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期末难点特训三（和二次函数综合有关的压轴题）
1．如图1，抛物线y=mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线
段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点
P．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜
90°），连接E′A、E′B，求E'A+ E'B的最小值．
2．如图1，抛物线 与 轴交于点 、 （点 在点 左侧），与 轴交于点 ，
连接 ，抛物线的对称轴直线 与 交于点 、与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，求证：点 在抛物线上；
（3）如图3，在（2）的条件下，点 是抛物线上的动点，连接 、 ，当 时，请
直接写出直线 的解析式．3．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y
轴交于点 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接 ， 交于点E，求 的最大值；
（3）如图2，连接 ， ，过点O作直线 ，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探
究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使 ．若存在，请求出所有符合条件的点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，抛物线 （ ）与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，在线段
上有一动点 （不与 ， 重合），过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交抛物线于点 ．
（1）分别求出抛物线和直线 的函数表达式；
（2）连接 、 ，求 面积的最大值，并求出此时点 的坐标；
（3）如图2，点 ，将线段 绕点 逆时针旋转得到 ，旋转角为 （ ），
连接 ， ，求 的最小值．5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（6，0），
C（0，﹣6）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第四象限内抛物线上一动点，当△BCD面积最大时，求△BCD面积的最大面积；
（3）在x轴上是否存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请
说明理由．
6．如图1，抛物线y＝ x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴的负半轴
交于点C，OC＝OB＝10．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P、Q在第四象限内抛物线上，点P在点Q下方，连接CP，CQ，∠OCP+∠OCQ＝180°，
设点Q的横坐标为m，点P的横坐标为n，求m与n的函数关系式；
（3）如图2，在（2）条件下，连接AP交CO于点D，过点Q作QE⊥AB于E，连接BQ，DE，是
否存在点P，使∠AED＝2∠EQB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，直线l：x＝3，抛物线G：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的顶点为P，抛物线G与直线l交于点
Q．
（1）写出抛物线G的顶点P的坐标 （用m表示），点P的坐标所满足的函数关系式为
；
（2）求点Q的纵坐标yQ（用含m的代数式表示），并求yQ的最大值；
（3）随m的变化，G会在直角坐标系中移动，求顶点P在y轴与l之间移动（含y轴与l）的路径
的长．
8．如图，抛物线 与 轴相交于点 和点 ，与 轴相交于点 ，
作直线 ．（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线 上方的抛物线上存在点 ，使 ，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点 的坐标为 ，点 在抛物线上，点 在直线 上，当以
为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 的坐标．
9．已知抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于 点．
（1）若 时．
①求 三点的坐标；
②如图1，点 是直线 上方抛物线上一点，过 点作 轴交 于 点，若 ，请
求出 点坐标；（2）如图2，将 绕原点 顺时针旋转得 ，且使得点 落在线段 上．当
时，请求出 的值和 的长．
10．综合与探究：
如图1，抛物线y＝x2+ x+3与x轴交于C、F两点（点C在点F左边），与y轴交于点D，AD＝
2，点B坐标为（﹣4，5），点E为AB上一点，且BE＝ED，连接CD，CB，CE．
（1）求点C、D、E的坐标；
（2）如图2，延长ED交x轴于点M，请判断△CEM的形状，并说明理由；
（3）在图2的基础上，将△CEM沿着CE翻折，使点M落在点M'处，请判断点M'是否在此抛物
线上，并说明理由．11．在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）
的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．
已知抛物线y＝﹣ x2﹣ x+2 与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），
与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为
；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为
N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以
点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请
说明理由．
12．如图①，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 位于点 的左侧），与 轴交
于点 ．已知 的面积是 ．（1）求 的值；
（2）在 内是否存在一点 ，使得点 到点 、点 和点 的距离相等，若存在，请求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②， 是抛物线上一点， 为射线 上一点，且 、 两点均在第三象限内， 、
是位于直线 同侧的不同两点，若点 到 轴的距离为 ， 的面积为 ，且 ，
求点 的坐标．
13．如图1，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点
.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图2，直线 ： 与 轴交于点 ， 点是 轴上一个动点，过点 作 轴，
与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ，当点 、 、 、 四个点组成的四边形是平行四边
形时，求此时 点坐标.(3)如图3，连接 和 ， 点是抛物线上一个动点，连接 ，当 时，求 点
的坐标.
14．已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3，0)，B(−1，0)两点(如图1)，顶点为M.
(1)a、b的值；
(2)设抛物线与y轴的交点为Q(如图1)，直线y=−2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持
顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹
的曲线MQˆ扫过的区域的面积；
(3)设直线y=−2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移，保持顶点在直线
OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时，试探求其顶点的横坐标h的取值范围.
15．如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，顶
点为 ，连接 ， ， 与抛物线的对称轴 交于点 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 是第一象限内抛物线上的动点，连接 ， ，若 ，求点 的坐标；
（3）点 是对称轴 右侧抛物线上的动点，在射线 上是否存在点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．
16．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于点B（﹣3，0），C（1，0），与y轴交于点
A．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）抛物线上是否存在一点D（不与点A，B，C重合），使得直线DA将四边形DBAC的面积分
为3：5两部分，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以点P，Q，A，B为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
17．已知：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于
点D（0，﹣6），直线y＝﹣ x+2交x轴于点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）抛物线上点E位于第四象限，且在抛物线的对称轴的右侧，当△BCE的面积为32时，过点E
作平行于y轴的直线交x轴于Q，交BC于点F，在y轴上是否存在点K，使得以K、E、F三点为
顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点K的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在线段OB上有一动点P，直接写出 DP+BP的最小值和此时点P的坐标．18．如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，直线
与抛物线交于 、 两点．
（1）若 ，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下， ，点 为直线 上的动点，若 的最小值为 时，求 的
值；
（3）取线段 的中点 ， 可能是等腰直角三角形吗？若可能，求出 的值；若不可能，
请说明理由．
