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1.3 勾股定理的应用-北师大版(2025)数学八年级上册
一、选择题
1．（2024八上·四川期中）一架长5m的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙1.4m，如
果梯子的顶端下滑0.8m，那么他的底部滑行了（ ）
A．0.8m B．1m C．1.2m D．1.6m
2．（2024八上·成都月考）如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形
水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm<h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
3．（2023八上·宁强期末）图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·龙华期中）如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为6cm，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
1 / 25A．5√29cm B．25cm C．2√194cm D．4√41cm
5．（2025八上·射洪期末）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为
长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（ ）
A．3.1米 B．3米 C．2.9米 D．2.8米
6．（2019八上·郑州期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长
为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器
上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．2√61cm
C．√61cm D．2√34cm
7．（2024八上·兰州期末）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕
2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，
则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ）
2 / 25A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
8．（2024八上·龙岗期中）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有
“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图（a）所示是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，
可以用其面积关系验证勾股定理．图（b）是由图（a）放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，
BC=5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ）．
A．121 B．110 C．100 D．90
二、填空题
9．（2024八上·福田期中）如图所示，一棵大树在离地面9米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部12
米处．这棵大树在折断之前是 米．
10．（2024八上·四川期中）一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了24km，然后向正北方向航行
了10km，这时他离出发点 km．
11．下图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走捷径AC，于是
3 / 25在草坪内走出了一条不该有的路AC，已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了 米长的草坪，
只为少走 米的路.
12．（2024八上·东阳期末）如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是2cm，每级台
阶的高度都是1.5cm，连接AB，则AB的长为 cm．
13．（2024八上·长兴期中）如图，货车车高AC=4m，卸货时后面挡板AB折落在地面A 处，已知
1
点A、B、C在一条直线上，AC⊥A C，经过测量A C=2m，则BC= m.
1 1
14．（2024八上·瑞安期中）沿海地区台风频发，为了安全的需要，人们常常会在窗户上加装铰链，
如下图所示，安装方式有水平安装（如图1，2）和上悬安装（如图3，4）两种形式.悬挂臂DE安装
在窗户上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B、C、D安装在一根钢筋上，其中AC//
ED，AC=20cm，CD=10cm，BD=40cm，我们把DE所在的直线与直线AB所成的夹角称作窗户打开
角.当水平安装的窗户打开角为90°时，AB＝ cm．当上悬安装的窗户打开角为30°时，AB＝
cm．
4 / 25三、作图题
15．（2023八上·从江开学考）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a
和b，斜边长为c.请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠．
（1）请你画出拼成的这个图形的示意图；
（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理．
四、解答题
16．（2023八上·银川期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子
BC的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？
（假设绳子一直保持是直的）
17．（2023八上·乐山期末）如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离
地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂
直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.
5 / 2518．（2024八上·襄汾期末）2023年7月5号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．
据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径50km（即以台风中心为圆心，50km
为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，台风中心沿监测点A与监测点B所在的直线由西向东运
动，已知点C为一大型农场，在A处测得农场C在北偏东53°方向上，且A，C相距80km，在B处测
得农场C在北偏西37°方向上，且B，C相距60km．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离．
（2）农场C会受此次台风的影响吗？说明理由．
19．（2025八上·龙岗期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水
一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何。大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，
其底面的边长AB＝1丈（1丈等于10尺），芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝
1尺。将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC＝OE。
（1）求水池的深度OD；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法。他
的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n
6 / 25a2 −n2
＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式b= ❑ ❑计算得到。请证明刘徽解法的正确性。
2n
20．（2024八上·信宜期末）如图，一辆小汽车在一段限速110km/h高速公路上沿直道行驶，某一时
刻刚好行驶到路对面车速检测仪A的正前方80m的C处，过了2s后，测得小汽车到达与车速检测仪A
之间的距离为100m的B处．
（1）你能计算这辆小汽车的速度吗？
（2）这辆小汽车超速了吗？
21．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册1.2《一定是直角三角形吗》同步训练）如图是一块地的
平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
五、实践探究题
22．（2024八上·宝安期中）【项目介绍】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八
叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的
对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示．板凳的结构设计
体现了数学的对称美．
现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安
装板凳．
【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④．
【驱动任务二】如图⑤，若A、B、C在同一条直线上，且AB与地面垂直．小组同学选取65cm的
木棒作为凳脚进行制作，成品凳面BD与地面距离为25cm，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所
以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移多少时可将凳高调整为39cm？
【驱动任务三】
7 / 25根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图
如图⑦所示，正方形桌面AC的边长为60cm，180cm长的木棒恰好能截成AB和BC，则成品桌子的
高度AB为多少？
23．（2023八上·清新期中）综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一
面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°．
（1）独立思考：
这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
（2）深入探究：
消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′＝4m，那么
它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的
长度．
（3）问题解决：
在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙
1
摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前
5
提下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头去救援被困人员？
24．（2023八上·瑞昌月考）课本再现
8 / 25如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm．在圆柱下底面的点A处有一
只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多
少？
（1）方法探究
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依
据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点
A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是 cm．
（2）方法应用
如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A开始，绕
侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．
（3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为30cm，高为35 cm，杯底厚1cm．在玻璃杯外壁距杯口
2cm的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，
求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）
9 / 2510 / 25答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：AC=DE=5m,AD=0.8m,BC=1.4m，∠ABC=90°，
∴AB=√AC2−BC2=√52−1.42=4.8m，
∴BD=AB−AD=4m，
设它的底部滑行了xm，则有BE=(1.4+x)m，
∴42+(1.4+x) 2=52，
解得：x=1.6；
故选D．
【分析】根据勾股定理求出AB=4.8m，设它的底部向外滑行xm，则有BE=(1.4+x)m，然后根据勾
股定理得到方程解题即可．
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h =24−8=16cm，
最大
11 / 25如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，
∴AB=√AD2+BD2=17cm，
∴此时h =24−17=7cm，
最小
∴h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．
【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在
杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，
A、A代表的正方形的面积为400−225=175；
B、B代表的正方形的面积为400+225=625；
C、C代表的正方形的面积为256−112=144；
D、D代表的正方形的面积为400−120=280.
故答案为：A.
【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而
根据选项提供的面积即可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，将长方体展开，连接AB，
12 / 25根据题意可知，BD＝6＋10＝16（cm），AD＝20cm，
利用勾股定理得：AB＝√AD2+BD2=√202+162=√656=4√41（cm）；
如图所示，将长方体展开，连接AB，
根据题意可知，AC＝10＋20＝30（cm），BC＝6cm，
利用勾股定理得：AB＝√AC2+BC2=√302+62=√936=2√234（cm）；
如图所示，将长方体展开，连接AB，
根据题意可知，BE＝20＋6＝26（cm），AE＝10cm，
利用勾股定理得：AB＝√BE2+AE2=√262+102=√776=2√194（cm）；
∵√656<√776<√936，
∴需要爬行的最短距离是4√41cm.
故答案为：D．
【分析】分类讨论，再将长方体展开，再利用勾股定理分别求出AB的长，最后比较大小即可.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由图形可得，OC=OA=1（米），OD=0.8（米），
∵OC2=CD2+OD2，
∴12=0.82+CD2，
解得：CD=0.6（米），
13 / 25∵CH=CD+DH，
∴CH=0.6+2.3=2.9（米），
∴卡车的外形不得高于2.9米．
故答案为：C．
【分析】先得到OC=OA=1，然后利用勾股定理得到CD长，即可利用CH=CD+DH得到CH长，
解题．
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有
一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=5cm，BD=12﹣
3+AE=12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=√A'D2+BD2
=√52+122=13（Cm）．故选：A
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即
为所求．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，根据题意可得，底面周长约为6米，柱身高约16米，
∴AB=6，
1 1
AE= AD= ×16=8，
2 2
∴BE=√AB2+AE2=√62+82=10，
14 / 25故雕刻在石柱上的巨龙至少为10×2=20，
故答案为：A．
【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计
算即可得到答案．
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：延长AB与KL相交于点O，延长AC与ML相交于点P
∵∠BAC=90°
∴AC=√BC2-AB2=4
∵∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠OBF=90°
∴∠ACB=∠OBF
15 / 25在△ABC和△OFB中
{∠BAC=∠FOB
∠ACB=∠OBF
BC=FB
∴△ABC≌△OFB(AAS)
同理可得：△ABC≌△QCG≌△LGF≌△NFB
∴GP=FL=AC=4，LG=OF=AB=3
∵PM=CH=AC=4，KO=EB=AB=3
∴ML=11，KL=10
∴长方形KLMJ的面积为10×11=110
故答案为：B
【分析】延长AB与KL相交于点O，延长AC与ML相交于点P，根据勾股定理可得AC=4，再根据
角之间的关系可得∠ACB=∠OBF，由全等三角形判定定理可得△ABC≌△OFB(AAS)，同理可得
△ABC≌△QCG≌△LGF≌△NFB，则GP=FL=AC=4，LG=OF=AB=3，即ML=11，KL=10，再根据长方
形面积即可求出答案.
9．【答案】24
【知识点】风吹树折模型
【解析】【解答】解：如图所示：根据题意可知AC=9米，BC=12米，
根据勾股定理得AB=√AC2+BC2=√92+122=15．
所以树折断前有9+15=24（米）．
故答案为：24．
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．【答案】26
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：如图，
AC=√242+102=26(km)，
故答案为：26．
16 / 25【分析】利用勾股定理即可解答．
11．【答案】50；20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=50 m；
∴ 少走的路为40+30-50=20 m.
故答案为：50；20.
【分析】根据勾股定理即可求得踩坏的草坪长度，再用斜边减去直角边的和即可求得少走的路.
12．【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-台阶问题
【解析】【解答】解：如图，由题意得AO=4×1.5=6，
BO=2×4=8，
故AB=√62+82=10(cm)．
故答案为：10．
【分析】根据勾股定理解答即可．
13．【答案】1.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设BC=x m，则AB=BA =(4-x) m，
1
在Rt△BCA 中，x2+22=(4-x)2，解得x=1.5
1
故答案为：1.5.
【分析】在Rt△BCA 中，设BC=x m，利用勾股定理列方程求解即可.
1
14．【答案】10√5；20√2+10√3
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：①∵∠CAB=90°，AC=20cm，CD=10cm，BD=40cm，
∴BC=BD-CD=40-10=30cm，
∴在Rt△ABC中，AB=√BC2-AC2=√302-202=10√5；
17 / 25②如图，延长DE交AB于点F，作CG⊥AB于点G，
∵AC∥ED，
∴∠DFB=∠CAB，
∵∠CAB=30°，
∴∠DFB=30°，
∵AC=20cm，∠CGA=90°，
∴CG=10cm，AG=√AC2-CG2=10√3cm，
∵BC=30cm，CG=10cm，∠CGB=90°，
∴BG=√BC2-CG2=20√2cm，
∴AB=BG+AG=20√2+10√3(cm)，
故答案为：10√5，20√2+10√3.
【分析】(1)根据勾股定理可以解答本题；
(2)延长DE交AB于点F，作CG⊥AB于点G，再由勾股定理可知AG，BG的长，从而可以解答本题.
15．【答案】（1）解：(答案不唯一)如图；
（2）证明：∵大正方形的面积可表示为(a+b) 2，
1
大正方形的面积也可表示为：c2+4× ab，
2
18 / 251
∴(a+b) 2=c2+4× ab，
2
即a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2+b2=c2，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）如图，把这四个三角形斜边首尾相接即可得图。
1
（2）大正方形面积可用（a+b）2表示，也可用c2+4× ab，把两个联立成等式即可证明。
2
16．【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，
∴AB=√BC2−AC2=15（米），
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴CD=17−1×7=10（米），
∴AD=√CD2−AC2=√100−64=6（米），
∴BD=AB−AD=15−6=9（米），
答：船向岸边移动了9米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】根据勾股定理可得AB=15，由题意可得CD=10，再根据勾股定理可得AD，再根据
边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】解：设AD＝xm，则由题意可得
AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m，
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理的应用，理清题意，列出方程是解题关键，根据题意设AD=x，
则AB=x-0.5，AE=x-1，在Rt△ABE中，由勾股定理可得： AE2＋BE2＝AB2 ，即可列出关于x的方
程，解得x=3即为答案.
18．【答案】（1）解：∵∠CAB=90°−53°=37°，∠CBA=90°−37°=53°，
19 / 25∴∠ACB=180°−37°−53°=90°，
∵AC=80km，BC=60km,
∴AB=√AC2+BC2=√802+602=100km，
答：监测点A与监测点B之间的距离为100km．
（2）解：过点C作CD⊥AB于点D，
1 1
∵S = AC⋅BC= AB⋅CD，AC=80km，BC=60km,AB=100km,
△ABC 2 2
1 1
∴S = ×80×60= ×100⋅CD，
△ABC 2 2
解得：CD=48<50．
∴农场C会受此次台风的影响．
【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）先证明△ABC是直角三角形，再根据勾股定理可求解；
（2）先根据三角形面积公式，得到三边的关系式，再代入已知线段求出待求线段，通过比较得出结
论．
（1）解：∵∠CAB=90°−53°=37°，∠CBA=90°−37°=53°，
∴∠ACB=180°−37°−53°=90°，
在Rt△ABC中，AC=80km，BC=60km,
∴AB=√AC2+BC2=√802+602=100km，
答：监测点A与监测点B之间的距离为100km．
（2）解：过点C作CD⊥AB于点D，
1 1
∵S = AC⋅BC= AB⋅CD，
△ABC 2 2
20 / 25又AC=80km，BC=60km,AB=100km,
1 1
∴S = ×80×60= ×100⋅CD，
△ABC 2 2
解得：CD=48<50．
因此，农场C会受此次台风的影响．
19．【答案】（1）解：设芦苇的长度x尺，
则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5，
在Rt△ODE中，∠ODE＝90°，
由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2．
∴52+（x﹣1）2＝x2，
解得 x＝13，
∴OD＝13﹣1＝12
∴水池的深度为12尺；
（2）解：图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a，
∴a2+b2＝（b+n）2，
∴a2+b2＝b2+2nb+n2
∴2nb＝a2-n2
a2 −n2
∴b＝ ❑ ❑．
2n
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）设芦苇的长度x尺，则OD＝x﹣1，DE＝5，根据勾股定理建立方程，解方程
即可求出答案.
（2）根据勾股定理建立方程，化简即可求出答案.
20．【答案】（1）解：在RtABC中，AC=80cm，AB=100m；
21 / 25根据勾股定理可得：BC=√AB2−AC2=60(m)，
60
∴小汽车的速度为v= =30(m/s)=108(km/h)；
2
（2）解：∵108km/h<110km/h，
∴这辆小汽车不超速行驶．
答：这辆小汽车不超速．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长度，再用BC的长度除以时间即可；
（2）根据（1）中求出的速度与限速比较即可判断.
21．【答案】解：如图，连接AC，
∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，
∴AC= √32+42 =5，
∴S =6，
△ACD
在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴Rt△ABC的面积=30，
∴四边形ABCD的面积=30-6=24．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，用勾股定理可求得AC的长，计算AC2+BC2和
AB2，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角
三角形ACB的面积-直角三角形ACD的面积。
22．【答案】解：驱动任务二：BD=√CD2−BC2=√652−252=60(cm)，
重新调整打孔位置后榫眼离B点距离为BD=√CD2−BC2=√652−392=52(cm)，
∴将榫眼外移距离为：60−52=8(cm)；
22 / 25驱动任务三：∵正方形桌面AC的边长为60cm，180cm长的木棒恰好能截成AB和BC，
∴BC2=AC2+AB2，
∴(180−AB) 2=602+AB2，
解得：AB=80．
∴成品桌子的高度AB为80cm．
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】驱动任务二：先利用勾股定理求出BD的长和BD的长，再利用线段的和差求出将
榫眼外移距离即可；
驱动任务三：利用勾股定理可得(180−AB) 2=602+AB2，再求出AB的长即可.
23．【答案】（1）解：在Rt△ACB中，
∴AC＝√AB2−BC2＝√252−72＝24m，
答：这架云梯顶端距地面的距离AC有24m；
（2）解：云梯的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′不是4m．理由如下：
由（1）可知AC＝24m，
∴A′C＝AC-AA′＝24-4＝20m．
在Rt△A′CB′中，
∴B'C=C√A'B'2−A'C2=√252−202=15m，
∴BB′＝CB′-BC＝15-7＝8m，
∴云梯的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′不是4m；
1
（3）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的 ，
5
√ 1 2
则能够到达墙面的最大高度为 252−( ×25) =√600m．
5
∵24.32＝590.49＜600，
∴24.3<√600，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24.3m高的墙头去救援被困人员．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ACB中，利用勾股定理求得AC的长；
23 / 25（2）首先求得C A'=20m，然后利用勾股定理求得线段CB'=15m，由BB′＝CB′-BC，计算可得答案；
（3）根据题意求出能够到达墙面的最大高度，再进行比较即可得出结论．
24．【答案】（1）15
（2）解：把直四棱柱沿侧棱展开，如图1，
因为绕了2周，所以要展开2次，连接AB．
在 Rt△ABC 中， AB=√242+102=26 ，
所以彩条的最短长度是26cm．
（3）解：展开玻璃杯的侧面，如图2，作点A关于MN的对称点 A' ，连接 A'B ，作 BC⊥A'A
于点C，则 BC=15 ， A'M=AM=2 ， CM=35−1=34 ， C A'=CM+A'M=36 ．
在 Rt△A'BC 中， A'B=√152+362=39 ，
所以蚂蚁爬行的最短路径长为39cm．
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长，
24 / 25由题意得：AC=9cm，BC=12cm．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√122+92=15(cm)，
所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm
故答案为：15．
【分析】（1）根据题意线段最短，求出AC，BC，根据勾股定理求出AB即可．
（2）根据题意绕两圈到B，所以要展开2次，连接AB．在Rt△ABC根据勾股定理求出即可．
（3）将杯子侧面展开，作A关于MN的对称点A'，同理根据勾股定理，即可求解．
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