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专题 8.6 立体几何综合练
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测） 为空间中两条不同的直线， 为两个不同的
平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ∥ ， ∥ ，则 ∥
B．若 为异面直线，则过空间任一点 ，存在直线 与 都垂直
C．若 ， ，则 与 相交
D．若 不垂直于 ，且 ，则 不垂直于
2．（2023春·高一课时练习）球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来
的（ ）
A．4倍 B．8倍 C．16倍 D．32倍
3．（2023秋·高二课时练习）以下向量中与向量 都垂直的向量为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）如图1，在高为 的直三棱柱容器
中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边 于地
面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为 （如图2），则容器的高
为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
5．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，在三棱锥 中，，M在 内， ， ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知在边长为2的正方体 中，点 在线段
上（含端点位置），现有如下说法：① 平面 ；② ；③点 到平面
的距离的最大值为1．则正确说法的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2023秋·高二课时练习）已知二面角 的大小为 ，点B、C在棱l上，
， ， ， ，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东泰安·统考模拟预测）腰长为 的等腰 的顶角为 ，且 ，将
绕 旋转至 的位置得到三棱锥 ，当三棱锥体积最大时其外接球面
积为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．（2023·全国·高三专题练习）空间直角坐标系中，已知 ， ，
， ，则（ ）
A．
B． 是等腰直角三角形
C．与 平行的单位向量的坐标为 或
D． 在 方向上的投影向量的坐标为
10．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知 表示两条不同的直线， 表示两个不同的平
面，那么下列判断正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
11．（2023·湖南·校联考模拟预测）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重
檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，
因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体 有五个
面，其形状与四阿顶相类似．已知底面 为矩形， ， ，
且 ， 、 分别为 、 的中点， 与底面 所成的角为 ，
过点 作 ，垂足为 ．下列说法正确的有（ ）
A． 平面
B．C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，矩形 中， 、 分别
为 、 的中点，且 ，现将 沿 问上翻折，使 点移到 点，则
在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得
C．三棱锥 的体积最大值为
D．当三棱锥 的体积达到最大值时，三棱锥 外接球表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2021·高一课时练习）如图所示，已知两个正方形 和 不在同一平面内，
， 分别为 ， 的中点.若 ，平面 ⊥平面 ，则线段 的长为
_____，线段 的长为_____.
14．（2023春·高二课时练习）已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB，CD且 ，
梯形ABCD绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体是由_________、_________、
_________的几何体构成的组合体.
15．（2023秋·高二课时练习）直三棱柱 中，
，M是 的中点，则异面直线 与 所成角为__________．
16．（2023·江苏盐城·统考三模）某同学在劳技课上设计了一个球形工艺品，球的内部有
两个内接正五棱锥，两正五棱锥的底面重合，若两正五棱锥的侧棱与底面所成的角分别为
、 ，则 的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17．（2023春·安徽·高二安徽省郎溪中学校联考阶段练习）已知空间几何体 中，
是边长为2的等边三角形， 是腰长为2的等腰三角形， ， ，
， ．
(1)作出平面 与平面 的交线，并说明理由；
(2)求点 到平面 的距离．
18．（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥 中，
平面 ， ， ， ， ， 交于点 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设 是棱 上一点，过 作 ，垂足为 ，若平面 平面 ，求 的
值．
19．（2023春·高一课时练习）已知长方体 中.(1)若 ， ， ，试求在长方体表面上从 到 的最短路线；
(2)若 ， ， 且 ，试求在长方体表面上从 到 的最短距离.
20．（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）如图在几何体 中，底面
为菱形， .
(1)判断 是否平行于平面 ，并证明；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（i）平面 与平面 所成角的大小；
（ii）求点 到平面 的距离.
条件①：面 面
条件②：
条件③：
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
21．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中 ，
， ， ．
(1)在线段CD上找出点F，将四边形 沿 翻折，形成几何体 ．若无论
二面角 多大，都能够使得几何体 为棱台，请指出点F的具体位置
（无需给出证明过程）．(2)在（1）的条件下，若二面角 为直二面角，求棱台 的体积，并求
出此时二面角 的余弦值．
22．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知直三棱柱 如图所示，其中
， ，点D在线段 上（不含端点位置）.
(1)若 ，求点 到平面 的距离；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
