培优03勾股定理的实际应用（9大题型）（北师大2024）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_初中数学北师大8上-2025秋季新版_第二套推荐25_07习题试卷_专项训练_第2套

培优 03 勾股定理的实际应用（9 大题型） 题型1 勾股定理与图形的折叠问题 图形折叠问题的解题策略 抓折叠前后对应边相等、折痕为对称轴，构造直角三角形用勾股列方程． 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在 中， ，将它的锐角A翻 折，使得点A落在边 的中点D处，折痕交 边于点E，交 边于点F，则 的长为（ ）A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出 ，由折叠的性质可得 ，设 ，则 ，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解： 点D为 的中点， ， 由折叠的性质可得 ， 设 ，则 ， 由勾股定理得 ， ， 解得： ， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片 的两直角边长分别是 ， ，现将 按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为 ，则 的长是（ ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理得到 ，再由折叠的性质得到 ，设 ，则 ，由勾股定理 可得 ，解方程可得 ，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵在 中， ， ， ， ∴ ， 由折叠的性质可得 ， ， ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 3．（2025·河南安阳·二模）阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理． 第一步：在一张长方形的纸板上画两个边长分别为 ， 的正方形 和正方形 ，连接 ， 得到以 为对称轴的六边形 ，如图①； 第二步：将长方形纸板沿 折叠，沿四边形 的边剪下六边形 ，再沿 把剩余的纸板剪 开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②； 第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形； 第四步：比较图①，图③中的两个六边形 和六边形 ，由它们的面积相等可得结论．解决问题：若设图①中六边形 的面积为 ，图③中六边形 的面积为 ， ．小强同学得出了以下四个结论： ① ；② ；③ ；④ ．则其中正确的是（ ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】先分别分析 、 的构成并计算，再根据面积相等推导结论．本题主要考查勾股定理的验证，利 用图形割补后面积不变建立等式是解题的关键． 【详解】解： 是由边长为 的正方形、边长为 的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积分 别为 、 ，直角三角形面积为 ，两个就是 ， ∴ ，故①错误． 是由边长为 的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积为 ，直角三角形面积为 ，两个 就是 ， ∴ ，故②错误． ∵操作过程只是裁剪、翻转、拼接，面积不变， ∴ ，即 ， 化简可得 ，故③④正确 ， 故选：B． 4．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在 中， ， 是边 上的高， ， ，E 为AC上一点，将 沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交 于点H，连接 ，则 ．【答案】10 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于 的方程． 连接 ，由线段垂直平分线的性质推出 ，设 ，由勾股定理得到 ，求出 ，得到 ，由三角形面积公式即可求出 ． 【详解】连接 ， 将 沿过点 的直线折叠，点 与点 重合， 是折痕， 垂直平分 ， ， 是边 上的高， ， ， ， 设 ，则 ， ， 是边 上的高， ， ， ，， ． 故答案为：10． 5．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在 中， 是边 的中点，E是边 上一点，连接 ．将 沿 翻折，点C落在 上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出 的长，折叠得到 ， ， ，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵ 是边 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵将 沿DE翻折，点C落在 上的点F处， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理，得： ， 解得： ， ∴ ， 故答案为： ． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点 为 边上一点，把 沿 折叠，使 落在直线 上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理与折叠，先由 ，得出 为直角三角形，且 ，设 ，由折叠的性质，可得 ， ， 然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ 为直角三角形，且 ， 设 ，由折叠的性质，可得 ， ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为 ， 故答案为： ． 7．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，D为斜边 上的一动点（不包含A，B两端点），将 沿 折叠，点A落在点 处， 与 相交于点E， 若 ，则 的长为 ．【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用．利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到 ，即 ，再根据勾股定理可得 ，最后利用面积法得出 ，可得 ，进而依据 ，即可得到 的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 由折叠可得， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∵ ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 故答案为： ．8．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边 ， 现将三角形纸片沿直线 折叠，使点 落在斜边 上，与点 重合，求 的长度 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠得到 ，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意可得 与 关于 成轴对称， ， ， ， 在 中， ， ， ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理，得 ， 解得 ，即 ． 9．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）在 中， ， ， ，D，E分别是斜边 和直角边 上的点．把 沿着 折叠，顶点B的对应点 落在直角边 上，且 ．求 的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，设 ，则 ，用勾股定理解 即可． 【详解】解： ， ，设 ，则 ， 由折叠知 ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ， 解得 ， 即 的长为 ． 10．（24-25八年级下·西藏·期中）在 中， ， ， ，点D、E分别是斜边 和直角边 上的点，把 沿着直线 折叠，顶点B的对应点是 ．如图，如果点 和点A重合， 求 的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设 ，则 ，根据折叠的性质得到 ，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设 ，则 ， 由折叠性质可得 ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 解得 ，即 的长为 ． 11．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，把长方形 的 边折叠，使得点C落在 边上，折 痕交 边于点E， (1)请用尺规作图的方法画出折痕 （保留作图痕迹，不写画法）； (2)在长方形 中，若 ， ，则 _____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠的性质，尺规作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握利用尺 规作角平分线及勾股定理和折叠的性质． （1）以点B为圆心， 为半径画弧，与 交于点 ，即为点 ，连接 ，作 的平分线，交 于点E，折痕即为点 ； （2）先根据勾股定理求出 ，设 ，则 ，根据勾股定理列出关于 的方程，解方程 即可． 【详解】（1）解： 即为所求 （2）解：∵纸四边形 为长方形， ∴ , ， ，连接 ， 根据折叠可知， ， ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中，根据勾股定理可知， ， 即 ， 解得： ， ∴ ， 故答案为 ． 12．（24-25八年级下·云南昆明·期末）【背景介绍】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理， 是我国古代数学的骄傲．如图1的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的 部分是一个小正方形，用它可以证明勾股定理．图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于 ，另一种 是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式 ，化简得： ．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法， 我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)如图2，在 的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得 ，求 边上的 高； (2)如图3，在 中， ， ， ， 是 边的中线．在 中，用a，b，c表示． 【答案】(1) 边上的高 为 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，三角形的面积公式，解题的关键是熟练运用这些知识． （1）先用割补法求出 的面积，再用 底 高表示面积，根据“双求法”列式，即可求出 边上 的高； （2）过点 作 于点 ，如图3，由 是 边的中线，得到 ，设 ，则 ， ，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，作 边上的高 ， ， ， ， ， 解得 ， （2）过点C作 于点F，如图3，∵ 是 边的中线， ∴ ， 设 ，则 ， ， 由勾股定理得： ， ， 即 ，得： ， ， ， ， ， 即 ， ． 13．（23-24八年级下·北京东城·期中）阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是： “如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在 中，如果， ， ， ，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ，利用此数量关系解决以 下问题； (2)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去 本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端 顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索 长是多少？”示意图如图1所示，设绳索 的长为x尺，根据题意，可列方程为 ； (3)如图2，把矩形 折叠，使点C与点A重合，折痕为 ，如果 ， ，求 的长． 【答案】(1) (2) (3) 的长为3 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用与折叠问题，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）根据勾股定理解答即可； （2）设绳索 的长为x尺，则 的长为 尺，根据勾股定理得 ，据此列出方程即 可； （3）设 ，则 ，由折叠的性质可知， ，结合勾股定理列出方程，解方程即 可． 【详解】（1）解：在 中， ， ， ， ， 由勾股定理得： ， 故答案为： ； （2）解：设绳索 的长为x尺，则 的长为 尺， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 故答案为： ； （3）解：把矩形 折叠，使点C与点A重合，折痕为 ，如果 ， ， 设 ，则 ， ∴ ，由矩形的性质可得 ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 解得 ，则 的长为3． 题型2 梯子的滑落问题 梯子滑落问题的解题策略 梯长固定为斜边，墙地距离为直角边，滑落时用勾股建动态方程． 14．（24-25八年级下·陕西安康·期末）某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬 长的云梯到 高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地面 、与宿舍外墙 的距离是 ．云梯够长吗？请说明理由． 【答案】够长，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 连接 ，根据勾股定理求出 的长并与云梯的长度比较大小即可得出结论． 【详解】解：云梯够长．理由如下： 如图，连接 ． ， ， ，在 中利用勾股定理，得 ， ， 云梯够长． 15．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，一架梯子 斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在 点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子 的顶端在点C处， ，测得顶端A距离地面的高度 为2米， 为 米，且顶端C 距离地面的高度 比 多 米，求 的长． 【答案】2.2米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键．先在 中，根据勾股 定理求出梯子的长度，然后在 中根据勾股定理求出 的长，进而可求解． 【详解】解：由题意可得：在 中， ， 米， 米， ∴ （米）， ∴ 米， ∵ 米， ∴ （米）， ∴ （米）． 16．（24-25八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯 的长为25米，斜靠在竖直的墙面 上，消 防梯底端A距墙面 的水平距离为7米．(1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1) 米 (2) 米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得， 米， 米， ，据此利用勾股定理求出 的长即可得到答案； （2）由题意得， 米， 米，据此利用勾股定理求出 的长，进而求出 的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， 米， 米， ， ∴ 米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为 米； （2）解：由题意得， 米， 米， ∴ 米， ∴ 米， 答：底端A在水平方向滑动了 米． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度 的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得 的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段 )的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段 的长)为1.5米．(1)求风筝的垂直高度(线段 的长)； (2)如果小望想使风筝沿 下降12米到 处，求他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度 为21.5米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． (1)利用勾股定理求出 的长，即可解决问题； (2)根据勾股定理求出 的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在 中， 米， 米， 由勾股定理得： （米）， ∴ （米）， 答：风筝的垂直高度 为 米； （2）解：如图，设下降到 ， 由题意可知， 米， ∴ （米）， ∴ （米）， ∴ （米）， 答：他应该往回收线8米． 18．（24-25八年级下·江西宜春·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上， 通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C 到滑块B的水平距离是 ，物体C到定滑轮A的垂直距离是 ．（实验过程中，绳子始终保持绷紧 状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了 ，求此时物体C升高了多少 ？ 【答案】(1)绳子的总长度为 (2)此时物体C升高了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意得 ，运用勾股定理算出 ， 即可求出绳子的总长度； （2）理解题意得 ，然后算出 ，再结合勾股定理得 ，因为绳子的总长度为 ，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得 ． ， ， 答：绳子的总长度为 ； （2）解：∵滑块B向左滑动了 ， 即 ，， 在 中， ， 由（1）得绳子的总长度为 ， ， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了 ． 19．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内 有两个小滑块 ， ，由一根连杆连接，滑块 分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略 不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块 距 点 ，滑块 距 点 ． (1)求 的长； (2)当滑块 向下滑 至点 处时，滑块 滑动到点 的位置，则 的长为多少 ？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在 中，运用勾股定理列式代入数值进行计算，即可作答． （2）先理解题意得 ， ，再算出 ，再结 合线段的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： ， ∴在 中， ； （2）解：在 中， ， ，， ． 20．（24-25七年级上·山东烟台·期中）课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米 吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方 向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上， 梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为 “梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【答案】(1)24；不会 (2)27米 (3)25米 【分析】此题考查勾股定理的实际应用． （1）直接利用勾股定理求得直角边 的长即可；首先求得 的长，然后利用勾股定理求得线段 的 长，最后求得线段 的长即可； （2）由勾股定理得出 米，再由 即可得出答案； （3）先由题意得 米，设 米，则 米，再根据 列关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出 即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 米， 米， 米， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米； 故答案为：24；不会； （2）解：由题意可得， ， ， 米， 米， 米， ∴ ， ∴ 米， ∴ 米， ∴这两面墙之间的距离为27米； （3）解：由题意得， 米， 米， 米， ∴ 米， 设 米，则 米， 又∵ ， ∴ ，即 ， 解得： ， ∴ 米， ∴梯子的长度是25米． 题型3 水中的筷子问题 水中的筷子问题的解题策略 过筷子与水面交点作垂线，构造直角三角形，应用已知数据，行程方程求解．21．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，将一支筷子放入杯中（杯子厚度忽略不计），已知筷子的 长度为 ，杯子底部直径为 ，杯子高为 ，则筷子露出杯口部分长度的最小值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，结合图象先求出筷子在杯子里面的部分，即可计算得出结论． 【详解】解：如下图，当筷子斜放在杯中时，筷子露出杯口部分长度最小， 由题意得： ， ， 则筷子露出杯口部分长度的最小值为 ， 故选：D． 22．（24-25八年级下·河北保定·期末）表中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水 深度，其示意图如图，其中 于点 尺， 尺．则 的长度为 （ ）诗文： 波平如镜一湖 面 半尺高处生红 莲 亭亭多姿湖中 里 突遭狂风吹一 边 离开原处二尺 远 花贴湖面象睡 莲 A．3.5尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.5尺 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设 的长度为x尺，则 ，在 中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设 的长度为x尺，则 ， ∵ ， ∴ ，即 ， 解得： ， ∴ 的长度为 尺． 故选：B． 23．（24-25八年级下·广东广州·期末）将一根 的筷子，置于底面直径为 ，高 的装满水的无 盖圆柱形水杯中，设筷子在杯子外面的长度为 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出 的值最大值与最小值是解题关键． 当筷子的底端在 点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在 点时，筷子露在杯子外面的长 度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出 的取值范围． 【详解】解：如图，当筷子的底端在 点时，筷子露在杯子外面的长度最长，； 当筷子的底端在 点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在 中， ， ， ， 此时 ， 所以 的取值范围是： ． 故选： ． 24．（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是 和 ，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为 和 ，，则铅笔 的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方 ； 第二个笔筒中：直径平方 ；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为 ，由题意得， ， 解得， ， 故铅笔的长为 ；故选：A． 25．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一 丈，葭（ ）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈 尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（ ） A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深为x尺，则这根芦苇的长为 尺，由勾股定理 可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长为 尺， 由题意得， ， 解得 ， ∴水深为8尺， 故选：C． 26．（23-24八年级上·广东深圳·开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上， ， ；(1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的 最大长度是多少？ 【答案】(1)最短路程是20cm (2)筷子的最大长度是 cm 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。 【详解】（1）解：如图1所示： 图1 由题意得： ， ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得 ； ∴最短路程是20cm； （2）将筷子斜着放， ∵ ， ，∴ ∴ ， 即筷子的最大长度是 cm． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活利用勾股定理进行求解。 题型4 测量河宽问题 与集合元素有关问题的解题策略 构造全等或相似Rt ，用标杆间距和视角差，勾股算河宽． 27．（24-25八年级△下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道 ，现测量出 ， ， ．若每天凿隧道 ，则需要 天才能把隧道 凿通． 【答案】18 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出 的长，即可解决问题． 【详解】解： ， ， ， ， （天)， 即需要18天才能将隧道 凿通， 故答案为：18． 28．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，小微同学想测量一条河的宽度 ，出于安全考虑，河岸边 不宜到达，她在地面上取一个参考点 ，发现 延长线上的点 处有一棵大树，用测距仪测得 米， 米， 米，已知 米，请你计算这条河的宽度 ．（结果保留根号）【答案】 米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，先利用勾股定理的逆定理可得 是直角三角形， ，再利用勾股定理求出 即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 米， 米， 米， ∴ ， ∴ 是直角三角形， ， 在 中，∵ 米， 米， ∴ 米， ∴ 米， 答：条河的宽度 为 米． 29．（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对 岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离 ，已知他在水中实际划了 ． （假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度 ． 【答案】(1)见解析 (2)60米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示（2）解：由题意知， ， ， ， 在 中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 30．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭 的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课 测量某水潭的宽度 题 测量工 测角仪、测距仪等 具 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均 无法到达，测量小组在与 垂直的直线 上取点C（ 于点A），用 测距仪测得 、 的长． 测量过 程及示 意图 测量数 米， 米 据 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度 ． 【答案】水潭的宽度 为 米． 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 米， 米，∴ ， ∴水潭的宽度 为 米． 题型5 航海问题 航海问题的解题策略 以船位为顶点，航线为直角边，勾股求最短距离或相遇时间． 31．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）一艘轮船位于灯塔 的南偏东 方向，距离灯塔 海里的 处， 它沿北偏东 方向航行 海里到达 处，此时与灯塔 的距离为（ ） A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用．先求得 ，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 交 于 ， 根据题意得 ， ， 海里， 海里， ， 在 中，根据勾股定理得， （海里）， 故此时与灯塔 的距离为 海里． 故选：B．32．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，货轮 在航行过程中，发现灯塔 在它的南偏西 方向，且与 货轮 相距 ．同时，在它的南偏东 方向又发现客轮 ，且与货轮 相距 ，求此时灯塔 与客轮 的距离．（ ：海里） 【答案】此时灯塔 与客轮 的距离为 ． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先求出 ，再由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意，得 ． 在 中， 答：此时灯塔 与客轮 的距离为 ． 33．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海 天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 海里，“海天”号每小时航 行 海里．它们离开港口 小时后相距 海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号 沿哪个方向航行吗？ 【答案】西北方向 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决 问题，属于中考常考题型． 根据路程 速度 时间，分别求得 、 的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形 是直角三角形，从而求解． 【详解】解：根据题意，得 （海里）， （海里）， （海里）， ， 即 ， ． 由“远航号”沿东北方向航行可知， ，则 ， 即“海天”号沿西北方向航行． 34．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）一艘轮船从A港向南偏西 方向航行 到达 岛，再从 岛 沿 方向航行 到达 岛， 港到航线 的最短距离是 ． (1)若轮船速度为 小时，求轮船从 岛沿 返回A港所需的时间． (2) 岛在 港的什么方向？ 【答案】(1)从 岛返回 港所需的时间为 小时 (2) 岛在 港的北偏西 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，方向角问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （ ） 中，利用勾股定理求得 的长度，则 ，然后在 中，利用勾股定理 来求 的长度，则时间 路程 速度； （ ）由勾股定理的逆定理推知 ，由方向角的定义作答； 【详解】（1）解：由题意 ， 在 中， ， 得 ， ∴ ． ∴ ．∴ ． 则 （小时）， 答：从 岛返回 港所需的时间为 小时； （2）解：∵ ， ， ∴ ． ∴ ， ∵一艘轮船从A港向南偏西 方向航行 到达 岛， ∴ ∴ 岛在 港的北偏西 ． 35．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、 “海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小 时航行12海里． (1)若它们离开港口2小时后分别位于A、B处（图1），如果知道“远航”号沿射线 方向航行，“海 天”号沿射线 方向航行，则 ______海里， ______海里； (2)若它们离开港口 小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向 航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】(1)32；24 (2)“海天”号沿西北方向航行 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的 关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，计算求解即可； （2）先计算出 的长，再证明 得到 ，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， 海里，海里； （2）解：由题意得， 海里， 海里； ∴ ， ∵ 海里， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴“海天”号沿西北方向航行． 36．（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航 已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口 出发，各自沿一固定方向 对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海里，乙船每小时航行8海里． (1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于 、 处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东 方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东 方向航行（图2），从港口 离开经过两个小时后位于点 处，此时船上有名乘客需 要以最快的速度回到 海岸线上，若他从 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟 内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据： ） 【答案】(1)乙船沿南偏东 方向航行，理由见解析 (2)他能在14分钟内到海岸线，理由见解析 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形进行解答．（1）根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而解答即可； （2）作 于D，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得 的长，进一步计算得出答 案． 【详解】（1）解：由题意可得： （海里）， （海里）， 在 中， ∵ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且 ， ∴ ， ∴乙船沿南偏东 方向航行； （2）过点C作 于D， 由题知 ，则 （海里）， ∴ 海里， ∴ （海里）， （海里）， ∴他能在14分钟内到海岸线．题型6 勾股定理的其它应用 勾股定理的其它应用的解题策略 抽象为圆弧或斜面，分割为多个Rt 分段或者融合各段行程一个Rt 用勾股定理求解． 37．（22-23七年级上·山东烟台·期△中）如图，是台阶的模型图．已△知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶 的高度都是1cm，连接 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理即可得出结论． 【详解】如图，由题意得 ， ， 故 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 38．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼 梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示， ， ， ． (1)求 的长； (2)若已知楼梯宽 ，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的 过程中没有损耗）【答案】(1) 的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 答： 的长为 ； （2）解：地毯长为： ， 已知楼梯宽 ，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为 ， ∴需要花费 （元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 39．（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024 年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由 调整为 、大型汽车限速值由 调整为 ．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚 好行驶到车速检测仪A处的正前方 的C处（即 ），过了 小汽车到达B处，此时测得小 汽车与车速检测仪间的距离为 ． (1)求 的长； (2)这辆小汽车在 段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据： ） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用 行驶的路程为 ，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．【详解】（1）解：由题意可得： ， ， ， ∴ ； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为 ； ∵ ； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 40．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个引水点 ，其中 ，由于某种原因，由 到 的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新 建一个引水点 （ 、 、 在同一条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路 ， 各少多少千米？ 【答案】新路 比原路 少 千米，比原路 少 千米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得 （千米），设 千米，则 千米，然后通过勾股定理求出 千米，最后代 入求解即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ （千米）， 设 千米，则 千米， ∵ ， ∴ ，解得： ， ∴ 千米， ∴新路 比原路 少 （千米），比原路 少 （千米）， 答：新路 比原路 少 千米，比原路 少 千米． 41．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，某学校（ 点）到公路（直线 ）的距离为300米，到公交 站（ 点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（ 点），使之到学校 及到车站 的距离相等， 求商店 与车站 之间的距离． 【答案】 米 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，过点 作 于点 ，如图所示，在 中，由勾股定理 求出 米，设 米，则 米，在 中，由勾股定理列 方程求解即可得到答案．根据题意，构造直角三角形，运用勾股定理求解是解决问题的关键． 【详解】解：过点 作 于点 ，如图所示： 在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 米， 设 米，则 米， 在 中， ， ， ， ，则由勾股定理可得 ， 即 ， ，解得 ， 则商店 与车站 之间的距离为 米． 42．（21-22八年级下·陕西渭南·期末）如图， ，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P 从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两 点恰好在C点相遇，求BC的长度？【答案】20cm 【分析】由题意知：BC=AC，设BC=x cm，则OC=（36-x） cm．在 Rt BOC中，由勾股定理列出方程， 解方程即可． △ 【详解】解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴ ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意BC=AC是解题的关键． 43．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都 为c，大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果 直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则 ． 【探索求证】（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”， 与 按如图所示位置放置，连接 ，其中 ，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于 某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在 同一条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原 路 少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若 时， ， ， ， ，设 ，求 的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路 比原路 少 5千米；（3） 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等 列出关系式，化简即可得证； （2）设 千米，则 千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在 和 中，由勾股定理得求出 ，列出方程求解即可得到 结果． 【详解】解：（1） ， ， ∴ ， 即 ； （2）设 千米，则 千米， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ，解得 ， 即 千米， ∴ （千米）， ∴新路 比原路 少 5千米； （3）设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得 ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 即 ， 解得： ． 题型7 判断台风（噪音）影响范围 判断台风（噪音）影响范围问题的解题策略 以影响源为圆心，影响距为半径作圆，向路径作垂线段，构造直角三角形求解． 44．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时， 台风中心位于A市正南方向 的B处，正以 的速度沿 方向移动．已知A市到 的距离 ，如果在距台风中心 的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（ ）个小 时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和 中，利用勾股定理求出 ，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时 ， 在 中， ， ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ， 时， 即A市经过 个小时开始受到台风影响． 故选：D 45．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，铁路 和公路 在点 处交汇， ，公路 上 处距离 点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路 上沿 方向以72千米/小时的速度行驶时， 处受到噪音影响的时间为 秒． 【答案】9 【分析】过点 作 ，求出最短距离 的长度，然后在 上取点 ， ，使得 米，根据勾股定理得出 ， 的长度，即可求出 的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：过点 作 ，， 米， 米， 在 上取点 ， ，使得 米，当火车到 点时对 处产生噪音影响， 米， 米， 由勾股定理得： 米， 米，即 米， 千米/小时 米/秒， 影响时间应是： 秒． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长 度． 46．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路 由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线 上两点A，B的距离分别为 和 ，吊车周围 以内为受噪声影响区域． (1)求 的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 【答案】(1) (2)学校C会受噪声影响，见解析 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理进行求解即可； （2）过点C作 于D，等积法求出 的长，进行判断即可。【详解】（1）解： ， ， 是直角三角形，且 ； （2）学校C会受噪声影响． 理由：如图，过点C作 于D，则： ， ， ∵吊车周围 以内为受噪声影响区域， ， ∴学校C会受噪声影响． 47．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测距 市正北方向 的 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以 的速度沿直线向 处移 动，且台风中心风力不变，已知每远离台风中心 ，风力就减弱一级，若所受风力不到4级，则称不 受台风影响，问： (1) 市是否受到这次台风影响？请说明理由； (2) 市若受台风影响，则所受的最大风力是______级；并求出 市受到台风影响的时间．【答案】(1)A市受到这次台风影响，理由见解析 (2)A市所受的最大风力是7级， 市受到台风影响的时间为 小时 【分析】（1）过A作 于点D，利用含30°角的直角三角形的性质求得的 长度，再根据题意计 算出受台风影响的半径，即可解答； （2）由 的长度可求得台风中心在D处时，A处的风的级别，从而确定受到的最大风力．再在 上取 使 ，而 于 ，可得 ； ，再 进一步计算即可． 【详解】（1）解：过A作 于点D． ∵在直角 中， ， ， 由题意知：受台风影响范围的半径为 ， ∴A市受到这次台风影响． （2）解：当台风中心位于点D处时，A市所受风力最大， 风力为 （级） 故A市所受的最大风力是7级． 如图，由（1）可得：受台风影响范围的半径为 ，在 上取 使 ，而 于 ， ∴ ； ∴ ， ∴ （小时）； ∴ 市受到台风影响的时间为 小时． 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，化为最简二 次根式，理解题意，构建图形解题是解本题的关键． 48．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向78的B处，以每小 时20的速度沿 方向移动，A到 的距离 ，在距台风中心 的圆形区域都将受到台风的影响． (1)台风中心经过多长时间将到达D点？ (2)A城受这次台风的影响有多长时间？ 【答案】(1) 小时 (2)4小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离，构造出直角三角形是解题关键． （1）根据勾股定理求得 的长，再计算时间即可得结论；（2）根据题意求出 的长即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意可得：在 中， ， 则 ， 台风中心以每小时20的速度沿 方向移动， （小时）， 答：台风中心经过 小时将到达D点； （2）解：如图所示：当 ，则 ， 故 ， 则 （小时）． 答：A城受这次台风的影响的时间为4小时． 49．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公 路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路 上，沿东西方向由 向 行驶．小丽的家在公 路的一侧点 处，且点 与直线 上的两点 的距离分别为 ，又 ， 假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求 的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路 上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点 时，小丽在家刚好 听到广播，当移动广播车行驶到点 时，小网在家刚好不再听到广播，即 米，问小丽在家 听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1)(2)小丽在家能听到广播，计算见解析 (3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断 的形状； （2）过点 作 ，根据等积法求出 的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作 ，根据勾股定理求出 长，再根据时间 路程 时间解答即可． 【详解】（1）解： ， 又 ， ， 是直角三角形，即 ． （2）解：过点 作 ，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得 ， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意， ， 根据勾股定理， ， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 题型8 用勾股定理解决最短路径问题用勾股定理解决最短路径问题问题的解题策略 展开立体表面，化曲为直，用勾股求起点终点直线距离． 50．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，相邻的两边互相垂直，则从点 到点 的最短距离为 （ ） A．13 B．12 C．8 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接 ，作出过点A的竖直线和过点B的水平线，交于点C，如图所示： ， 由题意得： ， ， ， 故选：A． 51．（24-25八年级下·山东济宁·期末）农民麦子大丰收，小彬用 打印机制作了一个底面周长为 ， 高为 的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面 均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点 到点 为 的中点），则装饰带的长度最短为 （ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面 展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为 的长， 则 ， ∴ ． 故选：D． 52．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下 底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要 厘米． 【答案】13 【分析】本题考查平面展开﹣最短路径问题，两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．熟练掌握勾股 定理是解答本题的关键．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度． 【详解】解：如解图，长方形 是圆柱的侧面展开图，连接 ， 此时所需彩带最短，最短长度为 ， ∵ ，由题意得 厘米． 厘米， 由勾股定理得 ，即 ， 解得 （负值已舍）． 故答案为：13．53．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在 中， ， 平分 ， 、 分别是 、 上的动点．若 ，则 的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，能够根据相关知识 得到 的最小值为 的长是解题的关键． 在 上取一点 ，使 ，连接 ，过点B作 于点H，可推出 的最小值 为 的长，再根据面积求出 的长即可解决问题． 【详解】解：如图，在 上取一点 ，使 ，连接 ，过点B作 于点H， ∵ 平分 ， ∴点 与点E关于直线 对称， ∴ ， ∴ ， 即 的最小值为 的长， ∵ ， ， ∴ ， 解得 ， ∴ 的最小值为8， 故答案为：8． 54．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块．已知 米， 米，该木块的较长边与 平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点 爬 过木块到达 处需要走的最短路程是 米． 【答案】17 【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，将木块表面展开，根据两点之间线段最 短结合勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理得应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将木块展开， 即为所求， 则 （米 ， 米， 在 中， （米 ． 最短路径为17米． 故答案为：17． 55．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯 ，因使用时间而变形， 中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为 ，已知 ，一只蚂蚁从A点 爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，勾股定理. 将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平， 长度变为半圆周长，连接 ， ∴ ，则 ， 在长方形 中， ， ， 由勾股定理，得 ， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走 的路程． 故答案为： ． 56．（24-25七年级下·广西玉林·期末）2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标 志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方 体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 米的半圆，其边缘 米，点 E在 上， 米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 【答案】50 【分析】本题考查了平面展开 最短路径问题、勾股定理，要求滑行的最短距离，需将该 型池的侧面展 开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，由与 型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等 于半径为 的半圆的弧长，长方形的长等于 ，进而求解即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图，则 的长为滑行最短距离， （米）， （米）， （米），在 中， ， ∴ ， 解得 （负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为50（米）． 故答案为：50． 57．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，长方体的长和宽分别为 和 ，高为 ．若一只蚂 蚁从点 开始经过4个侧面爬行一圈到达点 ，求蚂蚁爬行的最短路径的长度． 【答案】蚂蚁爬行的最短路径的长度为 【分析】本题考查勾股定理的应用．长方体的侧面展开图如图所示．连接 ，则 为蚂蚁爬行的最短路 径的长度．在 中根据勾股定理即可求出 的长． 【详解】解：长方体的侧面展开图如图所示．连接 ，则 为蚂蚁爬行的最短路径的长度． 长方体的长为 ，宽为 ，高为 ， ， ．由题意可知 ， ∴在 中， ． ∴蚂蚁爬行的最短路径的长度为 ． 58．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为 的立方体纸盒的顶点 处有一只蚂蚁，在另 一顶点 处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点 处，如图 所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为 ， ， 的长方体纸盒（如图3），其他条件不 变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短； (2)蚂蚁经过的路程最短路程为 ． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可； （2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进 行比较即可． 【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为 的立方体， ∴甲设计的爬行路线长为 ， 乙设计的爬行路线长为 ，丙设计的爬行路线长为 ， ∵ ， ∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短， 答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短． （2）解：∵两点之间线段最短， ∴不考虑沿着棱爬行的情况， 如图所示， 蚂蚁沿 爬行，经过的路程长为 ， 蚂蚁沿 爬行，经过的路程长为 ， 蚂蚁沿 爬行，经过的路程长为 ， ∵ ， ∴蚂蚁沿 爬行，经过的路程最短，最短路程为 ， 答：蚂蚁经过的路程最短路程为 ． 题型9 勾股定理逆定理的实际应用 勾股定理逆定理实际应用问题的解题策略测三边长度，验 𝑎2+ 2= 2是否成立，反推直角位置． 59．（23-24八年级上𝑏·广𝑐东河源·阶段练习）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距 离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中 一角便是直角，这样做的依据是 ． 【答案】勾股定理的逆定理 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息， 比较简单．根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为 ，则此三角形三边的长分别为 、 、 ． ， 根据勾股定理的逆定理：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 以 、 、 为边长的三角形是直角三角形． 故答案为：勾股定理的逆定理． 60．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴 儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到 ， ， ，其中 与 之间由一个固定为 的零件连接（即 ）．根据安全标准需满足 ，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】符合安全标准，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，根据勾股定理求出 ，根据勾股定理的逆定理得 到 ，证明结论．【详解】解：符合安全标准， 理由： 在 中， ， ， 在 中， ， ， 是直角三角形，且 ， ． 该婴儿车符合安全标准 61．（24-25八年级下·云南昆明·期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实 践基地种植蔬菜．如图，点 是自来水管的位置，点 和点 分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的 位置， 两处相距12米， 、 两处相距16米， 、 两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉， 八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段 、 铺设2段水管； 八（2）班方案：过点 作 于点 ，沿线段 ， ， 铺设3段水管； (1)求证： ； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)选择八（1）班的方案，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用； （1）根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）先利用等积法求出 的长，再分别计算 与 ，然后进行比较大小即得结论． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ∴ ， ∴ ，即 ； （2）解：选择八（1）班的方案，理由如下： ∵ ， ∴ ， 则按照八（1）班方案：沿线段 、 铺设2段水管，需要铺设水管的总长度为 ； 按照八（2）班方案：沿线段 ， ， 铺设3段水管，需要铺设水管的总长度为 ， ∵ ， ∴从节约水管的角度考虑，应该选择八（1）班的铺设方案． 62．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在一条东西走向的公路一侧有两个新能源车的充电站A， B，点C处是一个小区，其中 ．由于道路施工，由点C到A充电站的道路无法正常通行．该小区 为了方便居民充电，决定在公路旁的点D处新建一个充电站（点A，B，D在同一条直线上）并新修一条 公路 ，工作人员测得 ， ， ． (1) 是不是从小区C到公路最近的路？请通过计算说明； (2)新修的公路 比原来的公路 短多少千米？ 【答案】(1) 是最近的路；说明见解析； (2)新路 比原路 少 千米． 【分析】本题考查了垂线段最短、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能结合题意列出适当的方程求 值是解本题的关键． （1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理，判断 是否垂直于 即可； （2）根据勾股定理，列方程，算出 的值，再求 与 的差即可． 【详解】（1）解：是，理由如下：∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 是直角三角形， ∴ ， ∴ 是从小区C到公路最近的路； （2）解：设 ，则 ， ， 在 中，根据勾股定理有， ，即 ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， ∴新路 比原路 少 千米． 63．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A， B，且A，B均位于地下管道 的同侧，售卖机A，B之间的距离（ ）为500米，管道分叉口M与B之 间的距离为300米， 于点N，M到 的距离（ ）为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道 上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中， 是这些分叉管道中最省材料的， 请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米(2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理及其逆定理，证明 即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ． 在 中， ， 由勾股定理得 ， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵ ， ∴ ． 在 中， 由勾股定理得 ． ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ 是垂线段， ∴ 是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 64．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路 的同侧，两个喷 泉之间的距离 ．要为喷泉铺设供水管道 ， ，供水点M在小路 上，供水点M到 的 距离 ，BM 15m． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM ； (2)求证：BMA90． 【答案】(1)供水点M 到喷泉A需要铺设的管道长AM 为20m(2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键， 要注意勾股定理逆定理的格式． （1）在Rt△MNB中，先利用勾股定理求出BN ，从而求出AN，再在Rt△ANM 中，利用勾股定理求出 AM ； （2）利用勾股定理的逆定理证明 AMB是直角三角形，再根据斜边所对的角是直角从而得到BMA90． 【详解】（1）解：由题意可知：MNAB， 在Rt△MNB中，BN2 BM2MN2 152122 81， BN 9m， AN  ABBN 25916m， 在Rt△ANM 中，AM2  AN2MN2 162122 400， AM 20m， 供水点M 到喷泉A需要铺设的管道长AM 为20m； （2）证明： AM 20m，BM 15m，AB25m， AM2BM2 202152 252  AB2 ，   AMB是直角三角形，BMA90． 培优综合练 65．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，沿海城市A测得台风中心在东南方向300km 的C处，该台风中心始终以50km/h的速度沿北偏西15的方向移动．AC ______km ACE______ (1)填空： ， ； (2)当台风中心移动到A市正东方向的B处时，求A、B之间的距离？(结果保留根号) 250km ( ) A (3)距台风中心 的圆形区域 包括边界 都属台风影响区，求 市受台风影响的时长？ 【答案】(1)300；30；   150 6150 2 (2)A、B之间的距离为 km (3)A市受台风影响的时长为8h 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形的应用，方位角的应用； （1）根据题意，即可得到答案； （2）过B作BH  AC于H，设AH BH xkm，用x表示AH ，CH ，再根据AC  AH CH 列方程，即 可求出x从而解决问题； （3）过A作AK CE于K，设台风中心移动到点M 处时，城市A开始受影响；移动到点N 处时，城市A 正好结束影响，即AM  AN 250km．在Rt  AKM 中，求出MK，从而得到MN，进一步求出A市受台风 影响的时长． 【详解】（1）解：由题意知，AC 300km，ACE 451530． 故答案为：300，30； （2）如图，过B作BH  AC于H， 由题可得BAC 904545，ACB30，AC 300km， 在Rt  AHB中，BAC45， 设AH BH xkmAH2BH2  2xkm AB ， ∵在Rt△BHC中，ACB30， BC 2BH 2xkm ∴ ， CH  BC2BH2  3xkm ∴ ， ∵AC  AH CH ， x 3x300 ∴ x150 3150 解得 ， AB 2x(150 6150 2)km ∴ ， (150 6150 2)km A B 答： 、 之间的距离为 ； （3）如图，过A作AK CE于K， 在Rt  AKC中，ACK 30， 1 ∴AK  AC150km， 2 设台风中心移动到点M 处时，城市A开始受影响； 移动到点N 处时，城市A正好结束影响，即AM  AN 250km．  AK MN 于点K，MK  NK ， 在Rt  AKM 中， MK  AM2AK2  25021502 200km ， MN 400km， 400508h 答：A市受台风影响的时长为8h． 66．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）某市规划修建铁路BD，并将火车始发站定于B处．已知始发站B 位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西60方向，且BC距离为200米，小区A位于商场C的南偏 75 80 10 西 方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为 米的范围内都会受到噪音干扰．火车 从始发站B出发，以30米/秒的速度沿铁路BD低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： 153.87) (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪 音影响？ 【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒 (2)小明出发4秒后会受到噪音影响 【分析】（1）过A作AECE于E，过点B作BH  AC于H，根据题意得ACB45，BAC 30， 2 根据含30度和45度直角三角形的性质求出 米，得到AM BM  AB20080 10，于是得到 AB200 2 2 A小区会受到噪音干扰，设火车到点FA小区开始受到噪音干扰，到点GA小区受到噪音干扰结束，连接 AF ，AG，根据勾股定理即可得到结论． EF 80 10 （2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时 米，MF BM BF 20030tm BF 30tm AE10tm 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则 ， ，则 ， EM  AM AE 20010tm ，利用勾股定理得到，从而得到得到关于tMF2EM2 EF2 的方程，即可得 解． 【详解】（1）解：过A作AECE于E，过点B作BH  AC于H， 由题意得，ACB180607545，CAE90ACE907515， BAC90451530，  BHCBHA90，BC 200米， 2 BH CH  2 BC100 2(米)， AB2BH 200 2 ∴ 米，  BAM 45， 2 AM BM  AB20080 10， 2 A小区会受到噪音干扰， 设火车到点FA小区开始受到噪音干扰，到点GA小区受到噪音干扰结束， 连接AF ，AG， AF AG80 10 则 米，  AM 200米， FM  AF2AM2 40 15 ) (米 ， FG2FM 80 15 ) (米 ， 80 15 803.87  干扰的时间 30  30 10.3210(秒)， 答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒．EF 80 10 （2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时 米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则BF 30tm，AE10tm 又∵AM BM 200m MF BM BF 20030tm EM  AM AE 20010tm ∴ ， ∵AMB90， 20030t2 20010t2   80 10 2 ∴ MF2EM2 EF2，即 ， t t 4 解得： 1 2 ， 答：小明出发4秒后会受到噪音影响． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 67．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想， 经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． x249 9x2 25 例题：求代数式 的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形， Rt△ABC 中， �B�90 ，AB7， BC xx9 ，则 AC  x249 BC BD9 BD BD DE 5 ，延长 至点D，使 ，过点D作 的垂线，在 下方的垂线上截取 ，连CE 9x2 25 接AE，CE，则 ，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段AE的长，最后过点E作 AB的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出AE的长为15，进而解决问题． x24 8x2 16 类比如上方法，求 的最小值为 ． 【答案】10 【分析】借鉴已知解题方法，构造 Rt△ABC ，和 Rt△CDE ，令AB2， BC xx8 ， BD8 ， DE4 ， x24 8x2 16 则AE长即为 的最小值． 本题考查矩形的性质，线段的最值和勾股定理，利用类比思想，借鉴题目的求解方法是解题的关键． 【详解】解：如图构造图形， Rt△ABC 中， �B�90 ，AB2， BC xx8 ， AC  x24 则 ， 延长BC至点D，使BD8，过点D作BD的垂线，在BD下方的垂线上截取DE4，连接AE，CE， CE 8x2 16 则 ， 由两点之间线段最短可知，最小值即为线段AE的长， 过点E作AB的垂线，垂足为点F， AE AF2EF2  242 82 10 根据勾股定理得 ， x24 8x2 16 ∴ 的最小值为10． 故答案为：10．68．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，在Rt△ABC中，ACB90，AC 3，BC 4，点D，E 分别是AB，BC上的动点，且ADBE，连接CD，AE，则CDAE的最小值是（ ）． 34 41 A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加 辅助线构造全等三角形是解题的关键． BF  AB BF  AC EF，AF AB5 AF  34 如图：过点B作 ，且使 ，连接 ，先由勾股定理求出 ， ，证明 FBE CAD，进而依据“SAS”判定  FBE和 CAD全等得EF CD，继而得CDAE EFAE，由 EFAE CDAE EFAE AF  34 此得当 为最小时， 为最小，根据“两点之间线段最短”得 ，据此即 可得出CDAE的最小值． 【详解】解：如图：过点B作BF  AB，且使BF  AC，连接EF，AF， 在Rt△ABC中，ACB90，AC 3，BC 4， AB AC2BC2  3242 5 ∴ ， BF  AB， ABF 90， 在Rt  ABF中，AB5，BF  AC 3， AF  AB2BF2  5232  34 由勾股定理得： ，  ABF 90，ACB90， CBAFBE90，CBACAD90， FBECAD， 在 FBE和 CAD中，  BF  AC  FBECAD ，   ADBE  FBE≌ CADSAS   ， EF CD， CDAEEFAE， 当EFAE为最小时，CDAE为最小， EFAE AF  34 根据“两点之间线段最短”得： ，  EFAE 34 当点F，E，A共线时， 为最小，最小值是 ， CDAE 34. 的最小值是 故选：B． 69．（24-25八年级下·广西百色·期中）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有 均取3） (1)如图1，圆柱体的高AC 16cm，底面直径BC 8cm，下底A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的 食物．若蚂蚁沿图1中的折线ACB爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是16824cm；若将圆柱沿着AC侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行 路程是________cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径________（填“Ⅰ”或 “Ⅱ”） (2)如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为8cm，高为16cm的圆柱、橡皮筋、细线（借 助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度．路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路 程如表．（单位：cm） 圆柱高 沿路径Ⅰ路程x 沿路径Ⅱ路程 y 比较x与 y 的大小 度 10 18 2 61 x y 6 14 a b 4 c 4 10 d 求出表格中a的值是________cm，表格中b表示的大小关系是________；表格中c的值是________cm， 表格中d表示的大小关系是________； (3)设圆柱的半径为r，圆柱的高为h．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等， 求圆柱半径r与圆柱的高度h的数量关系． 【答案】(1)蚂蚁的爬行路径作图见解析，20，Ⅱ； 6 5 x y 12 x y (2) ， ； ， ； 4 (3)圆柱半径 与圆柱的高度 的数量关系为r h． r h 5 【分析】本题考查了最短路径，勾股定理，解题的关键是找出两种路径对应路程的表达式． （1）计算展开图中线段的长度，用勾股定理计算路径Ⅱ对应的路程，与路径Ⅰ对应的路程比较即可； （2）计算展开图中线段的长度，用勾股定理计算可得a的值，与14进行比较即可得b表示的大小关系，由 c 4 10 d 圆柱高与底面直径相加可得 的值，与 进行比较即可得 表示的大小关系； （3）用圆柱的半径和高分别表示出两种路径对应路程，列方程，化简整理即可． 【详解】（1）解：如图，线段AB为蚂蚁爬行的路径Ⅱ， ∵图1中，圆柱体的高AC 16cm，底面直径BC 8cm， 1 ∴图 中，BC 3812， 2 2 AB 122162 20 ∴ ，∵2024， ∴该蚂蚁爬行的最短路程应是路径Ⅱ， 故答案为：20，Ⅱ． a 62122 6 5 （2）解： ， 146 5 ∵ ， ∴表格中b表示的大小关系是 x y ， c4812， 124 10 ∵ ， ∴表格中d表示的大小关系是 x y ， 6 5 x y 12 x y 故答案为： ， ； ， ． （3）解：∵圆柱的半径为r，圆柱的高为h， ∴蚂蚁在圆柱表面爬行路径Ⅰ的路程为2rh，蚂蚁在圆柱表面爬行路径Ⅱ的路程为  1 2 h22r   h29r2 ，  2 ∵蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等， 2rh h29r2 ∴ ， ∴4r24rhh2 h29r2， 4 ∴r h， 5 4 答：圆柱半径 与圆柱的高度 的数量关系为r h． r h 5 70．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集 设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，AB9m,BC 12m,CD17m,AD8m，在CD上选取两点 E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点 E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点 之间的距离，就确定了ABC90． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． EGF 90 EF 10m,EG8m (3)若 ， ，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案 所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． 1 （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证 ，再计算S  ADAC 60m2 ， DAC 90 DAC 2 1 S  ABBC 54m2 ，最后相加，即可作答； ACB 2 FG EF2EG2  10282 6m （3）根据勾股定理得到 ，根据三角形的面积公式得到 EGFG 86 24 HG   m，求得方案一：铺设管道所花的费用6850700（元），方案二：铺设 EF 10 5 24 10 50740 管道所花的费用  5  （元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接AC， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵AB9m,BC 12m, ABC90 ∴AC2  AB2 BC2 92 122 225， ∴AC 15m， 即当测量A，C两点之间的距离为15m ∴满足勾股逆定理得AB2BC2  AC2； ∴ABC90， 故答案为：A，C； AD2AC2 82152 289 DC2 172 289 （2）解：∵ ， ， ∴AD2AC2 DC2， ∴DAC 90， 1 1 ∴S  ADAC  81560  m2 ， DAC 2 2 1 1 ∴S  ABBC  91254  m2 ACB 2 2 6053114  m2 ABCD ∴四边形 的面积 ， ∴建造绿化地的费用10011411400（元）； EGF 90,EF 10m,EG8m （3）解：∵ ， FG EF2EG2  10282 6m ∴ ∵GH EF ，1 1 ∴S  EGFG EFGH ， EGF 2 2 EGFG 86 24 ∴HG   m EF 10 5 6850700 ∴求得方案一：铺设管道所花的费用 （元），  24 10 50740 方案二：铺设管道所花的费用  5  （元）， ∵740700 ∴铺设管道所需的最少费用为700元．