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专题 6.1 等差数列及其前 n 项和【十大题型】
【新高考专用】
1、等差数列及其前n项和
数列是高考的重点、热点内容，其中等差数列属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，
等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空
题的形式考查，难度较易；等差数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，
难度中等；有时会在压轴题中出现数列的新定义、新情景题，难度较大；高考中数列内容一般设置一道选
择题和一道解答题，需要灵活求解.【知识点1 等差数列的基本运算的解题策略】
1．等差数列的基本运算的两大求解思路：
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，a ，d，n，S ，知其中三个就能求另外两个，
1 n n
体现了用方程的思想来解决问题.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a 和d是等差数列的两个基本量，
1
用它们表示已知和未知是常用方法.
【知识点2 等差数列的判定的方法与结论】
1．证明数列是等差数列的主要方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a-a 为同一常数.即作差法，将关于a 的a 代入a-a ，
n n-1 n-1 n n n-1
在化简得到定值.
(2)等差中项法：验证2a =a+a （n≥3，n∈N*）都成立.
n-1 n n-2
2．判定一个数列是等差数列还常用到的结论：
(1)通项公式：a=pn+q（p,q为常数） 是等差数列.
n
(2)前n项和公式：S=An2+Bn（A,B为常数） 是等差数列.
n
问题的最终判定还是利用定义.
【知识点3 等差数列及其前n项和的性质及应用】
1．项的性质：
在等差数列 中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则a +a=a+a.
m n p q
2．和的性质：
在等差数列 中，S 为其前n项和，则
n
(1)S =n(a+a )=…=n(a+a )；
2n 1 2n n n+1
(2)S =(2n-1)a；
2n-1 n
(3)依次k项和成等差数列，即S,S -S,S -S ,…成等差数列.
k 2k k 3k 2k
3．求等差数列前n项和的最值的常用方法：
(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求
得和的最值；
(2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和S=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，
n
通过二次函数的性质求最值.
(3)不等式组法：借助当S 最大时，有 ，解此不等式组确定n的范围，进
n
而确定n的值和对应S 的值(即S 最大值)，类似可求S 的最小值.
n n n
【方法技巧与总结】
1．已知数列{ }的通项公式是 = pn+q(其中p，q为常数)，则数列{ }一定是等差数列，且公差为
p.
2．在等差数列{ }中，a>0， d<0，则S 存在最大值；若a<0， d>0，则S 存在最小值.
1 n 1 n
3．等差数列{ }的单调性：当d>0时，{ }是递增数列；当d<0时，{ }是递减数列；当d=0时，{}是常数列.
4．数列{ }是等差数列 ( A, B为常数).
【题型1 等差数列的基本量运算】
【例1】（2024·山东·模拟预测）在等差数列 中，已知 ， ， ，则 （ ）
{a } a =−9 a +a =−9 a =9 n=
n 1 3 5 2n−1
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式1-1】（2025·贵州安顺·模拟预测）设等差数列 的前 项和为 ．若 ，则
{a } n S a +a =20,S =22 {a }
n n 7 9 11 n
的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（2025·安徽合肥·一模）记 为等差数列 的前n项和.若 ，则 （ ）
S {a } a +a +a =9 S =
n n 4 5 6 9
A．9 B．18 C．27 D．36
【变式1-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 满足 ，且 ，则首项
{a } a +a =14 a −a =8 a =
n 2 3 4 2 1
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 等差数列的性质及应用】
【例2】（2024·广西柳州·模拟预测）在等差数列 中，若 ，则 （ ）．
{a } a +a +a +a =48 a =
n 2 5 17 20 11
A．7 B．12 C．16 D．24
【变式2-1】（2025·辽宁沈阳·一模）已知数列 为等差数列， ， ， ， ，设 ，
{a } m n s t∈N p:m+n=s+t
n +
q:a +a =a +a，则p是q的（ ）
m n s t
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【变式2-2】（2024·四川雅安·三模）在等差数列 中，若 ，则 （ ）
{a } a +a =10,a =9 a =
n 2 6 5 8
A．21 B．24 C．27 D．29
1
【变式2-3】（2024·山西运城·三模）已知数列{a }是等差数列， a −a =2，则a +a −a =（ ）
n 2 3 5 5 10 8A．4 B．−2 C．−4 D．−8
【题型3 等差数列的判定与证明】
【例3】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列 ，则“ ”是“数列
{a } a +a =2a (n≥3，n∈N∗)
n n−2 n+2 n
是等差数列”的（ ）
{a }
n
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】（2024·安徽阜阳·模拟预测）设正数数列 {a } 的前 n 项和为 S ，且 S = 1( a + 1 ) (n∈N∗) ，
n n n 2 n a
n
则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等差数列 C． 单调递增 D． 单调递增
{a } {S } {a } {S }
n n n n
【变式3-2】（2024·湖北·一模）已知数列 满足 .
{a },{b } a =0,1+a ⋅a =−2a ,b =a +1
n n 1 n n+1 n+1 n n
(1)求证：数列{1 }是等差数列；
b
n
(2)令 1 ，求数列 的前 项和 .
C = {C } n T
n b ⋅22n+1 n n
n
【变式3-3】（2024·广东深圳·一模）设 为数列 的前 项和，已知 ，且{S }为等差数列．
S {a } n a =4,S =20 n
n n 2 4 n
(1)求证：数列 为等差数列；
{a }
n
(2)若数列 满足 ，且b a ，设 为数列 的前 项和，集合 ，求 （用列举法表
{b } b =6 n+1= n T {b } n M=¿ M
n 1 b a n n
n n+2
示）．【题型4 等差数列通项公式的求解】
【例4】（2024·浙江·模拟预测）已知数列 满足
{a }
n
，则 （ ）
(2n−3)a −(2n−1)a =4n2−8n+3(n≥2,n∈N*),a =1 a =
n n−1 1 n
A． B． C． D．
2n−2 2n2−n 2n−1 (2n−1) 2
【变式4-1】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）数列 中， ， ，则 （ ）
{a } a =1 a −a =3 a =
n 1 n+1 n n
A．a =3n−2 B．a =3n+1
n n
C．a =−3n+4 D．a =−3n+1
n n
1 3
【变式4-2】（2024·四川·模拟预测）已知S 为正项数列{a }的前n项和，a =3且S +S = a2 − ．
n n 1 n n+1 2 n+1 2
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
a
(2)若b =(−1) n+1 n ，求{b }的前10项和T ．
n n(n+1) n 10
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
{a } n S a =−2
n n 1
， ．
S +S =a +2na −n2+n n∈N*
n+1 n n+1 n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)若
a ≤2(k⋅3a n+3−a )
对任意的
n∈N*
恒成立，求实数
k
的最小值．
n+1 n【题型5 等差数列前n项和的性质】
【例5】（2024·四川巴中·模拟预测）已知 是等差数列 的前n项和，若 ，则
S {a } S =12,S =40 S =
n n 4 8 12
（ ）
A．44 B．56 C．68 D．84
【变式5-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若
{a } {b } n S T
n n n n
S 3n+4，则 2a （ ）
n = 6
T n+2 b +b
n 2 10
111 37 111 37
A． B． C． D．
13 13 26 26
【变式5-2】（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
{a } n S S =2 S =12 S =
n n 4 8 20
A．30 B．58 C．60 D．90
【变式5-3】（23-24高二下·云南·期中）设数列 和 都为等差数列，记它们的前 项和分别为 和 ，
{a } {b } n S T
n n n n
满足a n ，则S （ ）
n= 5 =
b 2n+1 T
n 5
1 3 5 3
A． B． C． D．
2 7 9 5
【题型6 求等差数列的前n项和及其最值】
【例6】（2024·河北邯郸·模拟预测）记 为等差数列 的前n项和，若 ，则
S {a } 2a +a +a =24 S =
n n 4 8 16 15
（ ）
A．45 B．90 C．180 D．240
【变式6-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列 为等差数列， 为数列 的前 项和， ，
{a } S {a } n a +a >0
n n n 4 9
S <0，则S 的最小值为（ ）
11 nA．S B．S C．S D．S
5 6 7 8
【变式6-2】（2024·山东·二模）已知数列 ．求：
{a },a =13,a =a −4
n 1 n+1 n
(1)数列 的通项公式；
{a }
n
(2)数列 的前 项和 的最大值．
{a } n S
n n
【变式6-3】（2024·山东威海·一模）已知数列 的各项均为正数，其前 项和记为
{a } n
n
，其中 为常数且 .
S ,a =1,(a +1)(a +1)=λ(S +n) λ λ≠0
n 1 n n+1 n
(1)若数列 为等差数列，求 ；
{a } a
n n
(2)若λ=3，求S .
2n
【题型7 等差数列的简单应用】
【例7】（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：
“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一
根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子
各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ）
A．9升 B．10.5升 C．12升 D．13.5升
【变式7-1】（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销
活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余
1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，
则恰好获得1对春联的人数为（ ）A．167 B．168 C．169 D．170
【变式7-2】（2024·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、
戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由
“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列
到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即
“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（ ）
A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年
【变式7-3】（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸
之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺
寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张
扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来
的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ）
A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码
【题型8 含绝对值的等差数列问题】
【例8】（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列 中， ， ，设
{a } a =9 a =3
n 1 4
T =|a |+|a |+⋅⋅⋅+|a |，则T =（ ）
n 1 2 n 21
A．245 B．263 C．281 D．290
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）设数列{a}的通项公式为a＝2n－7，则|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a |＝（
n n 1 2 3 15
）
A．139 B．153
C．144 D．178
【变式8-2】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列 的前 项和为 ，已知 ， .
{a } n S a =0 S =6
n n 6 12
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)求数列 的前 项和 .
{|a |} n T
n n【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 ，记 为 的前 项和，从下面①②③
{a },a =−10 S {a } n
n 1 n n
S S
中再选取一个作为条件，解决下面问题．①2a +a =0；②S =−55；③ 7− 5=2．
5 8 11 7 5
(1)求S 的最小值；
n
(2)设 的前 项和为 ，求 ．
{|a |} n T T
n n 20
【题型9 等差数列中的恒成立问题】
【例9】（2024·湖北·二模）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，若对于任意的
{a } S S =n2+m n∈N*
n n n
a
a∈[0,1]，不等式 nn d
n 0 0 n
(3)设 是非负整数，证明： 的充分必要条件为 为公差为 的等差数列.
d d =−d(n=1,2,3⋯) {a } d
n n
【变式10-3】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知数列 是正整数
A :a ,a ,⋯,a (n≥2,n∈N∗) 1,2,3,⋯,n
n 1 2 n
的一个全排列，若对每个 都有 或 ，则称 为 数列
k∈{2,3,⋯n} |a −a |=2 3 A H
k k−1 n
(1)列出所有H数列A 的情形；
5
(2)写出一个满足a =5k(k=1,2,⋯,405)的H数列A 的通项公式；
5k 2025
(3)在 数列 中，记 ，若数列 是公差为 的等差数列，求证： 或
H A b =a (k=1,2,⋯,405) {b } d d=5
2025 k 5k k
d=−5.1．（2023·全国甲卷·高考真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则 （ ）
S {a } n a +a =10,a a =45 S =
n n 2 6 4 8 5
A．25 B．22 C．20 D．15
2π
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列{a }的公差为 ，集合S={cosa |n∈N∗}，若S={a,b}，
n 3 n
则ab=（ ）
1 1
A．－1 B．− C．0 D．
2 2
S
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记S 为数列{a }的前n项和，设甲：{a }为等差数列；乙：{ n }为等差
n n n n
数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
{a } n S S =1 a +a =
n n 9 3 7
7 2
A．−2 B． C．1 D．
3 9
5．（2024·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 （ ）
S {a } n S =S a =1 a =
n n 5 10 5 1
7 7 1 7
A． B． C．− D．−
2 3 3 11
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记S 为等差数列{a }的前n项和，若a +a =7，3a +a =5，则S =
n n 3 4 2 5 10
.
7．（2023·全国乙卷·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
S {a } n a =11,S =40
n n 2 10
(1)求 的通项公式；
{a }
n(2)求数列 的前 项和 ．
{|a |} n T
n n
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 n2+n，记 分别为数
{a } d d>1 b = S ,T
n n a n n
n
列 的前 项和．
{a },{b } n
n n
(1)若 ，求 的通项公式；
3a =3a +a ,S +T =21 {a }
2 1 3 3 3 n
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
{b } S −T =99 d
n 99 99
9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ， 的前n项
{a } b =¿ S T {a } {b }
n n n n n n
和，S =32，T =16．
4 3
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)证明：当n>5时，T >S ．
n n
10．（2023·北京·高考真题）已知数列 的项数均为m ，且
{a },{b } (m>2) a ,b ∈{1,2,⋯,m}, {a },{b }
n n n n n n
的前n项和分别为A ,B ，并规定A =B =0．对于k∈{0,1,2,⋯,m}，定义
n n 0 0，其中， 表示数集M中最大的数.
r =max{i∣B ≤A ,i∈{0,1,2,⋯,m}} maxM
k i k
(1)若a =2,a =1,a =3,b =1,b =3,b =3，求r ,r ,r ,r 的值；
1 2 3 1 2 3 0 1 2 3
(2)若a ≥b ，且2r ≤r +r , j=1,2,⋯,m−1,，求r ；
1 1 j j+1 j−1 n
(3)证明：存在p,q,s,t∈{0,1,2,⋯,m}，满足p>q,s>t, 使得A +B =A +B ．
p t q s
11．（2024·广东江苏·高考真题）设m为正整数，数列a ,a ,...,a 是公差不为0的等差数列，若从中
1 2 4m+2
删去两项a和a (i< j)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列
i j
a ,a ,...,a 是(i, j)−可分数列．
1 2 4m+2
(1)写出所有的(i, j)，1≤i< j≤6，使数列a ,a ,...,a 是(i, j)−可分数列；
1 2 6
(2)当m≥3时，证明：数列a ,a ,...,a 是(2,13)−可分数列；
1 2 4m+2
(3)从1,2,...,4m+2中任取两个数i和j(i< j)，记数列a ,a ,...,a 是(i, j)−可分数列的概率为P ，证明：
1 2 4m+2 m
1
P > ．
m 8
