文档内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷
全国二卷
注意事项:
1. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题
卡的规定位置。
2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动,请用橡皮
擦干净后, 再选涂其他答案。作答非选择题, 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上
的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
4.考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分. 每小题给出的四个选项中,只有 一
个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.2，8，14，16，20平均数为( )
A.8 B.9 C.12 D.18
2. ， ( )
A. B.i C. D.1
3. ， ， ( )
A. B. C. D.
4. 的解集是( )
A. B. C. D.
5. ， ， ， ， ( )
A. B. C. D.6.抛物线 焦点F， ，过A作C准线的垂线，垂足为B.若
，则 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7. 为等差 前n项和， ， ， ( )
A. B. C. D.
8. ， ， ( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题
目要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。
9. 为等比数列 的前n项和，q为 的公比， ， ， ，则( )
A. B. C. D.
10. 是定义在R上的奇函数， 时， ，则( )
A. B.当 时，
C. 当且仅当 D. 是 的极大值点
11.双曲线 （ ， ），左右焦点为 ， .左右顶点为 ， .以 为
直径的圆与C的一条渐近线交于M，N，且 ，则( )A.
B.
C.C离心率为
D.当 时，四边形 的面积为
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.
12. ， ， ，则 __________.
13. 是 的极值点，则 __________.
14.一个底面半径为 ，高为 的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，则铁球半
径的最大值为__________ .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. ， .
（1）求 ；
（2） ，求 值域和单调区间.
16.椭圆 的离心率为 ，长轴长为4.
（1）求椭圆C的方程
（2）过点 的直线l与C交于A，B，O为坐标原点，若 ，求 .
17.如图，四边形 中， ， ，F为 中点，E在 上， ，
， .将四边形EFDA沿EF翻折至四边形 ，使得面 与面所成的二面角为 .
（1）证明： 平面 .
（2）求面 与面 所成二面角的正弦值.
18. ， .
（1）证明： 在 存在唯一极值点和唯一零点；
（2）设 ， 为 在 的极值点和零点，
（i） ，证明： 在 单调递减；
（ii）比较 与 的大小，并证明.
19.甲、乙乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分，设每个球甲胜概率为 ，
乙胜概率为q， ，且各球胜负独立，对正整数 ，记 为打完k个球后乙比甲至少
多得2分的概率.
（1）求 ， （用p表示）；
（2）若 ，求p.
（3）证明：对任意正整数m， .参考答案
1.C
解析： .
2.A
解析： .
3.D
解析： ， .
4.C
解析： 且 .
5.A
解析：由余弦定理 ，
，故 .
6.C
解析： 与x轴交于F点，则 ，故 ；
设 与y轴交于N点，则 ；
准线与x轴交于M点，由 ， ，故 ，代入 得
， ， .7.B
解析： 为等差数列 的前n项和，故 为等差数列，该等差数列的公差为
.
8.D
解析： ， ，又 ， ，则
.
9.AD
解析：由已知条件
，又 ，
则 ，故 ， ， ， ，
， ，
综上，AD正确.
10.ABD
解析： 为R上的奇函数，故 ，A正确；
时， ，故 ，，B正确；
时， ， ；
时 ， 单调递减， 时 ， 单调递增，故为 极小值点，
由 为R上的奇函数，故 为 极大值点，D正确； ，C
错.
11.ACD
解析：由对称性不妨取斜率为正的渐近线 ，又 ，则易知 ，又
， ，
则 ，如图，
，A选项正确；
则在 中， ，B选项错误，，
则 ，C选项正确；
当 时， ，D选项正确.
12.
解析： ，所以 .
13.
解析： ，若 为 的极值点，则
， .
14.
解析：设铁球半径为r，两铁球位置如图所示，
竖直方向有， ，
即 ，
水平方向有， ，即 ，
则
化简得：
，
解得： ， （舍）
故答案为： .
15.（1）
（2） 的值域为 ；单调递减区间为 ， ，单调递增区间
为 ，
解析：（1） ，由 ，故 ；
（2） ， ，
，
故 的值域为 ，
令 ，解得 ，即 的单调递减区间为 ， ，
同理可得 的单调递增区间为 ， .
16.（1）
（2）
解析：（1） ， ， ，椭圆方程为： ；
（2）设 ，点 ，点 ， ，
联立 可得： ，其判别式为 ，
， （两根同号），
由 ，可得 或 ，
，
解得 ，
.
17.（1）证明见解析（2）
解析：（1）由 ， ，可得平面 平面 ，
又由 平面 ，故 平面 ；
（2）由 且 ，可知 即为二面角的平面角，为
不妨设 ，在平面 内，由点 作EB垂线，垂足为O，
可证 底面 ， ，
如图建系，
， ，设平面 的法向量为
则有 ，取 ， ；
， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，取 ，则 ，即平面 与平面 成角 ，
则有 ，故 .
18.（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析
（ii） ，证明见解析
解析：（1）证明：因为 ， ，
所以
，
当 时，令 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 是 在 上唯一的极值点，是极大值点.
又因为 ， ，所以 ， ，
即 是 在 上唯一的零点；
（2）（i）因为 ，
所以
，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
即 在 上单调递减；
（ii）由（i）得， 在 上单调递减，
所以 ，
即 ， ，
因为 是 的零点，所以 ，
所以 ，
又因为 ， ，且 在 上单调递减，所以 .
19.（1） ，
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）3球后甲比乙至少多两分，只能是甲3分乙0分，
因此 ；
4球后甲比乙至少多两分，可能是甲4分乙0分，或者甲3分乙1分，
因此 .
（2）根据对称性，以及（1）的结果，可得 ， .
因此 ，
因此 ，又 ，故 ， .
答案为
（3）记 表示m球甲得x分的概率
，
故 ，
故要证：
只需证：即只需证：
即只需证：
即 .由条件 ，故结论成立.
由
现在考虑右边的不等式
只需证：
只需证：
只需证：
只需证：
只需证：
因为 ，且 ，故上面不等式成立.证毕.
