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6.1 数列的概念及通项公式
思维导图
知识点总结
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照 排列的一列数
数列的项 数列中的 数
数列的通项 数列{a }的第n项a
n n
如果数列{a }的第n项a 与 之间的对应关系可以用一个式子来表
n n
通项公式
示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
把数列{a }从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a }的前n项
n n
前n项和
和，记作S ，即S ＝
n n
2．数列的表示方法
列表法 列表格表示n与a 的对应关系
n
图象法 把点 画在平面直角坐标系中
通项公式 把数列的通项使用a ＝f(n)表示的方法
n
公式法
递推公式 使用初始值a 和a ＝f(a )或a，a 和a ＝f(a ，a )等
1 n＋1 n 1 2 n＋1 n n－1表示数列的方法
3．数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个 有穷数列 项数 的数列
数 无穷数列 项数 的数列
递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列⇔a
n
a
n＋1
按项的变
常数列 的数列⇔a
n
＝a
n＋1
化趋势
从第 项起，有些项 它的前一项，有些项 它的前
摆动数列
一项的数列
典型例题分析
考向一 利用 an 与 Sn 的关系求通项或项
1．已知S 为数列{a }的前n项和，a＝1，a ＋2S ＝2n＋1，则S ＝( )
n n 1 n＋1 n 2 022
A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 024
2．数列{a }的前n项和为S ，若a＝1，a ＝5S (n≥1)，则a ＝( )
n n 1 n＋1 n n
A．5×6n B．5×6n＋1
C. D.
方法总结(1)已知S 求a ，注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．
n n
(2)S 与a 关系问题的求解思路
n n
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
①利用a ＝S －S (n≥2)转化为只含S ，S 的关系式，再求解；
n n n－1 n n－1
②利用S －S ＝a (n≥2)转化为只含a ，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
考向二 由递推关系求通项公式
方法(一) 累加法
[例1] (1)在数列{a }中，a＝1，a －a ＝2n＋1，则数列{a }的通项公式a ＝________.
n 1 n＋1 n n n
(2)在数列{a }中，a＝2，a ＝a ＋ln(n∈N*)，则数列{a }的通项公式a ＝________.
n 1 n＋1 n n n
方法(二) 累乘法
[例2] 已知数列{a }中，a＝1,2n·a ＝(n＋1)·a ，则数列{a }的通项公式a ＝________.
n 1 n＋1 n n n
方法(三) 构造法
[例3] (1)已知数列{a }满足a＝1，且a ＝a ＋n(n≥2)，则数列{a }的通项公式a ＝________.
n 1 n n－1 n n
(2)已知数列{a }满足a＝1，a ＝3a ＋1(n∈N，n≥1)，则数列{a }的通项公式a ＝______.
n 1 n＋1 n n n方法技巧
(1)形如a ＝a ＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项．
n＋1 n
(2)形如a ＝a ·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用 a ＝··…··a 代入求出通
n＋1 n n 1
项．
(3)形如a ＝pa ＋q的递推关系式可以化为(a ＋x)＝p(a ＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项
n＋1 n n＋1 n
公式，求变量x是关键．
(4)形如a ＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
n＋1
考向三 数列的函数性质及其应用
角度1 数列的周期性
[例1] 数列{a }满足a＝2，a ＝(n∈N*)，则a 等于( )
n 1 n＋1 2 023
A．－2 B．－1 C．2 D.
角度2 数列的单调性
[例2] 已知数列{a }的通项公式为a ＝若{a }是递增数列，则实数a的取值范围是( )
n n n
A．(1.5，＋∞) B．(1.8，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(2.25，＋∞)
角度3 数列的最值[例3] 已知数列{a }的通项公式为a ＝n(n＋4)n，若数列最大项为a，则k＝________.
n n k
[方法技巧]
1．解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a }是递增数列、递减数列还是常数列．
n＋1 n n
2．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
3．求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数的单调性求最值．
基础题型训练
一、单选题
1．已知数列 的前 项依次为 ， ， ， ，则数列 的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列 ，则6是这个数列的（ ）
A．第6项 B．第12项 C．第18项 D．第36项
3．若 表示正整数n的个位数字， ，数列 的前n项和为 ，则 （ ）
A． B．0 C．1009 D．1011
4．已知等差数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．数列 中， 且满足 ，则 的值为( )A．b B．b－a C．－b D．－a
6．设数列 满足 ， ，记 前 项之积为 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
二、多选题
7．(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，
16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻
“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8．斐波那刻螺旋线被骨为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如
向日葵，鹦鹉螺等.如图，小正方形的边长分别为斐波那契数1，1，2，3，5，8....，从内到外依次连接通
过小正方形的 圆弧，就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线，现将每一段“斐波那契螺旋”弧线
所在的正方形边长设为 ，数列 满足 ， ， ，每一段“斐波那
契螺旋”弧线与其所在的正方形围成的扇形面积设为 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．三、填空题
9．在数列 中，第 项是________．
10．已知数列 满足 ， （ ），则 ______．
11．函数 由下表定义：
x 1 2 3 4 5
4 1 3 5 2
若 ， ， ，2，3，…，则 ______．
12．已知数列 满足 ，且其前n项和 满足 ，请写出一个符合上述条件的数列的通项公
式 ______．（写出一个即可）
四、解答题
13．已知数列 中， ， ，求 .
14．数列{an}中，a＝1，a＝3， －anan ＝(－1)n，求{an}的前5项．
1 2 ＋2
15．已知数列 满足 ，求数列 的通项公式．
16．在数列 中，已知 ， .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）记 ，且数列 的前 项和为 ，若 为数列 中的最小项，求 的取值范围.提升题型训练
一、单选题
1．数列 、 、 、 的下一项应该是（ ）
A． B． C． D．
2．数列 中， ，则 等于（ ）
A．900 B．9902 C．9904 D．10100
3．已知 中， ， ，则数列 的通项公式是( )
A． B． C． D．
4．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 满足 ，且 ，则 的最小值为
A． B． C． D．10
6．已知数列 中， ，且 ，若存在正整数 ，使得 成立，
则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
二、多选题
7．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为 ，将其外观描述为“ 个 ”，则第二项为 ；将 描述为“ 个 ”，则第三项为 ；将 描
述为“ 个 ， 个 ”，则第四项为 ；将 描述为“ 个 ， 个 ， 个 ”，则第五项为 ，
…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观
数列 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 的最后一个数字为6 D．若 ，则 中没有数字
8．设数列 的前n项和为 ，且满足 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．数列 为递增数列 C． D．
三、填空题
9．在数列 中， ， ， ，则 ______．
10．数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．
11．已知数列 的前 项和 ，数列 的前 项和 ， ，则正整数 的最
大值为_________.
12．已知数列 满足 ， ，数列 满足 ，则数列 的前 项和 ______．
四、解答题
13．已知 .若 是常数数列，求 的值.
14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.
（1）n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
（2）数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．15．已知函数 ， .
（1）求证：对任意 ， .
（2）试判断数列 是否是递增数列，或是递减数列？
16．已知数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
