文档内容
初二数学期末质量监测试卷
数 学
本学科试卷共22个小题，考试时间90分钟，满分100分。
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分。)
1．在给出的一组数 ， ， ， ， ， 中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】B
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
0.3，3.14， 是有限小数，是有理数；
，是分数，是有理数；
， 是无理数，共2个，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有：含 的数等；开方开不尽的数；以及
0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下列各组数中,以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6,8,10 B．8,15,16 C．4,3， D．7,24,25
【答案】B
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、∵62+82=100=102，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵82+152=289=172≠162，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵ +32=16=42，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵72+242=625=252，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角
三角形．
3．下列运算中错误的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．②③ B．①④ C．②④ D．③⑤
【答案】C
【分析】
根据平方根、立方根及算术平方根的定义，即可求解．
【详解】
解：① ，正确；
② ，错误；
③ ，正确；
④ ，错误；
⑤ ，正确；
本题错误的有：②④，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了立方根、算术平方根、平方根的定义，解题注意平方根和算术平方根的区别：一个非负数
的平方根有两个，算术平方根有一个，是非负数．
4,点P（-2，-8）关于y轴对称点 的坐标是（a-2,3b+4），则a、b的值是（ ）
A．a=-4，b=-4 B．a=-4，b=4 C．a=4，b=-4 D．a=4，b=-4【答案】D
【分析】
直接利用关于y轴对称点的性质得出横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而得出答案．
【详解】
解：∵点P（-2，-8）关于y轴的对称点P 的坐标是（a-2，3b+4），
1
∴a-2=2，3b+4=-8，
解得：a=4，b=-4．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
5.已知 是方程组 的解，则a、b的值分别为（ ）
A．2 , 7 B．－1 , 3 C．2 , 3 D．－1 , 7
【答案】C
【详解】
把 代入方程组 ，得 ，
解得 .
故选C.
6．如图，两直线 和 在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】
根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．
【详解】
根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：
A、由图可得， 中， ， ， 中， ， ，不符合；
B、由图可得， 中， ， ， 中， ， ，不符合；
C、由图可得， 中， ， ， 中， ， ，不符合；
D、由图可得， 中， ， ， 中， ， ，符合；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象问题，解答本题注意理解：直线 所在的位置与 的符号有直接的
关系．
7．如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣
∠2的度数是（ ）
A．36° B．72° C．50° D．46°
【答案】B
【分析】
由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【详解】
解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝36°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+72°，
则∠1﹣∠2＝72°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.
8．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝
，则△BCE的面积等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF=DE= ，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝ ，
∴△BCE的面积＝ ×BC×EF＝ ．故选B.
【点睛】
本题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.某班分组活动，若每组 人，则余下 人:若每组 人，则少 人．设总人数为 ，组数为 ，
则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
关系式为：6×组数=总人数-5；7×组数=总人数+4，把相关数值代入即可求解．
【详解】
解：每组6人得到的关系式为6y=x-5；每组7人得到的关系式为7y=x+4．
可列方程组为：
；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到两种分法所需要的实际人数的
等量关系．
10.如图，已知直线AB：y= x+ 分别交x轴、y轴于点B、A两点,C（3，0），D、E分别
为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H,且AD＝CE，当BD＋BE的值最小时，则H点
的坐标为（ ）A．（0，4） B．（0，5） C．（0， ） D．（0， ）
【答案】A
【分析】
作EF⊥BC于F，设AD=EC=x．利用勾股定理可得BD+BE= + =
+ ，要求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点
M到G（ ，3），K（ ， ）的距离之和最小．
【详解】
解：由题意A（0， ），B（-3，0），C（3，0），
∴AB=AC=8，
作EF⊥BC于F，设AD=EC=x．∵EF∥AO，
∴ ，
∴EF= ，CF= ，
∵OH∥EF，
∴ ，
∴OH= ，
∴BD+BE= + = + ，
要求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到K（ ，3），G（ ， ）
的距离之和最小．设G关于x轴的对称点G′（ ， ），直线G′K的解析式为y=kx+b，
则有 ，
解得k= ，b= ，
∴直线G′K的解析式为y= x ，
当y=0时，x= ，
∴当x= 时，MG+MK的值最小，此时OH= = =4，
∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），
故选A．
【点睛】
本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称最短问题、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解
题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）11．我们规定：当 ， 为常数（ , ）时，称 与 互为倒数函数.例如：
的倒数函数是 .则在平面直角坐标系中，函数 与它倒数函数两者图
象的交点坐标为__________.
【答案】（ ，1）
【分析】
根据倒数函数的定义可得 的倒数函数为y＝ x- ，联立方程即可求函数的交点.
【详解】
的倒数函数为y＝ x- ，
则有 ＝ x- ，
∴x＝ ，
代入 =1
∴交点坐标为（ ，1）
故填：（ ，1）.
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的特征，新定义；能够理解定义，将问题转化为直线交点问题是解题的关键．
12． 的平方根是____．
【答案】±3
【详解】
∵ =9，
∴9的平方根是 .
故答案为 3.13．如图，在平面直角坐标系中，△P OA ，△P A A ，△P A A ，…都是等腰直角三角形，其
1 1 2 1 2 3 2 3
直角顶点P (3，3)，P ，P ，…均在直线y＝﹣ x+4上，设△P OA ，△P A A ，△P A A ，…
1 2 3 1 1 2 1 2 3 2 3
的面积分别为S ，S ，S ，…依据图形所反映的规律，S ＝_____．
1 2 3 2019
【答案】 .
【分析】
分别过点P 、P 、P 作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和
1 2 3
底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．
【详解】
解：如图，分别过点P 、P 、P 作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，
1 2 3
∵P （3，3），且△P OA 是等腰直角三角形，
1 1 1
∴OC＝CA ＝P C＝3，
1 1
设A D＝a，则P D＝a，
1 2
∴OD＝6+a，
∴点P 坐标为（6+a，a），
2
将点P 坐标代入y＝﹣ x+4，得：﹣ （6+a）+4＝a，
2
解得：a＝ ，∴A A ＝2a＝3，P D＝ ，
1 2 2
同理求得P E＝ 、A A ＝ ，
3 2 3
∵S ＝ ×6×3＝9、S ＝ ×3× 、S ＝ 、……
1 2 3
∴S ＝ ．
2019
故答案为 ．
【点睛】
本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律
解决问题．
14．甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t（h）的关系
如图所示，那么乙的速度是__km/h．
【答案】3.6
【详解】
分析：根据题意，甲的速度为6km/h，乙出发后2.5小时两人相遇，可以用方程思想解决问题．
详解：由题意，甲速度为6km/h．当甲开始运动时相距36km，两小时后，乙开始运动，经过2.5小时两人
相遇．
设乙的速度为xkm/h
4.5×6+2.5x=36
解得x=3.6
故答案为3.6
点睛：本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义．解答这类问题时，
也可以通过构造方程解决问题．15．如图，在Rt△ 中， ， ，点 在 上，且 ，连接 ，
，且 ，连接 ，则 的长为_____________.
【答案】
【分析】
过F点作直线AC的垂线交于H点，根据 ，且 ，得到△EFH≌△BEC，即可求出CH，FH
的长，再利用勾股定理即可求解.
【详解】
∵ ， ，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵ ，∴CE=3，
过F点作直线AC的垂线交于H点，
∵
∴∠FEH+∠BEC=90°，又∠FEH+∠EFH=90°
∴∠EFH=∠BEC
又∠ECB=∠FHE=90°，EF=BE
∴△EFH≌△BEC，∴FH=EC，EH=BC
∴FH=EC=3,CH=EH-EC=BC-EC=1
∴FC=
故填： .【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用.
三、解答题（本大题共7题。其中16题5分，17题10分，18题7分，19题7分，20题9分，21题8分，
22题9分，共55分）
16. ÷ ﹣ × + ．
【详解】
试题分析：先利用二次根式的除法和乘法法则运算，然后合并即可．
试题解析：解原式= = ．
点睛：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然
后合并同类二次根式．
17．解方程组
（1） （2）
（1） （2）
【分析】
(1)方程组整理后利用加减消元法求解即可；
(2)方程组整理后利用加减消元法求解即可．【详解】
(1) ，
方程组整理得： ,
②-①得： ，
解得 ，
把 代入②得： ，
∴方程组的解为 ；
(2) ，
方程组整理得： ,
②-①得： ，
解得 ，
把 代入①得： ，
∴方程组的解为 ．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18.某校在“垃圾分类”宣传培训后，对学生知晓情况进行了一次测试，其测试成绩按照标准
划分为四个等级：A 优秀，B 良好，C 合格，D 不合格.为了了解该校学生的成绩状况，对在
校学生进行随机抽样调查，调查结果绘制成了以下两幅不完整的统计图：请结合统计图回答下列问题：
(1)该校抽样调查的学生人数为 人；
(2)请补全条形统计图；
(3)样本中，学生成绩的中位数所在等级是 ；（填“A”、“B”、“C”或“D”）
(4)该校共有学生3000人，估计全校测试成绩为优秀和良好的学生共有 人.
【答案】（1）50（2）见解析（3）B（4）2160
【分析】
（1）利用C类的人数及占比即可求出该校抽样调查的学生人数；
（2）先求出B类的人数，再补全统计图；
（3）根据中位数的定义即可求解；
（4）先求出调查中优秀和良好的学生的占比，再乘以3000即可求解.
【详解】
（1）该校抽样调查的学生人数为10÷20%=50（人）
故填：50；
（2）B类的人数为50-16-10-4=20（人）
统计图如下：
（3）∵第25、26名学生的等级为B，
∴学生成绩的中位数所在等级是B
故填：B(4) 该校共有学生3000人，估计全校测试成绩为优秀和良好的学生共有3000× =2160（人）
故填：2160.
【点睛】
此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出该校抽样调查的学生人数.
19．已知百合酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人
每天300元，为吸引客源，促进旅游，在“十⋅一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体
入住一律五折优惠.一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人
间客房．
（1）如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元.求租住了三人间、双
人间客房各多少间？
（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；
（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案：要求租住的房间正好
被住满的，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．
【答案】（1）8间，13间 （2） （3）不是；三人客房16间，双人客房1间时费用最
低，最低费用为5100元．
【分析】
(1)设三人间有 间，双人间有 间．注意凡团体入住一律五折优惠，根据①客房人数=50；②住宿费6300
列方程组求解；
(2)根据题意，三人间住了 人，则双人间住了( )人，住宿费=100×三人间的人数+150×双人间的人数；
(3)根据 的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答．
【详解】
(1)设三人间有 间，双人间有 间，
根据题意得： ，
解得： ，
答：租住了三人间8间，双人间13间；(2)根据题意，三人间住了 人，住宿费每人100元，则双人间住了( )人，住宿费每人150元，
∴ ；
(3)因为 ，所以 随 的增大而减小，
故当 满足 、 为整数，且 最大时，
即 时，住宿费用最低，
此时 ，
答：一天6300元的住宿费不是最低；若48人入住三人间，则费用最低，为5100元．
所以住宿费用最低的设计方案为：48人住3人间，2人住2人间．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件，利用函数和方程的思想解答．
20．甲、乙两车先后从“深圳书城”出发，沿相同的路线到距书城240km的某市.因路况原因，
甲车行驶的路程y (km）与甲车行驶的时间x (h）的函数关系图象为折线 O-A-B， 乙车行驶
的路程y (km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系图象为线段CD.
(1)求线段AB所在直线的函数表达式；
(2)①乙车比甲车晚出发 小时；
②乙车出发多少小时后追上甲车？
(3)乙车出发多少小时后甲、乙两车相距10千米？
【答案】（1）线段AB所在直线的函数表达式为 （2）①1；②乙车出发 h后追上甲车. ③乙车出发 小时或 小时或 小时后两车相距10千米.
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）①先求出直线CD的解析式，得到C点坐标，即可判断①；
②联立直线CD、直线AB求出交点坐标即可求解；
③根据题意分乙车追上甲车之前，乙车追上甲车之后，当乙车没到终点时，乙车追上甲车之后，当乙车到
达终点时，甲车距终点10km三种情况分别求解.
【详解】
（1）设直线AB的函数表达式为： ，将A（2，100），B（6，240）代入得
解得
∴线段AB所在直线的函数表达式为
（2）①设直线CD的函数表达式为： ，将（2，80），D（4，240）代入得
解得
∴直线CD的函数表达式为
∴C点坐标为（1，0）
∴乙车比甲车晚出发1小时
故填：1；
②联立
解得
∵ (h)，∴乙车出发 h后追上甲车.
（3）乙车追上甲车之前，即
解得
∴ (h).
乙车追上甲车之后，当乙车没到终点时，
即
解得
∴ (h).
乙车追上甲车之后，当乙车到达终点时，甲车距终点10km
把 代入 ，得
所以，乙车出发 小时或 小时或 小时后两车相距10千米.
【点睛】
此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意求出各段函数的解析式，再分类讨论求解.
21．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、
BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN的度数是 ，∠CBD的度数是 ；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请
写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？【答案】
．（1）∠ABN的度数是 116 °，∠CBD的度数是 58 °；...................................2分
∵AM∥BN，、
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，
∴∠ABP+∠PBN＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
（2）不变， .......................................................................3分
∠APB：∠ADB＝2：1，
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， ..................................................................4分
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1； . ...................................................................5分
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是29° ．.......................6分
∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，
则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN
∴∠ABC＝∠DBN， . ......................................................................................7分
由（1）∠ABN＝116°，
∴∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°， . ........................................................................................8分
故答案为：29°．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为y=-x，直线l 与l 交于点A(a，-a)，与y
1 2 1轴交于点B(0，b)，其中a，b满足(a+3)2+ =0．
(1)求直线l 的解析式；
2
(2)在平面直角坐标系中第二象限有一点P(m，5)，使得S =S ，请求出点P的坐标；
△AOP △AOB
(3)已知平行于y轴左侧有一动直线，分别与l ，l 交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q
1 2
为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请求出满足条件的点Q的坐标．
【答案】(1)y= x+4；(2)P点坐标为(-1，5)或(-9，5)；(3)Q点的坐标为(0， )或(0， )或(0， )．
【解析】
【分析】
(1)根据非负数的性质，可得a，b，根据待定系数法，可得函数解析式；
(2)根据平行线间的距离相等，可得Q到AO的距离等于B到AO的距离，根据等底等高的三角形的面积相等，
可得S =S ，根据解方程组，可得P点坐标；
△AOP △AOB
(3)根据等腰直角三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得a，根据平行于x轴直线上点的纵
坐标相等，可得答案．
【详解】
解：(1)由(a+3)2+ =0，得
a=-3，b=4，
即A(-3，3)，B(0，4)，
设l 的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入函数解析式，得
2
，
解得 ，l 的解析式为y= x+4；
2
(2)如图1，
作PB∥AO，P到AO的距离等于B到AO的距离，
S =S ．
△AOP △AOB
∵PB∥AO，PB过B点(0，4)，
∴PB的解析式为y=-x+4或y=-x-4，
又P在直线y=5上，
联立PB及直线y=5，得
-x+4=5或-x-4=5，
解得x=-1或-9，
∴P点坐标为(-1，5)或(-9，5)；
(3)设M点的坐标为(a，-a)，N(a， a+4)，
∵点M在点N的下方，
∴MN= a+4-(-a)= +4，
如图2，
当∠NMQ=90°时，即MQ∥x轴，NM=MQ， +4=-a，
解得a=- ，即M(- ， )，
∴Q(0， )；如图3，
当∠MNQ=90°时，即NQ∥x轴，NM=NQ， +4=-a，
解得a=- ，即N(- ， )，
∴Q(0， )，
如图4，
当∠MQN=90°时，即NM∥y轴，MQ=NQ， a+2=-a，
解得a=- ，
∴Q(0， )．综上所述：Q点的坐标为(0， )或(0， )或(0， )．
【点睛】
本题考查了一次函数综合题，解(1)的关键是利用非负数的性质得出a，b的值，又利用了待定系数法；解
(2)的关键是利用等底等高的三角形的面积相等得出P在过B点且平行AO的直线上；解(3)的关键是利用等
腰直角三角形的性质得出关于a的方程，要分类讨论，以防遗漏．
