqrt{18}-\sqrt{12} \right)\left( 3\sqrt{2}+2\sqrt{3} \right)
（2）\frac{1}{2-\sqrt{3}}+\left( \sqrt{15}+\sqrt{20} \right)\div \sqrt{5}
【答案】（1）6；（2）2\sqrt{3}+4 .
20 如图，菱形ABCD中，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）证明：四边形AECF是矩形；
（2）若AB=8，求菱形的面积．
【答案】解：（1）∵ABCD是菱形，
∴BC∥AD，BC=AD．
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴CE=AF，CE∥AF ，
∴四边形AECF是平行四边形 ，
∵AB=AC ，
∴△ABC是等边三角形 ，
∴AE\bot BC ，
∴四边形AECF是矩形 .
（2）∵△ABC是等边三角形，AB=8 ，
∴BC=8，AE=4\sqrt{3} ，∴菱形的面积S=8\times 4\sqrt{3}=32\sqrt{3} .
21 如图，直线y=kx+b经过点A\left( 5,0 \right)，B\left( 1,4 \right)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y=2x-4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x-4\ge kx+b的解集．
【答案】解：（1）y=-x+5 ；
（2）\left( 3,2 \right) ；
（3）x\ge 3 .
22 建立一次函数关系解决问题：甲、乙两校为了绿化校园，甲校计划购买A种树苗，A种树苗每棵24
元；乙校计划购买B种树苗，B种树苗每棵18元．两校共购买了35棵树苗．若购进B种树苗的数量
少于A种树苗的数量，请给出一种两校总费用最少的方案，并求出该方案所需的总费用．
【答案】解：设甲校购进x棵A种树苗，两校所需要的总费用为w元．
根据题意得：w=24x+18\left( 35-x \right)=6x+630 ，
∵35-x17.5，且x为整数，
在一次函数w=6x+630中，
∵k=6>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=18时，w有最小值，最小值w=6\times 18+630=738，
此时35-x=17 .
答：甲校购买A种树苗18棵，乙校购买B种树苗17棵，所需的总费用最少，最少为738
元．
23 某中学开展知识竞赛活动，1班和2班各选出5名选手参加初赛，两个班的选手的初赛成绩如下（单
位：分）：
1班初赛成绩 85 80 75 85 100
2班初赛成绩 80 100 85 80 80
（1）根据所给信息将下面的表格补充完整；
平均数 中位数 众数 方差1班初赛成绩 85 70
2班初赛成绩 85 80
（2）根据问题（1）中的数据，判断哪个班的初赛成绩较为稳定，并说明理由．
【答案】解：（1）
平均数 中位数 众数 方差
1班初赛成绩 85 85 85 70
2班初赛成绩 85 80 80 60
（2）2班的方差较小，故2班的初赛成绩较为稳定．
24 如图，已知一次函数y=-\frac{1}{2}x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A．B．
（1）求点A，B的坐标．
（2）点M为一次函数y=x+3的图象上一点，若△ABM与△ABO的面积相等，求点M的坐标．
（3）点Q为y轴上的一点，若△ABQ为等腰三角形，不用写过程，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）当y=0时，0=-\frac{1}{2}x+3，解得x=6，则A\left( 6,0 \right)，
当x=0时，3=-\frac{1}{2}x+3，则B\left( 0,3 \right)；
（2）∵△ABM与△ABO的面积相等，
∴M点到直线AB的距离与O点到AB的距离相等，
∴点M在直线y=-\frac{1}{2}x或y=-\frac{1}{2}x+6上，
解方程组\left\{ \begin{align} & y=-\frac{1}{2}x \\ & y=x+3 \\ \end{align} \right.得
\left\{ \begin{align} & x=-2 \\ & y=1 \\ \end{align} \right.，
解方程组\left\{ \begin{align} & y=-\frac{1}{2}x+6 \\ & y=x+3 \\ \end{align} \right.
得\left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=5 \\ \end{align} \right.，
∴M点的坐标为\left( -2,1 \right)或\left( 2,5 \right)．
（3）Q点坐标为Q\left( 0,-3 \right)或\left( 0,3+3\sqrt{5} \right)或\left( 0,3-3\sqrt{5}
\right)或\left( 0,-\frac{9}{2} \right)．
【解析】(3)AB= 32+62=35,
当AQ=AB，则Q(0,-3)，
当BQ=BA=35时，则Q(0, 35+3)或(0,-35+3)，
当QA=QB时，作AB的垂直平分线交y轴于Q，如图，设Q(0,t)，
∵QA2=62+t2，QB2=(3-t)2，
∴62+t2=(3-t)2，解得t=-92，
∴此时Q(0, -92)．综上所述，Q点坐标为Q(0,-3)或Q(0,35+3)或(0,-35+3)或(0,-92)．
25 如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且\angle EPB=90{}^\circ
，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN．
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴\angle BAD=90{}^\circ ，AC平分∠BAD，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM=PN，\angle PMA=\angle PNA=90{}^\circ ，
∴四边形PMAN是矩形，
∵PM=PN，
∴四边形PMAN是正方形；
（2）证明：∵四边形PMAN是正方形，
∴PM=PN，\angle MPN=90{}^\circ ，
∵\angle EPB=90{}^\circ ，
∴\angle MPE+\angle EPN=\angle NPB+\angle EPN=90{}^\circ ，
∴\angle MPE=\angle NPB，
在△EPM和△BPN中，
\left\{ \begin{align} & \angle PMA=\angle PNB=90{}^\circ \\ & PM=PN \\ &
\angle MPE=\angle NPB \\ \end{align} \right.，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM=BN．
26 已知一次函数y＝kx-2k+1\left( k\ne 0 \right)，回答下列问题：
（1）若此函数的图象过原点，求k的值；
（2）无论k取何值，该函数图象总经过一个定点，请你求出这个定点的坐标．
【答案】 解：（1）∵一次函数y＝kx-2k+1的图象过原点，
∴-2k+1＝0，
解得：k=\frac{1}{2}．
（2）∵y＝kx-2k+1＝k\left( x-2 \right)+1，
∴\left( x-2 \right)k＝y-1．
∵无论k取何值，该函数图象总经过一个定点，即k有无数个解，
∴x-2＝0，y-1＝0，
解得：x＝2，y＝1．∴这个定点的坐标\left( 2,1 \right)．
27 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AB\parallel x轴，点A的坐
标为(5,3)，已知直线l:y=\frac{1}{2}x-2．
（1）将直线l向上平移m个单位，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值；
（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边BC交于点E，求\Delta ABE的面积．
【答案】解：（1）设平移后的直线方程为y=\frac{1}{2}x+b，
把点A的坐标\left( 5,3 \right)为代入，得:
3=\frac{1}{2}\times 5+b，
解得 b=\frac{1}{2}．
则平移后的直线方程为：y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}．
则-2+m=\frac{1}{2}，
解得m=\frac{5}{2}；
（2）∵正方形ABCD的边长为2，且点A的坐标为\left( 5,3 \right)，
∴B\left( 3,3 \right)．
把x=3代入，得y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} ，
y=\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}=2，
即E\left( 3,2 \right)．
∴BE=3-2=1，
∴△ABE的面积=\frac{1}{2}\times 2\times 1=1．
