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8.6 向量法求空间角
思维导图
知识点总结
1.异面直线所成的角
若异面直线l ，l 所成的角为θ，其方向向量分别为e ，e ，则cos θ＝|cos〈e ，e 〉|＝.
1 2 1 2 1 2
2.直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量
为e，平面α的法向量为n，则
sin θ＝|cos〈e，n〉|＝＝.3.二面角
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 θ
＝〈AB，CD〉.
如图②③，n ，n 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小 θ满
1 2
足|cos θ|＝ |，二面角的平面角大小是向量n 与n 的夹角(或其补角).
1 2
[常用结论]
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量 u与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即
sin θ＝|cos〈u，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈u，n〉|.
2.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是.
典型例题分析
考向一 异面直线所成的角
例1 (1)如图，在正方体ABCD－A B C D 中，E，F分别为棱AA ，A D 的中点，则直线BE
1 1 1 1 1 1 1
与DF所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A B C D 中，E是棱CC 的中点，AF＝λAD，若异
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面直线D E和A F所成角的余弦值为，则λ的值为________.
1 1
感悟提升 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值
的绝对值.
考向二 直线与平面所成的角
例2(1) (2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB
＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
感悟提升 向量法求直线与平面所成角的主要方法是：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角
(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，
取其余角就是斜线和平面所成的角.
(2)
(2022·北京卷)如图，在三棱柱ABC－A B C 中，侧面BCC B 为正方形，平面BCC B ⊥
1 1 1 1 1 1 1
平面ABB A ，AB＝BC＝2，M，N分别为A B ，AC的中点.
1 1 1 1
(1)求证：MN∥平面BCC B ；
1 1
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正
弦值.
条件①：AB⊥MN；
条件②：BM＝MN.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.考向三 二面角
3 (2022·新高考Ⅱ卷改编)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的
中点.
(1)证明：OE∥平面PAC；
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值.
[思路分析] (1)作出过直线OE的一个平面，证明这个平面与平面PAC平行，从而证明OE∥
平面PAC.
(2)建系→设点写坐标→求平面的法向量→利用公式求二面角的正弦值.
[规范解答] (1)证明 如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.
因为AP＝PB，所以PD⊥AB.
因为PO为三棱锥P－ABC的高，
所以PO⊥平面ABC.
因为AB 平面ABC，所以PO⊥AB.
又PO，⊂ PD 平面POD，且PO∩PD＝P，
所以AB⊥平⊂面POD.(1分)
因为OD 平面POD，所以AB⊥OD，
又AB⊥A
⊂
C，AB，OD，AC 平面ABC，
所以OD∥AC.
⊂
因为OD⊄平面PAC，AC 平面PAC，
(2分)
⊂
→因为D，E分别为BA，BP的中点，
所以DE∥PA.
因为DE⊄平面PAC，PA 平面PAC，
(3分)
⊂
→
又OD，DE 平面ODE，OD∩DE＝D，
⊂
→
又OE 平面ODE，(4分)
→
⊂
(2)解 连接OA，因为PO⊥平面ABC，OA，OB 平面ABC，
所以PO⊥OA，PO⊥OB，
⊂
所以OA＝OB＝＝＝4.②
易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，
所以OD＝OAsin 30°＝4×＝2，②
AB＝2AD＝2OAcos 30°＝2×4×＝4.②
又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，
所以在Rt△ABC中，AC＝ABtan 60°＝4×＝12.②(6分)
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴
如图所示，
→
则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，12，0)，P(2，2，3)，E，
所以AE＝，AB＝(4，0，0)，AC＝(0，12，0).
→
设平面AEC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即令z＝2，则n＝(－1，0，2).③(8分)
→
设平面AEB的一个法向量为m＝(x ，y ，z )，
1 1 1
则即
令z ＝2，(10分)
1
→
所以|cos〈n，m〉|＝＝.
→
设二面角C-AE-B的大小为θ，
则sin θ＝＝.(12分)
→
[满分规则]
❶得步骤分：
①处通过证明线∥线⇒线∥面⇒面∥面⇒线∥面，注意应用相关定理的条件应完整，否则易失
步骤分.
❷得关键分：
③处求出两个平面的法向量是解题的关键，此处运算错误会导致第(2)小题得零分.
❸得计算分：
②处为根据题目条件计算几何体的棱长，以便写出各顶点的坐标.
4. (2022·新高考Ⅰ卷改编)如图，直三棱柱ABC－A B C 的体积为4，△A BC的面积为2.
1 1 1 1
(1)求A到平面A BC的距离；
1
(2)设D为A C的中点，AA ＝AB，平面A BC⊥平面ABB A ，求二面角A-BD-C的正弦值.
1 1 1 1 1基础题型训练
一、单选题
1．如图，在正方体 中，点E是上底面 的中心，则异面直线 与 所成角的余
弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则能使l∥α的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
3．如图，正方体 中， 是 的中点，则下列说法正确的是（ ）A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 异面，直线 平面
D．直线 与直线 相交，直线 平面
4．如图，正方体 的棱长为a，M，N分别为 和AC上的点， ，则MN
与平面 的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．相交且垂直 D．不能确定
5．若空间两直线 与 的方向向量分别为 和 ，则两直线 与 垂直的充要条件为
（ ）
A． ， ， （ ）
B．存在实数k，使得C．
D．
6．如图，三棱柱 的各棱长均为2，侧棱 与底面 所成的角为 ， 为锐角，且
侧面 底面 ，给出下列四个结论：
① ；② ；
③直线 与平面 所成的角为 ；
④ ．其中正确的结论是
A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④
二、多选题
7．若 (2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（ ）
A． ( ，3， ) B． (200， ，100)
C． ( ， ， ) D． ( ，3，0)
8．已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ， ，
，下列结论正确的有（ ）
A． B．四边形 为矩形C． 是平面 的一个法向量 D．
三、填空题
9．设 分别是平面 的法向量，若 ，则实数 的值是________．
10．已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，且直线 与平面 平行，
则实数 ______．
11．已知正三棱柱 的侧棱长为2，底面边长为1， 是 的中点，若直线 上有一点 ，使
，则 ______.
12． ， 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 的直角边 所在直线与 ， 都垂直，
斜边 以直线 为旋转轴旋转，有下列结论：
（1）当直线 与 成 角时， 与 成 角；
（2）当直线 与 成 角时， 与 成 角；
（3）直线 与 所成角的最小值为 ；
（4）直线 与 所成角的最小值为 ；
其中正确的是______（填写所有正确结论的编号）.
四、解答题
13．设 分别是空间中两个不重合的平面 的法向量，分别根据下列条件判断平面 的位置关系.
（1） ；
（2） .
14．如图，四边形 为正方形， ， 分别为 ， 的中点，以 为折痕把 折起，使点
到达点 的位置，且点 在平面 上的投影点 恰好在 上．(1)证明： ．
(2)求二面角 的大小．
15．如图所示，四棱锥 中， ， ， ， 平面
.
（1）求证: 平面 ;
（2）若点 是线段 的中点，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
16．如图，四面体 中， 、 分别是 、 的中点， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）求二面角 的余弦值．提升题型训练
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（ ）
A． B． C． 或 D．l与 斜交
2．若平面 ，平面 的法向量为 ，则平面 的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ， ，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
4．已知A（0，0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），则原点到平面ABC的距离是（ ）A． B． C．1 D．
5．在边长及对角线都为1的空间四边形 中， ， 分别是 ， 的中点，则直线 和 夹角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别是棱 、 的中点，则点 到平面
的距离等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，
在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
8．在长方体 中， ， 为棱 的中点，点 满足，其中 ，则下列结论正确的有（ ）
A．当 时，异面直线 与 所成角的余弦值为
B．当 时，
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，存在点 ，使得
三、填空题
9．在直三棱柱 中，给出向量：① ；② ；③ ；④ ．可以作为平面ABC的法向
量的是_______．（选填序号）
10．在正方体 中，E为 的中点，若O为底面 的中心，则异面直线 与
所成角的余弦值为_________.
11．在棱长为1的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在正方体的表面上
运动，且满足 ，给出下面四个结论：
①点 可以是棱 的四等分点，且靠近点 ；
②线段 的最大值为 ；
③点 的轨迹是正方形；
④点 轨迹的长度为 ．
则其中所有正确结论的序号是________．
（注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分）12．已知正四面体 中， ， 分别是线段 ， 的中点，点 是线段 上靠近 的四等分点，
则直线 与 所成角的余弦值为________．
四、解答题
13．已知长方体 中， ， ， ，点S、P在棱 、 上，且
， ，点R、Q分别为AB、 的中点．求证：直线 直线 ．
14．如图，正方形 和矩形 所在的平面互相垂直， ， ， 是线段 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值；15．已知直四棱柱 的底面 为菱形，且 ， ，点 为 的
中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
16．如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ， ，点 在棱 上，且
，点 是棱 上的动点（不含端点）.
(1)若 是棱 的中点，求 的余弦值；
(2)求 与平面 所成角的正弦值的最大值.
