专题8.5直线、平面垂直的判定及性质2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质 1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理 新课程考试要求 和性质定理； 2. 掌握公理、判定定理和性质定理. 核心素养 本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等. （1）以几何体为载体，考查线线、线面、面面垂直证明. （2）利用垂直关系及垂直的性质进行适当的转化，处理综合问题. （3）本节是高考的必考内容．预测2020年高考将以直线、平面垂直的判定及其性质 考向预测 为重点，涉及线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定及其应用，题型为解答题中的一 问，或与平行相结合进行命题的判断.以及运用其进一步研究体积、距离、角的问题， 考查转化与化归思想、运算求解能力及空间想象能力． 【知识清单】 知识点1．直线与平面垂直的判定与性质 定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直． 定理： 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线和一个平面内 判定定理 的两条相交直线都垂直，那 l⊥α 么该直线与此平面垂直. ⇒ 如果两条直线同垂直于一个 性质定理 a∥b 平面，那么这两条直线平行. ⇒ 知识点2．平面与平面垂直的判定与性质 定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 定理： 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面经过另一个平面 判定定理 的一条垂线，那么这两个平面 β⊥α 互相垂直. ⇒ 如果两个平面互相垂直，那么 性质定理 在一个平面内垂直于它们交线 AB⊥α 的直线垂直于另一个平面. ⇒ 知识点3．线面、面面垂直的综合应用 1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法． ②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一直线的两平面平行． 2．斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 3．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的性质 如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 【考点分类剖析】 考点一 ：直线与平面垂直的判定与性质 【典例1】（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的中点， . （1）求三棱锥 的体积； （2）已知D为棱 上的点，证明： .【典例2】（2021·河北易县中学高一月考）在三棱锥 中， ， ，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点. （1）求证：PO⊥平面ABC； （2）求直线PM与平面PBO所成的角的正弦值. 【规律方法】 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面 面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质. ⇒ (2)证明线面垂直的核心是证线⇒线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质 定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直. 【变式探究】 1．（2020·云南省下关第一中学高二月考（文））如图，四棱锥 的底面是边长为 的菱形， 底面 . （1）求证： 平面 ； （2）若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求点 到平面 的距离.PABCD ABCD AB 2 BAD600 2.（2019·陕西高一期末）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， , ， PAD ABCD PAD O AD 面 面 , 为等边三角形， 为 的中点． AD POB (1)求证： 平面 ； E PC PEDB (2)若 是 的中点，求三棱锥 的体积． 考点二 ： 平面与平面垂直的判定与性质 【典例3】（2020·全国高考真题（文））如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底 面的内接正三角形， 为 上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P−ABC的体积. 【典例4】（2020·全国高考真题（文））如图，已知三棱柱ABC–ABC的底面是正三角形，侧面BBCC 1 1 1 1 1 是矩形，M，N分别为BC，BC的中点，P为AM上一点．过BC和P的平面交AB于E，交AC于F． 1 1 1 1（1）证明：AA//MN，且平面AAMN⊥平面EBCF； 1 1 1 1 π （2）设O为△ABC的中心，若AO=AB=6，AO//平面EBCF，且∠MPN=3 ，求四棱锥B–EBCF的体积． 1 1 1 1 1 1 1 【规律方法】 1.判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β)． 2．证面面垂直的思路 ⊂ ⇒ (1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系 到两平面互相垂直的性质定理． 【变式探究】 ABCD AD//BC,AD= AB,�BCD 45� BAD90 ABD BD 1.在四边形 中， ， ，将 沿 折起，使平 ABD BCD ABCD ABCD 面 平面 ，构成三棱锥 ，如图，则在三棱锥 中，下列结论正确的是 （ ） ABD ABC A.平面 平面ADC  BDC B.平面 平面 ABC  BDC C.平面 平面 ADC  ABC D.平面 平面 PABCD PD ABCD BD 2.（2020·贵溪市实验中学月考（文））如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， 是 AC BD AC O AC 8 PD2 OD3 OB5 线段 的中垂线， 与 交于点 ， ， ， ， ． PBD PAC （1）证明：平面 平面 ； B PAC （2）求点 到平面 的距离． 【总结提升】 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 考点三 ： 线面、面面垂直的综合应用 【典例5】（2020·安徽省舒城中学月考（文））设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的 平面．给出下列四个命题： ①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α； ③若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β；④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β． 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【典例6】（2021·浙江）已知三棱锥 ， 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形， 是以 为斜边的直角三角形， 为 上一点， 为 上一点，且 ． （Ⅰ）现给出两个条件：① ；② 为 中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证： 平面 ； （Ⅱ）若 平面 ，直线 与平面 所成角和直线 与平面 所成角相等，且 ，求 三棱锥 的体积． 【规律方法】 1.证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两 条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的 相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和 顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给 出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等． 2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 3.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理) 证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直． 4.垂直关系的转化： 【变式探究】 1. （2020·安徽省太和第一中学开学考试）四面体 中， ，其余棱长均为4， ，分别为 ， 上的点（不含端点），则（ ） A．不存在 ，使得 B．存在 ，使得 C．存在 ，使得 平面 D．存在 ， ，使得平面 平面 2.（2021·唐山市第十一中学高一月考）如图所示，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平 面 ，且 ，点E为 的中点，点F为 的中点． （1）求证： ； （2）求证：平面 平面 ． 考点四： 平行、垂直的综合应用 【典例7】（2020·全国高考真题（理））如图，已知三棱柱ABC-ABC的底面是正三角形，侧面BBCC是 1 1 1 1 1 矩形，M，N分别为BC，BC的中点，P为AM上一点，过BC和P的平面交AB于E，交AC于F. 1 1 1 1（1）证明：AA∥MN，且平面AAMN⊥平面EBCF； 1 1 1 1 （2）设O为△ABC的中心，若AO∥平面EBCF，且AO=AB，求直线BE与平面AAMN所成角的正弦值. 1 1 1 1 1 1 1 【典例8】（2021·江苏省镇江中学高一月考）在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， 底面 ，点 、 分别是棱 、 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成最大角的正切值为 ，若存在，请求出 点 的位置；若不存在，请说明理由. 【总结提升】 1.与探索性问题有关的解题策略 (1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的 必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性． (2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点 或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点． 2．证明折叠问题中的平行与垂直，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间 的位置关系折叠后会发生变化．对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形 中解决． 【变式探究】 1.（2019·云南高三月考（文））如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点， PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA ，E是AC的中点． 1 1 （1）若P为AB的中点，证明：DE∥平面PBA． 1 （2）若平面PDA ⊥平面PDA，且DE⊥平面CBA，求四棱锥A﹣PBCD的体积． 1 1 1 2.如图(1)所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC 于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A—BCD，如图(2)所示． 1 (1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面AEF. 1 (2)求证：BD⊥AF. 1 (3)若平面ABD⊥平面BCD，试判断直线AB与直线CD能否垂直？请说明理由． 1 1 考点五： 距离问题 【典例9】（2020·赣州市第一中学高二月考（文））如图，在四棱锥 中，四边形 是直角 梯形， ， ， 为等边三角形.（1）证明：平面 平面 ； （2）若 的面积为 ，求点 到平面 的距离. 【总结提升】 空间距离的求法：直接法、等体积法、空间向量法 【变式探究】 PABCD （2019·河南南阳中学高三开学考试（文））如图，已知四棱锥 的底面是梯形， ABCD，AD  AB， AD CD 2AB 4，PA PD  PC 3. 且 O AC PO ABCD. (1)若 为 的中点，证明: ⊥平面 C PAB (2)求点 到平面 的距离.