文档内容
1.2 等腰三角形 导学案
第2课时 等腰三角形的判定与反证法
1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。
2.理解反证法的基本证题思路，培养逆向思维能力，并能简单应用。
学习重点：等腰三角形的判定及等角对等边的应用。
学习难点：用反证法证明几何命题的思路与写作结构。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等(简述为：等边对等角).
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简说成：三线合一).
②等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
2.情境引入
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
可以发现，有两个角相等的三角形是等腰三角形，如何证明这一结论呢？
新知自研：自研课本第16--17页的内容．
【学法指导】
自研课本P16-17页例题上面的内容，思考：
●探究一：等腰三角形的判定
◆1.尝试思考如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应
边就可以了.
【分析】比如作BC的中线，或作∠A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．
【证明】过A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC.
在△ABD与△ACD中，
∠ADB=∠ADC，∠B=∠C，AD=AD，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∴AB=AC.
◆2.知识归纳
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).
符号语言：
在△ABC中，
∵∠B=∠C,
∴AB=AC(等角对等边).
◆3.新知探究
例 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
【分析】首先依据“SSS”判定△ABC和△DCB全等，得 ∠ ADB=∠DA 然后根据等边三角形的判定定理即
可得出结论:
【证明】证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
◆4.练一练
一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是( )
A.40∘ ，70∘ B.30∘ ，90∘ C.60∘ ，50∘ D.40∘ ，20∘
解：A
●探究二：反证法
◆1.想一想
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立
吗?如果成立，你能证明它吗?
小明：
如图，在△ABC中, 已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠C=∠B, 这与已知条件 ∠ B≠∠C 矛盾.因此AB≠AC.
◆2.知识归纳
◎反证法：
像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件
相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
注意：反证法是一种重要的数学证明方法，在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.
◆3.新知探究
例 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．
【证明】假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
◆4.知识归纳用反证法证题的一般步骤:
①假设: 先假设命题的结论不成立;
② 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
③结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
◆5.练一练
用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
解：C
【例题导析】
自研下面例1和例2的内容，回答问题：
典例分析
例1如图，已知在△ABC中，∠C=90∘ ，AD是角平分线，过点B作BA 的垂线与AD的延长线相交于点E.
求证：△BDE 是等腰三角形.
【分析】在直角△ACD中根据直角三角形的两锐角互余可以证得 ∠ ADC+ ∠ DAC =90°,在直角△ABE中得到
∠ E+∠BA E=90∘,根据等角的余角相等即可证得∠E= ∠ BD E,利用等角对等边即可证得.
【解答】解：∵ 在Rt△ACD中，∠ADC+∠DAC=90∘，
又∵∠BDE=∠ADC，
∴∠BDE+∠DAC=90∘，
∵Rt△ABE中，∠E+∠BAE=90∘，
又∵AD是∠BAC 的平分线，
即∠BAE=∠DAC ，
∴∠E=∠BDE，
∴BE=BD ，
∴△BDE 是等腰三角形.例2 用反证法证明:等腰三角形的底角必定是锐角.
【分析】首先写出命题的已知和求证，然后根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、反证法的一般步
骤解答即可.
【解答】
已知:如图，在△ABC中，AB=AC.
求证:∠B，∠C必为锐角.
证明:假设结论不成立，则∠B，∠C为直角或钝角，
∵AB=AC，∴∠B=∠C,
当∠B=∠C为直角时，∠B+∠C=180°，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾;
当∠B=∠C为钝角时，∠B+∠C>180°，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾.
综上所述，假设不成立，∴∠B，∠C必为锐角.
∴等腰三角形的底角必定是锐角.
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.猜想并证明等腰三角形的判定方法，探讨反证法解题的一般步骤；
B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，总结方法.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1.如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是( )
A．任意三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
解：C
2.如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D.如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补
充的条件不能是( )
A．OA＝OD B．AB＝CD
C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB解：C．
3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC.已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解：C.
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE为角平分线，CE交BD于点O，那么图中的等腰三角
形个数是( )
A．4 B．6 C．7 D．8
解：D．
5. 用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设( )
A．a∥b B．c∥b C．a与c相交 D．a与b相交
解：C
6.用反证法证明“等腰三角形的底角必为锐角”时，第一步是假设____________________________．
解：等腰三角形的底角都为直角或钝角
7.如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成
两个小等腰三角形的是____(填序号).
解：②
8.如图所示,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,P为射线OC上一点,如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角
形,那么∠ODP的度数为____________.解：30°或75°或120°
9.如图，AB=CD，请你添加一个条件可以证明△AED是等腰三角形，你添加的条件是____________.
解：BD=CA(答案不唯一)
10.如图所示，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)判断△BOC的形状,并说明理由.
解： (1)证明:在△ABD和△ACE中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)△BOC是等腰三角形.理由如下:
∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,
∴∠OBC=∠OCB,
∴BO=CO,
∴△BOC是等腰三角形.
11.如图，已知：在同一平面内，直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.(用反证法证明)
证明：如图．假设a与b相交，
则过点M有两条直线平行于直线c，这与“过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线”相矛盾，所以a∥b .
12.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.
(1)求证：∠EBD＝∠EDB；
(2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
解：(1)∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB.
(2)CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，由(1)得∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED.
题型一：等腰三角形与个数问题
1．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且
△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据“两圆一线”画图找点即可．
【解答】解：如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形，
故选：C．
【点评】本题考查“两圆一线”构造等腰三角形的方法，熟练使用两圆一线的方法是解题关键．
2．如图，已知△ABC是等腰三角形，B（1，0），∠ABO＝60°，点C在坐标轴上，则满足条件的点C的
个数是（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【分析】分为AB＝AC、BC＝BA，CB＝CA三种情况画图判断即可．【解答】解：如图所示：
当AB＝AC时，符合条件的点有2个；
当BA＝BC时，符合条件的点有2个；
当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有2个．
但有1个是重合，
故符合条件的点C共有5个．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性
质是解题的关键．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图
中等腰三角形的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰
三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．
【解答】解：AB＝AC，∠ABC＝36°，
∴∠BAC＝108°，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个，
故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利
用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键，难度适中．
4．如图，在△ABC中，且∠ABC＝60°，且∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于F，
交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形高线的性质及直角三角形的性质推出∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝
30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，从而利用等腰三角形的判定定理得到△ADC是等腰三角形，再根据角平分
1
线的性质得到∠ABF＝∠CBE= ∠ABC＝30°，从而由∠ABF＝∠BAD推出△ABF是等腰三角形，而
2
∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，进而求解．
【解答】解：∵AD是边BC上的高线，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，
∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，
∴△ADC是等腰三角形，
∵BE是∠ABC的平分线，
1
∴∠ABF＝∠CBE= ∠ABC＝30°，
2
∴∠ABF＝∠BAD，
∴△ABF是等腰三角形，
则∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，
而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，
故△ABE为等腰三角形，
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的判定及直角三角形的性质，应充分运用数形结合的思想方法，结合图形从中寻找角之间的关系，结合相关定理及性质进行求解．
题型二：等腰三角形的判定证明题
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】由条件可得出DE＝DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得
出结论．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
{BD=CD)
，
DE=DF
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C；
∴AB=AC
∴△ABC为等腰三角形．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出 DE＝
DF是解题的关键．
6．已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求
证：△AED是等腰三角形．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠BAD，等量代换
得到∠ADE＝∠CAD于是得到结论．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠CAD
∴AE＝ED，
∴△AED是等腰三角形．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质
定理是解题的关键．
7．在一次数学课上，周老师在屏幕上出示了一个例题：
在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，画出图形（如图），
给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
（1）要求同学从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定△ABC是等腰三角形．
请你用序号在横线上写出所有情形．答： ；
（2）选择第（1）题中的一种情形，说明是△ABC等腰三角形的理由，并写出解题过程．解：我选择
．
【分析】（1）要证△ABC是等腰三角形，就要证∠ABC＝∠ACB，根据已知条件即可找到证明∠ABC＝
∠ACB的组合；
（2）可利用△DOB与△EOC全等，得出OC＝OB，再得出∠OCB与∠OBC相等，就能证明∠ABC与
∠ACB相等．
【解答】解：（1）①③，①④，②③和②④；
（2）以①④为条件，理由：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
又∵∠DBO＝∠ECO，
∴∠DBO+∠OBC＝∠ECO+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．故答案为：①③，①④，②③和②④；①④．
【点评】此题主要考查利用等角对等边来判定等腰三角形；题目对学生的要求比较高，利用等量加等量
和相等是正确解答本题的关键．
8．已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，FD＝FE．求证：△ABC是等腰三角
形．
【分析】过点 D 作 DG∥AE 于点 G，利用平行线的性质得出∠GDF＝∠CEF，进而利用 ASA 得出
△GDF≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，
∵DG∥AC
∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），
在△GDF和△CEF中，
{∠GDF=∠CEF
)
DF=EF ，
∠DFG=∠CFE
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴DG＝CE
又∵BD＝CE，
∴BD＝DG，
∴∠DBG＝∠DGB，
∵DG∥AC，
∴∠DGB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关
键．
题型三： 等腰三角形的性质与判定的综合应用
9．如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB＝15，则AC为（ ）
A．15 B．18 C．20 D．23
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MO＝MB，
NO＝NC，然后根据线段的和差关系可得，△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴MO＝MB，NO＝NC，
∵△AMN的周长为33，AB＝15，
∴AM+MN+AN＝33，
∴AM+OM+ON+AN＝33，
∴AM+MB+CN+AN＝33，
∴AB+AC＝33，
∴AC＝18，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
10．如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则
EF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接 AF，可得AF⊥BD，再利用等角的余角相等，
证明∠EAF＝∠EFA，从而得EA＝EF，即可解答．
【解答】解：连接AF，
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
∴∠AFD＝90°，
∴∠EAF+∠C＝90°，∠AFE+∠EFC＝90°，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠C，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴EA＝EF，
1
∴EF＝EA＝EC= AC＝4，
2
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一，添加辅助线是解题的关
键．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°，再由∠B＝36°得∠BAD＝
54°，由此可得∠CAD的度数；
（2）根等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，再根据EF∥AB得∠F＝∠BAD，由此得∠F＝∠CAD，
然后根据等腰三角形的判定进而得出结论．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°，
∵∠B＝36°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝54°，
∴∠CAD＝54°；
（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BAD，
∴∠F＝∠CAD，
∴AE＝EF．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等腰三角形的
判定和性质，理解平行线的性质是解决问题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，
BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B＝∠DEF；
（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得 DE＝FE，进而可得到
△DEF是等腰三角形；
（2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC＝∠BDE，∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝
∠B即可得出结论；
（3）由（2）知∠DEF＝∠B，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
{
BD=CE
)
在△DBE和△ECF中， ∠B=∠C ，
BE=CF
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC＝∠BDE，
∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B
（3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，
∴∠DEF＝∠B，
∴AB＝AC，∠A＝40°，
180−40°
∴∠DEF＝∠B= =70°．
2
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．
题型四： 反证法13．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞
∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（ ）
A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A＝60°，∠A＜60°三种情况，
∴∠A＞60°的反面是∠A≤60°，
∴用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°，
故选：D．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时
要注意考虑结论的反面所有可能的情况．
14．若要运用反证法证明“若a＞b＞0，则❑√a＞❑√b”，首先应该假设（ ）
A．❑√a＜❑√b B．❑√a=❑√b C．a＜b D．❑√a≤❑√b
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是 a＞b的
反面有多种情况，应一一否定．
【解答】解：要运用反证法证明“若a＞b＞0，则❑√a＞❑√b”，首先应该假设❑√a≤❑√b，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的步骤．反证法的步骤是：假设结论不
成立、从假设出发推出矛盾、假设不成立，则结论成立．
15．用反证法证明“直角三角形两锐角中至少有一个不小于 ”，应先假设这个直角三角形中的每一个
锐角都 ．
【分析】本题考查的是反证法的应用，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出
矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．根据反证法的一般步骤解答即可．
【解答】解：用反证法证明“直角三角形两锐角中至少有一个不小于45°”，应先假设这个直角三角形中
的每一个锐角都小于45°，
故答案为：小于45°
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的步骤．反证法的步骤是：假设结论不
成立、从假设出发推出矛盾、假设不成立，则结论成立．
16．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l
1
，l
2
被l
3
所截，∠1+∠2＝180°．
求证：假设l
1
l
2
，即l
1
与l
2
相交于一点P，则∠1+∠2+∠P＝ ，
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故假设不成立，所以 ．【分析】根据题意可得到第一个空的答案，然后假设命题的结论不成立，据此即可得到第二个空的答
案；再根据若两条直线不平行那么必相交，从而得出∠1+∠2+∠P的度数，进而可得∠1+∠2与180°的大
小关系，然后与已知条件进行比较，两者是否矛盾，若矛盾不成立，则假设错误，至此即可解答题目．
【解答】证明：假设l 不平行l ，即l 与l 相交于一点P，
1 2 1 2
则∠1+∠2+∠P＝180°，
所以∠1+∠2＜180°，
这与∠1+∠2＝180°矛盾，故假设不成立，
所以l 1∥l
2
．
故答案为：不平行，180°，＜，∠1+∠2＝180°，l 1∥l
2
．
【点评】本题考查的是反证法在证明题中的应用，熟知反证法的一般步骤是解答本题的关键．
▲1、等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).
▲２、用反证法证题的一般步骤:
①假设: 先假设命题的结论不成立;
② 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
③结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
