新高考Ⅰ、Ⅱ
2021 - 2025
年
数学全卷汇编~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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目录
新高考Ⅰ、Ⅱ2021-2025年
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数学全卷汇编1
目录 2
2021年全国新高考I卷数学试题2
参考答案 6
2021年全国新高考II卷数学试题 24
参考答案 28
2022年新高考全国I卷数学真题37
参考答案 41
2022年新高考全国II卷数学真题 56
参考答案 60
2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题 72
参考答案 76
2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题90
参考答案 94
2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题 105
参考答案 109
2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题121
参考答案 125
2025年普通高等学校招生全国统一考试(新1卷)139
参考答案 143
2025年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅱ卷) 161
参考答案 164
数学试题 第 1 页 共 171 页2021年全国新高考I卷数学试题
一、单选题
1.设集合A=x-2<x<4 ，B=2,3,4,5 ，则A∩B= ( )
A. 2 B. 2,3 C. 3,4 D. 2,3,4
2.已知z=2-i，则zz+i = ( )
A. 6-2i B. 4-2i C. 6+2i D. 4+2i
3.已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
4.下列区间中，函数fx
π
=7sinx-
6
单调递增的区间是 ( )
π
A. 0,
2
π
B. ,π
2
3π
C. π,
2
3π
D. ,2π
2
x2 y2
5.已知F 1 ，F 2 是椭圆C： 9 + 4 =1的两个焦点，点M在C上，则MF 1 ⋅MF 2 的最大值为 ( )
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
sinθ1+sin2θ
6.若tanθ=-2，则
= ( )
sinθ+cosθ
6 2 2 6
A. - B. - C. D.
5 5 5 5
7.若过点a,b 可以作曲线y=ex的两条切线，则 ( )
A. eb<a B. ea<b C. 0<a<eb D. 0<b<ea
8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件
“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的
数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 ( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
二、多选题
9.有一组样本数据x ，x ，⋯，x ，由这组数据得到新样本数据y ，y ，⋯，y ，其中y =x +c(i=1,2,⋅⋅⋅,
1 2 n 1 2 n i i
n),c为非零常数，则 ( )
A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同
10.已知O为坐标原点，点P 1cosα,sinα ，P 2cosβ,-sinβ ，P 3 cosα+β ,sinα+β ，A1,0 ，则 ( )
A. OP
1
=OP
2
B. AP
1
=AP
2
C. OA⋅OP =OP ⋅OP D. OA⋅OP =OP ⋅OP
3 1 2 1 2 3
数学试题 第 2 页 共 171 页11.已知点P在圆x-5 2+y-5 2=16上，点A4,0 、B0,2 ，则 ( )
A. 点P到直线AB的距离小于10 B. 点P到直线AB的距离大于2
C. 当∠PBA最小时，PB =3 2 D. 当∠PBA最大时，PB =3 2
12.在正三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AB=AA 1 =1，点P满足BP=λBC+μBB 1 ，其中λ∈0,1 ，μ∈0,1 ，
则 ( )
A. 当λ=1时，△ABP的周长为定值
1
B. 当μ=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值
1
1
C. 当λ= 时，有且仅有一个点P，使得AP⊥BP
2 1
1
D. 当μ= 时，有且仅有一个点P，使得AB⊥平面ABP
2 1 1
三、填空题
13.已知函数fx =x3a⋅2x-2-x 是偶函数，则a= .
14.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上
一点，且PQ⊥OP，若FQ =6，则C的准线方程为 .
15.函数fx =2x-1 -2lnx的最小值为 .
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm
的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S =
1
240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之
和S =180dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n次，那么
2
n
S = dm2.
k
k=1
四、解答题
17.已知数列a n 满足a 1 =1，a n+1 = a a n + + 1 2 , , n n 为 为 奇 偶 数 数 , .
n
(1)记b =a ，写出b ，b ，并求数列b
n 2n 1 2 n
的通项公式；
(2)求a
n
的前20项和.
18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从
中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一
个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0
分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，
能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
数学试题 第 3 页 共 171 页19.记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.
(1)证明：BD=b；
(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.
20.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点.
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小为
45°，求三棱锥A-BCD的体积.
数学试题 第 4 页 共 171 页21.在平面直角坐标系xOy中，已知点F 1- 17,0 、F 2 17,0 ，MF 1 -MF 2 =2，点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
1
(2)设点T在直线x= 上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且TA
2
⋅TB =TP ⋅
TQ ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
22.已知函数fx =x1-lnx .
(1)讨论fx 的单调性；
1 1
(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2< + <e.
a b
数学试题 第 5 页 共 171 页参考答案
1. B
【分析】利用交集的定义可求A∩B.
【解析】由题设有A∩B=2,3 ，
故选：B .
2. C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【解析】因为z=2-i，故z=2+i，故zz+i =2-i 2+2i =4+4i-2i-2i2=6+2i
故选：C.
3. B
【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l的值，即为所求.
【解析】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl=2π× 2，解得l=2 2.
故选：B.
4. A
π π π
【分析】解不等式2kπ- <x- <2kπ+ k∈Z
2 6 2
，利用赋值法可得出结论.
π π
【解析】因为函数y=sinx的单调递增区间为2kπ- ,2kπ+
2 2
k∈Z ，
对于函数fx
π
=7sinx-
6
π π π
，由2kπ- <x- <2kπ+ k∈Z
2 6 2
，
π 2π
解得2kπ- <x<2kπ+ k∈Z
3 3
，
取k=0，可得函数fx
π 2π
的一个单调递增区间为- ,
3 3
，
π
则0,
2
π 2π
⊆- ,
3 3
π
， ,π
2
π 2π
⊄- ,
3 3
，A选项满足条件，B不满足条件；
取k=1，可得函数fx
5π 8π
的一个单调递增区间为 ,
3 3
，
3π
π,
2
π 2π
⊄- ,
3 3
3π
且π,
2
5π 8π
⊄ ,
3 3
3π
， ,2π
2
5π 8π
⊄ ,
3 3
，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asinωx+φ 形式，再求y=
Asinωx+φ 的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先
把ω化为正数．
5. C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到MF 1 +MF 2 =2a=6，借助基本不等式MF 1 ⋅MF 2 ≤
MF 1 +MF 2
2
2 即可得到答案．
【解析】由题，a2=9,b2=4，则MF 1 +MF 2 =2a=6，
所以MF 1 ⋅MF 2 ≤ MF 1 +MF 2 2 2 =9(当且仅当MF 1 =MF 2 =3时，等号成立)．
故选：C．
【点睛】公众号：MST数学聚集地MathHub
6. C
数学试题 第 6 页 共 171 页【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(1=sin2θ+cos2θ)，进行齐次化处
理，化为正切的表达式，代入tanθ=-2即可得到结果．
【解析】将式子进行齐次化处理得：
sinθ1+sin2θ sinθsin2θ+cos2θ+2sinθcosθ
=
sinθ+cosθ
=sinθsinθ+cosθ
sinθ+cosθ
sinθsinθ+cosθ
=
tan2θ+tanθ 4-2 2
= = = ．公众号：MST数学聚集地MathHub
sin2θ+cos2θ 1+tan2θ 1+4 5
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用tanθ=-2，求出sinθ,cosθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过
齐次化处理，可以避开了这一讨论．
7. D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结
果；
解法二：画出曲线y=ex的图象，根据直观即可判定点a,b 在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条
切线.
【解析】在曲线y=ex上任取一点Pt,et ，对函数y=ex求导得y=ex，
所以，曲线y=ex在点P处的切线方程为y-et=etx-t ，即y=etx+1-t et，
由题意可知，点a,b 在直线y=etx+1-t et上，可得b=aet+1-t et=a+1-t et，
令ft =a+1-t et，则ft =a-t et.
当t<a时，ft >0，此时函数ft 单调递增，
当t>a时，ft <0，此时函数ft 单调递减，
所以，ft =fa
max
=ea，
由题意可知，直线y=b与曲线y=ft 的图象有两个交点，则b<ft =ea，
max
当t<a+1时，ft >0，当t>a+1时，ft <0，作出函数ft 的图象如下图所示：
由图可知，当0<b<ea时，直线y=b与曲线y=ft 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线y=ex的图象如图所示，根据直观即可判定点a,b 在曲线下方和x轴上方时才
可以作出两条切线.由此可知0<b<ea.
数学试题 第 7 页 共 171 页故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特
性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效
方法.
8. B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断公众号：MST数学聚集地MathHub
1 1 5 6 1
【解析】P(甲)= ，P(乙)= ，P(丙)= ，P(丁)= = ，，
6 6 36 36 6
1
P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)= =P(甲)P(丁)，
36
1
P(乙丙)= ≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙)，
36
故选：B
【点睛】判断事件A,B是否独立，先计算对应概率，再判断P(A)P(B)=P(AB)是否成立
9. CD
【分析】A、C利用两组数据的线性关系有E(y)=E(x)+c、D(y)=D(x)，即可判断正误；根据中位数、极
差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.
【解析】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且c≠0，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为x，则第二组的中位数为y =x +c，显然不相同，错误；
i i i
C：D(y)=D(x)+D(c)=D(x)，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为x -x ，则第二组的极差为y -y =(x +c)-(x +
max min max min max min
c)=x -x ，故极差相同，正确；
max min
故选：CD
10.AC
【分析】A、B写出OP，OP、AP，AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐
1 2 1 2
标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【解析】A：OP =(cosα,sinα)，OP =(cosβ,-sinβ)，所以|OP|= cos2α+sin2α=1，|OP|=
1 2 1 2
(cosβ)2+(-sinβ)2=1，故|OP|=|OP|，正确；
1 2
B：AP =(cosα-1,sinα)，AP =(cosβ-1,-sinβ)，所以|AP|= (cosα-1)2+sin2α=
1 2 1
α α
cos2α-2cosα+1+sin2α= 2(1-cosα)= 4sin2 =2sin ，同理|AP|= (cosβ-1)2+sin2β=
2 2 2
β
2sin ，故|AP|,|AP|不一定相等，错误；
2 1 2
C：由题意得：OA⋅OP =1×cos(α+β)+0×sin(α+β)=cos(α+β)，OP ⋅OP =cosα⋅cosβ+sinα⋅(
3 1 2
-sinβ)=cos(α+β)，正确；
D：由题意得：OA⋅OP =1×cosα+0×sinα=cosα，OP ⋅OP =cosβ×cos(α+β)+(-sinβ)×sin(α
1 2 3
+β)
=cos β+α+β =cosα+2β
，故一般来说OA⋅OP ≠OP ⋅OP 故错误； 1 2 3
故选：AC
11.ACD
【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正
误；分析可知，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【解析】圆x-5 2+y-5 2=16的圆心为M5,5 ，半径为4，
数学试题 第 8 页 共 171 页x y
直线AB的方程为 + =1，即x+2y-4=0，
4 2
5+2×5-4
圆心M到直线AB的距离为
11 11 5
= = >4，
12+22 5 5
11 5 11 5
所以，点P到直线AB的距离的最小值为 -4<2，最大值为 +4<10，A选项正确，B选项
5 5
错误；
如下图所示：
当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
BM = 0-5 2+2-5 2= 34，MP =4，由勾股定理可得BP = BM 2-MP 2=3 2，CD选项
正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r的圆C相离，圆心C到直线l的距离为d，则圆C上一点P到直线l
的距离的取值范围是d-r,d+r .
12.BD
【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数．
易知，点P在矩形BCCB 内部(含边界)．
1 1
对于A，当λ=1时，BP=BC+μBB =BC+μCC ，即此时P∈线段CC ，△ABP周长不是定值，故A
1 1 1 1
错误；
对于B，当μ=1时，BP=λBC+BB =BB +λBC ，故此时P点轨迹为线段BC ，而BC ⎳BC，
1 1 1 1 1 1 1 1
BC ⎳平面ABC，则有P到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
1 1 1 1
1 1
对于C，当λ= 时，BP= BC+μBB ，取BC，BC 中点分别为Q，H，则BP=BQ+μQH，所以P
2 2 1 1 1
数学试题 第 9 页 共 171 页3
点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A ,0,1 1 2 ，P0,0,μ
1
，B0, ,0 2 ，
3
则AP=- ,0,μ-1 1 2
1
，BP=0,- ,μ 2
，A 1 P⋅BP=μμ-1 =0，所以μ=0或μ=1．故H,Q均
满足，故C错误；
1 1
对于D，当μ= 时，BP=λBC+ BB ，取BB ，CC 中点为M,N．BP=BM +λMN，所以P点轨
2 2 1 1 1
1
迹为线段MN．设P0,y ,
0 2
3
，因为A ，0,0
2
3 1
，所以AP=- ,y ,
2 0 2
，AB=
1
3 1
- , ,-1
2 2
3 1 1 1
，所以 + y - =0⇒y =- ，此时P与N重合，故D正确．
4 2 0 2 0 2
故选：BD．
【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．
13.1
【分析】利用偶函数的定义可求参数a的值.
【解析】因为fx =x3a⋅2x-2-x ，故f-x =-x3a⋅2-x-2x ，
因为fx 为偶函数，故f-x =fx ，
时x3a⋅2x-2-x =-x3a⋅2-x-2x ，整理得到a-1 2x+2-x =0，
故a=1，
故答案为：1
3
14.x=-
2
【分析】先用坐标表示P，Q，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p，即得结果.
p
【解析】抛物线C：y2=2px (p>0)的焦点F ,0
2
,
∵P为C上一点，PF与x轴垂直，
p
所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为±p,
2
p
不妨设P ,p
2
,
因为Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，所以Q在F的右侧，
又|FQ|=6，
p
∴Q6+ ,0
2
,∴PQ=(6,-p)
p
因为PQ⊥OP，所以PQ⋅OP= ×6-p2=0,
2
∵p>0,∴p=3，
3
所以C的准线方程为x=-
2
3
故答案为：x=- .
2
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
15.1
1 1
【分析】由解析式知f(x)定义域为(0,+∞)，讨论0<x≤ 、 <x≤1、x>1，并结合导数研究的单调
2 2
性，即可求f(x)最小值.
【解析】由题设知：f(x)=|2x-1|-2lnx定义域为(0,+∞)，
数学试题 第 10 页 共 171 页1
∴当0<x≤ 时，f(x)=1-2x-2lnx，此时f(x)单调递减；
2
1 2
当 <x≤1时，f(x)=2x-1-2lnx，有f(x)=2- ≤0，此时f(x)单调递减；
2 x
2
当x>1时，f(x)=2x-1-2lnx，有f(x)=2- >0，此时f(x)单调递增；
x
又f(x)在各分段的界点处连续，
∴综上有：0<x≤1时，f(x)单调递减，x>1时，f(x)单调递增；
∴f(x)≥f(1)=1
故答案为：1.
153+n
16. 5 720-
2n-4
【分析】(1)按对折列举即可；(2)根据规律可得S ，再根据错位相减法得结果.
n
【解析】(1)由对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，所以对着
5 3
三次的结果有： ×12，5×6，10×3；20× ，共4种不同规格(单位dm2)；
2 2
5 5 3 3
故对折4次可得到如下规格： ×12， ×6，5×3，10× ，20× ，共5种不同规格；
4 2 2 4
(2)由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成
1
公比为 的等比数列，首项为120dm2
2
1
,第n次对折后的图形面积为120×
2
n-1
，对于第n此对折后
120(n+1)
的图形的规格形状种数，根据(1)的过程和结论，猜想为n+1种(证明从略)，故得猜想S = ，
n 2n-1
n 120×2 120×3 120×4 120n+1
设S=∑S = + + +⋯+
k 20 21 22
k=1
，
2n-1
1 120×2 120×3 120n 120(n+1)
则 S= + +⋯+ + ，
2 21 22 2n-1 2n
两式作差得：
1 1 1 1
S=240+120 + +⋯+
2 2 22 2n-1
120n+1
-
2n
1
601-
2n-1
=240+
120n+1
-
1
1-
2
2n
120 120n+1
=360- -
2n-1
120n+3
=360-
2n
，
2n
240n+3
因此，S=720-
15n+3
=720-
2n
.
2n-4
15n+3
故答案为：5；720-
.
2n-4
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：公众号：MST数学聚集地MathHub
(1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
(2)对于a b
n n
结构，其中a
n
是等差数列，b
n
是等比数列，用错位相减法求和；
(3)对于a +b
n n
结构，利用分组求和法；
1
(4)对于 a a
n n+1
结构，其中a n 是等差数列，公差为dd≠0
1 1 1 1
，则 = - a a d a a
n n+1 n n+1
，利用裂项
相消法求和.
17.(1)b =2,b =5,b =3n-1；(2)300.
1 2 n
数学试题 第 11 页 共 171 页【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列b
n
的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前n项和公式即可求得数列的前20项和.
【解析】解：(1)[方法一]【最优解】：
显然2n为偶数，则a =a +2,a =a +1，
2n+1 2n 2n+2 2n+1
所以a =a +3，即b =b +3，且b =a =a +1=2，
2n+2 2n n+1 n 1 2 1
所以b
n
是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是b =2,b =5,b =3n-1．
1 2 n
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知a =1,a =2,a =4，所以b =a =2,b =a =a +1=5．
1 2 3 1 2 2 4 3
由a -a =1(n为奇数)及a -a =2(n为偶数)可知，
n+1 n n+1 n
数列从第一项起，
若n为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若n为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以a n+2 -a n =3(n∈N*)，则b n =b 1 +n-1 ×3=3n-1．
[方法三]：累加法公众号：MST数学聚集地MathHub
由题意知数列a
n
3 (-1)n
满足a =1,a =a + + (n∈N*)．
1 n+1 n 2 2
3 (-1)1
所以b =a =a + + =1+1=2，
1 2 1 2 2
3 (-1)3 3 (-1)2
b =a =a + + =a +1=a + + +1=a +2+1=2+3=5，
2 4 3 2 2 3 2 2 2 2
则b =a =(a -a )+(a -a )+⋯+(a -a)+a =1+2+1+2+⋯+2+1+a =n×1+2
n 2n 2n 2n-1 2n-1 2n-2 2 1 1 1
(n-1)+1=3n-1．
所以b =2,b =5，数列b
1 2 n
的通项公式b =3n-1．
n
(2)[方法一]：奇偶分类讨论
S =a +a +a +⋯+a =(a +a +a +⋯a )+(a +a +a +⋯+a )
20 1 2 3 20 1 3 5 19 2 4 6 20
=(b -1+b -1+b -1+⋯+b -1)+b +b +b +⋯+b
1 2 3 10 1 2 3 10
(b +b )×10
=2× 1 10 -10=300．
2
[方法二]：分组求和
由题意知数列a
n
满足a =1,a =a +1,a =a +2，
1 2n 2n-1 2n+1 2n
所以a =a +2=a +3．
2n+1 2n 2n-1
所以数列a
n
的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由a =a +1=a +3知数列a
2n+2 2n+1 2n n
的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列a
n
的前20项和为：
10×9 10×9
S =(a +a +a +⋯+a )+(a +a +a +⋯+a )=10×1+ ×3+10×2+ ×3=300．
20 1 3 5 19 2 4 6 20 2 2
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论b
n
的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列a
n
的通项公式，然后累加求数列b
n
的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前n项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前n项和公式和分组的方法进行求和是
一种不错的选择.
数学试题 第 12 页 共 171 页18.(1)见解析；(2)B类．
【分析】(1)通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．(2)与(1)类
似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【解析】(1)由题可知，X的所有可能取值为0，20，100．
PX=0 =1-0.8=0.2；
PX=20 =0.81-0.6 =0.32；
PX=100 =0.8×0.6=0.48．
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)知，EX =0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4．
若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100．
PY=0 =1-0.6=0.4；
PY=80 =0.61-0.8 =0.12；
PY=100 =0.8×0.6=0.48．
所以EY =0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6．
因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题．
7
19.(1)证明见解析；(2)cos∠ABC= .
12
ac
【分析】(1)根据正弦定理的边角关系有BD= ，结合已知即可证结论.
b
(2)方法一：两次应用余弦定理，求得边a与c的关系，然后利用余弦定理即可求得cos∠ABC的值.
【解析】(1)设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，
b c
得sin∠ABC= ,sinC= ，
2R 2R
b c
因为BDsin∠ABC=asinC，所以BD⋅ =a⋅ ，即BD⋅b=ac．
2R 2R
又因为b2=ac，所以BD=b．
(2)[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
a2+b2-c2
因为AD=2DC，如图，在△ABC中，cosC= ，①
2ab
公众号：MST数学聚集地MathHub
b
a2+
3
在△BCD中，cosC=
2
-b2
．②
b
2a⋅
3
b 由①②得a2+b2-c2=3 a2+
3
2 -b2
11 ，整理得2a2- b2+c2=0．
3
c 3c
又因为b2=ac，所以6a2-11ac+3c2=0，解得a= 或a= ，
3 2
数学试题 第 13 页 共 171 页c c2 c 3c
当a= ,b2=ac= 时，a+b= + <c(舍去)．
3 3 3 3
3c
3c 3c2 2
当a= ,b2=ac= 时，cos∠ABC=
2 2
2 3c2
+c2-
2 7
= ．
3c 12
2⋅ ⋅c
2
7
所以cos∠ABC= ．
12
[方法二]：等面积法和三角形相似
2
如图，已知AD=2DC，则S = S ，
△ABD 3 △ABC
1 2 2 1
即 × b2sin∠ADB= × ac×sin∠ABC，
2 3 3 2
而b2=ac，即sin∠ADB=sin∠ABC，
故有∠ADB=∠ABC，从而∠ABD=∠C．
b c CA BA
由b2=ac，即 = ，即 = ，即△ACB∽△ABD，
a b CB BD
2b
AD AB 3 c
故 = ，即 = ，
AB AC c b
2
又b2=ac，所以c= a，
3
c2+a2-b2 7
则cos∠ABC= = ．
2ac 12
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
2 1
由(1)知BD=b=AC，再由AD=2DC得AD= b,CD= b．
3 3
AD BD
在△ADB中，由正弦定理得 = ．
sin∠ABD sinA
2
b
3 b 2
又∠ABD=∠C，所以 = ，化简得sinC= sinA．
sinC sinA 3
2 2
在△ABC中，由正弦定理知c= a，又由b2=ac，所以b2= a2．
3 3
4 2
a2+ a2- a2
a2+c2-b2 9 3 7
在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC= = = ．
2ac 2 12
2× a2
3
7
故cos∠ABC= ．
12
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作DE∥AB，交BC于点E，则△DEC∽△ABC．
数学试题 第 14 页 共 171 页c a 2a
由AD=2DC，得DE= ,EC= ,BE= ．
3 3 3
2a
3
在△BED中，cos∠BED=
2 c
+
3
2
-b2
．
2a c
2⋅ ⋅
3 3
a2+c2-b2
在△ABC中cos∠ABC= ．
2ac
因为cos∠ABC=-cos∠BED，
2a
a2+c2-b2 3
所以 =-
2ac
2 c
+
3
2
-b2
，
2a c
2⋅ ⋅
3 3
整理得6a2-11b2+3c2=0．
又因为b2=ac，所以6a2-11ac+3c2=0，
c 3
即a= 或a= c．
3 2
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为AD=2DC，所以AD=2DC．
2 1
以向量BA,BC为基底，有BD= BC+ BA．
3 3
所以BD 2 = 4 BC 2 + 4 BA⋅BC+ 1 BA 2，公众号：MST数学聚集地MathHub
9 9 9
4 4 1
即b2= a2+ accos∠ABC+ c2，
9 9 9
又因为b2=ac，所以9ac=4a2+4ac⋅cos∠ABC+c2．③
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos∠ABC，
所以ac=a2+c2-2accos∠ABC④
联立③④，得6a2-11ac+3c2=0．
3 1
所以a= c或a= c．
2 3
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点D垂直于AC的直线为y轴，
DC长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则D0,0 ,A-2,0 ,C1,0 ．
数学试题 第 15 页 共 171 页由(1)知，BD=b=AC=3，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设Bx,y -3<x<3 ，则x2+y2=9．⑤
由b2=ac知，BA ⋅BC =AC 2，
即 (x+2)2+y2⋅ (x-1)2+y2=9．⑥
7 7 95
联立⑤⑥解得x=- 或x= ≥3(舍去)，y2= ，
4 2 16
3 6
代入⑥式得a=|BC|= ,c=|BA|= 6,b=3，
2
a2+c2-b2 7
由余弦定理得cos∠ABC= = ．
2ac 12
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理
的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相
似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选
择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以
将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加
直观化.
3
20.(1)证明见解析；(2) .
6
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【解析】(1)因为AB=AD，O是BD中点，所以OA⊥BD，
因为OA⊂平面ABD，平面ABD⊥平面BCD，
且平面ABD∩平面BCD=BD，所以OA⊥平面BCD．
因为CD⊂平面BCD，所以OA⊥CD.
(2)[方法一]：通性通法-坐标法
如图所示，以O为坐标原点，OA为z轴，OD为y轴，垂直OD且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标
系O-xyz，
3 1
则C , ,0
2 2
1 2
,D(0,1,0),B(0,-1,0)，设A(0,0,m),E0, , m
3 3
,
数学试题 第 16 页 共 171 页
4 2
所以EB=0,- ,- m
3 3
3 3
,BC= , ,0
2 2
，
设n=x,y,z 为平面EBC的法向量，
EB⋅n=0 2
则由
可求得平面EBC的一个法向量为n=- 3,1,-
m
BC⋅n=0
．
又平面BCD的一个法向量为OA=0,0,m ，
所以cosn,OA
-2
=
4
m⋅ 4+
m2
2
= ，解得m=1．
2
3 1 1 3 3
又点C到平面ABD的距离为 ，所以V =V = × ×2×1× = ，
2 A-BCD C-ABD 3 2 2 6
3
所以三棱锥A-BCD的体积为 ．
6
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作EG⊥BD，垂足为点G．
作GF⊥BC，垂足为点F，连结EF，则OA∥EG．
因为OA⊥平面BCD，所以EG⊥平面BCD，
∠EFG为二面角E-BC-D的平面角．
因为∠EFG=45°，所以EG=FG．
由已知得OB=OD=1，故OB=OC=1．
又∠OBC=∠OCB=30°，所以BC= 3．
2 4 2 2 2
因为GD= ,GB= ,FG= CD= ,EG= ,OA=1，
3 3 3 3 3
1 1 1 1 3
V = S ×OA= ×2S ×OA= ×2× × ×1×1
A-BCD 3 △BCD 3 △BOC 3 2 2
3
×1= ．
6
[方法三]：三面角公式
考虑三面角B-EDC，记∠EBD为α，∠EBC为β，∠DBC=30°，
记二面角E-BC-D为θ．据题意，得θ=45°．
对β使用三面角的余弦公式，可得cosβ=cosα⋅cos30°，
3
化简可得cosβ= cosα．①
2
数学试题 第 17 页 共 171 页sinα
使用三面角的正弦公式，可得sinβ= ，化简可得sinβ= 2sinα．②
sinθ
3
将①②两式平方后相加，可得 cos2α+2sin2α=1，
4
1 1
由此得sin2α= cos2α，从而可得tanα=± ．
4 2
π
如图可知α∈0,
2
1
，即有tanα= ，
2
4
根据三角形相似知，点G为OD的三等分点，即可得BG= ，
3
结合α的正切值，
2 3
可得EG= ,OA=1从而可得三棱锥A-BCD的体积为 ．
3 6
【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在
于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；
方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更
加深刻的认识，该法为本题的最优解.
方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简
单、直观、迅速.
y2
21.(1)x2- =1x≥1
16
；(2)0.
【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹C是以点F、F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a、b的值，即可
1 2
得出轨迹C的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，
最后化简计算可得k +k 的值.
1 2
【解析】(1) 因为MF 1 -MF 2 =2<F 1 F 2 =2 17，
所以，轨迹C是以点F、F 为左、右焦点的双曲线的右支，
1 2
x2 y2
设轨迹C的方程为 - =1a>0,b>0
a2 b2
，则2a=2，可得a=1，b= 17-a2=4，
y2
所以，轨迹C的方程为x2- =1x≥1
16
.
(2)[方法一]【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
1
如图所示，设T ,n
2
,
1
设直线AB的方程为y-n=k x-
1 2
,A(x ,y),B(x ,y )．
1 1 2 2
数学试题 第 18 页 共 171 页1
y-n=k x-
1 2
联立
,
y2
x2- =1
16
1
化简得(16-k2 1 )x2+(k2 1 -2k 1 n)x- 4 k2 1 -n2+k 1 n-16=0，Δ=164n2-4kn-3k2+64 ，
1
k2+n2-kn+16
k2-2kn 4 1 1
则x +x = 1 1 ,xx = ．
1 2 k2-16 1 2 k2-16
1 1
1
故|TA|= 1+k2x -
1 1 2
1
,|TB|= 1+k2x -
1 2 2
．
1
则|TA|⋅|TB|=(1+k2)x -
1 1 2
1
x -
2 2
(n2+12)(1+k2)
= 1 ．
k2-16
1
1
设PQ的方程为y-n=k x-
2 2
(n2+12)(1+k2)
，同理|TP|⋅|TQ|= 2 ．
k2-16
2
因为TA ⋅TB =TP ⋅TQ
1+k2 1+k2
，所以 1 = 2 ，
k2-16 k2-16
1 2
17 17
化简得1+ =1+ ，
k2-16 k2-16
1 2
所以k2-16=k2-16，即k2=k2．
1 2 1 2
因为k ≠k ，所以k +k =0．
1 2 1 2
[方法二] ：参数方程法
1
设T ,m
2
．设直线AB的倾斜角为θ ，
1
1
x= +tcosθ
则其参数方程为 2 1，
y=m+tsinθ
1
联立直线方程与曲线C的方程16x2-y2-16=0(x≥1)，
1
可得16 +t2cos2θ +tcosθ
4 1 1
-(m2+t2sin2θ +2mtsinθ)-16=0，
1 1
整理得(16cos2θ -sin2θ)t2+(16cosθ -2msinθ)t-(m2+12)=0．
1 1 1 1
设TA=t ,TB=t ，
1 2
-(m2+12) m2+12
由根与系数的关系得|TA|⋅|TB|=t ⋅t = = ．
1 2 16cos2θ -sin2θ 1-17cos2θ
1 1 1
设直线PQ的倾斜角为θ ，TP=t ,TQ=t ，
2 3 4
m2+12
同理可得|TP|⋅|TQ|=t ⋅t =
3 4 1-17cos2θ
2
由|TA|⋅|TB|=|TP|⋅|TQ|，得cos2θ =cos2θ ．
1 2
数学试题 第 19 页 共 171 页因为θ ≠θ ，所以cosθ =-cosθ ．
1 2 1 2
由题意分析知θ +θ =π．所以tanθ +tanθ =0，
1 2 1 2
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为TA ⋅TB =TP ⋅TQ ，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
1
设T ,t
2
1
,直线AB的方程为y-t=k x-
1 2
，
1
直线PQ的方程为y-t=k x-
2 2
,
k
则二次曲线kx-y- 1 +t
1 2
k
k x-y- 2 +t
2 2
=0．
y2
又由x2- =1，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
16
k
λkx-y- 1 +t
1 2
k
k x-y- 2 +t
2 2
y2
+μx2- -1
16
=0(λ≠0)，
整理可得：
μ
(λkk +μ)x2+λ- 1 2 16 y2-λ(k 1 +k 2 )xy+t(k 1 +k 2 )-k 1 k 2
k +k
λx+ 1 2 -2t 2 λy+m=0，
其中m=λ t2+ k 1 k 2 - t (k +k )
4 2 1 2
-μ．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即k +k =0.
1 2
【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的
方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵
活的应用到题目中.
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.
22.(1)fx 的递增区间为0,1 ，递减区间为1,+∞ ；(2)证明见解析.
【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调
性.
1 1
(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令 =m, =n，命题转换为证明：2<m+n<e，然后构造
a b
对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.
【解析】(1)fx 的定义域为0,+∞ ．
由fx =x1-lnx 得，fx =-lnx，
当x=1时，f′x =0；当x∈0,1 时f′x >0；当x∈1,+∞ 时，f'x <0．
故fx 在区间0,1 内为增函数，在区间1,+∞ 内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
1 1
由blna-alnb=a-b得 1-ln
a a
1 1
= 1-ln
b b
1
，即f
a
1
=f
b
．
1 1
由a≠b，得 ≠ ．
a b
1 1 1
由(1)不妨设 ∈(0,1), ∈(1,+∞)，则f
a b a
1
>0，从而f
b
1
>0，得 ∈(1,e)，
b
①令gx =f2-x -fx ，
则g(x)=ln(2-x)+lnx=ln(2x-x2)=ln[1-(x-1)2]，
当x∈0,1 时，g′x <0，gx 在区间0,1 内为减函数，gx >g1 =0，
数学试题 第 20 页 共 171 页从而f2-x >fx
1
，所以f2-
a
1
>f
a
1
=f
b
，
1 1 1 1
由(1)得2- < 即2< + ．①
a b a b
令hx =x+fx ，则h'x =1+fx =1-lnx，
当x∈1,e 时，h′x >0，hx 在区间1,e 内为增函数，hx <he =e，
从而x+fx
1 1
<e，所以 +f
b b
<e．
1 1 1 1
又由 ∈(0,1)，可得 < 1-ln
a a a a
1
=f
a
1
=f
b
，
1 1 1
所以 + <f
a b b
1
+ =e．②
b
1 1
由①②得2< + <e．
a b
lna lnb 1 1 lna+1 lnb+1
[方法二]【最优解】：blna-alnb=a-b变形为 - = - ，所以 = ．
a b b a a b
1 1
令 =m, =n．则上式变为m1-lnm
a b
=n1-lnn ，
于是命题转换为证明：2<m+n<e．
令fx =x1-lnx ，则有fm =fn ，不妨设m<n．
由(1)知0<m<1,1<n<e，先证m+n>2．
要证：m+n>2⇔n>2-m⇔fn <f2-m ⇔f(m)<f2-m
⇔fm -f2-m <0．
令gx =fx -f2-x ,x∈0,1 ，
则g′x =-lnx-ln2-x =-ln x2-x ≥-ln1=0，
∴gx 在区间0,1 内单调递增，所以gx <g1 =0，即m+n>2．
再证m+n<e．
因为m1-lnm =n⋅1-lnn >m，所以需证n1-lnn +n<e⇒m+n<e．
令hx =x1-lnx +x,x∈1,e ，
所以h'x =1-lnx>0，故hx 在区间1,e 内单调递增．
所以hx <he =e．故hn <e，即m+n<e．
1 1
综合可知2< + <e．
a b
[方法三]：比值代换
1 1
证明 + >2同证法2．以下证明x +x <e．
a b 1 2
x
不妨设x =tx ，则t= 2 >1，
2 1 x
1
tlnt
由x(1-lnx)=x (1-lnx )得x(1-lnx)=tx[1-ln(tx)]，lnx =1- ，
1 1 2 2 1 1 1 1 1 t-1
要证x 1 +x 2 <e，只需证1+t x <e，两边取对数得ln(1+t)+lnx <1， 1 1
tlnt
即ln(1+t)+1- <1，
t-1
ln(1+t) lnt
即证 < ．
t t-1
s
-ln(1+s)
ln(1+s) 1+s
记g(s)= ,s∈(0,+∞)，则g(s)= .
s s2
数学试题 第 21 页 共 171 页s 1 1
记h(s)= -ln(1+s)，则h′(s)= - <0，
1+s (1+s)2 1+s
所以，hs 在区间0,+∞ 内单调递减．hs <h0 =0，则g's <0，
所以gs 在区间0,+∞ 内单调递减．
由t∈1,+∞ 得t-1∈0,+∞ ，所以gt <gt-1 ，
ln(1+t) lnt
即 < ．
t t-1
[方法四]：构造函数法
lna lnb 1 1 1 1
由已知得 - = - ，令 =x , =x ，
a b b a a 1 b 2
不妨设x 1 <x 2 ，所以fx 1 =fx 2 ．
由(Ⅰ)知，0<x <1<x <e，只需证2<x +x <e．
1 2 1 2
证明x +x >2同证法2．
1 2
e
-2+ +lnx
1-lnx x
再证明x +x <e．令h(x)= (0<x<e),h(x)= ．
1 2 x-e (x-e)2
e 1 e x-e
令φ(x)=lnx+ -2(0<x<e)，则φ′(x)= - = <0．
x x x2 x2
所以φx >φe =0,h′x >0，hx 在区间0,e 内单调递增．
1-lnx 1-lnx 1-lnx x -e
因为0<x <x <e，所以 1 < 2 ，即 1 > 1
1 2 x -e x -e 1-lnx x -e
1 2 2 2
又因为fx 1 =fx 2
1-lnx x x x -e
，所以 1 = 2 , 2 > 1 ， 1-lnx x x x -e
2 1 1 2
即x2 2 -ex 2 <x2 1 -ex 1 ,x 1 -x 2 x 1 +x 2 -e >0．
1 1
因为x <x ，所以x +x <e，即 + <e．
1 2 1 2 a b
1 1
综上，有2< + <e结论得证．
a b
【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思
想，这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证
明题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于x +x -e<0的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
1 2
数学试题 第 22 页 共 171 页2021年全国新高考II卷数学试题
一、单选题
2-i
1.复数 在复平面内对应的点所在的象限为 ( )
1-3i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4}，则A∩∁ B
U
= ( )
A. {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3}
3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为 2，则p= ( )
A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4
4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨
道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)．将地球看作是
一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面
上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为
S=2πr2(1-cosα)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比约为 ( )
A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%
5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为 ( )
56 28 2
A. 20+12 3 B. 28 2 C. D.
3 3
6.某物理量的测量结果服从正态分布N10,σ2 ，下列结论中不正确的是 ( )
A. σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B. 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. 该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
1
7.已知a=log 2，b=log 3，c= ，则下列判断正确的是 ( )
5 8 2
A. c<b<a B. b<a<c C. a<c<b D. a<b<c
8.已知函数fx 的定义域为R，fx+2 为偶函数，f2x+1 为奇函数，则 ( )
1
A. f-
2
=0 B. f-1 =0 C. f2 =0 D. f4 =0
二、多选题
9.下列统计量中，能度量样本x ,x ,⋯,x 的离散程度的是 ( )
1 2 n
A. 样本x ,x ,⋯,x 的标准差 B. 样本x ,x ,⋯,x 的中位数
1 2 n 1 2 n
C. 样本x ,x ,⋯,x 的极差 D. 样本x ,x ,⋯,x 的平均数
1 2 n 1 2 n
数学试题 第 23 页 共 171 页10.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的
是 ( )
A. B.
C. D.
11.已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2，点A(a,b)，则下列说法正确的是 ( )
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
12.设正整数n=a ⋅20+a ⋅2+⋯+a ⋅2k-1+a ⋅2k，其中a ∈0,1 0 1 k-1 k i ，记ωn =a +a +⋯+a ．则 0 1 k
( )
A. ω2n =ωn B. ω2n+3 =ωn +1
C. ω8n+5 =ω4n+3 D. ω2n-1 =n
三、填空题
x2 y2
13.若双曲线 - =1的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
a2 b2
14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx : ．
①fx 1 x 2 =fx 1 fx 2 ；②当x∈(0,+∞)时，f(x)>0；③f(x)是奇函数．
15.已知向量a+b+c=0，a
=1，b
=c
=2，a⋅b+b⋅c+c⋅a= ．
16.已知函数f(x)=ex-1 ,x 1 <0,x 2 >0，函数f(x)的图象在点A x 1 ,fx 1 和点B x 2 ,fx 2 的两条切线
|AM|
互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是 ．
|BN|
四、解答题
17.记S 是公差不为0的等差数列a
n n
的前n项和，若a =S ,a a =S ．
3 5 2 4 4
(1)求数列a
n
的通项公式a ；
n
(2)求使S >a 成立的n的最小值．
n n
数学试题 第 24 页 共 171 页18.在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2.．
(1)若2sinC=3sinA，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
19.在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,QD=QA= 5,QC=3．
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值．
数学试题 第 25 页 共 171 页x2 y2 6
20.已知椭圆C的方程为 + =1(a>b>0)，右焦点为F( 2,0)，且离心率为 ．
a2 b2 3
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是|MN|= 3．
21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1
代，再经过一次繁殖后为第2代⋯⋯，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X
表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p(i=0,1,2,3)．
i
(1)已知p =0.4,p =0.3,p =0.2,p =0.1，求E(X)；
0 1 2 3
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p +px+p x2+p x3=x
0 1 2 3
的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
22.已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)只有一个零点
1 e2
① <a≤ ,b>2a；
2 2
1
②0<a< ,b≤2a．
2
数学试题 第 26 页 共 171 页参考答案
1. A
2-i
【分析】利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置.
1-3i
2-i 2-i
【解析】 =
1-3i
1+3i 5+5i 1+i 1 1
= = ，所以该复数对应的点为 ,
10 10 2 2 2
，
该点在第一象限，
故选：A.
2. B
【分析】根据交集、补集的定义可求A∩∁ B
U
.
【解析】由题设可得∁ B=1,5,6
U
，故A∩∁ B
U
=1,6 ，
故选：B.
3. B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.
p
【解析】抛物线的焦点坐标为 ,0
2
，
p
-0+1
2
其到直线x-y+1=0的距离：d=
= 2，
1+1
解得：p=2(p=-6舍去).
故选：B.
4. C
【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【解析】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
6400
1-
2πr2(1-cosα) 1-cosα 6400+36000
= = ≈0.42=42%.
4πr2 2 2
故选：C.
5. D
【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高h= 22-2 2- 2 2= 2，
下底面面积S =16，上底面面积S =4，
1 2
数学试题 第 27 页 共 171 页1
所以该棱台的体积V= 3 hS 1 +S 2 + S 1 S 2
1
= × 2×16+4+ 64 3
28
= 2. 3
故选：D.
6. D
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【解析】对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ=10附近越集中，所以测量结果落在9.9,10.1
内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率
相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在9.9,10.0 的概率与落在10.2,10.3 的概率不同，所以一次测
量结果落在9.9,10.2 的概率与落在10,10.3 的概率不同，故D错误.
故选：D.
7. C
【分析】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.
1
【解析】a=log 2<log 5= =log 2 2<log 3=b，即a<c<b.
5 5 2 8 8
故选：C.
8. B
【分析】推导出函数fx 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f1 =0，结合已知条件可得出结论.
【解析】因为函数fx+2 为偶函数，则f2+x =f2-x ，可得fx+3 =f1-x ，
因为函数f2x+1 为奇函数，则f1-2x =-f2x+1 ，所以，f1-x =-fx+1 ，
所以，fx+3 =-fx+1 =fx-1 ，即fx =fx+4 ，
故函数fx 是以4为周期的周期函数，
因为函数Fx =f2x+1 为奇函数，则F0 =f1 =0，
故f-1 =-f1 =0，其它三个选项未知.
故选：B.
9. AC
【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.
【解析】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；
故选：AC.
10.BC
【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正
误.
【解析】设正方体的棱长为2，
对于A，如图(1)所示，连接AC，则MN⎳AC，
故∠POC(或其补角)为异面直线OP,MN所成的角，
1 2
在直角三角形OPC，OC= 2，CP=1，故tan∠POC= = ，
2 2
数学试题 第 28 页 共 171 页故MN⊥OP不成立，故A错误.
对于B，如图(2)所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，
由正方体SBCM-NADT可得SN⊥平面ANDT，而OQ⊂平面ANDT，
故SN⊥OQ，而SN∩MN=N，故OQ⊥平面SNTM，
又MN⊂平面SNTM，OQ⊥MN，而OQ∩PQ=Q，
所以MN⊥平面OPQ，而PO⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确.
对于C，如图(3)，连接BD，则BD⎳MN，由B的判断可得OP⊥BD，
故OP⊥MN，故C正确.
对于D，如图(4)，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC,PQ,OQ,PK,OK，
则AC⎳MN，因为DP=PC，故PQ⎳AC，故PQ⎳MN，
所以∠QPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，
1
因为正方体的棱长为2，故PQ= AC= 2，OQ= AO2+AQ2= 1+2= 3，
2
数学试题 第 29 页 共 171 页PO= PK2+OK2= 4+1= 5，QO2<PQ2+OP2，故∠QPO不是直角，
故PO,MN不垂直，故D错误.
故选：BC.
11.ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2,r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的
位置关系即可得解.
【解析】圆心C0,0
r2
到直线l的距离d= ，
a2+b2
若点Aa,b
r2
在圆C上，则a2+b2=r2，所以d= =r
a2+b2
，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点Aa,b
r2
在圆C内，则a2+b2<r2，所以d= >r
a2+b2
，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点Aa,b
r2
在圆C外，则a2+b2>r2，所以d= <r
a2+b2
，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点Aa,b
r2
在直线l上，则a2+b2-r2=0即a2+b2=r2，所以d= =r
a2+b2
，直线l与圆C相切，
故D正确.
故选：ABD.
12.ACD
【分析】利用ωn 的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【解析】对于A选项，ωn =a +a +⋯+a ，2n=a ⋅21+a ⋅22+⋯+a ⋅2k+a ⋅2k+1， 0 1 k 0 1 k-1 k
所以，ω2n =a 0 +a 1 +⋯+a k =ωn ，A选项正确；
对于B选项，取n=2，2n+3=7=1⋅20+1⋅21+1⋅22，∴ω7 =3，
而2=0⋅20+1⋅21，则ω2 =1，即ω7 ≠ω2 +1，B选项错误；
对于C选项，8n+5=a ⋅23+a ⋅24+⋯+a ⋅2k+3+5=1⋅20+1⋅22+a ⋅23+a ⋅24+⋯+a ⋅2k+3，
0 1 k 0 1 k
所以，ω8n+5 =2+a +a +⋯+a ， 0 1 k
4n+3=a ⋅22+a ⋅23+⋯+a ⋅2k+2+3=1⋅20+1⋅21+a ⋅22+a ⋅23+⋯+a ⋅2k+2，
0 1 k 0 1 k
所以，ω4n+3 =2+a 0 +a 1 +⋯+a k ，因此，ω8n+5 =ω4n+3 ，C选项正确；
对于D选项，2n-1=20+21+⋯+2n-1，故ω2n-1 =n，D选项正确.
故选：ACD.
13.y=± 3x
【分析】根据离心率得出c=2a，结合a2+b2=c2得出a,b关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
c
【解析】解：由题可知，离心率e= =2，即c=2a，
a
b
又a2+b2=c2=4a2，即b2=3a2，则 = 3，
a
故此双曲线的渐近线方程为y=± 3x.
故答案为：y=± 3x.
14.fx =x4(答案不唯一，fx =x2nn∈N* 均满足)
【分析】根据幂函数的性质可得所求的fx .
【解析】取fx =x4，则fx 1 x 2 =x 1 x 2 4=x4 1 x4 2 =fx 1 fx 2 ，满足①，
fx =4x3，x>0时有fx >0，满足②，
fx =4x3的定义域为R，
数学试题 第 30 页 共 171 页又f-x =-4x3=-fx ，故fx 是奇函数，满足③.
故答案为：fx =x4(答案不唯一，fx =x2nn∈N* 均满足)
9
15.-
2
【分析】由已知可得a+b+c
2
=0，展开化简后可得结果.
【解析】由已知可得a+b+c
2
=a2+b2+c2+2a⋅b+b⋅c+c⋅a
=9+2a⋅b+b⋅c+c⋅a =0，
9
因此，a⋅b+b⋅c+c⋅a=- .
2
9
故答案为：- .
2
16. 0,1
【分析】结合导数的几何意义可得x 1 +x 2 =0，结合直线方程及两点间距离公式可得AM = 1+e2x1⋅
x 1 ，BN = 1+e2x2⋅x 2 ，化简即可得解.
【解析】由题意，fx =ex-1
1-ex, x<0
= ，则fx
ex-1, x≥0
-ex, x<0
= ，
ex, x>0
所以点Ax 1 ,1-ex1 和点Bx 2 ,ex2-1 ，k =-ex1,k =ex2,所以-ex1⋅ex2=-1,x +x =0，所以AM: AM BN 1 2
y-1+ex1=-ex1x-x 1 ,M0,ex1x 1 -ex1+1 ，所以AM = x2 1 +ex1x 1 2= 1+e2x1⋅x 1 ，
同理BN = 1+e2x2⋅x 2 ,
AM 所以
BN
= 1+e2x1⋅x 1
1+e2x2⋅x 2
= 1+e2x1 = 1+e2x1 =ex1∈0,1
1+e2x2 1+e-2x1
.
故答案为：0,1
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件x +x =0，消去一个变量后，运算即可得解.
1 2
17.(1)a =2n-6；(2)7.
n
【分析】(1)由题意首先求得a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
3
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【解析】(1)由等差数列的性质可得：S =5a ，则：a =5a ,∴a =0，
5 3 3 3 3
设等差数列的公差为d，从而有：a 2 a 4 =a 3 -d a 3 +d =-d2，
S 4 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =a 3 -2d +a 3 -d +a 3 +a 3 +d =-2d，
从而：-d2=-2d，由于公差不为零，故：d=2，
数列的通项公式为：a n =a 3 +n-3 d=2n-6.
(2)由数列的通项公式可得：a 1 =2-6=-4，则：S n =n×-4
nn-1
+
×2=n2-5n， 2
则不等式S n >a n 即：n2-5n>2n-6，整理可得：n-1 n-6 >0，
解得：n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差
数列的有关公式并能灵活运用.
15 7
18.(1) ；(2)存在，且a=2.
4
【分析】(1)由正弦定理可得出2c=3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理
以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；
(2)分析可知，角C为钝角，由cosC<0结合三角形三边关系可求得整数a的值.
数学试题 第 31 页 共 171 页【解析】(1)因为2sinC=3sinA，则2c=2a+2 =3a，则a=4，故b=5，c=6，
a2+b2-c2 1 3 7
cosC= = ，所以，C为锐角，则sinC= 1-cos2C = ，
2ab 8 8
1 1 3 7 15 7
因此，S = absinC= ×4×5× = ；
△ABC 2 2 8 4
a2+b2-c2
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC= =
2ab
a2+a+1 2-a+2 2
2aa+1
a2-2a-3
=
2aa+1
<0，解得-1<a<3，则0<a<3，
由三角形三边关系可得a+a+1>a+2，可得a>1，∵a∈Z，故a=2.
2
19.(1)证明见解析；(2) .
3
【分析】(1)取AD的中点为O，连接QO,CO，可证QO⊥平面ABCD，从而得到面QAD⊥面ABCD.
(2)在平面ABCD内，过O作OT⎳CD，交BC于T，则OT⊥AD，建如图所示的空间坐标系，求出平面
QAD、平面BQD的法向量后可求二面角的余弦值.
(1)取AD的中点为O，连接QO,CO.
因为QA=QD，OA=OD，则QO⊥AD，
而AD=2,QA= 5，故QO= 5-1=2.
在正方形ABCD中，因为AD=2，故DO=1，故CO= 5，
因为QC=3，故QC2=QO2+OC2，故△QOC为直角三角形且QO⊥OC，
因为OC∩AD=O，故QO⊥平面ABCD，
因为QO⊂平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD.
(2)在平面ABCD内，过O作OT⎳CD，交BC于T，则OT⊥AD，
结合(1)中的QO⊥平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系.
则D0,1,0 ,Q0,0,2 ,B2,-1,0
，故BQ=-2,1,2
,BD=-2,2,0 .
设平面QBD的法向量n=x,y,z ，
数学试题 第 32 页 共 171 页
则 n n ⋅ ⋅ B B Q D = = 0 0 即 - - 2 2 x x + + y 2y + = 2z 0 =0 ，取x=1，则y=1,z= 2 1 ，
1
故n=1,1,
2
.
而平面QAD的法向量为m=1,0,0
，故cosm,n
1 2
= = .
3 3
1×
2
2
二面角B-QD-A的平面角为锐角，故其余弦值为 .
3
x2
20.(1) +y2=1；(2)证明见解析.
3
【分析】(1)由离心率公式可得a= 3，进而可得b2，即可得解；
(2)必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN = 3；
充分性：设直线MN:y=kx+m,km<0 ，由直线与圆相切得m2=k2+1，联立直线与椭圆方程结合弦
24k2
长公式可得 1+k2⋅ = 3，进而可得k=±1，即可得解.
1+3k2
c 6
【解析】(1)由题意，椭圆半焦距c= 2且e= = ，所以a= 3，
a 3
x2
又b2=a2-c2=1，所以椭圆方程为 +y2=1；
3
(2)由(1)得，曲线为x2+y2=1(x>0)，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x=1，不合题意；
当直线MN的斜率存在时，设Mx 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线MN:y=kx- 2 即kx-y- 2k=0，
2k
由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得
=1，解得k=±1，
k2+1
y=±x- 2
联立
3 2 3
x2
+y2=1
可得4x2-6 2x+3=0，所以x
1
+x
2
=
2
,x
1
⋅x
2
=
4
，
3
所以MN = 1+1⋅ x 1 +x 2 2-4x ⋅x = 3, 1 2
所以必要性成立；
充分性：设直线MN:y=kx+m,km<0 即kx-y+m=0，
m
由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得
=1，所以m2=k2+1，
k2+1
y=kx+m
联立x2 可得1+3k2 +y2=1
3
6km 3m2-3
x2+6kmx+3m2-3=0，所以x +x =- ,x ⋅x = ，所 1 2 1+3k2 1 2 1+3k2
以MN = 1+k2⋅ x 1 +x 2
6km
2-4x ⋅x = 1+k2 - 1 2 1+3k2
2 3m2-3 24k2
-4⋅ = 1+k2⋅ = 3， 1+3k2 1+3k2
化简得3k2-1 2=0，所以k=±1，
k=1 k=-1
所以
或
，所以直线MN:y=x- 2或y=-x+ 2，
m=- 2 m= 2
所以直线MN过点F( 2,0)，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|= 3．
【点睛】关键点点睛：
数学试题 第 33 页 共 171 页解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.
21.(1)1；(2)见解析；(3)见解析.
【分析】(1)利用公式计算可得E(X).
(2)利用导数讨论函数的单调性，结合f1 =0及极值点的范围可得fx 的最小正零点.
(3)利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【解析】(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.
(2)设fx =p 3 x3+p 2 x2+p 1 -1 x+p 0 ，因为p 3 +p 2 +p 1 +p 0 =1，故fx =p 3 x3+p 2 x2-p 2 +p 0 +p 3 x
+p 0 ，若EX ≤1，则p 1 +2p 2 +3p 3 ≤1，故p 2 +2p 3 ≤p 0 .fx =3p 3 x2+2p 2 x-p 2 +p 0 +p 3 ，
因为f0 =-p 2 +p 0 +p 3 <0，f1 =p 2 +2p 3 -p 0 ≤0，故fx 有两个不同零点x ,x ，且x <0<1 1 2 1
≤x 2 ，且x∈-∞,x 1 ∪x 2 ,+∞ 时，fx >0；x∈x 1 ,x 2 时，fx <0；
故fx 在-∞,x 1 ，x 2 ,+∞ 上为增函数，在x 1 ,x 2 上为减函数，
若x 2 =1，因为fx 在x 2 ,+∞ 为增函数且f1 =0，
而当x∈0,x 2 时，因为fx 在x 1 ,x 2 上为减函数，故fx >fx 2 =f1 =0，
故1为p +px+p x2+p x3=x的一个最小正实根，
0 1 2 3
若x 2 >1，因为f1 =0且在0,x 2 上为减函数，故1为p +px+p x2+p x3=x的一个最小正实根， 0 1 2 3
综上，若EX ≤1，则p=1.
若EX >1，则p 1 +2p 2 +3p 3 >1，故p 2 +2p 3 >p 0 .此时f0 =-p 2 +p 0 +p 3 <0，f1 =p +2p -p 2 3 0
>0，
故fx 有两个不同零点x 3 ,x 4 ，且x 3 <0<x 4 <1，且x∈-∞,x 3 ∪x 4 ,+∞ 时，fx >0；x∈
x 3 ,x 4 时，fx <0；
故fx 在-∞,x 3 ，x 4 ,+∞ 上为增函数，在x 3 ,x 4 上为减函数，而f1 =0，故fx 4 <0，又f0 =
p 0 >0，故fx 在0,x 4 存在一个零点p，且p<1.所以p为p +px+p x2+p x3=x的一个最小正实 0 1 2 3
根，此时p<1，
故当EX >1时，p<1.
(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过
1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
22.(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
【解析】(1)由函数的解析式可得：fx =xex-2a ，
当a≤0时，若x∈-∞,0 ，则fx <0,fx 单调递减，若x∈0,+∞ ，则fx >0,fx 单调递增；
1
当0<a< 时，若x∈ -∞,ln2a
2
，则fx >0,fx 单调递增，若x∈ ln2a ,0 ，则fx <0,
fx 单调递减，若x∈0,+∞ ，则fx >0,fx 单调递增；
1
当a= 时，fx
2
≥0,fx 在R上单调递增；
1
当a> 时，若x∈-∞,0
2
，则fx >0,fx 单调递增，若x∈ 0,ln2a ，则fx <0,fx 单调递
减，若x∈ ln2a ,+∞ ，则fx >0,fx 单调递增；
(2)若选择条件①：
1 e2 由于 <a≤ ，故1<2a≤e2，则b>2a>1,f0
2 2
b =b-1>0，而f-
a
b =-1-
a
e- a b -b
数学试题 第 34 页 共 171 页+b<0，而函数在区间-∞,0 上单调递增，故函数在区间-∞,0 上有一个零点.
f ln2a =2a ln2a -1 -a ln2a 2+b
>2a ln2a -1 -a ln2a 2+2a
=2aln2a -a ln2a 2
=aln2a 2-ln2a ，
1 e2
由于 <a≤ ，1<2a≤e2，故aln2a
2 2
2-ln2a ≥0，
结合函数的单调性可知函数在区间0,+∞ 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
1
由于0<a< ，故2a<1，则f0
2
=b-1≤2a-1<0，当b≥0时，e2>4,4a<2，f2 =e2-4a+b
>0，而函数在区间0,+∞ 上单调递增，故函数在区间0,+∞ 上有一个零点.当b<0时，构造函数
Hx =ex-x-1，则Hx =ex-1，当x∈-∞,0 时，Hx <0,Hx 单调递减，
当x∈0,+∞ 时，Hx >0,Hx 单调递增，
注意到H0 =0，故Hx ≥0恒成立，从而有：ex≥x+1，此时：
fx =x-1 ex-ax2+b≥x-1 x+1 -ax2+b=1-a x2+b-1 ，
1-b
当x> 时，1-a
1-a
x2+b-1 >0，
1-b
取x 0 = 1-a +1，则fx 0 >0，
即：f0
1-b
<0,f +1
1-a
>0，
而函数在区间0,+∞ 上单调递增，故函数在区间0,+∞ 上有一个零点.
f ln2a =2a ln2a -1 -a ln2a 2+b
≤2a ln2a -1 -a ln2a 2+2a
=2aln2a -a ln2a 2
=aln2a 2-ln2a ，
1
由于0<a< ，0<2a<1，故aln2a
2
2-ln2a <0，
结合函数的单调性可知函数在区间-∞,0 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以
在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考
查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已
知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想
的应用．
数学试题 第 35 页 共 171 页2022年新高考全国I卷数学真题
一、单选题
1.若集合M={x∣ x<4},N={x∣3x≥1}，则M∩N= ( )
A. x0≤x<2
1
B. x ≤x<2 3 C. x3≤x<16
1
D. x ≤x<16 3
2.若i(1-z)=1，则z+z= ( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB= ( )
A. 3m-2n B. -2m+3n C. 3m+2n D. 2m+3n
4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔
148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面的面积为180．0km2，
将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到157．5m时，增
加的水量约为( 7≈2.65) ( )
A. 1.0×109m3 B. 1.2×109m3 C. 1.4×109m3 D. 1.6×109m3
5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 ( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
π
6.记函数f(x)=sinωx+
4
2π
+b(ω>0)的最小正周期为T．若 <T<π，且y=f(x)的图象关于点
3
3π
,2
2
π
中心对称，则f
2
= ( )
3 5
A. 1 B. C. D. 3
2 2
1
7.设a=0.1e0.1,b= ，c=-ln0.9，则 ( )
9
A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. a<c<b
8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤3 3，则该正四
棱锥体积的取值范围是 ( )
81
A. 18,
4
27 81
B. ,
4 4
27 64
C. ,
4 3
D. [18,27]
二、多选题
9.已知正方体ABCD-ABCD ，则 ( )
1 1 1 1
A. 直线BC 与DA 所成的角为90° B. 直线BC 与CA 所成的角为90°
1 1 1 1
C. 直线BC 与平面BBDD所成的角为45° D. 直线BC 与平面ABCD所成的角为45°
1 1 1 1
数学试题 第 36 页 共 171 页10.已知函数f(x)=x3-x+1，则 ( )
A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点
C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
11.已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P，Q两点，
则 ( )
A. C的准线为y=-1 B. 直线AB与C相切
C. OP ⋅OQ >|OA
2
D. |BP|⋅|BQ|>|BA|2
3
12.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)=f(x)，若f -2x
2
，g(2+x)均为偶函数，则
( )
1
A. f(0)=0 B. g-
2
=0 C. f(-1)=f(4) D. g(-1)=g(2)
三、填空题
y
13.1-
x
(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (用数字作答)．
14.写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 ．
15.若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
x2 y2 1
16.已知椭圆C: + =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F，F，离心率为 ．过F 且垂直于
a2 b2 1 2 2 1
AF 的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是 ．
2
四、解答题
17.记S 为数列a n n
S
的前n项和，已知a =1, n 1 a
n
1
是公差为 的等差数列． 3
(1)求a
n
的通项公式；
1 1 1
(2)证明： + +⋯+ <2．
a a a
1 2 n
cosA sin2B
18.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 = ．
1+sinA 1+cos2B
2π
(1)若C= ，求B；
3
a2+b2
(2)求 的最小值．
c2
数学试题 第 37 页 共 171 页19.如图，直三棱柱ABC-ABC 的体积为4，△ABC的面积为2 2．
1 1 1 1
(1)求A到平面ABC的距离；
1
(2)设D为AC的中点，AA =AB，平面ABC⊥平面ABBA ，求二面角A-BD-C的正弦值．
1 1 1 1 1
20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)
的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查
了100人(称为对照组)，得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
P(B|A) P(B|A)
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指
P(B|A) P(B|A)
标为R．
P(A|B) P(A|B)
(ⅰ)证明：R= ⋅ ；
P(A|B) P(A|B)
(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值．
n(ad-bc)2
附K2= ，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
PK2≥k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
数学试题 第 38 页 共 171 页x2 y2
21.已知点A(2,1)在双曲线C: - =1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率
a2 a2-1
之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ=2 2，求△PAQ的面积．
22.已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个
交点的横坐标成等差数列．
数学试题 第 39 页 共 171 页参考答案
1. D
【分析】求出集合M,N后可求M∩N.
1
【解析】M={x∣0≤x<16},N=x∣x≥
3
1
，故M∩N=x ≤x<16
3
，
故选：D
2. D
【分析】利用复数的除法可求z，从而可求z+z.
1 i
【解析】由题设有1-z= = =-i，故z=1+i，故z+z=1+i
i i2
+1-i =2，
故选：D
3. B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【解析】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即CD-CB=2CA-CD ，
所以CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n．
故选：B．
4. C
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【解析】依题意可知棱台的高为MN=157.5-148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．
棱台上底面积S=140.0km2=140×106m2，下底面积S=180.0km2=180×106m2，
1
∴V= hS+S+ SS
3
1
= ×9×140×106+180×106+ 140×180×1012
3
=3×320+60 7 ×106≈96+18×2.65 ×107=1.437×109≈1.4×109(m3)．
故选：C．
5. D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C2=21种不同的取法，
7
若两数不互质，不同的取法有：2,4 ,2,6 ,2,8 ,3,6 ,4,6 ,4,8 ,6,8 ，共7种，
21-7 2
故所求概率P= = .
21 3
故选：D.
6. A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
2π 2π 2π
【解析】由函数的最小正周期T满足 <T<π，得 < <π，解得2<ω<3，
3 3 ω
3π
又因为函数图象关于点 ,2
2
3π π
对称，所以 ω+ =kπ,k∈Z，且b=2，
2 4
数学试题 第 40 页 共 171 页1 2 5 5 π
所以ω=- + k,k∈Z，所以ω= ，f(x)=sin x+
6 3 2 2 4
+2，
π
所以f
2
5 π
=sin π+
4 4
+2=1.
故选：A
7. C
【分析】构造函数f(x)=ln(1+x)-x，导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.
【解析】方法一：构造法
1 x
设f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)，因为f(x)= -1=- ，
1+x 1+x
当x∈(-1,0)时，f(x)>0，当x∈(0,+∞)时f(x)<0，
所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)单调递减，在(-1,0)上单调递增，
1
所以f
9
10 1 1 10
<f(0)=0，所以ln - <0，故 >ln =-ln0.9，即b>c，
9 9 9 9
1 所以f-
10
<f(0)=0，所以ln 9 + 1 <0，故 9 <e- 1 1 0，所以 1 e1 1 0 < 1 ，
10 10 10 10 9
故a<b，
设g(x)=xex+ln(1-x)(0<x<1)，则g(x)=x+1
1 x2-1
ex+ =
x-1
ex+1
,
x-1
令h(x)=ex(x2-1)+1，h(x)=ex(x2+2x-1)，
当0<x< 2-1时，h(x)<0，函数h(x)=ex(x2-1)+1单调递减，
当 2-1<x<1时，h(x)>0，函数h(x)=ex(x2-1)+1单调递增，
又h(0)=0，
所以当0<x< 2-1时，h(x)<0，
所以当0<x< 2-1时，g(x)>0，函数g(x)=xex+ln(1-x)单调递增，
所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c
故选：C.
方法二：比较法
0.1
解：a=0.1e0.1 ，b= ，c=-ln(1-0.1) ，
1-0.1
① lna-lnb=0.1+ln(1-0.1) ，
令 f(x)=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],
1 -x
则 f'(x)=1- = <0 ，
1-x 1-x
故 f(x) 在 (0,0.1] 上单调递减，
可得 f(0.1)<f(0)=0 ，即 lna-lnb<0 ，所以 a<b ；
② a-c=0.1e0.1+ln(1-0.1) ，
令 g(x)=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1],
则 g'x
1 1+x
=xex+ex- =
1-x
1-x ex-1
，
1-x
令 k(x)=(1+x)(1-x)ex-1 ，所以 k'(x)=(1-x2-2x)ex>0 ，
所以 k(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 k(x)>k(0)>0 ，即 g′(x)>0 ，
所以 g(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 g(0.1)>g(0)=0 ，即 a-c>0 ，所以 a>c.
故 c<a<b.
8. C
数学试题 第 41 页 共 171 页【分析】设正四棱锥的高为h，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正
四棱锥体积的取值范围.
【解析】∵球的体积为36π，所以球的半径R=3,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，
则l2=2a2+h2，32=2a2+(3-h)2,
所以6h=l2，2a2=l2-h2
1 1 2 l4
所以正四棱锥的体积V= Sh= ×4a2×h= ×l2-
3 3 3 36
l2 1 l6
× = l4-
6 9 36
，
1 l5
所以V= 4l3-
9 6
1 24-l2
= l3
9 6
，
当3≤l≤2 6时，V>0，当2 6<l≤3 3时，V<0，
64
所以当l=2 6时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为 ，
3
27 81
又l=3时，V= ，l=3 3时，V= ,
4 4
27
所以正四棱锥的体积V的最小值为 ，
4
27 64
所以该正四棱锥体积的取值范围是 ，
4 3
.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
4 2
由方法一故所以V= a2h= 6h-h2
3 3
1
h= 12-2h
3
1 12-2h
h×h≤ ×
3
+h+h
3
3 64
= (当且
3
仅当h=4取到)，
3 3 3 1 1 3 3
当h= 时，得a= ，则V = a2h=
2 2 min 3 3 2
2 3 27
× = ;
2 4
3 9
当l=3 3时，球心在正四棱锥高线上，此时h= +3= ，
2 2
2 3 3 3 3 1 1 3 3
a= ⇒a= ，正四棱锥体积V= a2h=
2 2 2 1 3 3 2
2 9 81 64
× = < ，故该正四棱锥体积
2 4 3
27 64
的取值范围是 ,
4 3
.
9. ABD
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【解析】如图，连接BC、BC ，因为DA ⎳BC，所以直线BC 与BC所成的角即为
1 1 1 1 1 1
直线BC 与DA 所成的角，
1 1
因为四边形BBCC为正方形，则BC⊥BC ，故直线BC 与DA 所成的角为90°，
1 1 1 1 1 1
A正确；
连接AC，因为AB ⊥平面BBCC，BC ⊂平面BBCC，则AB ⊥BC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
数学试题 第 42 页 共 171 页因为BC⊥BC ，AB ∩BC=B ，所以BC ⊥平面ABC，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
又AC⊂平面ABC，所以BC ⊥CA ，故B正确；
1 1 1 1 1
连接AC ，设AC ∩BD =O，连接BO，
1 1 1 1 1 1
因为BB ⊥平面ABCD ，CO⊂平面ABCD ，则CO⊥BB，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
因为CO⊥BD ，BD ∩BB=B ，所以CO⊥平面BBDD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以∠CBO为直线BC 与平面BBDD所成的角，
1 1 1 1
2 CO 1
设正方体棱长为1，则CO= ，BC = 2，sin∠CBO= 1 = ，
1 2 1 1 BC 2
1
所以，直线BC 与平面BBDD所成的角为30°，故C错误；
1 1 1
因为CC⊥平面ABCD，所以∠CBC为直线BC 与平面ABCD所成的角，易得∠CBC=45°，故D正
1 1 1 1
确.
故选：ABD
10.AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合f(x)的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的
几何意义判断D.
【解析】由题，fx =3x2-1，令fx
3 3
>0得x> 或x<- ，
3 3
3 3
令f(x)<0得- <x< ，
3 3
3
所以f(x)在-∞,-
3
3
， ,+∞
3
3 3
上单调递增，- ,
3 3
3
上单调递减，所以x=± 是极值
3
点，故A正确；
3
因f-
3
2 3 3
=1+ >0，f
9 3
2 3
=1- >0，f-2
9
=-5<0，
所以，函数fx
3
在-∞,-
3
上有一个零点，
3
当x≥ 时，fx
3
3
≥f
3
>0，即函数fx
3
在 ,+∞
3
上无零点，
综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；
令h(x)=x3-x，该函数的定义域为R，h-x =-x 3--x =-x3+x=-hx ，
则h(x)是奇函数，(0,0)是h(x)的对称中心，
将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，
所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；
令fx =3x2-1=2，可得x=±1，又f(1)=f-1 =1，
当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-1，当切点为(-1,1)时，切线方程为y=2x+3，故D错误.
故选：AC.
11.BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式
可判断C、D.
1
【解析】将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2=y，故准线方程为y=- ，A错误；
4
1-(-1)
k = =2，所以直线AB的方程为y=2x-1，
AB 1-0
y=2x-1
联立
，可得x2-2x+1=0，解得x=1，故B正确；
x2=y
数学试题 第 43 页 共 171 页设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx-1，P(x ,y),Q(x ,y )，
1 1 2 2
y=kx-1
联立
，得x2-kx+1=0，
x2=y
Δ=k2-4>0
所以x +x =k ，所以k>2或k<-2，yy =(xx )2=1，
1 2 1 2 1 2
xx =1
1 2
又|OP|= x2+y2= y +y2，|OQ|= x2+y2= y +y2，
1 1 1 1 2 2 2 2
所以|OP|⋅|OQ|= yy (1+y)(1+y )= kx ×kx =|k|>2=|OA|2，故C正确；
1 2 1 2 1 2
因为|BP|= 1+k2|x|，|BQ|= 1+k2|x |，
1 2
所以|BP|⋅|BQ|=(1+k2)|xx |=1+k2>5，而|BA|2=5，故D正确.
1 2
故选：BCD
12.BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
3
对于f(x)，因为f -2x
2
3
为偶函数，所以f -2x
2
3
=f +2x
2
3
即f -x
2
3
=f +x
2
①，所以
f3-x =fx
3
，所以f(x)关于x= 对称，则f(-1)=f(4)，故C正确；
2
对于g(x)，因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x)，g(4-x)=g(x)，所以g(x)关于x=2对称，由①
3
求导，和g(x)=f(x)，得 f -x
2
3
= f +x
2
3
⇔-f -x
2
3
=f +x
2
3
⇔-g -x
2
=
3
g +x
2
，所以g3-x +gx
3
=0，所以g(x)关于 ,0
2
3
对称，因为其定义域为R，所以g
2
=0，结
3
合g(x)关于x=2对称，从而周期T=4×2-
2
1
=2，所以g-
2
3
=g
2
=0，g-1 =g1 =
-g2 ，故B正确，D错误；
若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知g(x)周期为2，关于x=2对称，故可设gx =cosπx ，则fx
1
= sinπx
π
+c，显然A，D
错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
3
因为f -2x
2
，g(2+x)均为偶函数，
3
所以f -2x
2
3
=f +2x
2
3
即f -x
2
3
=f +x
2
，g(2+x)=g(2-x)，
所以f3-x =fx ，g(4-x)=g(x)，则f(-1)=f(4)，故C正确；
3
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x= ,x=2对称，
2
又g(x)=f(x)，且函数f(x)可导，
3
所以g
2
=0,g3-x =-gx ，
数学试题 第 44 页 共 171 页所以g(4-x)=g(x)=-g3-x ，所以g(x+2)=-g(x+1)=gx ，
1
所以g-
2
3
=g
2
=0，g-1 =g1 =-g2 ，故B正确，D错误；
若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，
故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通
性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
13.-28
y
【分析】1-
x
x+y 8可化为x+y
y
8- x+y
x
8，结合二项式展开式的通项公式求解.
y
【解析】因为1-
x
x+y 8=x+y
y
8- x+y
x
8，
y
所以1- x x+y
y
8的展开式中含x2y6的项为C6x2y6- C5x3y5=-28x2y6， 8 x 8
y
1-
x
x+y 8的展开式中x2y6的系数为-28
故答案为：-28
3 5 7 25
14.y=- x+ 或y= x- 或x=-1
4 4 24 24
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【解析】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0，
|c| |3+4b+c|
于是 =1， =4.
1+b2 1+b2
故c2=1+b2①，|3+4b+c|=|4c|.于是3+4b+c=4c或3+4b+c=-4c，
24 4
b=- b=
再结合①解得 b c = = 0 1 或 2 7 5 或 3 5 ，
c=- c=-
7 3
所以直线方程有三条，分别为x+1=0，7x-24y-25=0，3x+4y-5=0.
(填一条即可)
[方法二]：
设圆x2+y2=1的圆心O(0,0)，半径为r =1，
1
圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心C(3,4)，半径r =4，
2
则|OC|=5=r +r ，因此两圆外切，
1 2
数学试题 第 45 页 共 171 页由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x+1=0符合题意；
又由方程(x-3)2+(y-4)2=16和x2+y2=1相减可得方程3x+4y-5=0，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x-3y=0，
4
直线OC与直线x+1=0的交点为-1,-
3
，
4
k-
4 3 7
设过该点的直线为y+ =k(x+1)，则 =1，解得k= ，
3 k2+1 24
从而该切线的方程为7x-24y-25=0.(填一条即可)
[方法三]：
圆x2+y2=1的圆心为O0,0 ，半径为1，
圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心O 为(3,4)，半径为4，
1
两圆圆心距为 32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
4 3 3
当切线为l时，因为k = ，所以k =- ，设方程为y=- x+t(t>0)
OO1 3 l 4 4
|t| 5 3 5
O到l的距离d= =1，解得t= ，所以l的方程为y=- x+ ，
9 4 4 4
1+
16
当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0，其中p>0，k<0，
p
由题意
=1 1+k2
3k+4+p
7 k=- 24 7 25
，解得
25
，y=
24
x-
24 =4 p= 24
1+k2
当切线为n时，易知切线方程为x=-1，
3 5 7 25
故答案为：y=- x+ 或y= x- 或x=-1.
4 4 24 24
15. -∞,-4 ∪0,+∞
【分析】设出切点横坐标x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x 的方程，
0 0
根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.
【解析】∵y=(x+a)ex，∴y=(x+1+a)ex，
设切点为x 0 ,y 0 ,则y 0 =x 0 +a ex0,切线斜率k=x 0 +1+a ex0,
切线方程为：y-x 0 +a ex0=x 0 +1+a ex0x-x 0 ,
∵切线过原点，∴-x 0 +a ex0=x 0 +1+a ex0-x 0 ,
整理得：x2+ax -a=0,
0 0
∵切线有两条，∴Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,
数学试题 第 46 页 共 171 页∴a的取值范围是-∞,-4 ∪0,+∞ ,
故答案为：-∞,-4 ∪0,+∞
16.13
x2 y2
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 + =1，即3x2+4y2-12c2=0，根据离心率得到直线AF
4c2 3c2 2
的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：x= 3y-c，代入椭圆方
13
程3x2+4y2-12c2=0，整理化简得到：13y2-6 3cy-9c2=0，利用弦长公式求得c= ，得a=2c=
8
13
，根据对称性将△ADE的周长转化为△FDE的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a=13.
4 2
c 1 x2 y2
【解析】∵椭圆的离心率为e= = ，∴a=2c，∴b2=a2-c2=3c2，∴椭圆的方程为 + =1，
a 2 4c2 3c2
即3x2+4y2-12c2=0，不妨设左焦点为F，右焦点为F，如图所示，∵AF =a，OF =c，a=2c，∴
1 2 2 2
π
∠AFO= ，∴△AFF 为正三角形，∵过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF
2 3 1 2 1 2 2
3
的垂直平分线，∴直线DE的斜率为 ，斜率倒数为 3，直线DE的方程：x= 3y-c，代入椭圆方
3
程3x2+4y2-12c2=0，整理化简得到：13y2-6 3cy-9c2=0，
判别式Δ=6 3c 2+4×13×9c2=62×16×c2，
∴DE = 1+ 3 2 y 1 -y 2
Δ c
=2× =2×6×4× =6， 13 13
13 13
∴ c= ，得a=2c= ，
8 4
∵DE为线段AF 的垂直平分线，根据对称性，AD=DF，AE=EF，∴△ADE的周长等于△FDE的周
2 2 2 2
长，利用椭圆的定义得到△F 2 DE周长为DF 2 +
EF 2 +DE = DF 2+ EF 2+ DF 1+ EF 1= DF 1+ DF 2+ EF 1+ EF 2 =2a+2a=4a=13.
故答案为：13.
nn+1
17.(1)a =
n
2
(2)见解析
S 1 【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得 n =1+ n-1 a 3
n
n+2 n+2 = ，得到S = 3 n a n ，利用和与 3
n+2 项的关系得到当n≥2时，a =S -S =
n n n-1
a n - n+1
3
a a n+1 n-1 ,进而得： n = ，利用累乘
3 a n-1
n-1
nn+1
法求得a =
n
，检验对于n=1也成立，得到a
2 n
nn+1
的通项公式a =
n
；
2
1 1 1 1
(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到 + +⋯+ =21-
a a a n+1
1 2 n
，进而证得.
数学试题 第 47 页 共 171 页S
【解析】(1)∵a =1，∴S =a =1,∴ 1 =1,
1 1 1 a
1
S
又∵ n
a
n
1
是公差为 的等差数列，
3
S 1 ∴ n =1+ n-1 a 3
n
n+2 n+2 = ,∴S = 3 n a n , 3
n+1 ∴当n≥2时，S =
n-1
a n-1 ，
3
n+2 ∴a =S -S =
n n n-1
a n - n+1
3
a n-1 ,
3
整理得：n-1 a n =n+1 a , n-1
a n+1
即 n = ,
a n-1
n-1
a a a a
∴a =a × 2 × 3 ×⋯× n-1 × n
n 1 a a a a
1 2 n-2 n-1
3 4 n n+1 nn+1
=1× × ×⋯× × =
1 2 n-2 n-1
，
2
显然对于n=1也成立，
∴a
n
nn+1
的通项公式a =
n
；
2
1 2
(2) =
a n nn+1
1 1
=2 -
n n+1
,
1 1 1 1
∴ + +⋯+ =2 1-
a a a 2
1 2 n
1 1
+ -
2 3
1 1
+⋯ -
n n+1
1
=21-
n+1
<2
π
18.(1) ；
6
(2)4 2-5．
cosA sin2B
【分析】(1)根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 = 化成cosA+B
1+sinA 1+cos2B
=
π
sinB，再结合0<B< ，即可求出；
2
π π a2+b2
(2)由(1)知，C= +B，A= -2B，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成4cos2B+
2 2 c2
2
-5，然后利用基本不等式即可解出．
cos2B
cosA sin2B 2sinBcosB sinB
【解析】(1)因为 = = = ，即sinB=cosAcosB-sinAsinB=
1+sinA 1+cos2B 2cos2B cosB
cosA+B
1
=-cosC= ，
2
π π
而0<B< ，所以B= ；
2 6
π π
(2)由(1)知，sinB=-cosC>0，所以 <C<π,0<B< ，
2 2
π
而sinB=-cosC=sinC-
2
，
π π π
所以C= +B，即有A= -2B，所以B∈0,
2 2 4
π 3π
,C∈ ,
2 4
a2+b2 sin2A+sin2B cos22B+1-cos2B
所以 = =
c2 sin2C cos2B
2cos2B-1
=
2+1-cos2B 2
=4cos2B+ -5≥2 8-5=4 2-5．
cos2B cos2B
数学试题 第 48 页 共 171 页2 a2+b2
当且仅当cos2B= 时取等号，所以 的最小值为4 2-5．
2 c2
19.(1) 2
3
(2)
2
【分析】(1)由等体积法运算即可得解；
(2)由面面垂直的性质及判定可得BC⊥平面ABBA ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
1 1
【解析】(1)在直三棱柱ABC-ABC 中，设点A到平面ABC的距离为h，
1 1 1 1
1 2 2 1 1 4
则V = S ⋅h= h=V = S ⋅AA= V = ，
A-A1BC 3 △A1BC 3 A1-ABC 3 △ABC 1 3 ABC-A1B1C1 3
解得h= 2，
所以点A到平面ABC的距离为 2；
1
(2)取AB的中点E,连接AE,如图，因为AA =AB，所以AE⊥AB,
1 1 1
又平面ABC⊥平面ABBA ，平面ABC∩平面ABBA =AB，
1 1 1 1 1 1 1
且AE⊂平面ABBA ，所以AE⊥平面ABC，
1 1 1
在直三棱柱ABC-ABC 中，BB ⊥平面ABC，
1 1 1 1
由BC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC可得AE⊥BC，BB ⊥BC，
1 1
又AE,BB ⊂平面ABBA 且相交，所以BC⊥平面ABBA ，
1 1 1 1 1
所以BC,BA,BB 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
1
由(1)得AE= 2，所以AA =AB=2，AB=2 2，所以BC=2，
1 1
则A0,2,0 ,A 10,2,2 ,B0,0,0 ,C2,0,0 ,所以A 1 C的中点D1,1,1 ，
则BD=1,1,1
，BA=0,2,0
,BC=2,0,0 ,
设平面ABD的一个法向量m=x,y,z
m⋅BD=x+y+z=0
，则 ，
m⋅BA=2y=0
可取m=1,0,-1 ，
设平面BDC的一个法向量n=a,b,c
n⋅BD=a+b+c=0
，则 ，
n⋅BC=2a=0
可取n=0,1,-1 ，
则cosm,n
m⋅n
= m ⋅n
1 1
= = ， 2× 2 2
1
所以二面角A-BD-C的正弦值为 1-
2
2 3
= .
2
20.(1)答案见解析
数学试题 第 49 页 共 171 页(2)(i)证明见解析；(ii)R=6；
【分析】(1)由所给数据结合公式求出K2的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为
患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；
(ii)根据(i)结合已知数据求R.
n(ad-bc)2 200(40×90-60×10)2
【解析】(1)由已知K2= = =24，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 50×150×100×100
又P(K2≥6.635)=0.01，24>6.635，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
P(B|A) P(B|A) P(AB) P(A) P(AB) P(A)
(2)(i)因为R= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ，
P(B|A) P(B|A) P(A) P(AB) P(A) P(AB)
P(AB) P(B) P(AB) P(B)
所以R= ⋅ ⋅ ⋅
P(B) P(AB) P(B) P(AB)
P(A|B) P(A|B)
所以R= ⋅ ，
P(A|B) P(A|B)
(ii)
40 10
由已知P(A|B)= ，PA|B)= ，
100 100
60 90
又P(A|B)= ，PA|B)= ，
100 100
P(A|B) P(A|B)
所以R= ⋅ =6
P(A|B) P(A|B)
21.(1)-1；
16 2
(2) ．
9
【分析】(1)由点A(2,1)在双曲线上可求出a，易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，Px 1 ,y 1 ,
Qx 2 ,y 2 ，再根据k +k =0，即可解出l的斜率； AP AQ
(2)根据直线AP,AQ的斜率之和为0可知直线AP,AQ的倾斜角互补，根据tan∠PAQ=2 2即可求
出直线AP,AQ的斜率，再分别联立直线AP,AQ与双曲线方程求出点P,Q的坐标，即可得到直线
PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出△PAQ的面积．
x2 y2 4 1
【解析】(1)因为点A(2,1)在双曲线C: - =1(a>1)上，所以 - =1，解得a2=2，即
a2 a2-1 a2 a2-1
x2
双曲线C: -y2=1．
2
易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，Px 1 ,y 1 ,Qx 2 ,y 2 ，
y=kx+m
联立x2 可得，1-2k2
-y2=1
2
x2-4mkx-2m2-2=0，
4mk 2m2+2
所以，x 1 +x 2 =- 2k2-1 ,x 1 x 2 = 2k2-1 ，Δ=16m2k2-42m2+2 2k2-1 >0⇒m2+1-2k2>0且k
2
≠± ．
2
y -1 y -1
所以由k +k =0可得， 2 + 1 =0，
AP AQ x -2 x -2
2 1
即x 1 -2 kx 2 +m-1 +x 2 -2 kx 1 +m-1 =0，
即2kx 1 x 2 +m-1-2k x 1 +x 2 -4m-1 =0，
数学试题 第 50 页 共 171 页2m2+2
所以2k× +m-1-2k
2k2-1
4mk
-
2k2-1
-4m-1 =0，
化简得，8k2+4k-4+4mk+1 =0，即k+1 2k-1+m =0，
所以k=-1或m=1-2k，
当m=1-2k时，直线l:y=kx+m=kx-2 +1过点A2,1 ，与题意不符，舍去，
故k=-1．
(2)[方法一]：【最优解】常规转化
π
不妨设直线PA,AQ的倾斜角为α,βα< <β
2
，因为k +k =0，所以α+β=π，由(1)知，xx =
AP AQ 1 2
2m2+2>0，
当P,Q均在双曲线左支时，∠PAQ=2α，所以tan2α=2 2，
2
即 2tan2α+tanα- 2=0，解得tanα= (负值舍去)
2
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当P,Q均在双曲线右支时，
因为tan∠PAQ=2 2，所以tanβ-α =2 2，即tan2α=-2 2，
即 2tan2α-tanα- 2=0，解得tanα= 2(负值舍去)，
于是，直线PA:y= 2x-2 +1，直线QA:y=- 2x-2 +1，
y= 2x-2
联立
+1 3
x2 可得， x2+2 2-4
-y2=1 2
2
x+10-4 2=0，
10-4 2 4 2-5
因为方程有一个根为2，所以x = ，y = ，
P 3 P 3
10+4 2 -4 2-5
同理可得，x = ，y = ．
Q 3 Q 3
5
所以PQ:x+y- =0，PQ
3
5
2+1-
16 3
= ，点A到直线PQ的距离d=
3
2 2
= ，
2 3
1 16 2 2 16 2
故△PAQ的面积为 × × = ．
2 3 3 9
[方法二]：
π
设直线AP的倾斜角为α，0<α<
2
∠PAQ 2
，由tan∠PAQ=2 2，得tan = ，
2 2
y -1
由2α+∠PAQ=π，得k =tanα= 2，即 1 = 2，
AP x -2
1
y -1 x2 10-4 2 4 2-5
联立 1 = 2，及 1 -y2=1得x = ，y = ，
x -2 2 1 1 3 1 3
1
10+4 2 -4 2-5 20 68
同理，x = ，y = ，故x +x = ，xx =
2 3 2 3 1 2 3 1 2 9
而|AP|= 3|x -2|，|AQ|= 3|x -2|，
1 2
2 2
由tan∠PAQ=2 2，得sin∠PAQ= ，
3
1 16 2
故S = |AP||AQ|sin∠PAQ= 2|xx -2(x +x )+4|= .
△PAQ 2 1 2 1 2 9
【整体点评】(2)法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线PA,PB的斜率，从而联立求出点P,
Q坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；
法二：前面解答与法一求解点P,Q坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公
式的选择不一样．
数学试题 第 51 页 共 171 页22.(1)a=1
(2)见解析
【分析】(1)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.
(2)根据(1)可得当b>1时，ex-x=b的解的个数、x-lnx=b的解的个数均为2，构建新函数h(x)=
ex+lnx-2x，利用导数可得该函数只有一个零点且可得fx ,gx 的大小关系，根据存在直线y=b与
曲线y=fx 、y=gx 有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等
差数列.
【解析】(1)f(x)=ex-ax的定义域为R，而f(x)=ex-a，
若a≤0，则f(x)>0，此时f(x)无最小值，故a>0.
g(x)=ax-lnx的定义域为0,+∞
1 ax-1
，而g(x)=a- = .
x x
当x<lna时，f(x)<0，故f(x)在-∞,lna 上为减函数，
当x>lna时，f(x)>0，故f(x)在lna,+∞ 上为增函数，
故f(x) min =flna =a-alna.
1 1
当0<x< 时，g(x)<0，故g(x)在0,
a a
上为减函数，
1 1
当x> 时，g(x)>0，故g(x)在 ,+∞
a a
上为增函数，
1
故g(x) =g
min a
1
=1-ln .
a
因为f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值，
1 a-1
故1-ln =a-alna，整理得到 =lna，其中a>0，
a 1+a
设ga
a-1
= -lna,a>0，则ga
1+a
2
=
1+a
1 -a2-1
- =
2 a a1+a
≤0，
2
故ga 为0,+∞ 上的减函数，而g1 =0，
故ga
1-a
=0的唯一解为a=1，故 =lna的解为a=1.
1+a
综上，a=1.
(2)[方法一]：
1
由(1)可得f(x)=ex-x和g(x)=x-lnx的最小值为1-ln1=1-ln =1.
1
当b>1时，考虑ex-x=b的解的个数、x-lnx=b的解的个数.
设Sx =ex-x-b，Sx =ex-1，
当x<0时，Sx <0，当x>0时，Sx >0，
故Sx 在-∞,0 上为减函数，在0,+∞ 上为增函数，公众号：MST数学聚集地MathHub
所以Sx =S0
min
=1-b<0，
而S-b =e-b>0，Sb =eb-2b，
设ub =eb-2b，其中b>1，则ub =eb-2>0，
故ub 在1,+∞ 上为增函数，故ub >u1 =e-2>0，
故Sb >0，故Sx =ex-x-b有两个不同的零点，即ex-x=b的解的个数为2.
设Tx =x-lnx-b，Tx
x-1
= ，
x
当0<x<1时，Tx <0，当x>1时，Tx >0，
故Tx 在0,1 上为减函数，在1,+∞ 上为增函数，
数学试题 第 52 页 共 171 页所以Tx =T1
min
=1-b<0，
而Te-b =e-b>0，Teb =eb-2b>0，
Tx =x-lnx-b有两个不同的零点即x-lnx=b的解的个数为2.
当b=1，由(1)讨论可得x-lnx=b、ex-x=b仅有一个解，
当b<1时，由(1)讨论可得x-lnx=b、ex-x=b均无根，
故若存在直线y=b与曲线y=fx 、y=gx 有三个不同的交点，
则b>1.
1
设h(x)=ex+lnx-2x，其中x>0，故h(x)=ex+ -2，
x
设sx =ex-x-1，x>0，则sx =ex-1>0，
故sx 在0,+∞ 上为增函数，故sx >s0 =0即ex>x+1，
1
所以h(x)>x+ -1≥2-1>0，所以h(x)在0,+∞
x
上为增函数，
1
而h(1)=e-2>0，h
e3
1 2 2
=ee3 -3- <e-3- <0，
e3 e3
故hx 0,+∞
1
上有且只有一个零点x ， <x <1且： 0 e3 0
当0<x<x 0 时，hx <0即ex-x<x-lnx即fx <gx ，
当x>x 0 时，hx >0即ex-x>x-lnx即fx >gx ，
因此若存在直线y=b与曲线y=fx 、y=gx 有三个不同的交点，
故b=fx 0 =gx 0 >1，
此时ex-x=b有两个不同的根x ,x (x <0<x )，
1 0 1 0
此时x-lnx=b有两个不同的根x ,x (0<x <1<x )，
0 4 0 4
故ex1-x =b，ex0-x =b，x -lnx -b=0，x -lnx -b=0
1 0 4 4 0 0
所以x 4 -b=lnx 4 即ex4-b=x 4 即ex4-b-x 4 -b -b=0，
故x -b为方程ex-x=b的解，同理x -b也为方程ex-x=b的解
4 0
又ex1-x 1 =b可化为ex1=x 1 +b即x 1 -lnx 1 +b =0即x 1 +b -lnx 1 +b -b=0，
故x +b为方程x-lnx=b的解，同理x +b也为方程x-lnx=b的解，
1 0
所以x ,x
1 0
=x -b,x -b
0 4
，而b>1，
x =x -b
故 x 0 =x 4 -b 即x 1 +x 4 =2x 0 .
1 0
[方法二]：
由(1)知，f(x)=ex-x，g(x)=x-lnx，
且f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；
g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且f(x) =g(x) =1.
min min
①b<1时，此时f(x) =g(x) =1>b，显然y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)
min min
共有0个交点，不符合题意；
②b=1时，此时f(x) =g(x) =1=b，
min min
故y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③b>1时，首先，证明y=b与曲线y=f(x)有2个交点，
即证明F(x)=f(x)-b有2个零点，F'(x)=f'(x)=ex-1，公众号：MST数学聚集地MathHub
所以F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
数学试题 第 53 页 共 171 页又因为F(-b)=e-b>0，F(0)=1-b<0，F(b)=eb-2b>0，
(令t(b)=eb-2b，则t'(b)=eb-2>0，t(b)>t(1)=e-2>0)
所以F(x)=f(x)-b在(-∞,0)上存在且只存在1个零点，设为x ，在(0,+∞)上存在且只存在1个零
1
点，设为x .
2
其次，证明y=b与曲线和y=g(x)有2个交点，
1
即证明G(x)=g(x)-b有2个零点，G'(x)=g'(x)=1- ，
x
所以G(x)(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
又因为G(e-b)=e-b>0，G1 =1-b<0，G(2b)=b-ln2b>0，
1
(令μ(b)=b-ln2b，则μ'(b)=1- >0，μ(b)>μ(1)=1-ln2>0)
b
所以G(x)=g(x)-b在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为x ，在(1,+∞)上存在且只存在1个零点，
3
设为x .
4
再次，证明存在b，使得x =x :
2 3
因为F(x )=G(x )=0，所以b=ex2-x =x -lnx ，
2 3 2 3 3
若x =x ，则ex2-x =x -lnx ，即ex2-2x +lnx =0，
2 3 2 2 2 2 2
所以只需证明ex-2x+lnx=0在(0,1)上有解即可，
即φ(x)=ex-2x+lnx在(0,1)上有零点，
1
因为φ
e3
1 2
=ee3 - -3<0，φ(1)=e-2>0，
e3
所以φ(x)=ex-2x+lnx在(0,1)上存在零点，取一零点为x ，令x =x =x 即可，
0 2 3 0
此时取b=ex0-x
0
则此时存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，
最后证明x +x =2x ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
1 4 0
因为F(x)=F(x )=F(x )=0=G(x )=G(x )=G(x )
1 2 0 3 0 4
所以F(x)=G(x )=F(lnx )，
1 0 0
又因为F(x)在(-∞,0)上单调递减，x <0，0<x <1即lnx <0，所以x =lnx ，
1 0 0 1 0
同理，因为F(x )=G(ex0)=G(x )，
0 4
又因为G(x)在(1,+∞)上单调递增，x >0即ex0>1，x >1，所以x =ex0，
0 1 4
又因为ex0-2x +lnx =0，所以x +x =ex0+lnx =2x ，
0 0 1 4 0 0
即直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，
而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
数学试题 第 54 页 共 171 页2022年新高考全国II卷数学真题
一、单选题
1.已知集合A=-1,1,2,4 ,B= x x-1 ≤1 ，则A∩B= ( )
A. {-1,2} B. {1,2} C. {1,4} D. {-1,4}
2.(2+2i)(1-2i)= ( )
A. -2+4i B. -2-4i C. 6+2i D. 6-2i
3.图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,BB,CC,DD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称
为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD ,CC ,BB ,AA 是举，OD ,DC ,CB ,BA 是
1 1 1 1 1 1 1 1
DD CC BB AA
相等的步，相邻桁的举步之比分别为 1 =0.5, 1 =k , 1 =k , 1 =k ．已知k ,k ,k 成公
OD DC 1 CB 2 BA 3 1 2 3
1 1 1 1
差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k = ( )
3
A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9
4.已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若a,c
=b,c ，则t= ( )
A. -6 B. -5 C. 5 D. 6
5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有
( )
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
π
6.若sin(α+β)+cos(α+β)=2 2cosα+
4
sinβ，则 ( )
A. tanα-β =1 B. tanα+β =1 C. tanα-β =-1 D. tanα+β =-1
7.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3和4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
( )
A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π
22
8.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则f(k)= ( )
k=1
A. -3 B. -2 C. 0 D. 1
数学试题 第 55 页 共 171 页二、多选题
2π
9.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点 ,0
3
中心对称，则 ( )
5π
A. f(x)在区间0,
12
π 11π
单调递减 B. f(x)在区间- ,
12 12
有两个极值点
7π 3
C. 直线x= 是曲线y=f(x)的对称轴 D. 直线y= -x是曲线y=f(x)的切线
6 2
10.已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象
限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则 ( )
A. 直线AB的斜率为2 6 B. |OB|=|OF|
C. |AB|>4|OF| D. ∠OAM+∠OBM<180°
11.如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED,AB=ED=2FB，记三棱锥E-ACD，F
-ABC，F-ACE的体积分别为V,V,V，则 ( )
1 2 3
A. V=2V B. V=V C. V=V+V D. 2V=3V
3 2 3 1 3 1 2 3 1
12.若x，y满足x2+y2-xy=1，则 ( )
A. x+y≤1 B. x+y≥-2 C. x2+y2≤2 D. x2+y2≥1
三、填空题
13.已知随机变量X服从正态分布N2,σ2 ，且P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)= ．
14.曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
15.设点A(-2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的
取值范围是 ．
x2 y2
16.已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|
6 3
=|NB|,|MN|=2 3，则l的方程为 ．
四、解答题
17.已知a
n
为等差数列，b
n
是公比为2的等比数列，且a -b =a -b =b -a ．
2 2 3 3 4 4
(1)证明：a =b ；
1 1
(2)求集合 k b =a +a ,1≤m≤500
k m 1
中元素个数．
数学试题 第 56 页 共 171 页18.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S
1
3 1
,S ,S ，已知S -S +S = ,sinB= ．
2 3 1 2 3 2 3
(1)求△ABC的面积；
2
(2)若sinAsinC= ，求b．
3
19.在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布
直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的
16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据
中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).
20.如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．
(1)证明：OE⎳平面PAC；
(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值．
数学试题 第 57 页 共 171 页x2 y2
21.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=± 3x．
a2 b2
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点Px 1 ,y 1 ,Qx 2 ,y 2 在C上，且x >x >0,y 1 2 1
>0．过P且斜率为- 3的直线与过Q且斜率为 3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为
条件，证明另外一个成立：
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
22.已知函数f(x)=xeax-ex．
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x>0时，f(x)<-1，求a的取值范围；
1 1 1
(3)设n∈N∗，证明： + +⋯+ >ln(n+1)．
12+1 22+2 n2+n
数学试题 第 58 页 共 171 页参考答案
1. B
【分析】方法一：求出集合B后可求A∩B.
【解析】[方法一]：直接法
因为B=x|0≤x≤2 ，故A∩B=1,2 ，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
x=-1代入集合B= x x-1 ≤1 ，可得2≤1，不满足，排除A、D；
x=4代入集合B= x x-1 ≤1 ，可得3≤1，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
2. D
【分析】利用复数的乘法可求2+2i 1-2i .
【解析】2+2i 1-2i =2+4-4i+2i=6-2i，
故选：D.
3. D
【分析】设OD =DC =CB =BA =1，则可得关于k 的方程，求出其解后可得正确的选项.
1 1 1 1 3
【解析】设OD =DC =CB =BA =1，则CC =k ,BB =k ,AA =k ，
1 1 1 1 1 1 1 2 1 3
DD +CC +BB +AA
依题意，有k -0.2=k ,k -0.1=k ，且 1 1 1 1 =0.725，
3 1 3 2 OD +DC +CB +BA
1 1 1 1
0.5+3k -0.3
所以 3 =0.725，故k =0.9，
4 3
故选：D
4. C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【解析】解：c=3+t,4
,cosa,c
=cosb,c
9+3t+16
,即
5c
3+t
=
c
,解得t=5,
故选：C
5. B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方
式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列
方式，
故选：B
6. C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【解析】[方法一]：直接法
由已知得：sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2cosα-sinα sinβ,
即：sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，
即：sinα-β +cosα-β =0
数学试题 第 59 页 共 171 页所以tanα-β =-1
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
π
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取α=- ，排除A, B；
4
π
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β= ，排除D；选C.
4
[方法三]：三角恒等变换
π
sin(α+β)+cos(α+β)= 2sinα+β+
4
π
= 2sin α+
4
+β
π
= 2sinα+
4
π
cosβ+ 2cosα+
4
π
sinβ=2 2cosα+
4
sinβ
π
所以 2sinα+
4
π
cosβ= 2cosα+
4
sinβ
π
sinα+
4
π
cosβ-cosα+
4
π
sinβ=0即sinα+ -β
4
=0
π
∴sinα-β+
4
π π 2 2
=sin(α-β)cos +cos(α-β)sin = sin(α-β)+ cos(α-β)=0∴sin(α-
4 4 2 2
β)=-cos(α-β)即tan(α-β)=-1,
故选：C.
7. A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径r ,r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半
1 2
径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
3 3 4 3
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径r ,r ，所以2r = ,2r = ，即r =3,r =4，
1 2 1 sin60° 2 sin60° 1 2
设球心到上下底面的距离分别为d 1 ,d 2 ，球的半径为R，所以d 1 = R2-9，d 2 = R2-16，故d 1 -d 2 =1
或d +d =1，即 R2-9- R2-16
1 2
=1或 R2-9+ R2-16=1，解得R2=25符合题意，所以球的表
面积为S=4πR2=100π．
故选：A．
8. A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数fx 的一个周期为6，求出函数一个周期中的f1 ,f2 ,⋯,
f6 的值，即可解出．
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为fx+y +fx-y =fx fy ，令x=1,y=0可得，2f1 =f1 f0 ，所以f0 =2，令x=0可
得，fy +f-y =2fy ，即fy =f-y ，所以函数fx 为偶函数，令y=1得，fx+1 +fx-1 =
fx f1 =fx ，即有fx+2 +fx =fx+1 ，从而可知fx+2 =-fx-1 ，fx-1 =-fx-4 ，
故fx+2 =fx-4 ，即fx =fx+6 ，所以函数fx 的一个周期为6．因为f2 =f1 -f0 =1
数学试题 第 60 页 共 171 页-2=-1，f3 =f2 -f1 =-1-1=-2，f4 =f-2 =f2 =-1，f5 =f-1 =f1 =1，f6
=f0 =2，所以
一个周期内的f1 +f2 +⋯+f6 =0．由于22除以6余4，
22
所以 fk
k=1
=f1 +f2 +f3 +f4 =1-1-2-1=-3．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由fx+y +fx-y =fx fy ，联想到余弦函数和差化积公式
cosx+y +cosx-y =2cosxcosy，可设fx =acosωx，则由方法一中f0 =2,f1 =1知a=2,
1 π
acosω=1，解得cosω= ，取ω= ，
2 3
所以fx
π
=2cos x，则
3
fx+y +fx-y
π π
=2cos x+ y
3 3
π π
+2cos x- y
3 3
π π
=4cos xcos y=fx
3 3
fy ，所以fx =
π 2π
2cos x符合条件，因此f(x)的周期T= =6，f0
3 π
3
=2,f1 =1，且f2 =-1,f3 =-2,f4 =
-1,f5 =1,f6 =2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，
由于22除以6余4，
22
所以 fk
k=1
=f1 +f2 +f3 +f4 =1-1-2-1=-3．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
9. AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
2π
【解析】由题意得：f
3
4π
=sin +φ
3
4π
=0，所以 +φ=kπ，k∈Z，
3
4π
即φ=- +kπ,k∈Z，
3
2π 2π
又0<φ<π，所以k=2时，φ= ，故f(x)=sin2x+
3 3
．
5π
对A，当x∈0,
12
2π 2π 3π
时，2x+ ∈ ,
3 3 2
5π
，由正弦函数y=sinu图象知y=f(x)在0,
12
上是单
调递减；
π 11π
对B，当x∈- ,
12 12
2π π 5π
时，2x+ ∈ ,
3 2 2
，由正弦函数y=sinu图象知y=f(x)只有1个极值
2π 3π 5π 5π
点，由2x+ = ，解得x= ，即x= 为函数的唯一极值点；
3 2 12 12
7π 2π 7π
对C，当x= 时，2x+ =3π，f
6 3 6
7π
=0，直线x= 不是对称轴；
6
2π
对D，由y′=2cos2x+
3
2π
=-1得：cos2x+
3
1
=- ，
2
2π 2π 2π 4π
解得2x+ = +2kπ或2x+ = +2kπ,k∈Z,
3 3 3 3
π
从而得：x=kπ或x= +kπ,k∈Z,
3
3
所以函数y=f(x)在点0,
2
处的切线斜率为k=y′
2π
=2cos =-1，
x=0 3
数学试题 第 61 页 共 171 页3 3
切线方程为：y- =-(x-0)即y= -x．
2 2
故选：AD．
10.ACD
【分析】由AF =AM
3p 6p
及抛物线方程求得A ,
4 2
，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线
p 6p
AB的方程，联立抛物线求得B ,-
3 3
，即可求出OB 判断B选项；由抛物线的定义求出AB =
25p
即可判断C选项；由OA⋅OB<0，MA⋅MB<0求得∠AOB，∠AMB为钝角即可判断D选项.
12
p
【解析】对于A，易得F ,0
2
，由AF =AM 可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为
p
+p
2 3p
= ，
2 4
3p 3 3p 6p
代入抛物线可得y2=2p⋅ = p2，则A ,
4 2 4 2
6p
2
，则直线AB的斜率为 =2 6，A正确；
3p p
-
4 2
1 p 1
对于B，由斜率为2 6可得直线AB的方程为x= y+ ，联立抛物线方程得y2- py-p2=
2 6 2 6
0，
6 6 6p 6p
设B(x ,y)，则 p+y = p，则y =- ，代入抛物线得-
1 1 2 1 6 1 3 3
2 p
=2p⋅x ，解得x = ，则
1 1 3
p 6p
B ,-
3 3
，
则OB
p
=
3
2 6p
+-
3
2 7p
= ≠OF
3
p
= ，B错误；
2
对于C，由抛物线定义知：AB
3p p 25p
= + +p= >2p=4OF
4 3 12
，C正确；
3p 6p
对于D，OA⋅OB= ,
4 2
p 6p
⋅ ,-
3 3
3p p 6p 6p
= ⋅ + ⋅-
4 3 2 3
3p2
=- <0，则∠AOB为
4
钝角，
p 6p
又MA⋅MB=- ,
4 2
2p 6p
⋅- ,-
3 3
p 2p
=- ⋅-
4 3
6p 6p
+ ⋅-
2 3
5p2
=- <0，则
6
∠AMB为钝角，
又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°，则∠OAM+∠OBM<180°，D正确.
故选：ACD.
11.CD
数学试题 第 62 页 共 171 页【分析】直接由体积公式计算V,V，连接BD交AC于点M，连接EM,FM，由V=V +V 计
1 2 3 A-EFM C-EFM
算出V，依次判断选项即可.
3
1 1 1
设AB=ED=2FB=2a，因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED，则V 1 = 3 ⋅ED⋅S △ACD = 3 ⋅2a⋅ 2 ⋅2a 2
4
= a3，
3
1 1 1
V 2 = 3 ⋅FB⋅S △ABC = 3 ⋅a⋅ 2 ⋅2a
2
2= a3，连接BD交AC于点M，连接EM,FM，易得BD⊥AC， 3
又ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则ED⊥AC，又ED∩BD=D，ED,BD⊂平面BDEF，则
AC⊥平面BDEF，
1
又BM=DM= BD= 2a，过F作FG⊥DE于G，易得四边形BDGF为矩形，则FG=BD=2 2a,
2
EG=a，
则EM= 2a 2+ 2a 2= 6a,FM= a2+ 2a 2= 3a，EF= a2+2 2a 2=3a，
1 3 2
EM2+FM2=EF2，则EM⊥FM，S = EM⋅FM= a2，AC=2 2a，
△EFM 2 2
1
则V=V +V = AC⋅S =2a3，则2V=3V，V=3V，V=V+V，故A、B错误；C、D
3 A-EFM C-EFM 3 △EFM 3 1 3 2 3 1 2
正确.
故选：CD.
12.BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
a+b
【解析】因为ab≤
2
2 a2+b2
≤ (a,b∈R)，由x2+y2-xy=1可变形为，x+y
2
2-1=3xy≤
x+y
3
2
2
，解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，
所以A错误，B正确；
由x2+y2-xy=1可变形为x2+y2
x2+y2
-1=xy≤ ，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等
2
号，所以C正确；
y
因为x2+y2-xy=1变形可得x-
2
2 3 y 3
+ y2=1，设x- =cosθ, y=sinθ，所以x=cosθ+
4 2 2
1 2 5 2 1 1 1
sinθ,y= sinθ，因此x2+y2=cos2θ+ sin2θ+ sinθcosθ=1+ sin2θ- cos2θ+
3 3 3 3 3 3 3
4 2 π
= + sin2θ-
3 3 6
2
∈ ,2
3
3 3
，所以当x= ,y=- 时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以
3 3
D错误．
故选：BC．
7
13.0.14/ ．
50
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
数学试题 第 63 页 共 171 页【解析】因为X∼N2,σ2 ，所以PX<2 =PX>2 =0.5，因此PX>2.5 =PX>2 -
P2<X≤2.5 =0.5-0.36=0.14．
故答案为：0.14．
1 1
14. y= x y=- x
e e
【分析】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为x 0 ,lnx 0 ，求出函数的导函数，即可求出切线的
斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x ，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
0
【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求
分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为x 0 ,lnx 0 ，求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从
而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x ，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
0
解：因为y=lnx ，
当x>0时y=lnx，设切点为x 0 ,lnx 0
1 1
，由y= ，所以y| = ，所以切线方程为y-lnx = x x=x0 x 0
0
1
x x-x 0
0
，
1
又切线过坐标原点，所以-lnx 0 = x -x 0
0
1
，解得x 0 =e，所以切线方程为y-1= e x-e
1
，即y= x； e
当x<0时y=ln-x ，设切点为 x 1 ,ln-x 1
1 1
，由y= ，所以y| = ，所以切线方程为y- x x=x1 x
1
ln-x 1
1
= x x-x 1
1
，
又切线过坐标原点，所以-ln-x 1
1
= x -x 1
1
1
，解得x 1 =-e，所以切线方程为y-1= -e x+e ，即y
1 1 1
=- x；故答案为：y= x；y=- x
e e e
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当x>0时y=lnx，设切点为x 0 ,lnx 0
1 1
，由y= ，所以y| = ，所以切线方程为y-lnx = x x=x0 x 0
0
1
x x-x 0
0
，
1
又切线过坐标原点，所以-lnx 0 = x -x 0
0
1
，解得x 0 =e，所以切线方程为y-1= e x-e
1
，即y= x； e
因为y=lnx 是偶函数，图象为：
1 1
所以当x<0时的切线，只需找到y= x关于y轴的对称直线y=- x即可.
e e
[方法三]：
因为y=lnx ，
当x>0时y=lnx，设切点为x 0 ,lnx 0
1 1
，由y= ，所以y| = ，所以切线方程为y-lnx = x x=x0 x 0
0
数学试题 第 64 页 共 171 页1
x x-x 0
0
，
1
又切线过坐标原点，所以-lnx 0 = x -x 0
0
1
，解得x 0 =e，所以切线方程为y-1= e x-e
1
，即y= x； e
当x<0时y=ln-x ，设切点为 x 1 ,ln-x 1
1 1
，由y= ，所以y| = ，所以切线方程为y- x x=x1 x
1
ln-x 1
1
= x x-x 1
1
，
又切线过坐标原点，所以-ln-x 1
1
= x -x 1
1
1
，解得x 1 =-e，所以切线方程为y-1= -e x+e ，即y
1
=- x；
e
1 1
故答案为：y= x；y=- x.
e e
1 3
15. ,
3 2
【分析】首先求出点A关于y=a对称点A的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于
等于半径得到不等式，解得即可；
【解析】解：A-2,3 关于y=a对称的点的坐标为A-2,2a-3 ，B0,a 在直线y=a上，
a-3
所以AB所在直线即为直线l，所以直线l为y= x+a，即a-3
-2
x+2y-2a=0；
圆C:x+3 2+y+2 2=1，圆心C-3,-2 ，半径r=1，
-3a-3
依题意圆心到直线l的距离d=
-4-2a
a-3
≤1，
2+22
即5-5a 2≤a-3
1 3 1 3
2+22，解得 ≤a≤ ，即a∈ ,
3 2 3 2
；
1 3
故答案为： ,
3 2
16.x+ 2y-2 2=0
【分析】令AB的中点为E，设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2
1
，利用点差法得到k ⋅k =- ，设直线AB:y=kx OE AB 2
+m，k<0，m>0，求出M、N的坐标，再根据MN 求出k、m，即可得解；
【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法
令AB的中点为E，设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2
1
，利用点差法得到k ⋅k =- ， OE AB 2
设直线AB:y=kx+m，k<0，m>0，求出M、N的坐标，
再根据MN 求出k、m，即可得解；
解：令AB的中点为E，因为MA =NB ，所以ME =NE ，
设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2
x2 y2 x2 y2
，则 1 + 1 =1， 2 + 2 =1， 6 3 6 3
所以 x 1 2 - x 2 2 + y 1 2 - y 2 2 =0，即 x 1 -x 2
6 6 3 3
x 1 +x 2 + y 1 +y 2
6
y 1 -y 2 =0
3
所以 y 1 +y 2 y 1 -y 2
x 1 -x 2 x 1 +x 2
1 1 =- ，即k ⋅k =- ，设直线AB:y=kx+m，k<0，m>0，
2 OE AB 2
m m
令x=0得y=m，令y=0得x=- ，即M- ,0
k k
，N0,m ，
m m
所以E- ,
2k 2
m
2 1 2 2
，即k× =- ，解得k=- 或k= (舍去)，
m 2 2 2
-
2k
数学试题 第 65 页 共 171 页又MN =2 3，即MN = m2+ 2m 2=2 3，解得m=2或m=-2(舍去)，
2
所以直线AB:y=- x+2，即x+ 2y-2 2=0；
2
故答案为：x+ 2y-2 2=0
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点E既为线段AB的中点又是线段MN的中点，设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2 ，设直线AB:y=
m
kx+m，k<0，m>0，则M- ,0
k
，N0,m
m m
，E- ,
2k 2
，因为MN =2 3，所以OE = 3
y=kx+m
联立直线AB与椭圆方程得x2 y2 消掉y得(1+2k2)x2+4mkx+2m2-6=0
+ =1
6 3
4mk
其中Δ=(4mk)2-4(1+2k2)(2m2-6)>0,x +x =- ，
1 2 1+2k2
2mk m m
∴AB中点E的横坐标x =- ,又E- ,
E 1+2k2 2k 2
2mk m
，∴x =- =-
E 1+2k2 2k
2
∵k<0，m>0，∴k=- ,又OE
2
m
= -
2k
2 m
+
2
2
= 3，解得m=2
2
所以直线AB:y=- x+2，即x+ 2y-2 2=0
2
17.(1)证明见解析；
(2)9．
【分析】(1)设数列a
n
的公差为d，根据题意列出方程组即可证出；
(2)根据题意化简可得m=2k-2，即可解出．
【解析】(1)设数列a n a +d-2b =a +2d-4b 的公差为d，所以， 1 1 1 1 a 1 +d-2b 1 =8b 1 -a 1 +3d d ，即可解得，b 1 =a 1 = 2 ，所以原命
题得证．
d
(2)由(1)知，b 1 =a 1 = 2 ，所以b k =a m +a 1 ⇔b 1 ×2k-1=a 1 +m-1 d+a ，即2k-1=2m，亦即m=2k-2 1
∈1,500 ，解得2≤k≤10，所以满足等式的解k=2,3,4,⋯,10，故集合k|b =a +a ,1≤m≤500 k m 1 中
的元素个数为10-2+1=9．
2
18.(1)
8
1
(2)
2
3
【分析】(1)先表示出S ,S ,S ，再由S -S +S = 求得a2+c2-b2=2，结合余弦定理及平方关系
1 2 3 1 2 3 2
数学试题 第 66 页 共 171 页求得ac，再由面积公式求解即可；
b2 ac
(2)由正弦定理得 = ，即可求解.
sin2B sinAsinC
1 3 3 3 3 3
【解析】(1)由题意得S = ⋅a2⋅ = a2,S = b2,S = c2，则S -S +S = a2-
1 2 2 4 2 4 3 4 1 2 3 4
3 3 3
b2+ c2= ，
4 4 2
a2+c2-b2 1
即a2+c2-b2=2，由余弦定理得cosB= ，整理得accosB=1，则cosB>0，又sinB= ，
2ac 3
1
则cosB= 1-
3
2 2 2 1 3 2 1 2
= ，ac= = ，则S = acsinB= ；
3 cosB 4 △ABC 2 8
3 2
b a c b2 a c ac 4 9
(2)由正弦定理得： = = ，则 = ⋅ = = = ，则
sinB sinA sinC sin2B sinA sinC sinAsinC 2 4
3
b 3 3 1
= ，b= sinB= .
sinB 2 2 2
19.(1)47.9岁；
(2)0.89；
(3)0.0014．
【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
(2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式P(A)=1-P(A)即可
解出；
(3)根据条件概率公式即可求出．
【解析】(1)平均年龄x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023
+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁)．
(2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以
P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89．
(3)设B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C=“从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
PB =16%=0.16,PC =0.1%=0.001,P(B|C)=0.023×10=0.23,
则由条件概率公式可得
P(BC)
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为P(C|B)= =
P(B)
P(C)P(B|C) 0.001×0.23
= =0.0014375≈0.0014．
P(B) 0.16
20.(1)证明见解析
11
(2)
13
【分析】(1)连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，根据三角形全等得到OA=OB，再根据直角三
角形的性质得到AO=DO，即可得到O为BD的中点从而得到OE⎳PD，即可得证；
(2)建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝
对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.
【解析】(1)证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，
因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，AO,BO⊂平
面ABC，
数学试题 第 67 页 共 171 页所以PO⊥AO、PO⊥BO，又PA=PB，所以△POA≅△POB，即OA=OB，所以∠OAB=∠OBA，又
AB⊥AC，即∠BAC=90°，所以∠OAB+∠OAD=90°，∠OBA+∠ODA=90°，所以∠ODA=∠OAD
,所以AO=DO，即AO=DO=OB，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以OE⎳PD，又OE
⊄平面PAC，PD⊂平面PAC，所以OE⎳平面PAC
(2)解：过点A作Az⎳OP，如图建立空间直角坐标系，
因为PO=3，AP=5，所以OA= AP2-PO2=4，
又∠OBA=∠OBC=30°，所以BD=2OA=8，则AD=4，AB=4 3，
所以AC=12，所以O2 3,2,0 ，B4 3,0,0 ，P2 3,2,3 ，C0,12,0 ，
3
所以E3 3,1,
2
3
，则AE=3 3,1,
2
，AB=4 3,0,0
，AC=0,12,0 ，
设平面AEB的法向量为n=x,y,z
3
n⋅AE=3 3x+y+ z=0
，则 2 ，令z=2，则y=-3，x=0，所以n
n⋅AB=4 3x=0
=0,-3,2 ；
设平面AEC的法向量为m=a,b,c
3
m⋅AE=3 3a+b+ c=0
，则 2 ，
m⋅AC=12b=0
令a= 3，则c=-6，b=0，所以m= 3,0,-6 ；
所以cosn,m
n⋅m
= n m
-12 4 3
= =- . 13× 39 13
设二面角C-AE-B的大小为θ，则cosθ
= cosn,m
4 3
= ，
13
11 11
所以sinθ= 1-cos2θ= ，即二面角C-AE-B的正弦值为 .
13 13
y2
21.(1)x2- =1
3
(2)见解析
【分析】(1)利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,c的平方关系求
得a,b的值，得到双曲线的方程；
(2)先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x ,y ),由③|AM|=|BM|等
0 0
8k2
价分析得到x +ky = ；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离
0 0 k2-3
3x
公式得到直线PQ的斜率m= 0 ，由②PQ⎳AB等价转化为ky =3x ，由①M在直线AB上等价于
y 0 0
0
ky 0 =k2x 0 -2 ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
b
【解析】(1)右焦点为F(2,0)，∴c=2,∵渐近线方程为y=± 3x，∴ = 3，∴b= 3a，∴c2=a2+b2
a
=4a2=4，∴a=1，∴b= 3．
数学试题 第 68 页 共 171 页y2
∴C的方程为：x2- =1；
3
(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x
轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x =x ，已知不符；
1 2
总之，直线AB的斜率存在且不为零.
设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=kx-2 ,
则条件①M在AB上，等价于y 0 =kx 0 -2 ⇔ky 0 =k2x 0 -2 ；
两渐近线的方程合并为3x2-y2=0,
联立消去y并化简整理得：k2-3 x2-4k2x+4k2=0
设Ax 3 ,y 3 ,Bx 4 ,y 4 ,线段中点为Nx ,y N N
x +x 2k2
,则x = 3 4 = ,y =kx -2 N 2 k2-3 N N
6k
= , k2-3
设Mx 0 ,y 0 ,
则条件③AM =BM 等价于x 0 -x 3 2+y 0 -y 3 2=x 0 -x 4 2+y 0 -y 4 2,
移项并利用平方差公式整理得：x 3 -x 4 2x 0 -x 3 +x 4 +y 3 -y 4 2y 0 -y 3 +y 4 =0，
2x 0 -x 3 +x 4
y -y
+ x 3 -x 4 2y 0 -y 3 +y 4
3 4
=0,即x 0 -x N +ky 0 -y N =0,
8k2
即x +ky = ；
0 0 k2-3
由题意知直线PM的斜率为- 3, 直线QM的斜率为 3,∴由y 1 -y 0 =- 3x 1 -x 0 ,y -y = 2 0
3x 2 -x 0 ,∴y 1 -y 2 =- 3x 1 +x 2 -2x 0 ,所以直线PQ的斜率m= y 1 -y 2 =- 3x 1 +x 2 -2x 0 x -x
1 2
, x -x
1 2
直线PM:y=- 3x-x 0 +y ,即y=y + 3x - 3x, 0 0 0
代入双曲线的方程3x2-y2-3=0,即 3x+y 3x-y =3中，
得：y 0 + 3x 0 2 3x-y 0 + 3x 0 =3,
1 3
解得P的横坐标：x = +y + 3x
1 2 3 y + 3x 0 0
0 0
,
1 3
同理：x =- +y - 3x
2 2 3 y - 3x 0 0
0 0
1 3y
，∴x -x = 0 +y
1 2 3 y2-3x2 0
0 0
3x
,x +x -2x =- 0 -
1 2 0 y2-3x2
0 0
3x
x ,∴m= 0 ,
0 y
0
∴条件②PQ⎳AB等价于m=k⇔ky =3x ，
0 0
综上所述：
条件①M在AB上，等价于ky 0 =k2x 0 -2 ；条件②PQ⎳AB等价于ky 0 =3x 0 ；条件③AM =BM 等
8k2
价于x +ky = ；
0 0 k2-3
2k2 8k2
选①②推③:由①②解得：x = ,∴x +ky =4x = ,∴③成立；
0 k2-3 0 0 0 k2-3
2k2 6k2
选①③推②：由①③解得：x = ，ky = ，∴ky =3x ，∴②成立；
0 k2-3 0 k2-3 0 0
选②③推①：
2k2 6k2 6
由②③解得：x 0 = k2-3 ，ky 0 = k2-3 ，∴x 0 -2= k2-3 ，∴ky 0 =k2x 0 -2 ，∴①成立.
22.(1)fx 的减区间为-∞,0 ，增区间为0,+∞ .
数学试题 第 69 页 共 171 页1
(2)a≤
2
(3)见解析
【分析】(1)求出fx ，讨论其符号后可得fx 的单调性.
(2)设hx =xeax-ex+1，求出hx
1 1
，先讨论a> 时题设中的不等式不成立，再就0<a≤ 结合放
2 2
缩法讨论hx 符号，最后就a≤0结合放缩法讨论hx 的范围后可得参数的取值范围.
1
(3)由(2)可得2lnt<t- 对任意的t>1恒成立，从而可得lnn+1
t
1
-lnn< 对任意的n∈
n2+n
N*恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【解析】(1)当a=1时，fx =x-1 ex，则fx =xex，
当x<0时，fx <0，当x>0时，fx >0，故fx 的减区间为-∞,0 ，增区间为0,+∞ .
(2)设hx =xeax-ex+1，则h0 =0，又hx =1+ax eax-ex，设gx =1+ax eax-ex，则gx =
2a+a2x
1
eax-ex，若a> ，则g0
2
=2a-1>0，
因为gx 为连续不间断函数，故存在x 0 ∈0,+∞ ，使得∀x∈0,x 0 ，总有gx >0，故gx 在0,x 0
为增函数，故gx >g0 =0，故hx 在0,x 0 为增函数，故hx >h0 =0，与题设矛盾.
1
若0<a≤ ，则hx
2
=1+ax eax-ex=eax+ln1+ax -ex，
下证：对任意x>0，总有ln1+x <x成立，证明：设Sx =ln1+x -x，故Sx
1
= -1=
1+x
-x
<0，故Sx
1+x
在0,+∞ 上为减函数，故Sx <S0 =0即ln1+x <x成立.
由上述不等式有eax+ln1+ax -ex<eax+ax-ex=e2ax-ex≤0，
故hx ≤0总成立，即hx 在0,+∞ 上为减函数，所以hx <h0 =0.
当a≤0时，有hx =eax-ex+axeax<1-1+0=0，所以hx 在0,+∞ 上为减函数，所以hx <
h0 =0.
1
综上，a≤ .
2
(3)取a=
1
，则∀x>0，总有xe2
1x-ex+1<0成立，令t=e2 1x，则t>1,t2=ex,x=2lnt，故2tlnt<t2
2
1 n+1 n+1 n
-1即2lnt<t- 对任意的t>1恒成立.所以对任意的n∈N*，有2ln < - ，
t n n n+1
整理得到：lnn+1
1
-lnn< ，
n2+n
1 1 1
故 + +⋯+ >ln2-ln1+ln3-ln2+⋯+lnn+1
12+1 22+2 n2+n
-lnn
=lnn+1 ，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处
导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等
式.
数学试题 第 70 页 共 171 页2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题
一、单选题
1.已知集合M=-2,-1,0,1,2 ，N=xx2-x-6≥0 ，则M∩N= ( )
A. -2,-1,0,1 B. 0,1,2 C. -2 D. 2
1-i
2.已知z= ，则z-z= ( )
2+2i
A. -i B. i C. 0 D. 1
3.已知向量a=1,1
,b=1,-1
，若a+λb
⊥a+μb ，则 ( )
A. λ+μ=1 B. λ+μ=-1 C. λμ=1 D. λμ=-1
4.设函数fx =2xx-a 在区间0,1 上单调递减，则a的取值范围是 ( )
A. -∞,-2 B. -2,0 C. 0,2 D. 2,+∞
x2 x2
5.设椭圆C : +y2=1(a>1),C : +y2=1的离心率分别为e ,e ．若e = 3e ，则a= ( )
1 a2 2 4 1 2 2 1
2 3
A. B. 2 C. 3 D. 6
3
6.过点0,-2 与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα= ( )
15 10 6
A. 1 B. C. D.
4 4 4
7.记S 为数列a n n 的前n项和，设甲：a n
S
为等差数列；乙： n n 为等差数列，则 ( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.已知sinα-β
1 1
= ,cosαsinβ= ，则cos2α+2β
3 6
=( )．
7 1 1 7
A. B. C. - D. -
9 9 9 9
二、多选题
9.有一组样本数据x ,x ,⋅⋅⋅,x ，其中x 是最小值，x 是最大值，则 ( )
1 2 6 1 6
A. x ,x ,x ,x 的平均数等于x ,x ,⋅⋅⋅,x 的平均数
2 3 4 5 1 2 6
B. x ,x ,x ,x 的中位数等于x ,x ,⋅⋅⋅,x 的中位数
2 3 4 5 1 2 6
C. x ,x ,x ,x 的标准差不小于x ,x ,⋅⋅⋅,x 的标准差
2 3 4 5 1 2 6
D. x ,x ,x ,x 的极差不大于x ,x ,⋅⋅⋅,x 的极差
2 3 4 5 1 2 6
p
10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L =20×lg ，其中常数
p p
0
p 0p 0 >0 是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
数学试题 第 71 页 共 171 页声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50∼60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p ,p ,p ，则( )．
1 2 3
A. p ≥p B. p >10p C. p =100p D. p ≤100p
1 2 2 3 3 0 1 2
11.已知函数fx 的定义域为R，fxy =y2fx +x2fy ，则( )．
A. f0 =0 B. f1 =0
C. fx 是偶函数 D. x=0为fx 的极小值点
12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有 ( )
A. 直径为0.99m的球体 B. 所有棱长均为1.4m的四面体
C. 底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体 D. 底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
三、填空题
13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类
选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种(用数字作答)．
14.在正四棱台ABCD-ABCD 中，AB=2,AB =1,AA = 2，则该棱台的体积为 ．
1 1 1 1 1 1 1
15.已知函数fx =cosωx-1(ω>0)在区间0,2π 有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ．
x2 y2
16.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F．点A在C上，点B在y轴上，FA
a2 b2 1 2 1
2
⊥FB,FA=- FB，则C的离心率为 ．
1 2 3 2
四、解答题
17.已知在△ABC中，A+B=3C,2sinA-C =sinB．
(1)求sinA；
(2)设AB=5，求AB边上的高．
数学试题 第 72 页 共 171 页18.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD 中，AB=2,AA =4．点A ,B ,C ,D 分别在棱AA ,BB ,CC
1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1
,DD 上，AA =1,BB =DD =2,CC =3．
1 2 2 2 2
(1)证明：B C ∥A D ；
2 2 2 2
(2)点P在棱BB 上，当二面角P-A C -D 为150°时，求B P．
1 2 2 2 2
19.已知函数fx =aex+a -x．
(1)讨论fx 的单调性；
(2)证明：当a>0时，fx
3
>2lna+ ．
2
20.设等差数列a
n
n2+n
的公差为d，且d>1．令b = ，记S ,T 分别为数列a
n a n n n
n
,b
n
的前n项和．
(1)若3a =3a +a ,S +T =21，求a
2 1 3 3 3 n
的通项公式；
(2)若b
n
为等差数列，且S -T =99，求d．
99 99
数学试题 第 73 页 共 171 页21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．
无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1
次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量X i 服从两点分布，且PX i =1 =1-PX i =0
n
=q ,i=1,2,⋅⋅⋅,n，则EX i i
i=1
=
n
q i ．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求EY
i=1
．
1
22.在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点0,
2
的距离，记动点P的轨迹为W．
(1)求W的方程；
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3 3．
数学试题 第 74 页 共 171 页参考答案
1. C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【解析】方法一：因为N=xx2-x-6≥0 =-∞,-2 ∪3,+∞ ，而M=-2,-1,0,1,2 ，
所以M∩N=-2 ．
故选：C．
方法二：因为M=-2,-1,0,1,2 ，将-2,-1,0,1,2代入不等式x2-x-6≥0，只有-2使不等式成
立，所以M∩N=-2 ．
故选：C．
2. A
【分析】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出．
1-i 1-i
【解析】因为z= =
2+2i
1-i
21+i 1-i
-2i 1 1
= =- i，所以z= i，即z-z=-i．
4 2 2
故选：A．
3. D
【分析】根据向量的坐标运算求出a+λb，a+μb，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【解析】因为a=1,1
,b=1,-1
，所以a+λb=1+λ,1-λ
，a+μb=1+μ,1-μ ，
由a+λb
⊥a+μb
可得，a+λb
⋅a+μb =0，
即1+λ 1+μ +1-λ 1-μ =0，整理得：λμ=-1．
故选：D．
4. D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【解析】函数y=2x在R上单调递增，而函数fx =2xx-a 在区间0,1 上单调递减，
a
则有函数y=x(x-a)=x-
2
2 a2
- 在区间0,1
4
a
上单调递减，因此 ≥1，解得a≥2，
2
所以a的取值范围是2,+∞ .
故选：D
5. A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
4-1 a2-1 2 3
【解析】由e = 3e ，得e2=3e2，因此 =3× ，而a>1，所以a= .
2 1 2 1 4 a2 3
故选：A
6. B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k2+8k+1=0，利用韦达定理
结合夹角公式运算求解.
【解析】方法一：因为x2+y2-4x-1=0，即x-2 2+y2=5，可得圆心C2,0 ，半径r= 5，
过点P0,-2 作圆C的切线，切点为A,B，
因为PC = 22+-2 2=2 2，则PA = PC 2-r2= 3，
数学试题 第 75 页 共 171 页5 10 3 6
可得sin∠APC= = ,cos∠APC= = ，
2 2 4 2 2 4
10 6 15
则sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2× × = ，
4 4 4
6
cos∠APB=cos2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC=
4
2 10
-
4
2 1
=- <0，
4
即∠APB为钝角，
所以sinα=sinπ-∠APB
15
=sin∠APB= ；
4
法二：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C2,0 ，半径r= 5，
过点P0,-2 作圆C的切线，切点为A,B，连接AB，
可得PC = 22+-2 2=2 2，则PA =PB = PC 2-r2= 3，
因为PA 2+PB 2-2PA ⋅PB cos∠APB=CA 2+CB 2-2CA ⋅CB cos∠ACB
且∠ACB=π-∠APB，则3+3-6cos∠APB=5+5-10cosπ-∠APB ，
1
即3-cos∠APB=5+5cos∠APB，解得cos∠APB=- <0，
4
即∠APB为钝角，则cosα=cosπ-∠APB
1
=-cos∠APB= ，
4
15
且α为锐角，所以sinα= 1-cos2α= ；
4
方法三：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C2,0 ，半径r= 5，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离d=2>r，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为y=kx-2，即kx-y-2=0，
2k-2
则
= 5，整理得k2+8k+1=0，且Δ=64-4=60>0
k2+1
设两切线斜率分别为k ,k ，则k +k =-8,kk =1，
1 2 1 2 1 2
可得k 1 -k 2 = k 1 +k 2 2-4kk =2 15， 1 2
所以tanα= k 1 -k 2 sinα sinα = 15，即 = 15，可得cosα= ，
1+kk cosα 15
1 2
sin2α
则sin2α+cos2α=sin2α+ =1，
15
且α∈0,π
15
，则sinα>0，解得sinα= .
4
故选：B.
7. C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判
断作答.，
【解析】方法1，甲：a
n
为等差数列，设其首项为a =2，公差为d，
1
n(n-1) S n-1 d d S S d
则S =na + d, n =a + d= n+a - , n+1 - n = ，
n 1 2 n 1 2 2 1 2 n+1 n 2
数学试题 第 76 页 共 171 页S
因此 n
n
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
S
反之，乙： n
n
S S nS -(n+1)S na -S
为等差数列，即 n+1 - n = n+1 n = n+1 n 为常数，设为t，
n+1 n n(n+1) n(n+1)
na -S
即 n+1 n =t，则S =na -t⋅n(n+1)，有S =(n-1)a -t⋅n(n-1),n≥2，
n(n+1) n n+1 n-1 n
两式相减得：a =na -(n-1)a -2tn，即a =na -(n-1)a -2tn⇒a -a =2t，对n=1也成
n n+1 n n n+1 n n+1 n
立，
因此a
n
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：a
n
为等差数列，设数列a
n
n(n-1)
的首项a =2，公差为d，即S =na + d，
1 n 1 2
S (n-1) d d S
则 n =a + d= n+a - ，因此 n
n 1 2 2 1 2 n
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
S
反之，乙： n
n
S S S
为等差数列，即 n+1 - n =D, n =S +(n-1)D，
n+1 n n 1
即S =nS +n(n-1)D，S =(n-1)S +(n-1)(n-2)D，
n 1 n-1 1
当n≥2时，上两式相减得：S -S =S +2(n-1)D，当n=1时，上式成立，
n n-1 1
于是a =a +2(n-1)D，又a -a =a +2nD-[a +2(n-1)D]=2D为常数，
n 1 n+1 n 1 1
因此a
n
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
8. B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+β)，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
1 1 1
【解析】因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ= ，而cosαsinβ= ，因此sinαcosβ= ，
3 6 2
2
则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= ，
3
2
所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×
3
2 1
= .
9
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．
解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角
相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得
的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
9. BD
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
【解析】对于选项A：设x ,x ,x ,x 的平均数为m，x ,x ,⋅⋅⋅,x 的平均数为n，
2 3 4 5 1 2 6
则n-m= x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 - x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = 2x 1 +x 6
6 4
-x 5 +x 2 +x 3 +x 4 ，
12
因为没有确定2x 1 +x 6 ,x +x +x +x 的大小关系，所以无法判断m,n的大小， 5 2 3 4
例如：1,2,3,4,5,6，可得m=n=3.5；
数学试题 第 77 页 共 171 页例如1,1,1,1,1,7，可得m=1,n=2；
11
例如1,2,2,2,2,2，可得m=2,n= ；故A错误；
6
对于选项B：不妨设x ≤x ≤x ≤x ≤x ≤x ，
1 2 3 4 5 6
x +x
可知x ,x ,x ,x 的中位数等于x ,x ,⋅⋅⋅,x 的中位数均为 3 4 ，故B正确；
2 3 4 5 1 2 6 2
对于选项C：因为x 是最小值，x 是最大值，
1 6
则x ,x ,x ,x 的波动性不大于x ,x ,⋅⋅⋅,x 的波动性，即x ,x ,x ,x 的标准差不大于x ,x ,⋅⋅⋅,x 的
2 3 4 5 1 2 6 2 3 4 5 1 2 6
标准差，
1
例如：2,4,6,8,10,12，则平均数n= 2+4+6+8+10+12
6
=7，
1
标准差s 1 = 6 2-7 2+4-7 2+6-7 2+8-7 2+10-7 2+12-7 2
105
= ， 3
1
4,6,8,10，则平均数m= 4+6+8+10
4
=7，
1
标准差s 2 = 4 4-7 2+6-7 2+8-7 2+10-7 2 = 5，
105
显然 > 5，即s >s ；故C错误；
3 1 2
对于选项D：不妨设x ≤x ≤x ≤x ≤x ≤x ，
1 2 3 4 5 6
则x -x ≥x -x ，当且仅当x =x ,x =x 时，等号成立，故D正确；
6 1 5 2 1 2 5 6
故选：BD.
10.ACD
【分析】根据题意可知L p1 ∈60,90 ,L p2 ∈50,60 ,L =40，结合对数运算逐项分析判断. p3
【解析】由题意可知：L p1 ∈60,90 ,L p2 ∈50,60 ,L =40， p3
p p p
对于选项A：可得L -L =20×lg 1 -20×lg 2 =20×lg 1 ，
p1 p2 p p p
0 0 2
p p
因为L ≥L ，则L -L =20×lg 1 ≥0，即lg 1 ≥0，
p1 p2 p1 p2 p p
2 2
p
所以 1 ≥1且p ,p >0，可得p ≥p ，故A正确；
p 1 2 1 2
2
p p p
对于选项B：可得L -L =20×lg 2 -20×lg 3 =20×lg 2 ，
p2 p3 p p p
0 0 3
p p 1
因为L -L =L -40≥10，则20×lg 2 ≥10，即lg 2 ≥ ，
p2 p3 p2 p p 2
3 3
p
所以 2 ≥ 10且p ,p >0，可得p ≥ 10p ，
p 2 3 2 3
3
当且仅当L =50时，等号成立，故B错误；
p2
p p
对于选项C：因为L =20×lg 3 =40，即lg 3 =2，
p3 p p
0 0
p
可得 3 =100，即p =100p ，故C正确；
p 3 0
0
p
对于选项D：由选项A可知：L -L =20×lg 1 ，
p1 p2 p
2
p
且L -L ≤90-50=40，则20×lg 1 ≤40，
p1 p2 p
2
p p
即lg 1 ≤2，可得 1 ≤100，且p ,p >0，所以p ≤100p ，故D正确；
p p 1 2 1 2
2 2
数学试题 第 78 页 共 171 页故选：ACD.
11.ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例f(x)=0即可排除选
项D.
x2lnx
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数f(x)=
,x≠0
进行判断即可.
0,x=0
【解析】方法一：
因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，
对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.
对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.
对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，
令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，
又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，
对于D，不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.
方法二：
因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，
对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.
对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.
对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，
令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，
又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，
f(xy) f(x) f(y)
对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)=y2f(x)+x2f(y)两边同时除以x2y2，得到 = + ，
x2y2 x2 y2
f(x)
故可以设 =lnx
x2
x2lnx
(x≠0)，则f(x)=
,x≠0
，
0,x=0
当x>0肘，f(x)=x2lnx，则fx
1
=2xlnx+x2⋅ =x(2lnx+1)，
x
令fx <0，得0<x<e- 2 1 ；令fx >0，得x>e- 2 1 ；
故f(x)在0,e- 2 1 上单调递减，在e- 2 1 ,+∞ 上单调递增，
因为f(x)为偶函数，所以f(x)在-e- 2 1 ,0 上单调递增，在-∞,e- 2 1 上单调递减，
显然，此时x=0是f(x)的极大值点，故D错误.
故选：ABC.
12.ABD
【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.
【解析】对于选项A：因为0.99m<1m，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A正确；
数学试题 第 79 页 共 171 页对于选项B：因为正方体的面对角线长为 2m，且 2>1.4，
所以能够被整体放入正方体内，故B正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为 3m，且 3<1.8，
所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；
对于选项D：因为1.2m>1m，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过AC 的中点O作OE⊥AC ，设OE∩AC=E，
1 1
3 CC OE
可知AC= 2,CC =1,AC = 3,OA= ，则tan∠CAC = 1 = ，
1 1 2 1 AC AO
1 OE 6
即 = ，解得OE= ，
2 3 4
2
6
且
4
2 3 9 9 6
= = > =0.62，即 >0.6，
8 24 25 4
故以AC 为轴可能对称放置底面直径为1.2m圆柱，
1
若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心O ，与正方体的下底面的切
1
点为M，
CC OM
可知：AC ⊥OM,OM=0.6，则tan∠CAC = 1 = 1 ，
1 1 1 1 AC AO
1
1 0.6
即 = ，解得AO =0.6 2，
2 AO 1
1
根据对称性可知圆柱的高为 3-2×0.6 2≈1.732-1.2×1.414=0.0352>0.01，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；
故选：ABD.
13.64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【解析】(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C1C1=16种；
4 4
(2)当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C1C2=24种；
4 4
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C2C1=24种；
4 4
综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.
故答案为：64.
7 6 7
14. / 6
6 6
【分析】结合图像，依次求得AO ,AO,AM，从而利用棱台的体积公式即可
1 1 1
得解.
【解析】如图，过A 作AM⊥AC，垂足为M，易知AM为四棱台ABCD-
1 1 1
ABCD 的高，
1 1 1 1
数学试题 第 80 页 共 171 页因为AB=2,AB =1,AA = 2，
1 1 1
1 1 2 1 1
则AO = AC = × 2AB = ,AO= AC= × 2AB= 2，
1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2
1
故AM= 2 AC-A 1 C 1
2 1 6
= ，则AM= AA2-AM2= 2- = ， 2 1 1 2 2
1 6 7 6
所以所求体积为V= ×(4+1+ 4×1)× = .
3 2 6
7 6
故答案为： .
6
15.[2,3)
【分析】令f(x)=0，得cosωx=1有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【解析】因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)=cosωx-1(ω>0)，则cosωx=1有3个根，
令t=ωx，则cost=1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]，
结合余弦函数y=cost的图像性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3，
故答案为：[2,3).
3 5 3
16. / 5
5 5
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到AF 2 ,BF 2 ,BF 1 ,AF 1 关于a,m的表
达式，从而利用勾股定理求得a=m，进而利用余弦定理得到a,c的齐次方程，从而得解.
5 2
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得x = c,y =- t，t2=4c2，将点A代入双曲
0 3 0 3
线C得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解；
【解析】方法一：
依题意，设AF 2 =2m，则BF 2 =3m=BF 1 ,AF 1 =2a+2m，
在Rt△ABF 中，9m2+(2a+2m)2=25m2，则9m2+(2a+2m)2=25m2⇒(a+3m)(a-m)=0⇒a=
1
m，故a=m或a=-3m(舍去)，
所以AF 1 =4a,AF 2 =2a，BF 2 =BF 1 =3a，则AB =5a，
故cos∠FAF = AF 1
1 2
AB
4a 4 = = ，
5a 5
16a2+4a2-4c2 4
所以在△AFF 中，cos∠FAF = = ，整理得5c2=9a2，
1 2 1 2 2×4a×2a 5
c 3 5
故e= = .
a 5
数学试题 第 81 页 共 171 页方法二:
依题意，得F 1 (-c,0),F 2 (c,0)，令Ax 0 ,y 0 ,B(0,t)，
2
因为F 2 A=- 3 F 2 B，所以x 0 -c,y 0
2
=- -c,t 3
5 2
，则x = c,y =- t， 0 3 0 3
8 2
又FA⊥FB，所以FA⋅FB= c,- t 1 1 1 1 3 3 ⋅c,t
8 2
= c2- t2=0，则t2=4c2， 3 3
25 4
c2 t2
9 9 25c2 4t2 25c2 16c2
又点A在C上，则 - =1，整理得 - =1，则 - =1，
a2 b2 9a2 9b2 9a2 9b2
所以25c2b2-16c2a2=9a2b2，即25c2c2-a2 -16a2c2=9a2c2-a2 ，
整理得25c4-50a2c2+9a4=0，则5c2-9a2 5c2-a2 =0，解得5c2=9a2或5c2=a2，
3 5 5 3 5
又e>1，所以e= 或e= (舍去)，故e= .
5 5 5
3 5
故答案为： .
5
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定
理得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解.
3 10
17.(1)
10
(2)6
【分析】(1)根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
(2)利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b，根据等面积
法求解即可.
【解析】(1)∵A+B=3C，
π
∴π-C=3C，即C= ，
4
又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C)，
∴2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC=3cosAsinC，
∴sinA=3cosA，
π
即tanA=3，所以0<A< ，
2
3 3 10
∴sinA= = .
10 10
1 10
(2)由(1)知，cosA= = ，
10 10
2 3 10 10
由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= +
2 10 10
2 5
= ，
5
2 5
5×
c b 5
由正弦定理， = ，可得b= =2 10，
sinC sinB 2
2
1 1
∴ AB⋅h= AB⋅AC⋅sinA，
2 2
3 10
∴h=b⋅sinA=2 10× =6.
10
18.(1)证明见解析；
(2)1
【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
数学试题 第 82 页 共 171 页(2)设P(0,2,λ)(0≤λ≤4)，利用向量法求二面角，建立方程求出λ即可得解.
【解析】(1)以C为坐标原点，CD,CB,CC 所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，
1
则C(0,0,0),C (0,0,3),B (0,2,2),D (2,0,2),A (2,2,1)，
2 2 2 2
∴B C =(0,-2,1),A D =(0,-2,1)，
2 2 2 2
∴B C ∥A D ，
2 2 2 2
又B C ，A D 不在同一条直线上，
2 2 2 2
∴B C ∥A D .
2 2 2 2
(2)设P(0,2,λ)(0≤λ≤4)，
则A C =(-2,-2,2),PC =(0,-2,3-λ),D C =(-2,0,1)，
2 2 2 2 2
设平面PA C 的法向量n=(x,y,z)，
2 2
n⋅A C =-2x-2y+2z=0
则 22 ，
n⋅PC =-2y+(3-λ)z=0
2
令 z=2，得y=3-λ,x=λ-1，
∴n=(λ-1,3-λ,2)，
设平面A C D 的法向量m=(a,b,c)，
2 2 2
m⋅A C =-2a-2b+2c=0
则
22 ，
m⋅D C =-2a+c=0
2 2
令 a=1，得b=1,c=2，
∴m=(1,1,2)，
∴ cosn,m
n⋅m
=
n m
6
= =cos150° 6 4+(λ-1)2+(3-λ)2
3
= ， 2
化简可得，λ2-4λ+3=0，
解得λ=1或λ=3，
∴P(0,2,1)或P(0,2,3)，
∴B P=1.
2
19.(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)先求导，再分类讨论a≤0与a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
1
(2)方法一：结合(1)中结论，将问题转化为a2- -lna>0的恒成立问题，构造函数ga
2
1
=a2- -
2
lnaa>0 ，利用导数证得ga >0即可.
方法二：构造函数hx =ex-x-1，证得ex≥x+1，从而得到f(x)≥x+lna+1+a2-x，进而将问题
1
转化为a2- -lna>0的恒成立问题，由此得证.
2
【解析】(1)因为f(x)=aex+a -x，定义域为R，所以fx =aex-1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故fx =aex-1<0恒成立，
所以fx 在R上单调递减；
当a>0时，令fx =aex-1=0，解得x=-lna，
当x<-lna时，fx <0，则fx 在-∞,-lna 上单调递减；
当x>-lna时，fx >0，则fx 在-lna,+∞ 上单调递增；
数学试题 第 83 页 共 171 页综上：当a≤0时，fx 在R上单调递减；
当a>0时，fx 在-∞,-lna 上单调递减，fx 在-lna,+∞ 上单调递增.
(2)方法一：
由(1)得，fx =f-lna
min
=ae-lna+a +lna=1+a2+lna，
3 3 1
要证f(x)>2lna+ ，即证1+a2+lna>2lna+ ，即证a2- -lna>0恒成立，
2 2 2
令ga
1
=a2- -lnaa>0
2
，则ga
1 2a2-1
=2a- = ，
a a
令ga
2
<0，则0<a< ；令ga
2
2
>0，则a> ；
2
所以ga
2
在0,
2
2
上单调递减，在 ,+∞
2
上单调递增，
所以ga
2
=g
min 2
2
=
2
2 1 2
- -ln =ln 2>0，则ga
2 2
>0恒成立，
3
所以当a>0时，f(x)>2lna+ 恒成立，证毕.
2
方法二：
令hx =ex-x-1，则hx =ex-1，
由于y=ex在R上单调递增，所以hx =ex-1在R上单调递增，
又h0 =e0-1=0，
所以当x<0时，hx <0；当x>0时，hx >0；
所以hx 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，
故hx ≥h0 =0，则ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立，
因为f(x)=aex+a -x=aex+a2-x=ex+lna+a2-x≥x+lna+1+a2-x，
当且仅当x+lna=0，即x=-lna时，等号成立，
3 3 1
所以要证f(x)>2lna+ ，即证f(x)>2lna+ ，即证a2- -lna>0，
2 2 2
令ga
1
=a2- -lnaa>0
2
，则ga
1 2a2-1
=2a- = ，
a a
令ga
2
<0，则0<a< ；令ga
2
2
>0，则a> ；
2
所以ga
2
在0,
2
2
上单调递减，在 ,+∞
2
上单调递增，
所以ga
2
=g
min 2
2
=
2
2 1 2
- -ln =ln 2>0，则ga
2 2
>0恒成立，
3
所以当a>0时，f(x)>2lna+ 恒成立，证毕.
2
20.(1)a =3n
n
51
(2)d=
50
【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
(2)由{b }为等差数列得出a =d或a =2d，再由等差数列的性质可得a -b =1，分类讨论即可得解.
n 1 1 50 50
【解析】(1)∵3a =3a +a ，∴3d=a +2d，解得a =d，
2 1 3 1 1
∴S =3a =3(a +d)=6d，
3 2 1
2 6 12 9
又T =b +b +b = + + = ，
3 1 2 3 d 2d 3d d
9
∴S +T =6d+ =21，
3 3 d
数学试题 第 84 页 共 171 页1
即2d2-7d+3=0，解得d=3或d= (舍去)，
2
∴a =a +(n-1)⋅d=3n.
n 1
(2)∵{b }为等差数列，
n
12 2 12
∴2b =b +b ，即 = + ，
2 1 3 a a a
2 1 3
1 1
∴6 -
a a
2 3
6d 1
= = ，即a2-3ad+2d2=0，解得a =d或a =2d，
a a a 1 1 1 1
2 3 1
∵d>1，∴a >0，
n
又S -T =99，由等差数列性质知，99a -99b =99，即a -b =1，
99 99 50 50 50 50
2550
∴a - =1，即a2 -a -2550=0，解得a =51或a =-50(舍去)
50 a 50 50 50 50
50
当a =2d时，a =a +49d=51d=51，解得d=1，与d>1矛盾，无解；
1 50 1
51
当a =d时，a =a +49d=50d=51，解得d= .
1 50 1 50
51
综上，d= .
50
21.(1)0.6
1 1 2
(2)p - = ×
i 3 6 5
i-1 1 2
,p = ×
i 6 5
i-1 1
+
3
5 2
(3)E(Y)= 1-
18 5
n
n
+
3
【分析】(1)根据全概率公式即可求出；
(2)设PA i =p，由题意可得p =0.4p +0.2，根据数列知识，构造等比数列即可解出； i i+1 i
(3)先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【解析】(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件A，“第i次投篮的人是乙”为事件B，
i i
所以，PB 2 =PA 1 B 2 +PB 1 B 2 =PA 1 PB 2 |A 1 +PB 1 PB 2 |B 1
=0.5×1-0.6 +0.5×0.8=0.6.
(2)设PA i =p i ，依题可知，PB i =1-p，则 i
PA i+1 =PA i A i+1 +PB i A i+1 =PA i PA i+1 |A i +PB i PA i+1 |B i ，
即p i+1 =0.6p i +1-0.8 ×1-p i =0.4p +0.2， i
构造等比数列p+λ
i
，
2
设p i+1 +λ= 5 p i +λ
1 1 2 1
，解得λ=- ，则p - = p- 3 i+1 3 5 i 3 ，
1 1 1 1
又p = ,p - = ，所以p-
1 2 1 3 6 i 3
1 2
是首项为 ，公比为 的等比数列，
6 5
1 1 2
即p - = ×
i 3 6 5
i-1 1 2
,p = ×
i 6 5
i-1 1
+ ．
3
1 2
(3)因为p = ×
i 6 5
i-1 1
+ ，i=1,2,⋅⋅⋅,n，
3
所以当n∈N*时，EY
2
1-
1 5
=p +p +⋯+p = × 1 2 n 6
n
n 5 2
+ = 1- 2 3 18 5
1-
5
n
n
+ ， 3
5 2
故E(Y)= 1-
18 5
n
n
+ ．
3
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数
列的基本知识求解．
数学试题 第 85 页 共 171 页1
22.(1)y=x2+
4
(2)见解析
1
【分析】(1)设P(x,y)，根据题意列出方程x2+y-
2
2
=y2，化简即可；
1
(2)法一：设矩形的三个顶点Aa,a2+
4
1
,Bb,b2+
4
1
,Cc,c2+
4
，且a<b<c，分别令k =a+
AB
1 1
b=m<0，k =b+c=n>0，且mn=-1，利用放缩法得 C≥n+
BC 2 n
1+n2，设函数f(x)=
1
x+
x
2
1+x2 ，利用导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可.
1
法二：设直线AB的方程为y=k(x-a)+a2+ ，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得
4
AB +AD
1+k2
≥
3
，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.
k2
法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.
【解析】(1)设P(x,y),则y
1
= x2+y-
2
2 1
，两边同平方化简得y=x2+ ，
4
1
故W:y=x2+ .
4
1
(2)法一：设矩形的三个顶点Aa,a2+
4
1
,Bb,b2+
4
1
,Cc,c2+
4
在W上,且a<b<c，易知矩形
四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，
1 1
b2+ -a2+
4 4
则k ⋅k =-1,a+b<0<b+c,令k =
AB BC AB
=a+b=m<0，
b-a
1
同理令k =b+c=n>0，且mn=-1，则m=- ，
BC n
1
设矩形周长为C,由对称性不妨设|m|≥|n|，k -k =c-a=n-m=n+ ，
BC AB n
1 1
则 C=|AB|+|BC|=(b-a) 1+m2+(c-b) 1+n2≥(c-a) 1+n2=n+
2 n
1+n2，易知
1
n+
n
1+n2>0
1
则令f(x)=x+
x
2
1+x2
1
,x>0,f(x)=2x+
x
2 1
2x-
x
,
2
令f(x)=0，解得x= ，
2
2
当x∈0,
2
时，f(x)<0，此时f(x)单调递减，
2 当x∈ ,1
2
，f(x)>0，此时f(x)单调递增，
2
则f(x) =f
min 2
27
= ，
4
数学试题 第 86 页 共 171 页1 27 3 3
故 C≥ = ,即C≥3 3.
2 4 2
2
当C=3 3时,n= ,m=- 2,且(b-a) 1+m2=(b-a) 1+n2，即m=n时等号成立，矛盾，故
2
C>3 3,
得证.
法二：不妨设A,B,D在W上，且BA⊥DA，
1
依题意可设Aa,a2+
4
，易知直线BA，DA的斜率均存在且不为0，
1
则设BA,DA的斜率分别为k和- ，由对称性，不妨设k
k
≤1，
1
直线AB的方程为y=k(x-a)+a2+ ，
4
1
y=x2+
4
则联立 得x2-kx+ka-a2=0，
1
y=k(x-a)+a2+
4
Δ=k2-4ka-a2 =k-2a 2>0，则k≠2a
则|AB|= 1+k2|k-2a|，
1 1
同理|AD|= 1+ +2a
k2 k
，
1 1
∴|AB|+|AD|= 1+k2|k-2a|+ 1+ +2a
k2 k
≥ 1+k2 k-2a
1
+ +2a
k
1
≥ 1+k2k+
k
1+k2
=
3
k2
令k2=m，则m∈0,1
(m+1)3 1
，设f(m)= =m2+3m+ +3，
m m
1 (2m-1)(m+1)2 1
则f(m)=2m+3- = ，令f(m)=0，解得m= ，
m2 m2 2
1
当m∈0,
2
时，f(m)<0，此时f(m)单调递减，
1
当m∈ ,+∞
2
，f(m)>0，此时f(m)单调递增，
1
则f(m) =f
min 2
27
= ，
4
3 3
∴|AB|+|AD|≥ ，
2
1 1
但 1+k2|k-2a|+ 1+ +2a
k2 k
1
≥ 1+k2 |k-2a|+ +2a
k
，此处取等条件为k=1，与最终取等
2
时k= 不一致，故AB
2
+AD
3 3
> .
2
数学试题 第 87 页 共 171 页1
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动 个单位得抛物线W:y=x2,
4
矩形ABCD变换为矩形ABCD,则问题等价于矩形ABCD的周长大于3 3.
设 Bt 0 ,t2 0 ,At 1 ,t2 1 ,Ct 2 ,t2 2 , 根据对称性不妨设 t ≥0. 0
则 k AB =t 1 +t 0 ,k BC =t 2 +t 0 , 由于 AB⊥BC, 则 t 1 +t 0 t 2 +t 0 =-1.
由于 AB= 1+t 1 +t 0 2 t 1 -t 0,BC= 1+t 2 +t 0 2 t 2 -t 0, 且 t 0 介于 t 1 ,t 2 之间,
则 AB+BC= 1+t 1 +t 0 2 t 1 -t 0+ 1+t 2 +t 0 2 t 2 -t 0. 令 t 2 +t 0 =tanθ,
π
t +t =-cotθ,θ∈0,
1 0 2
,则t =tanθ-t ,t =-cotθ-t ,从而
2 0 1 0
AB+BC= 1+cot2θ2t 0 +cotθ + 1+tan2θtanθ-2t 0
1 1
故AB+BC=2t
0
sinθ
-
cosθ
sinθ cosθ 2t (cosθ-sinθ) sin3θ+cos3θ
+ + = 0 +
cos2θ sin2θ sinθcosθ sin2θcos2θ
π
①当θ∈0,
4
时,
sin3θ+cos3θ sinθ cosθ 1 2
AB+BC≥ = + ≥2 =2 ≥2 2
sin2θcos2θ cos2θ sin2θ sinθcosθ sin2θ
π π
②当 θ∈ ,
4 2
时,由于t <t <t ,从而-cotθ-t <t <tanθ-t ,
1 0 2 0 0 0
cotθ tanθ
从而- <t < 又t ≥0,
2 0 2 0
tanθ 2t (cosθ-sinθ) sin3θ+cos3θ
故0≤t
0
<
2
,由此AB+BC= 0
sinθcosθ
+
sin2θcos2θ
sinθ(cosθ-sinθ)(sinθcosθ) sin3θ+cos3θ 1 cosθ
> + = +
sin2θcos3θ sin2θcos2θ cosθ sin2θ
2 2
= =
sin2θsin2θ⋅2cos2θ 1-cos2θ 1-cos2θ ⋅2cos2θ
2
≥
1-cos2θ +1-cos2θ +2cos2θ
3
2
≥
3 2
3
3 3
= ，
3 2
3
当且仅当cosθ= 时等号成立，故AB
3
+BC
3 3
> ，故矩形周长大于3 3.
2
.
1 1
【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得 C=|AB|+|BC|≥n+
2 n
1+n2，同时为了简
便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.
数学试题 第 88 页 共 171 页2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题
一、单选题
1.在复平面内，1+3i 3-i 对应的点位于( )．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设集合A=0,-a ，B=1,a-2,2a-2 ，若A⊆B，则a=( )．
2
A. 2 B. 1 C. D. -1
3
3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高
中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共
有( )．
A. C45 ⋅C15 种 B. C20 ⋅C40 种 C. C30 ⋅C30 种 D. C40 ⋅C20 种
400 200 400 200 400 200 400 200
4.若fx =x+a
2x-1
ln 为偶函数，则a=( )．
2x+1
1
A. -1 B. 0 C. D. 1
2
x2
5.已知椭圆C: +y2=1的左、右焦点分别为F，F，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△FAB面积
3 1 2 1
是△FAB面积的2倍，则m=( )．
2
2 2 2 2
A. B. C. - D. -
3 3 3 3
6.已知函数fx =aex-lnx在区间1,2 上单调递增，则a的最小值为( )．
A. e2 B. e C. e-1 D. e-2
1+ 5 α
7.已知α为锐角，cosα= ，则sin =( )．
4 2
3- 5 -1+ 5 3- 5 -1+ 5
A. B. C. D.
8 8 4 4
8.记S 为等比数列a
n n
的前n项和，若S =-5，S =21S ，则S =( )．
4 6 2 8
A. 120 B. 85 C. -85 D. -120
二、多选题
9.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二
面角P-AC-O为45°，则( )．
A. 该圆锥的体积为π B. 该圆锥的侧面积为4 3π
C. AC=2 2 D. △PAC的面积为 3
10.设O为坐标原点，直线y=- 3x-1 过抛物线C:y2=2pxp>0 的焦点，且与C交于M，N两点，l
为C的准线，则( )．
数学试题 第 89 页 共 171 页A. p=2 B. MN
8
=
3
C. 以MN为直径的圆与l相切 D. △OMN为等腰三角形
11.若函数fx
b c
=alnx+ + a≠0
x x2
既有极大值也有极小值，则( )．
A. bc>0 B. ab>0 C. b2+8ac>0 D. ac<0
12.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率
为1-α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案：单次传输和
三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需
要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即
为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).
A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为(1-α)(1-β)2
B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1-β)2
C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3
D. 当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的
概率
三、填空题
13.已知向量a，b满足a-b
= 3，a+b
=2a-b
，则b = ．
14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得
棱台的体积为 ．
15.已知直线l:x-my+1=0与⊙C:x-1
8
2+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为 ”的m
5
的一个值 ．
16.已知函数fx =sinωx+φ
1
，如图A，B是直线y= 与曲线y=fx
2
的两个交点，若AB
π
= ，则
6
fπ = ．
四、解答题
17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为 3，D为BC中点，且AD=1．
π
(1)若∠ADC= ，求tanB；
3
(2)若b2+c2=8，求b,c．
数学试题 第 90 页 共 171 页18.已知a n 为等差数列，b n = a 2a n - , 6 n , 为 n为 偶 奇 数 数 ，记S n ，T n 分别为数列a n
n
，b n 的前n项和，S =32，T 4 3
=16．
(1)求a
n
的通项公式；
(2)证明：当n>5时，T >S ．
n n
19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得
到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人
判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定
为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率pc =0.5％时，求临界值c和误诊率qc ；
(2)设函数fc =pc +qc ，当c∈95,105 时，求fc 的解析式，并求fc 在区间95,105 的最小
值．
20.如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值．
数学试题 第 91 页 共 171 页21.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为-2 5,0 ，离心率为 5．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A 1 ，A 2 ，过点-4,0 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直
线MA 与NA 交于点P．证明:点P在定直线上.
1 2
22.(1)证明：当0<x<1时，x-x2<sinx<x；
(2)已知函数fx =cosax-ln1-x2 ，若x=0是fx 的极大值点，求a的取值范围．
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数学试题 第 92 页 共 171 页参考答案
1. A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【解析】因为1+3i 3-i =3+8i-3i2=6+8i，
则所求复数对应的点为6,8 ，位于第一象限.
故选：A.
2. B
【分析】根据包含关系分a-2=0和2a-2=0两种情况讨论，运算求解即可.
【解析】因为A⊆B，则有：
若a-2=0，解得a=2，此时A=0,-2 ，B=1,0,2 ，不符合题意；
若2a-2=0，解得a=1，此时A=0,-1 ，B=1,-1,0 ，符合题意；
综上所述：a=1.
故选：B.
3. D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
400 200
【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60× =40人，高中部共抽取60× =20，
600 600
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C40 ⋅C20 种.
400 200
故选：D.
4. B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.
1
【解析】因为f(x) 为偶函数，则 f(1)=f(-1)，∴(1+a)ln =(-1+a)ln3，解得a=0，
3
当a=0时，fx
2x-1
=xln ，2x-1
2x+1
2x+1
1 1
>0，解得x> 或x<- ，
2 2
则其定义域为 xx
1 1
或x<- 2 2 ，关于原点对称.
f-x =-x
2-x
ln
-1
2-x
=-x
+1
2x+1
ln =-x
2x-1
2x-1
ln
2x+1
-1 2x-1
=xln =fx
2x+1
，
故此时fx 为偶函数.
故选：B.
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【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用Δ>0，求出m范围，再根据三角形面积比得到关于m的方
程，解出即可.
y=x+m
【解析】将直线y=x+m与椭圆联立x2 ，消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0，
+y2=1
3
因为直线与椭圆相交于A,B点，则Δ=36m2-4×43m2-3 >0，解得-2<m<2，
设F 1 到AB的距离d 1 ,F 2 到AB距离d 2 ，易知F 1- 2,0 ,F 2 2,0 ，
|- 2+m| | 2+m|
则d = ，d = ，
1 2 2 2
数学试题 第 93 页 共 171 页|- 2+m|
S △F1AB = 2 = |- 2+m| =2，解得m=- 2 或-3 2(舍去)，
S | 2+m| | 2+m| 3
△F2AB
2
故选：C.
6. C
【分析】根据fx
1
=aex- ≥0在1,2
x
上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【解析】依题可知，fx
1
=aex- ≥0在1,2
x
1
上恒成立，显然a>0，所以xex≥ ，
a
设gx =xex,x∈1,2 ，所以gx =x+1 ex>0，所以gx 在1,2 上单调递增，
gx >g1
1 1
=e，故e≥ ，即a≥ =e-1，即a的最小值为e-1．
a e
故选：C．
7. D
【分析】根据二倍角公式(或者半角公式)即可求出．
α 1+ 5
【解析】因为cosα=1-2sin2 = ，而α为锐角，
2 4
α 3- 5 5-1
解得：sin = =
2 8
2 5-1
= ．
16 4
故选：D．
8. C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据S ,S 的关系即可解出；
4 8
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【解析】方法一：设等比数列a
n
的公比为q，首项为a =2，
1
若q=-1，则S =0≠-5，与题意不符，所以q≠-1；
4
若q=1，则S =6a =3×2a =3S ≠0，与题意不符，所以q≠1；
6 1 1 2
由S =-5，S =21S 可得，
a 11-q4
4 6 2
=-5，
a 11-q6
1-q
=21×
a 11-q2
1-q
①，
1-q
由①可得，1+q2+q4=21，解得：q2=4，
所以S =
a 11-q8
8
=
a 11-q4
1-q
×1+q4 1-q =-5×1+16 =-85．
故选：C．
方法二：设等比数列a
n
的公比为q，
因为S =-5，S =21S ，所以q≠-1，否则S =0，
4 6 2 4
从而，S ,S -S ,S -S ,S -S 成等比数列，
2 4 2 6 4 8 6
所以有，-5-S 2 2=S 221S 2 +5
5
，解得：S =-1或S = ， 2 2 4
数学试题 第 94 页 共 171 页当S =-1时，S ,S -S ,S -S ,S -S ，即为-1,-4,-16,S +21，
2 2 4 2 6 4 8 6 8
易知，S +21=-64，即S =-85；
8 8
5
当S 2 = 4 时，S 4 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =a 1 +a 2 1+q2 =1+q2 S >0， 2
与S =-5矛盾，舍去．
4
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握S ,S 的
4 8
关系，从而减少相关量的求解，简化运算．公众号：MST数学聚集地MathHub
9. AC
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.
【解析】依题意，∠APB=120°，PA=2，所以OP=1,OA=OB= 3，
1
A选项，圆锥的体积为 ×π× 3
3
2×1=π，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为π× 3×2=2 3π，B选项错误；
C选项，设D是AC的中点，连接OD,PD，
则AC⊥OD,AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角，
则∠PDO=45°，所以OP=OD=1，
故AD=CD= 3-1= 2，则AC=2 2，C选项正确；
1
D选项，PD= 12+12= 2，所以S = ×2 2× 2=2，D选项错误.
△PAC 2
故选：AC.
10.AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得p，根据弦长公式求得MN ，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答
案.
【解析】A选项：直线y=- 3x-1 过点1,0 ，所以抛物线C:y2=2pxp>0 的焦点F1,0 ，
p
所以 =1,p=2,2p=4，则A选项正确，且抛物线C的方程为y2=4x.
2
B选项：设Mx 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2 ，
y=- 3x-1
由
消去y并化简得3x2-10x+3=x-3
y2=4x
3x-1 =0，
1
解得x 1 =3,x 2 = 3 ，所以MN
1 16
=x +x +p=3+ +2= ，B选项错误. 1 2 3 3
C选项：设MN的中点为A，M,N,A到直线l的距离分别为d ,d ,d，
1 2
1
因为d= 2 d 1 +d 2
1
= MF 2 +NF
1
= MN 2 ，
即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确.
D选项：直线y=- 3x-1 ，即 3x+y- 3=0，
数学试题 第 95 页 共 171 页3
O到直线 3x+y- 3=0的距离为d= ，
2
1 16 3 4 3
所以三角形OMN的面积为 × × = ，
2 3 2 3
由上述分析可知y 1 =- 33-1
1
=-2 3,y =- 3 -1 2 3
2 3
= ， 3
所以OM = 32+-2 3 2= 21,ON
1
=
3
2 2 3
+
3
2 13
= ，
3
所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
公众号：MST数学聚集地MathHub
11.BCD
【分析】求出函数f(x)的导数f(x)，由已知可得f(x)在(0,+∞)上有两个变号零点，转化为一元二次方
程有两个不等的正根判断作答.
b c a b 2c
【解析】函数f(x)=alnx+ + 的定义域为(0,+∞)，求导得f(x)= - - =
x x2 x x2 x3
ax2-bx-2c
，
x3
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f(x)在(0,+∞)上有两个变号零点，而a≠0，
因此方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正根x ,x ，
1 2
Δ=b2+8ac>0
b
x +x = >0
于是 1 2 a ，即有b2+8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，A错误，BCD正确.
2c
xx =- >0
1 2 a
故选：BCD
12.ABD
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；
求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【解析】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1
的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为(1-β)⋅β⋅(1-β)=β(1-β)2，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
数学试题 第 96 页 共 171 页它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为C2β(1-β)2+(1-β)3=(1-β)2(1+2β)，C错误；
3
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P=(1-α)2(1+2α)，
单次传输发送0，则译码为0的概率P=1-α，而0<α<0.5，
因此P-P=(1-α)2(1+2α)-(1-α)=α(1-α)(1-2α)>0，即P>P，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，
相互独立事件的积是解题的关键.
13. 3
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令c=a-b，结合数量积的运算律
运算求解.
【解析】法一：因为a+b
=2a-b
，即a+b
2
=2a-b
2
，
则a2+2a⋅b+b2=4a2-4a⋅b+b2，整理得a2-2a⋅b=0，
又因为a-b
= 3，即a-b
2
=3，
则a2-2a⋅b+b2=b2=3，所以b = 3.
法二：设c=a-b，则c
= 3,a+b=c+2b,2a-b=2c+b，
由题意可得：c+2b
2
=2c+b
2
，则c2+4c⋅b+4b2=4c2+4c⋅b+b2，
整理得：c2=b2，即b
=c = 3.
故答案为： 3.公众号：MST数学聚集地MathHub
14.28
【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：公众号：
MST数学聚集地MathHub根据台体的公众号：MST数学聚集地MathHub体积公式直接运算求解.
2 1
【解析】方法一：由于 = ，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，
4 2
1
所以正四棱锥的体积为 ×4×4
3
×6=32，
1
截去的正四棱锥的体积为 ×2×2
3
×3=4，
所以棱台的体积为32-4=28.
1
方法二：棱台的体积为 ×3×16+4+ 16×4
3
=28.
故答案为：28.
1 1
15.2(2,-2, ,- 中任意一个皆可以)
2 2
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长AB ，以及点C到直线AB的距离，结合面积公式即可解出．
数学试题 第 97 页 共 171 页【解析】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB =2 4-d2，
1 8 4 5 2 5
所以S = ×d×2 4-d2= ，解得：d= 或d= ，
△ABC 2 5 5 5
1+1
由d=
2 2 4 5 2 2 5 1
= ，所以 = 或 = ，解得：m=±2或m=± ．
1+m2 1+m2 1+m2 5 1+m2 5 2
1 1
故答案为：2(2,-2, ,- 中任意一个皆可以)．
2 2
3
16.-
2
1
【分析】设Ax , 1 2
1
,Bx , 2 2
π 1
，依题可得，x 2 -x 1 = 6 ，结合sinx= 2 的解可得，ωx 2 -x 1
2π
= ，从 3
2
而得到ω的值，再根据f π
3
=0以及f0
2
<0，即可得f(x)=sin4x- π
3
，进而求得fπ ．
1
【解析】设Ax , 1 2
1
,Bx , 2 2 ，由AB
π π
= 可得x -x = ， 6 2 1 6
1 π 5π
由sinx= 可知，x= +2kπ或x= +2kπ，k∈Z，由图可知，
2 6 6
ωx 2 +φ-ωx 1 +φ
5 π 2π
= 6 π- 6 = 3 ，即ωx 2 -x 1
2π
= ，∴ω=4． 3
2
因为f π
3
8π
=sin +φ
3
8π 8
=0，所以 +φ=kπ，即φ=- π+kπ，k∈Z．
3 3
8
所以f(x)=sin4x- π+kπ
3
2
=sin4x- π+kπ
3
，
所以fx
2
=sin4x- π
3
或fx
2
=-sin4x- π
3
，
又因为f0
2
<0，所以f(x)=sin4x- π
3
，∴fπ
2
=sin4π- π
3
3
=- ．
2
3
故答案为：- ．
2
【点睛】本题主要考查根据图象求出ω以及函数fx 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性
质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
3
17.(1) ；
5
(2)b=c=2.
【分析】(1)方法1，利用三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式
求出a，作出BC边上的高，利用直角三角形求解作答.
(2)方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出∠ADC即可求解作答；方法2，利用向量运
算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出∠ADC即可求解作答.
π
【解析】(1)方法1：在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC= ，AD=1，
3
1 1 1 3 3 1 3
则S = AD⋅DCsin∠ADC= ×1× a× = a= S = ，解得a=4，
△ADC 2 2 2 2 8 2 △ABC 2
2π
在△ABD中，∠ADB= ，由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD⋅ADcos∠ADB，
3
1
即c2=4+1-2×2×1×-
2
7+4-1 5 7
=7，解得c= 7，则cosB= = ，
2 7×2 14
数学试题 第 98 页 共 171 页5 7
sinB= 1-cos2B= 1-
14
2 21
= ，
14
sinB 3
所以tanB= = .
cosB 5
π
方法2：在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC= ，AD=1，
3
1 1 1 3 3 1 3
则S = AD⋅DCsin∠ADC= ×1× a× = a= S = ，解得a=4，
△ADC 2 2 2 2 8 2 △ABC 2
在△ACD中，由余弦定理得b2=CD2+AD2-2CD⋅ADcos∠ADC，
1 π
即b2=4+1-2×2×1× =3，解得b= 3，有AC2+AD2=4=CD2，则∠CAD= ，
2 2
π 3 3 5
C= ，过A作AE⊥BC于E，于是CE=ACcosC= ,AE=ACsinC= ，BE= ，
6 2 2 2
AE 3
所以tanB= = .
BE 5
1 1
c2= a2+1-2× a×1×cos(π-∠ADC)
4 2
(2)方法1：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 ，
1 1
b2= a2+1-2× a×1×cos∠ADC
4 2
1
整理得 a2+2=b2+c2，而b2+c2=8，则a=2 3，
2
1 3 π
又S = × 3×1×sin∠ADC= ，解得sin∠ADC=1，而0<∠ADC<π，于是∠ADC= ，
△ADC 2 2 2
所以b=c= AD2+CD2=2.
方法2：在△ABC中，因为D为BC中点，则2AD=AB+AC，又CB=AB-AC，
于是4AD 2 +CB 2 =(AB+AC)2+(AB-AC)2=2(b2+c2)=16，即4+a2=16，解得a=2 3，
1 3 π
又S = × 3×1×sin∠ADC= ，解得sin∠ADC=1，而0<∠ADC<π，于是∠ADC= ，
△ADC 2 2 2
所以b=c= AD2+CD2=2.
18.(1)a =2n+3；
n
(2)证明见解析.
【分析】(1)设等差数列a
n
的公差为d，用a ,d表示S 及T，即可求解作答.
1 n n
(2)方法1，公众号：MST数学聚集地MathHub利用(1)的结论求出S ，b ，再分奇偶结合分组求和法
n n
求出T，并与S 作差比较作答；方法2，利用(1)的结论求出S ，b ，再分奇偶借助等差数列前n项和公众
n n n n
号：MST数学聚集地MathHub公式求出T，并与S 作差比较作答.
n n
【解析】(1)设等差数列a n
a -6, n=2k-1
的公差为d，而b n = n ,k∈N∗，
2a , n=2k
n
则b =a -6,b =2a =2a +2d,b =a -6=a +2d-6，
1 1 2 2 1 3 3 1
S =4a +6d=32
于是 T 4 =4a 1 +4d-12=16 ，解得a 1 =5,d=2，a n =a 1 +(n-1)d=2n+3，
3 1
所以数列a
n
的通项公式是a =2n+3.
n
n(5+2n+3) 2n-3, n=2k-1
(2)方法1：由(1)知，S
n
=
2
=n2+4n，b
n
=
4n+6, n=2k
,k∈N∗，
当n为偶数时，b +b =2(n-1)-3+4n+6=6n+1，
n-1 n
13+(6n+1) n 3 7
T = ⋅ = n2+ n，
n 2 2 2 2
3 7
当n>5时，T -S = n2+ n
n n 2 2
1
-(n2+4n)= n(n-1)>0，因此T >S ，
2 n n
数学试题 第 99 页 共 171 页3 7 3 5
当n为奇数时，T =T -b = (n+1)2+ (n+1)-[4(n+1)+6]= n2+ n-5，
n n+1 n+1 2 2 2 2
3 5
当n>5时，T -S = n2+ n-5
n n 2 2
1
-(n2+4n)= (n+2)(n-5)>0，因此T >S ，
2 n n
所以当n>5时，T >S .
n n
n(5+2n+3) 2n-3, n=2k-1
方法2：由(1)知，S
n
=
2
=n2+4n，b
n
=
4n+6, n=2k
,k∈N∗，
-1+2(n-1)-3 n 14+4n+6 n
当n为偶数时，T =(b +b +⋯+b )+(b +b +⋯+b )= ⋅ + ⋅ =
n 1 3 n-1 2 4 n 2 2 2 2
3 7
n2+ n，
2 2
3 7
当n>5时，T -S = n2+ n
n n 2 2
1
-(n2+4n)= n(n-1)>0，因此T >S ，
2 n n
-1+2n-3 n+1
当n为奇数时，若n≥3，则T =(b +b +⋯+b )+(b +b +⋯+b )= ⋅ +
n 1 3 n 2 4 n-1 2 2
14+4(n-1)+6 n-1
⋅
2 2
3 5 3 5
= n2+ n-5，显然T=b =-1满足上式，因此当n为奇数时，T = n2+ n-5，
2 2 1 1 n 2 2
3 5
当n>5时，T -S = n2+ n-5
n n 2 2
1
-(n2+4n)= (n+2)(n-5)>0，因此T >S ，
2 n n
所以当n>5时，T >S .
n n
19.(1)c=97.5，q(c)=3.5%；
-0.008c+0.82, 95≤c≤100
(2)f(c)= ，最小值为0.02．
0.01c-0.98, 100<c≤105
【分析】(1)根据题意由第一个图可先求出c，再根据第二个图求出c≥97.5的矩形面积即可解出；
(2)根据题意确定分段点100，即可得出fc 的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．
【解析】(1)依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%，所以95<c<100，
所以c-95 ×0.002=0.5%，解得：c=97.5，
qc =0.01×100-97.5 +5×0.002=0.035=3.5%．
(2)当c∈[95,100]时，
f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002 =-0.008c+0.82≥0.02；
当c∈(100,105]时，
f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002 =0.01c-0.98>0.02,
-0.008c+0.82, 95≤c≤100
故f(c)= ，
0.01c-0.98, 100<c≤105
所以fc 在区间95,105 的最小值为0.02．
20.(1)证明见解析；
3
(2) ．
3
【分析】(1)根据题意易证BC⊥平面ADE，从而证得BC⊥DA；
(2)由题可证AE⊥平面BCD，所以以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间
直角坐标系，再求出平面ABD,ABF的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即
可解出．
【解析】(1)连接AE,DE，因为E为BC中点，DB=DC，所以DE⊥BC①，
因为DA=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形，
数学试题 第 100 页 共 171 页∴AC=AB，从而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE=E，AE,DE⊂平面ADE，
所以，BC⊥平面ADE，而AD⊂平面ADE，所以BC⊥DA．
(2)不妨设DA=DB=DC=2，∵BD⊥CD，∴BC=2 2,DE=AE= 2．
∴AE2+DE2=4=AD2£¬∴AE⊥DE£¬，∴AE⊥DE，又∵AE⊥BC,DE∩BC=E，DE,BC⊂平
面BCD∴AE⊥平面BCD．
以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设D( 2,0,0),A(0,0, 2),B(0, 2,0),E(0,0,0)，
设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n 1 =x 1 ,y 1 ,z 1
,n 2 =x 2 ,y 2 ,z 2 ，
二面角D-AB-F平面角为θ,而AB=0, 2,- 2 ，
因为EF=DA=- 2,0, 2 ，所以F- 2,0, 2
，即有AF=- 2,0,0 ，
- 2x + 2z =0 2y - 2z =0
∴ 2y - 1 2z = 1 0 ，取x 1 =1，所以n 1 =(1,1,1)； - 2 2 x =0 2 ，取y 2 =1，所以n 2 =(0,1,1)，
1 1 2
所以，cosθ
= n 1 ⋅n 2
n 1
n 2
2 6 6 3 = = ，从而sinθ= 1- = ．
3× 2 3 9 3
3
所以二面角D-AB-F的正弦值为 ．
3
x2 y2
21.(1) - =1
4 16
(2)证明见解析.
【分析】(1)由题意求得a,b的值即可确定双曲线方程；
(2)设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线MA 与NA 的方程，联立直线方
1 2
x+2 1
程，消去y，结合韦达定理计算可得 =- ，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P在定直线x=
x-2 3
-1上.
x2 y2
【解析】(1)设双曲线方程为 - =1a>0,b>0
a2 b2
，由焦点坐标可知c=2 5，
c
则由e= = 5可得a=2，b= c2-a2=4，
a
x2 y2
双曲线方程为 - =1.公众号：MST数学聚集地MathHub
4 16
(2)由(1)可得A 1-2,0 ,A 22,0 ，设Mx 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2 ，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的
1 1 x2 y2
方程为x=my-4，且- <m< ，与 - =1联立可得4m2-1
2 2 4 16
y2-32my+48=0，且Δ=64
32m 48
(4m2+3)>0，则y +y = ,yy = ，
1 2 4m2-1 1 2 4m2-1
数学试题 第 101 页 共 171 页y
直线MA 1 的方程为y= x + 1 2 x+2
1
y
，直线NA 2 的方程为y= x - 2 2 x-2
2
，
联立直线MA 与直线NA 的方程可得：
1 2
x+2 = y 2x 1 +2
x-2
y 1x 2 -2
= y 2my 1 -2
y 1my 2 -6
= my 1 y 2 -2y 1 +y 2
48 32m
m⋅ -2⋅ +2y
+2y 4m2-1 4m2-1 1 1 = =
myy -6y 48 1 2 1 m× -6y
4m2-1 1
-16m
+2y
4m2-1 1 1 x+2 1
=- ，由 =- 可得x=-1，即x =-1，
48m 3 x-2 3 P
-6y
4m2-1 1
据此可得点P在定直线x=-1上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，
其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
22.(1)证明见详解(2)-∞,- 2 ∪ 2,+∞
【分析】(1)分别构建Fx =x-sinx,x∈0,1 ，Gx =x2-x+sinx,x∈0,1 ，求导，利用导数判断
原函数的单调性，进而可得结果；
(2)根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究fx 在0,1 上的单调性，求导，分类讨论0<a2<2和
a2≥2，结合(1)中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【解析】(1)构建Fx =x-sinx,x∈0,1 ，则Fx =1-cosx>0对∀x∈0,1 恒成立，
则Fx 在0,1 上单调递增，可得Fx >F0 =0，
所以x>sinx,x∈0,1 ；
构建Gx =sinx-x-x2 =x2-x+sinx,x∈0,1 ，
则Gx =2x-1+cosx,x∈0,1 ，
构建gx =Gx ,x∈0,1 ，则gx =2-sinx>0对∀x∈0,1 恒成立，
则gx 在0,1 上单调递增，可得gx >g0 =0，
即Gx >0对∀x∈0,1 恒成立，
则Gx 在0,1 上单调递增，可得Gx >G0 =0，
所以sinx>x-x2,x∈0,1 ；
综上所述：x-x2<sinx<x.
(2)令1-x2>0，解得-1<x<1，即函数fx 的定义域为-1,1 ，
若a=0，则fx =1-ln1-x2 ,x∈-1,1 ，公众号：MST数学聚集地MathHub
因为y=-lnu在定义域内单调递减，y=1-x2在-1,0 上单调递增，在0,1 上单调递减，
则fx =1-ln1-x2 在-1,0 上单调递减，在0,1 上单调递增，
故x=0是fx 的极小值点，不合题意，所以a≠0.
数学试题 第 102 页 共 171 页当a≠0时，令b=a >0
因为fx =cosax-ln1-x2 =cos a x -ln1-x2 =cosbx-ln1-x2 ，
且f-x =cos-bx -ln 1--x 2 =cosbx-ln1-x2 =fx ，
所以函数fx 在定义域内为偶函数，
由题意可得：fx
2x
=-bsinbx- ,x∈-1,1
x2-1
，
1
(i)当0<b2≤2时，取m=min ,1 b ，x∈0,m ，则bx∈0,1 ，由(1)可得fx =-bsinbx -
2x 2x xb2x2+2-b2
>-b2x- =
x2-1 x2-1
，且b2x2>0,2-b2≥0,1-x2>0，所以fx
1-x2
>
xb2x2+2-b2
>0，即当x∈0,m
1-x2
⊆0,1 时，fx >0，则fx 在0,m 上单调递增，结合偶函数的
对称性可知：fx 在-m,0 上单调递减，
所以x=0是fx 的极小值点，不合题意；
1
(ⅱ)当b2>2时，取x∈0,
b
⊆0,1 ，则bx∈0,1 ，由(1)可得fx
2x
=-bsinbx- <
x2-1
-bbx-b2x2
2x x
- = -b3x3+b2x2+b3x+2-b2
x2-1 1-x2
，
构建hx
1
=-b3x3+b2x2+b3x+2-b2,x∈0,
b
，则hx
1
=-3b3x2+2b2x+b3,x∈0,
b
，且h0
1
=b3>0,h
b
=b3-b>0，则hx
1
>0对∀x∈0,
b
恒成立，可知hx
1
在0,
b
上单调递增，且
h0
1
=2-b2<0,h
b
=2>0，所以hx
1
在0,
b
1
内存在唯一的零点n∈0,
b
，
当x∈0,n 时，则hx <0，且x>0,1-x2>0，则fx
x
< -b3x3+b2x2+b3x+2-b2
1-x2
<0，
即当x∈0,n ⊆0,1 时，fx <0，则fx 在0,n 上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：fx 在-n,0 上单调递增，
所以x=0是fx 的极大值点，符合题意；
综上所述：b2>2，即a2>2，解得a> 2或a<- 2，
故a的取值范围为-∞,- 2 ∪ 2,+∞ .
【点睛】关键点睛：
当0<a2≤2时，利用sinx<x,x∈0,1 ，换元放缩；
当a2≥2时，利用x-x2<sinx,x∈0,1 ，换元放缩.
数学试题 第 103 页 共 171 页2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题
一、单选题
1.已知集合A=x∣-5<x3<5 ,B={-3,-1,0,2,3}，则A∩B= ( )
A. {-1,0} B. {2,3} C. {-3,-1,0} D. {-1,0,2}
z
2.若 =1+i，则z= ( )
z-1
A. -1-i B. -1+i C. 1-i D. 1+i
3.已知向量a=(0,1),b=(2,x)，若b⊥(b-4a)，则x= ( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4.已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)= ( )
m m
A. -3m B. - C. D. 3m
3 3
5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为 ( )
A. 2 3π B. 3 3π C. 6 3π D. 9 3π
-x2-2ax-a, x<0
6.已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值范围是 ( )
ex+ln(x+1), x≥0
A. (-∞,0] B. [-1,0] C. [-1,1] D. [0,+∞)
π
7.当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin3x-
6
的交点个数为 ( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
8.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且当x<3时f(x)=x，则下列结论中一定正确
的是 ( )
A. f(10)>100 B. f(20)>1000 C. f(10)<1000 D. f(20)<10000
二、多选题
9.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入
(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差s2=
0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N1.8,0.12 ，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分
布Nx,s2 ，则( )(若随机变量Z服从正态分布Nμ,σ2 ，P(Z<μ+σ)≈0.8413)
A. P(X>2)>0.2 B. P(X>2)<0.5 C. P(Y>2)>0.5 D. P(Y>2)<0.8
10.设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则 ( )
A. x=3是f(x)的极小值点 B. 当0<x<1时，f(x)<fx2
C. 当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D. 当-1<x<0时，f(2-x)>f(x)
数学试题 第 104 页 共 171 页11.设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满
足:横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则 ( )
A. a=-2 B. 点(2 2,0)在C上
C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点x 0 ,y 0
4
在C上时，y ≤ 0 x +2
0
三、填空题
x2 y2
12.设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F、F，过F 作平行于y轴的直线交C于A，
a2 b2 1 2 2
B两点，若|FA|=13,|AB|=10，则C的离心率为 ．
1
13.若曲线y=ex+x在点0,1 处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a= .
14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分
别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并
比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃
置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
四、解答题
15.记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC= 2cosB，a2+b2-c2= 2ab
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3+ 3，求c．
数学试题 第 105 页 共 171 页3
16.已知A(0,3)和P3,
2
x2 y2
为椭圆C: + =1(a>b>0)上两点.
a2 b2
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
17.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1,AB= 3．
(1)若AD⊥PB，证明：AD⎳平面PBC；公众号：MST数学聚集地MathHub
42
(2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为 ，求AD．
7
数学试题 第 106 页 共 171 页x
18.已知函数f(x)=ln +ax+b(x-1)3
2-x
(1)若b=0，且f(x)≥0，求a的最小值；
(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；
(3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2，求b的取值范围．
19.设m为正整数，数列a 1 ,a 2 ,...,a 4m+2 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a ji<j 后剩余的
4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1 ,a 2 ,...,a 4m+2 是i,j -可分
数列．
(1)写出所有的i,j ，1≤i<j≤6，使数列a 1 ,a 2 ,...,a 6 是i,j -可分数列；
(2)当m≥3时，证明：数列a 1 ,a 2 ,...,a 4m+2 是2,13 -可分数列；
(3)从1,2,...,4m+2中任取两个数i和ji<j ，记数列a 1 ,a 2 ,...,a 4m+2 是i,j -可分数列的概率为
1
P ，证明：P > ．公众号：MST数学聚集地MathHub
m m 8
数学试题 第 107 页 共 171 页参考答案
1. A
【分析】化简集合A，由交集的概念即可得解.
【解析】因为A=x|-35<x< 35 ,B=-3,-1,0,2,3 ，且注意到1< 35<2，
从而A∩B=-1,0 .
故选：A.
2. C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.公众号：MST数学聚集地MathHub
z z-1+1 1 1
【解析】因为 = =1+ =1+i，所以z=1+ =1-i.
z-1 z-1 z-1 i
故选：C.
3. D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.
【解析】因为b⊥b-4a
，所以b⋅b-4a =0，
所以b2-4a⋅b=0即4+x2-4x=0，故x=2，
故选：D.
4. A
【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求
cosα-β 的值.
【解析】因为cosα+β =m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，
1 A 1 A
而tanαtanβ=2，所以= ×2b×kb×sin + ×kb×b×sin ，
2 2 2 2
故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，
从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β =-3m，
故选：A.
5. B
【分析】设圆柱的底面半径为r，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r的方程，求出解后可求圆锥的
体积.
【解析】设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为 r2+3，
而它们的侧面积相等，所以2πr× 3=πr× 3+r2即2 3= 3+r2，
1
故r=3，故圆锥的体积为 π×9× 3=3 3π.
3
故选：B.
6. B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【解析】因为fx 在R上单调递增，且x≥0时，fx =ex+lnx+1 单调递增，
-2a
-
则需满足 2×-1
≥0
，解得-1≤a≤0，
-a≤e0+ln1
即a的范围是[-1,0].
故选：B.
数学试题 第 108 页 共 171 页7. C
【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解
【解析】因为函数y=sinx的最小正周期为T=2π，
π
函数y=2sin3x-
6
2π
的最小正周期为T= ，
3
所以在x∈0,2π
π
上函数y=2sin3x-
6
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
8. B
【分析】代入得到f(1)=1,f(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【解析】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，
又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2)，
则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，
f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，
f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，
f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377
f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，
f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用f(1)=1,f(2)=2，再利用题目所给的函数性质f(x)>f(x-1)
+f(x-2)，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
9. BC
【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.
【解析】依题可知，x=2.1,s2=0.01，所以Y~N2.1,0.12 ，
故PY>2 =PY>2.1-0.1 =PY<2.1+0.1 ≈0.8413>0.5，C正确，D错误；
因为X~N1.8,0.12 ，所以PX>2 =PX>1.8+2×0.1 ，
因为PX<1.8+0.1 ≈0.8413，所以PX>1.8+0.1 ≈1-0.8413=0.1587<0.2，
而PX>2 =PX>1.8+2×0.1 <PX>1.8+0.1 <0.2，B正确，A错误，
故选：BC．公众号：MST数学聚集地MathHub
10.ACD
【分析】求出函数fx 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数fx 在
1,3 上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
数学试题 第 109 页 共 171 页【解析】对A，因为函数fx 的定义域为R，而fx =2x-1 x-4 +x-1 2=3x-1 x-3 ，
易知当x∈1,3 时，fx <0，当x∈-∞,1 或x∈3,+∞ 时，fx >0
函数fx 在-∞,1 上单调递增，在1,3 上单调递减，在3,+∞ 上单调递增，故x=3是函数fx 的
极小值点，正确；
对B，当0<x<1时，x-x2=x1-x >0，所以1>x>x2>0，
而由上可知，函数fx 在0,1 上单调递增，所以fx >fx2 ，错误；
对C，当1<x<2时，1<2x-1<3，而由上可知，函数fx 在1,3 上单调递减，
所以f1 >f2x-1 >f3 ，即-4<f2x-1 <0，正确；
对D，当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)=1-x 2 -2-x -x-1 2 x-4 =x-1 2 2-2x >0，
所以f(2-x)>f(x)，正确；
故选：ACD.
11.ABD
【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利
用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.
【解析】对于A：设曲线上的动点Px,y ，则x>-2且 x-2 2+y2×x-a =4，
因为曲线过坐标原点，故 0-2 2+02×0-a =4，解得a=-2，故A正确.
对于B：又曲线方程为 x-2 2+y2×x+2 =4，而x>-2，
故 x-2 2+y2×x+2 =4.
当x=2 2,y=0时， 2 2-2 2×2 2+2 =8-4=4，
故2 2,0 在曲线上，故B正确.公众号：MST数学聚集地MathHub
16
对于C：由曲线的方程可得y2=
x+2
-x-2
2
3
2，取x= ，
2
64 1 64 1 64 5 256-245
则y2= - ，而 - -1= - = >0，故此时y2>1，
49 4 49 4 49 4 49×4
故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.
对于D：当点x 0 ,y 0
16
在曲线上时，由C的分析可得y2= 0 x 0 +2 2 -x 0 -2
16
2≤ x 0 +2 ， 2
4 4
故- ≤y ≤ ，故D正确.
x +2 0 x +2
0 0
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等
来处理.
3
12.
2
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF 2 ，结合双曲线第一定义求出AF 1 ，即可得到a,b,c的值，
从而求出离心率.
x2 y2
【解析】由题可知A,B,F 三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入 - =1
2 a2 b2
b2 b2
得y=± ，即Ac, a a
b2
,Bc,- a ，故AB
2b2
= a =10，AF 2
b2
= =5， a
又AF 1 -AF 2 =2a，得AF 1 =AF 2
b2
+2a=2a+5=13，解得a=4，代入 =5得b2=20， a
c 6 3
故c2=a2+b2=36,，即c=6，所以e= = = .
a 4 2
数学试题 第 110 页 共 171 页3
故答案为：
2
13.ln2
【分析】先求出曲线y=ex+x在0,1 的切线方程，再设曲线y=lnx+1 +a的切点为
x 0 ,lnx 0 +1 +a ，求出y，利用公切线斜率相等求出x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求 0
解.
【解析】由y=ex+x得y=ex+1，y| =e0+1=2，
x=0
故曲线y=ex+x在0,1 处的切线方程为y=2x+1；
由y=lnx+1
1
+a得y= ，
x+1
设切线与曲线y=lnx+1 +a相切的切点为 x 0 ,lnx 0 +1 +a ，
1 1 1 1
由两曲线有公切线得y= =2，解得x =- ，则切点为- ,a+ln
x +1 0 2 2 2
0
，
1
切线方程为y=2x+
2
1
+a+ln =2x+1+a-ln2，
2
根据两切线重合,所以a-ln2=0，解得a=ln2.
故答案为：ln2
1
14. /0.5
2
【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.
【解析】设甲在四轮游戏中的得分分别为X ,X ,X ,X ，四轮的总得分为X.
1 2 3 4
对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲
在该轮得分的概率PX =1
k
6 3
= = ，所以EX
4×4 8 k
3
= k=1,2,3,4
8
.
从而EX =EX 1 +X 2 +X 3 +X 4
4
=∑EX k
k=1
4 3 3
=∑ = . 8 2
k=1
记p =PX=k
k
k=0,1,2,3 .
1
如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以p = =
0 A4
4
1
；
24
1
如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以p = =
3 A4
4
1
.
24
而X的所有可能取值是0，1，2，3，故p 0 +p 1 +p 2 +p 3 =1，p 1 +2p 2 +3p 3 =EX
3
= . 2
1 1 3 1 1 1
所以p +p + =1，p +2p + = ，两式相减即得p + = ，故p +p = .
1 2 12 1 2 8 2 2 24 2 2 3 2
数学试题 第 111 页 共 171 页1
所以甲的总得分不小于2的概率为p +p = .
2 3 2
1
故答案为： .
2
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从
而避免繁琐的列举.
π
15.(1)B=
3
(2)2 2
【分析】(1)由余弦定理、平方关系依次求出cosC,sinC，最后结合已知sinC= 2cosB得cosB的值即
可；
(2)首先求出A,B,C，然后由正弦定理可将a,b均用含有c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方
程求解.
【解析】(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2abcosC，对比已知a2+b2-c2= 2ab，
a2+b2-c2 2ab 2
可得cosC= = = ，
2ab 2ab 2
因为C∈0,π ，所以sinC>0，
2
从而sinC= 1-cos2C = 1-
2
2 2
= ，
2
1
又因为sinC= 2cosB，即cosB= ，
2
注意到B∈0,π ，
π
所以B= .
3
π 2
(2)由(1)可得B= ，cosC= ，C∈0,π
3 2
π π π 5π
，从而C= ，A=π- - = ，
4 3 4 12
5π
而sinA=sin
12
π π
=sin +
4 6
2 3 2 1 6+ 2
= × + × = ，
2 2 2 2 4
a b c
由正弦定理有 = = ，
5π π π
sin sin sin
12 3 4
6+ 2 3+1 3 6
从而a= ⋅ 2c= c,b= ⋅ 2c= c，
4 2 2 2
由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为
1 1 3+1 6 2 3+ 3
S = absinC= ⋅ c⋅ c⋅ = c2，
△ABC 2 2 2 2 2 8
3+ 3
由已知△ABC的面积为3+ 3，可得 c2=3+ 3，
8
所以c=2 2.
1
16.(1)
2
(2)直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.公众号：MST数学聚集地MathHub
【分析】(1)代入两点得到关于a,b的方程，解出即可；
(2)方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B到直线AP的距离，再利用平行线距离公式得到平移
后的直线方程，联立椭圆方程得到B点坐标，则得到直线l的方程；方法二：同法一得到点B到直线AP
的距离，再设Bx 0 ,y 0 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B
到直线AP的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB斜率不存在的情况，再设直
线y=kx+3，联立椭圆方程，得到点B坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB斜
数学试题 第 112 页 共 171 页3
率不存在的情况，再设PB:y- =k(x-3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法
2
1
六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘 表达面积即可.
2
b=3
【解析】(1)由题意得
9
9
4
，解得
b
a
2
2
=
=
9
12
，
+ =1
a2 b2
b2 9 1
所以e= 1- = 1- = .
a2 12 2
3
3-
2 1 1
(2)法一：k = =- ，则直线AP的方程为y=- x+3，即x+2y-6=0，
AP 0-3 2 2
AP = 0-3
3
2+3-
2
2 3 5 x2 y2
= ，由(1)知C: + =1，
2 12 9
2×9 12 5
设点B到直线AP的距离为d，则d= = ，
3 5 5
2
12 5
则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移 单位即可，
5
此时该平行线与椭圆的交点即为点B，
设该平行线的方程为：x+2y+C=0，
C+6
则
12 5
= ，解得C=6或C=-18，
5 5
x2 y2 x=-3
当C=6时，联立 12 + 9 =1 ，解得 x=0 或 3 ，
y=-3 y=-
x+2y+6=0 2
即B0,-3
3
或-3,-
2
，
当B0,-3
3 3
时，此时k = ，直线l的方程为y= x-3，即3x-2y-6=0，
l 2 2
3
当B-3,-
2
1 1
时，此时k = ，直线l的方程为y= x，即x-2y=0，
l 2 2
x2 y2
+ =1
当C=-18时，联立12 9 得2y2-27y+117=0，
x+2y-18=0
Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，
12 5
点B到直线AP的距离d= ，
5
设Bx 0 ,y 0 x 0 +2y 0 -6 ，则 12 5 5 = 5 ，解得 x 0 =-3 3 或 x 0 =0 ， x2 y2 y =- y =-3
0 + 0 =1 0 2 0
12 9
即B0,-3
3
或-3,-
2
，以下同法一.
法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，
12 5
点B到直线AP的距离d= ，
5
数学试题 第 113 页 共 171 页设B2 3cosθ,3sinθ ，其中θ∈0,2π
2 3cosθ+6sinθ-6
，则有
12 5
= ，
5 5
3
联立cos2θ+sin2θ=1，解得 cosθ=- 2 或 cosθ=0 ，
1 sinθ=-1
sinθ=-
2
即B0,-3
3
或-3,-
2
，以下同法一；
法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3 ，
1 3 3
S = ×6×3=9，符合题意，此时k = ，直线l的方程为y= x-3，即3x-2y-6=0，
△PAB 2 l 2 2
当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，
y=kx+3
联立椭圆方程有 x2 y2 ，则4k2+3 + =1
12 9
1
x2+24kx=0，其中k≠k ，即k≠- ， AP 2
-24k 1
解得x=0或x= ，k≠0，k≠- ，
4k2+3 2
-24k -12k2+9 -24k -12k2+9
令x= ，则y= ，则B ,
4k2+3 4k2+3 4k2+3 4k2+3
同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，
12 5
点B到直线AP的距离d= ，
5
-24k -12k2+9
+2× -6
4k2+3 4k2+3
则
12 5 3
= ，解得k= ，
5 5 2
3
此时B-3,-
2
1 1
，则得到此时k = ，直线l的方程为y= x，即x-2y=0，
l 2 2
综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.
3
法五：当l的斜率不存在时，l:x=3,B3,-
2
,PB =3,A到PB距离d=3，
1 9
此时S = ×3×3= ≠9不满足条件.
△ABP 2 2
3
当l的斜率存在时，设PB:y- 2 =k(x-3)，令Px 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ，
3
y=k(x-3)+
2
x2 y2 ，消y可得4k2+3
+ =1
12 9
x2-24k2-12k x+36k2-36k-27=0，
Δ=24k2-12k 2-44k2+3 36k2-36k-27
1
>0，且k≠k ，即k≠- ，
AP 2
24k2-12k
x +x = 1 2 4k2+3
,PB 36k2-36k-27
xx =
1 2 4k2+3
= k2+1 x 1 +x 2
27 4 3 k2+1 3k2+9k+ 4
2-4xx = ， 1 2 4k2+3
3
3k+
2
A到直线PB距离d=
27 3
4 3 k2+1 3k2+9k+ 3k+
1 4 2
,S = ⋅ ⋅
k2+1 △PAB 2 4k2+3
=9，
k2+1
1 3 1 3
∴k= 或 ，均满足题意，∴l:y= x或y= x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.
2 2 2 2
3
法六：当l的斜率不存在时，l:x=3,B3,-
2
,PB =3,A到PB距离d=3，
1 9
此时S = ×3×3= ≠9不满足条件.公众号：MST数学聚集地MathHub
△ABP 2 2
数学试题 第 114 页 共 171 页3
当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-3)+ ，
2
3
设l与y轴的交点为Q，令x=0，则Q0,-3k+
2
，
3
y=kx-3k+
联立 2 ，则有3+4k2
3x2+4y2=36
3
x2-8k3k-
2
x+36k2-36k-27=0，
3+4k2
3
x2-8k3k-
2
x+36k2-36k-27=0，
3
其中Δ=8k23k-
2
2
-43+4k2 36k2-36k-27
1
>0，且k≠- ，
2
36k2-36k-27 12k2-12k-9
则3x = ,x = ，
B 3+4k2 B 3+4k2
1
则S= AQ
2
x -x
P B
1 3
= 3k+
2 2
12k+18
3+4k2
1 3
=9，解的k= 或k= ，经代入判别式验证均满足题
2 2
意.
1 3
则直线l为y= x或y= x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.
2 2
17.(1)证明见解析
(2) 3
【分析】(1)先证出AD⊥平面PAB，即可得AD⊥AB，由勾股定理逆定理可得BC⊥AB，从而
AD⎳BC，再根据线面平行的判定定理即可证出；
(2)过点D作DE⊥AC于E，再过点E作EF⊥CP于F，连接DF，根据三垂线法可知，∠DFE即为二
面角A-CP-D的平面角，即可求得tan∠DFE= 6，再分别用AD的长度表示出DE,EF，即可解方
程求出AD．
【解析】(1)(1)因为PA⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩PA=P，PB,PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，
而AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB.
因为BC2+AB2=AC2，所以BC⊥AB，根据平面知识可知AD⎳BC，
又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD⎳平面PBC．
(2)如图所示，过点D作DE⊥AC于E，再过点E作EF⊥CP于F，连接DF，
因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平面PAC∩平面ABCD=AC，
所以DE⊥平面PAC，又EF⊥CP，所以CP⊥平面DEF，
根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角，
42
即sin∠DFE= ，即tan∠DFE= 6．
7
x 4-x2
因为AD⊥DC，设AD=x，则CD= 4-x2，由等面积法可得，DE= ，
2
数学试题 第 115 页 共 171 页又CE= 4-x2
x24-x2
-
4-x2 4-x2
= ，而△EFC为等腰直角三角形，所以EF= ，
4 2 2 2
x 4-x2
2
故tan∠DFE= = 6，解得x=\sqrt3，即AD= 3．
4-x2
2 2
18.(1)-2
(2)证明见解析
2
(3)b≥-
3
【分析】(1)求出fx =2+a后根据f(x)≥0可求a的最小值；
min
(2)设Pm,n 为y=fx 图象上任意一点，可证Pm,n 关于1,a 的对称点为Q2-m,2a-n 也在
函数的图像上，从而可证对称性；
(3)根据题设可判断f1 =-2即a=-2，再根据f(x)>-2在1,2
2
上恒成立可求得b≥- .
3
【解析】(1)b=0时，fx
x
=ln +ax，其中x∈0,2
2-x
，
则fx
1 1 2
= + +a=
x 2-x x2-x
+a,x∈0,2 ，
因为x2-x
2-x+x
≤
2
2
=1，当且仅当x=1时等号成立，
故fx =2+a，而fx
min
≥0成立，故a+2≥0即a≥-2，
所以a的最小值为-2.，
(2)fx
x
=ln +ax+bx-1
2-x
3的定义域为0,2 ，
设Pm,n 为y=fx 图象上任意一点，
Pm,n 关于1,a 的对称点为Q2-m,2a-n ，
因为Pm,n 在y=fx
m
图象上，故n=ln +am+bm-1
2-m
3，
而f2-m
2-m
=ln +a2-m
m
+b2-m-1
m
3=- ln +am+bm-1
2-m
3
+2a，
=-n+2a，
所以Q2-m,2a-n 也在y=fx 图象上，
由P的任意性可得y=fx 图象为中心对称图形，且对称中心为1,a .
(3)因为fx >-2当且仅当1<x<2，故x=1为fx =-2的一个解，
所以f1 =-2即a=-2，
先考虑1<x<2时，fx >-2恒成立.
数学试题 第 116 页 共 171 页此时fx
x
>-2即为ln +21-x
2-x
+bx-1 3>0在1,2 上恒成立，
设t=x-1∈0,1
t+1
，则ln -2t+bt3>0在0,1
1-t
上恒成立，
设gt
t+1
=ln -2t+bt3,t∈0,1
1-t
，
则gt
2 t2-3bt2+2+3b
= -2+3bt2=
1-t2
，
1-t2
当b≥0，-3bt2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0，
故gt >0恒成立，故gt 在0,1 上为增函数，
故gt >g0 =0即fx >-2在1,2 上恒成立.
2
当- ≤b<0时，-3bt2+2+3b≥2+3b≥0，
3
故gt ≥0恒成立，故gt 在0,1 上为增函数，
故gt >g0 =0即fx >-2在1,2 上恒成立.
2 2
当b<- ，则当0<t< 1+ <1时，gt
3 3b
<0
2
故在0, 1+
3b
上gt 为减函数，故gt <g0 =0，不合题意，舍；
综上，fx >-2在1,2
2
上恒成立时b≥- .
3
2
而当b≥- 时，
3
2
而b≥- 时，由上述过程可得gt
3
在0,1 递增，故gt >0的解为0,1 ，
即fx >-2的解为1,2 .
2
综上，b≥- .
3
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对
一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的
范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
19.(1)1,2 ,1,6 ,5,6
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】(1)直接根据i,j -可分数列的定义即可；
(2)根据i,j -可分数列的定义即可验证结论；
(3)证明使得原数列是i,j -可分数列的i,j 至少有m+1 2-m个，再使用概率的定义.
【解析】(1)首先，我们设数列a ,a ,...,a 的公差为d，则d≠0.
1 2 4m+2
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，
a -a
故我们可以对该数列进行适当的变形a= k 1 +1k=1,2,...,4m+2
k d
，
得到新数列a=kk=1,2,...,4m+2 k ，然后对a,a,...,a 进行相应的讨论即可. 1 2 4m+2
换言之，我们可以不妨设a =kk=1,2,...,4m+2
k
，此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i和ji<j ，使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.
所以所有可能的i,j 就是1,2 ,1,6 ,5,6 .
(2)由于从数列1,2,...,4m+2中取出2和13后，剩余的4m个数可以分为以下两个部分，共m组，使
数学试题 第 117 页 共 171 页得每组成等差数列：
①1,4,7,10 ,3,6,9,12 ,5,8,11,14 ，共3组；
②15,16,17,18 ,19,20,21,22 ,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2 ，共m-3组.
(如果m-3=0，则忽略②)
故数列1,2,...,4m+2是2,13 -可分数列.
(3)定义集合A= 4k+1 k=0,1,2,...,m =1,5,9,13,...,4m+1 ，B= 4k+2 k=0,1,2,...,m =
2,6,10,14,...,4m+2 .
下面证明，对1≤i<j≤4m+2，如果下面两个命题同时成立，
则数列1,2,...,4m+2一定是i,j -可分数列：
命题1：i∈A,j∈B或i∈B,j∈A；
命题2：j-i≠3.
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果i∈A,j∈B，且j-i≠3.
此时设i=4k +1，j=4k +2，k ,k ∈0,1,2,...,m
1 2 1 2
.
1
则由i<j可知4k +1<4k +2，即k -k >- ，故k ≥k.
1 2 2 1 4 2 1
此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出i=4k +1和j=4k +2后，
1 2
剩余的4m个数可以分为以下三个部分，共m组，使得每组成等差数列：
①1,2,3,4 ,5,6,7,8 ,...,4k -3,4k -2,4k -1,4k
1 1 1 1
，共k 组；
1
②4k +2,4k +3,4k +4,4k +5
1 1 1 1
,4k +6,4k +7,4k +8,4k +9
1 1 1 1
,...,4k -2,4k -1,4k ,4k +1
2 2 2 2
，
共k -k 组；
2 1
③4k +3,4k +4,4k +5,4k +6
2 2 2 2
,4k +7,4k +8,4k +9,4k +10
2 2 2 2
,...,
4m-1,4m,4m+1,4m+2 ，共m-k 组.
2
(如果某一部分的组数为0，则忽略之)
故此时数列1,2,...,4m+2是i,j -可分数列.
第二种情况：如果i∈B,j∈A，且j-i≠3.
此时设i=4k +2，j=4k +1，k ,k ∈0,1,2,...,m
1 2 1 2
.
1
则由i<j可知4k +2<4k +1，即k -k > ，故k >k.
1 2 2 1 4 2 1
由于j-i≠3，故4k 2 +1 -4k 1 +2 ≠3，从而k -k ≠1，这就意味着k -k ≥2. 2 1 2 1
此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出i=4k +2和j=4k +1后，剩余的4m个数可以分为以下四
1 2
个部分，共m组，使得每组成等差数列：
①1,2,3,4 ,5,6,7,8 ,...,4k -3,4k -2,4k -1,4k
1 1 1 1
，共k 组；
1
②4k +1,3k +k +1,2k +2k +1,k +3k +1
1 1 2 1 2 1 2
，3k +k +2,2k +2k +2,k +3k +2,4k +2
1 2 1 2 1 2 2
，共2组；
③全体4k +p,3k +k +p,2k +2k +p,k +3k +p
1 1 2 1 2 1 2
，其中p=3,4,...,k -k ，共k -k -2组；
2 1 2 1
④4k +3,4k +4,4k +5,4k +6
2 2 2 2
,4k +7,4k +8,4k +9,4k +10
2 2 2 2
,...,
4m-1,4m,4m+1,4m+2 ，共m-k 组.
2
(如果某一部分的组数为0，则忽略之)
这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含k -k -2个行，4个列的数
2 1
表以后，4个列分别是下面这些数：
4k +3,4k +4,...,3k +k
1 1 1 2
，3k +k +3,3k +k +4,...,2k +2k
1 2 1 2 1 2
，
数学试题 第 118 页 共 171 页2k +2k +3,2k +2k +3,...,k +3k
1 2 1 2 1 2
，k +3k +3,k +3k +4,...,4k
1 2 1 2 2
.
可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍4k +1,4k +2,...,4k +2
1 1 2
中除开五个
集合4k +1,4k +2
1 1
，3k +k +1,3k +k +2
1 2 1 2
，2k +2k +1,2k +2k +2
1 2 1 2
，k +3k +1,k +3k +2
1 2 1 2
，
4k +1,4k +2
2 2
中的十个元素以外的所有数.
而这十个数中，除开已经去掉的4k +2和4k +1以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.
1 2
这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,4m+2是i,j -可分数列.
至此，我们证明了：对1≤i<j≤4m+2，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,4m+2一
定是i,j -可分数列.
然后我们来考虑这样的i,j 的个数.
首先，由于A∩B=∅，A和B各有m+1个元素，故满足命题1的i,j 总共有m+1 2个；
而如果j-i=3，假设i∈A,j∈B，则可设i=4k 1 +1，j=4k 2 +2，代入得4k 2 +2 -4k 1 +1 =3.
1
但这导致k -k = ，矛盾，所以i∈B,j∈A.
2 1 2
设i=4k +2，j=4k +1，k ,k ∈0,1,2,...,m 1 2 1 2 ，则4k 2 +1 -4k 1 +2 =3，即k -k =1. 2 1
所以可能的k 1 ,k 2 恰好就是0,1 ,1,2 ,...,m-1,m ，对应的i,j 分别是2,5 ,6,9 ,...,
4m-2,4m+1 ，总共m个.
所以这m+1 2个满足命题1的i,j 中，不满足命题2的恰好有m个.
这就得到同时满足命题1和命题2的i,j 的个数为m+1 2-m.
当我们从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和ji<j 时，总的选取方式的个数等于
4m+2 4m+1
=2m+1
2
4m+1 .
而根据之前的结论，使得数列a 1 ,a 2 ,...,a 4m+2 是i,j -可分数列的i,j 至少有m+1 2-m个.
所以数列a 1 ,a 2 ,...,a 4m+2 是i,j -可分数列的概率P 一定满足 m
m+1
P ≥
m
2-m
2m+1 4m+1
m2+m+1
=
2m+1 4m+1
1
m2+m+ 4
>
2m+1 4m+2
1
m+ 2
=
2
22m+1 2m+1
1
= .
8
这就证明了结论.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究
结论.
公众号：MST数学聚集地MathHub
数学试题 第 119 页 共 171 页2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题
一、单选题公众号：MST数学聚集地MathHub
1.已知z=-1-i，则z = ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
2.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则 ( )
A. p和q都是真命题 B. ¬p和q都是真命题
C. p和¬q都是真命题 D. ¬p和¬q都是真命题
3.已知向量a,b满足a
=1,a+2b
=2，且b-2a
⊥b，则b = ( )
1 2 3
A. B. C. D. 1
2 2 2
4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整
理如下表
亩产量 [900，950) [950，1000) [1000，1050) [1050，1100) [1100，1150) [1150，1200)
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是 ( )
A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
5.已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP，P为垂足，则线段PP的中
点M的轨迹方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. + =1(y>0) B. + =1(y>0)
16 4 16 8
y2 x2 y2 x2
C. + =1(y>0) D. + =1(y>0)
16 4 16 8
6.设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cosx+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交
点，则a= ( )
1
A. -1 B. C. 1 D. 2
2
52
7.已知正三棱台ABC-ABC 的体积为 ，AB=6，AB =2，则AA与平面ABC所成角的正切值为
1 1 1 3 1 1 1
( )
1
A. B. 1 C. 2 D. 3
2
8.设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为 ( )
1 1 1
A. B. C. D. 1
8 4 2
数学试题 第 120 页 共 171 页二、多选题
π
9.对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-
4
，下列说法中正确的有 ( )
A. f(x)与g(x)有相同的零点 B. f(x)与g(x)有相同的最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
10.抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，
过P作l的垂线，垂足为B，则 ( )
A. l与⊙A相切 B. 当P，A，B三点共线时，|PQ|= 15
C. 当|PB|=2时，PA⊥AB D. 满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
11.设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则 ( )
A. 当a>1时，f(x)有三个零点
B. 当a<0时，x=0是f(x)的极大值点
C. 存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D. 存在a，使得点 1,f1 为曲线y=f(x)的对称中心
三、填空题
12.记S 为等差数列{a }的前n项和，若a +a =7，3a +a =5，则S = .
n n 3 4 2 5 10
13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ= 2+1，则sin(α+β)= .
14.在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，
在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
四、解答题公众号：MST数学聚集地MathHub
15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ 3cosA=2．
(1)求A．
(2)若a=2， 2bsinC=csin2B，求△ABC的周长．公众号：MST数学聚集地MathHub
数学试题 第 121 页 共 171 页16.已知函数f(x)=ex-ax-a3．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点1,f(1) 处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
17.如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=5 3，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E，F满足
2 1
AE= AD，AF= AB，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC=4 3．
5 2
(1)证明：EF⊥PD；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
数学试题 第 122 页 共 171 页18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名
队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶
段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第
二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，
各次投中与否相互独立．
(1)若p=0.4，q=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设0<p<q，
(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
19.已知双曲线C:x2-y2=mm>0 ，点P 15,4 在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点
P nn=2,3,... ：过P 作斜率为k的直线与C的左支交于点Q ，令P 为Q 关于y轴的对称点，记 n-1 n-1 n n-1
P n 的坐标为x n ,y n .
1
(1)若k= ，求x ,y ；
2 2 2
(2)证明：数列x -y
n n
1+k
是公比为 的等比数列；
1-k
(3)设S 为△PP P 的面积，证明：对任意正整数n，S =S .
n n n+1 n+2 n n+1
数学试题 第 123 页 共 171 页参考答案
1. C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【解析】若z=-1-i，则z = -1 2+-1 2= 2.
故选：C.
2. B
【分析】对于两个命题而言，可分别取x=-1、x=1，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【解析】对于p而言，取x=-1，则有x+1 =0<1，故p是假命题，¬p是真命题，
对于q而言，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，¬q是假命题，
综上，¬p和q都是真命题.
故选：B.
3. B
【分析】由b-2a
⊥b得b2=2a⋅b，结合a
=1,a+2b
=2，得1+4a⋅b+4b2=1+6b2=4，由此即可
得解.
【解析】因为b-2a
⊥b，所以b-2a
⋅b=0，即b2=2a⋅b，公众号：MST数学聚集地MathHub
又因为a
=1,a+2b =2，
所以1+4a⋅b+4b2=1+6b2=4，
从而b
2
= .
2
故选：B.
4. C
【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计
算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.
【解析】对于 A, 根据频数分布表可知, 6+12+18=36<50,
所以亩产量的中位数不小于 1050kg, 故 A 错误；
对于B，亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34，
100-34
所以低于1100kg的稻田占比为 =66%，故B错误；
100
对于C，稻田亩产量的极差最大为1200-900=300，最小为1150-950=200，故C正确；
1
对于D，由频数分布表可得，平均值为 ×(6×925+12×975+18×1025+30×1075+24×1125+
100
10×1175)=1067，故D错误.
故选；C.
5. A
【分析】设点M(x,y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解.
【解析】设点M(x,y)，则P(x,y ),P(x,0)，
0
因为M为PP的中点，所以y =2y，即P(x,2y)，
0
又P在圆x2+y2=16(y>0)上，
x2 y2
所以x2+4y2=16(y>0)，即 + =1(y>0)，
16 4
数学试题 第 124 页 共 171 页x2 y2
即点M的轨迹方程为 + =1(y>0).
16 4
故选：A
6. D
【分析】解法一：令Fx =ax2+a-1,Gx =cosx，分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，
结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2，并代入检验即可；解法二：令hx =f(x)
-gx ,x∈-1,1 ，可知hx 为偶函数，根据偶函数的对称性可知hx 的零点只能为0，即可得a=2，
并代入检验即可.
【解析】解法一：令f(x)=gx ，即a(x+1)2-1=cosx+2ax，可得ax2+a-1=cosx，
令Fx =ax2+a-1,Gx =cosx，
原题意等价于当x∈(-1,1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，
注意到Fx ,Gx 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得F0 =G0 ，即a-1=1，解得a=2，
若a=2，令Fx =Gx ，可得2x2+1-cosx=0
因为x∈-1,1 ，则2x2≥0,1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，
可得2x2+1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，
则方程2x2+1-cosx=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，
所以a=2符合题意；
综上所述：a=2.
解法二：令hx =f(x)-gx =ax2+a-1-cosx,x∈-1,1 ，
原题意等价于hx 有且仅有一个零点，
因为h-x =a-x 2+a-1-cos-x =ax2+a-1-cosx=hx ，
则hx 为偶函数，
根据偶函数的对称性可知hx 的零点只能为0，
即h0 =a-2=0，解得a=2，公众号：MST数学聚集地MathHub
若a=2，则hx =2x2+1-cosx,x∈-1,1 ，
又因为2x2≥0,1-cosx≥0当且仅当x=0时，等号成立，
可得hx ≥0，当且仅当x=0时，等号成立，
即hx 有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意；
故选：D.
7. B
4 3
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h= ，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求
3
4 3
得AM= ，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台ABC-ABC 补成正三棱锥
3 1 1 1
P-ABC，AA与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，根据比例关系可得V =18，进而
1 P-ABC
可求正三棱锥P-ABC的高，即可得结果.
【解析】解法一：分别取BC,BC 的中点D,D ，则AD=3 3,AD = 3，
1 1 1 1 1
1 3 1
可知S = ×6×6× =9 3,S = ×2× 3= 3，
△ABC 2 2 △A1B1C1 2
设正三棱台ABC-ABC 的为h，
1 1 1
1
则V = 9 3+ 3+ 9 3× 3
ABC-A1B1C1 3
52 4 3
h= ，解得h= ，
3 3
数学试题 第 125 页 共 171 页如图，分别过A ,D 作底面垂线，垂足为M,N，设AM=x，公众号：MST数学聚集地MathHub
1 1
16
则AA = AM2+AM2= x2+ ，DN=AD-AM-MN=2 3-x，
1 1 3
可得DD 1 = DN2+D 1 N2= 2 3-x
16
2+ ， 3
6-2
结合等腰梯形BCCB 可得BB2=
1 1 1 2
2
+DD2,
1
16
即x2+ =2 3-x
3
16 4 3
2+ +4，解得x= ，
3 3
AM
所以AA与平面ABC所成角的正切值为tan∠AAD= 1 =1；
1 1 AM
解法二：将正三棱台ABC-ABC 补成正三棱锥P-ABC，
1 1 1
则AA与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，
1
因为 PA 1 = A 1 B 1 = 1 ，则 V P-A1B1C1 = 1 ，
PA AB 3 V 27
P-ABC
26 52
可知V = V = ，则V =18，
ABC-A1B1C1 27 P-ABC 3 P-ABC
1 1 3
设正三棱锥P-ABC的高为d，则V = d× ×6×6× =18，解得d=2 3，
P-ABC 3 2 2
取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO=2 3，
PO
所以PA与平面ABC所成角的正切值tan∠PAO= =1.
AO
故选：B.
8. C
【分析】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为-b,+∞ ，分类讨论-a与-b,1-b的大小关系，结合符
号分析判断，即可得b=a+1，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln(x+b)的符号，进而
可得x+a的符号，即可得b=a+1，代入可得最值.
【解析】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为-b,+∞ ，
令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得x=1-b；
若-a≤-b，当x∈-b,1-b 时，可知x+a>0,lnx+b <0，
此时f(x)<0，不合题意；
若-b<-a<1-b，当x∈-a,1-b 时，可知x+a>0,lnx+b <0，
数学试题 第 126 页 共 171 页此时f(x)<0，不合题意；
若-a=1-b，当x∈-b,1-b 时，可知x+a<0,lnx+b <0，此时f(x)>0；
当x∈1-b,+∞ 时，可知x+a≥0,lnx+b ≥0，此时f(x)≥0；
可知若-a=1-b，符合题意；
若-a>1-b，当x∈1-b,-a 时，可知x+a<0,lnx+b >0，
此时f(x)<0，不合题意；
综上所述：-a=1-b，即b=a+1，
则a2+b2=a2+a+1
1
2=2a+
2
2 1 1 1 1
+ ≥ ，当且仅当a=- ,b= 时，等号成立，
2 2 2 2
1
所以a2+b2的最小值为 ；
2
解法二：由题意可知：f(x)的定义域为-b,+∞ ，
令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得x=1-b；
则当x∈-b,1-b 时，lnx+b <0，故x+a≤0，所以1-b+a≤0；
x∈1-b,+∞ 时，lnx+b >0，故x+a≥0，所以1-b+a≥0；
故1-b+a=0，则a2+b2=a2+a+1
1
2=2a+
2
2 1 1
+ ≥ ，
2 2
1 1
当且仅当a=- ,b= 时，等号成立，
2 2
1
所以a2+b2的最小值为 .
2
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求x+a=0、ln(x+b)=0的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨
论，结合符号性分析判断.公众号：MST数学聚集地MathHub
9. BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
kπ
【解析】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x= ,k∈Z，即为f(x)零点，
2
π
令g(x)=sin2x-
4
kπ π
=0，解得x= + ,k∈Z，即为g(x)零点，
2 8
显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；
B选项，显然f(x) =g(x) =1，B选项正确；
max max
2π
C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为 =π，C选项正确；
2
π kπ π
D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+ ⇔x= + ,k∈Z，
2 2 4
π π kπ 3π
g(x)的对称轴满足2x- =kπ+ ⇔x= + ,k∈Z，
4 2 2 8
显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
10.ABD
【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先
求出P的坐标，进而得出切线长公众号：MST数学聚集地MathHub；C选项，根据PB =2先算出P
的坐标，然后验证k k =-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，PB
PA AB
=PF ，于是问题转化成
PA =PF 的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐
标进行求解.
数学试题 第 127 页 共 171 页【解析】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，
⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，
故准线l和⊙A相切，A选项正确；
B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标y =4，
P
由y2 =4x ，得到x =4，故P(4,4)，
P P P
此时切线长PQ = PA 2-r2= 42-12= 15，B选项正确；
C选项，当PB =2时，x =1，此时y2 =4x =4，故P(1,2)或P(1,-2)，
P P P
4-2 4-2
当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，k = =-2，k = =2，
PA 0-1 AB 0-(-1)
不满足k k =-1；
PA AB
当P(1,-2)时，A0,4 ,B-1,-2
4-(-2) 4-(-2)
，k = =-6，k = =6，
PA 0-1 AB 0-(-1)
不满足k k =-1；
PA AB
于是PA⊥AB不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，PB =PF ，这里F(1,0)，
于是PA =PB 时P点的存在性问题转化成PA =PF 时P点的存在性问题，
1
A(0,4),F(1,0)，AF中点 ,2
2
1 1
，AF中垂线的斜率为- = ，
k 4
AF
2x+15
于是AF的中垂线方程为：y= ，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，
8
Δ=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个P点，使得PA =PF ，D选项正确.
方法二：(设点直接求解)
t2
设P ,t
4
，由PB⊥l可得B-1,t ，又A(0,4)，又PA =PB ，
t4 t2
根据两点间的距离公式， +(t-4)2= +1，整理得t2-16t+30=0，
16 4
Δ=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解，
即存在两个这样的P点，D选项正确.
故选：ABD
11.AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=0,x=a，根据零点存在定理和极值的符号判断出f(x)在(
-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设
数学试题 第 128 页 共 171 页存在这样的a,b，使得x=b为f(x)的对称轴，则f(x)=f(2b-x)为恒等式，据此计算判断；D选项，若存
在这样的a，使得(1,3-3a)为f(x)的对称中心，则f(x)+f(2-x)=6-6a，据此进行计算判断，亦可利
用拐点结论直接求解.
【解析】A选项，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a)，由于a>1，
故x∈-∞,0 ∪a,+∞ 时f(x)>0，故f(x)在-∞,0 ,a,+∞ 上单调递增，
x∈(0,a)时，f(x)<0，f(x)单调递减，
则f(x)在x=0处取到极大值，在x=a处取到极小值，
由f(0)=1>0，f(a)=1-a3<0，则f(0)f(a)<0，
根据零点存在定理f(x)在(0,a)上有一个零点，
又f(-1)=-1-3a<0，f(2a)=4a3+1>0，则f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0，
则f(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一个零点，于是a>1时，f(x)有三个零点，A选项正确；
B选项，f(x)=6x(x-a)，a<0时，x∈(a,0),f(x)<0，f(x)单调递减，
x∈(0,+∞)时f(x)>0，f(x)单调递增，
此时f(x)在x=0处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的a,b，使得x=b为f(x)的对称轴，
即存在这样的a,b使得f(x)=f(2b-x)，
即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1，
根据二项式定理，等式右边(2b-x)3展开式含有x3的项为2C3(2b)0(-x)3=-2x3，
3
于是等式左右两边x3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的a,b，使得x=b为f(x)的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
f(1)=3-3a，若存在这样的a，使得(1,3-3a)为f(x)的对称中心，
则f(x)+f(2-x)=6-6a，事实上，
f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a，
于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a
12-6a=0
即12a-24=0 ，解得a=2，即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的对称中心，D选项正确.
18-12a=6-6a
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
f(x)=2x3-3ax2+1，f(x)=6x2-6ax，f(x)=12x-6a，
a a a
由f(x)=0⇔x= ，于是该三次函数的对称中心为 ,f
2 2 2
，
a
由题意(1,f(1))也是对称中心，故 =1⇔a=2，
2
即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：(1)f(x)的对称轴为x=b⇔f(x)=f(2b-x)；(2)f(x)关于(a,b)对称⇔f(x)+f(2a
-x)=2b；(3)任何三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称
b b
中心的横坐标是f(x)=0的解，即 - ,f-
3a 3a
是三次函数的对称中心
12.95
数学试题 第 129 页 共 171 页【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出a ,d，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.
1
a +2d+a +3d=7 【解析】因为数列a 为等差数列，则由题意得 1 1
n 3a 1 +d
，解得 a 1 =-4 ，
+a +4d=5 d=3 1
10×9
则S 10 =10a 1 + 2 d=10×-4 +45×3=95.
故答案为：95.
2 2
13.-
3
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β =-2 2，再缩小α+β的范围，最后结合同角的
平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【解析】法一：由题意得tanα+β
tanα+tanβ 4
= =
1-tanαtanβ 1- 2+1
=-2 2，
π
因为α∈2kπ,2kπ+
2
3π
,β∈2mπ+π,2mπ+
2
，k,m∈Z，
则α+β∈ 2m+2k π+π,2m+2k π+2π ，k,m∈Z，
又因为tanα+β =-2 2<0，
则α+β∈ 2m+2k
3π
π+ ,2m+2k
2
π+2π ，k,m∈Z，则sinα+β <0，
sinα+β
则
cosα+β
=-2 2，联立 sin2α+β +cos2α+β =1，解得sinα+β
2 2
=- .
3
法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,
cosα 1 cosβ -1
cosα= = ，cosβ= = ，
sin2α+cos2α 1+tan2α sin2β+cos2β 1+tan2β
则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)
-4 -4 -4 2 2
=4cosαcosβ= = = =-
1+tan2α 1+tan2β (tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2 42+2 3
2 2
故答案为：- .
3
14. 24 112
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即
可求解.
【解析】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有4×3×2×1=24种选法；
每种选法可标记为(a,b,c,d)，a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,
42)，公众号：MST数学聚集地MathHub
(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,
40)，公众号：MST数学聚集地MathHub
(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,
40)，
(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,
40)，公众号：MST数学聚集地MathHub
数学试题 第 130 页 共 171 页所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.
故答案为：24；112
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法
写出所有的可能结果.
π
15.(1)A=
6
(2)2+ 6+3 2
【分析】(1)根据辅助角公式对条件sinA+ 3cosA=2进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角
三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
(2)先根据正弦定理边角互化算出B，然后根据正弦定理算出b,c即可得出周长.
【解析】(1)方法一：常规方法(辅助角公式)
1 3 π
由sinA+ 3cosA=2可得 sinA+ cosA=1，即sinA+
2 2 3
=1，
π π 4π
由于A∈(0,π)⇒A+ ∈ ,
3 3 3
π π π
，故A+ = ，解得A=
3 2 6
方法二：常规方法(同角三角函数的基本关系)
由sinA+ 3cosA=2，又sin2A+cos2A=1，消去sinA得到：
3
4cos2A-4 3cosA+3=0⇔(2cosA- 3)2=0，解得cosA= ，
2
π
又A∈(0,π)，故A=
6
方法三：利用极值点求解
π
设f(x)=sinx+ 3cosx(0<x<π)，则f(x)=2sinx+
3
(0<x<π)，
π π
显然x= 时，f(x) =2，注意到f(A)=sinA+ 3cosA=2=2sinA+
6 max 3
，
f(x) =f(A)，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x=A必定是极值点，
max
3
即f(A)=0=cosA- 3sinA，即tanA= ，
3
π
又A∈(0,π)，故A=
6
方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式)
设a=(1, 3),b=(sinA,cosA)，由题意，a⋅b=sinA+ 3cosA=2，
根据向量的数量积公式，a⋅b=|a||b|cosa,b
=2cosa,b ，
则2cosa,b=2⇔cosa,b=1，此时a,b=0，即a,b同向共线，
3
根据向量共线条件，1⋅cosA= 3⋅sinA⇔tanA= ，
3
π
又A∈(0,π)，故A=
6
方法五：利用万能公式求解
A 2t 3(1-t2)
设t=tan ，根据万能公式，sinA+ 3cosA=2= + ，
2 1+t2 1+t2
整理可得，t2-2(2- 3)t+(2- 3)2=0=(t-(2- 3))2，
A 2t 3
解得tan =t=2- 3，根据二倍角公式，tanA= = ，
2 1-t2 3
π
又A∈(0,π)，故A=
6
数学试题 第 131 页 共 171 页(2)由题设条件和正弦定理
2bsinC=csin2B⇔ 2sinBsinC=2sinCsinBcosB，
2 π
又B,C∈(0,π)，则sinBsinC≠0，进而cosB= ，得到B= ，
2 4
7π
于是C=π-A-B= ，
12
2+ 6
sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA= ，
4
a b c 2 b c
由正弦定理可得， = = ，即 = = ，
sinA sinB sinC π π 7π
sin sin sin
6 4 12
解得b=2 2,c= 6+ 2，
故△ABC的周长为2+ 6+3 2
16.(1)e-1 x-y-1=0
(2)1,+∞
【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；
(2)解法一：求导，分析a≤0和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得a2+lna-1>0，
构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知f(x)=ex-a有零点，可得a>0，进而利用导数求fx 的单
调性和极值，分析可得a2+lna-1>0，构建函数解不等式即可.
【解析】(1)当a=1时，则f(x)=ex-x-1，f(x)=ex-1，
可得f(1)=e-2，f(1)=e-1，
即切点坐标为1,e-2 ，切线斜率k=e-1，
所以切线方程为y-e-2 =e-1 x-1 ，即e-1 x-y-1=0.
(2)解法一：因为f(x)的定义域为R，且f(x)=ex-a，
若a≤0，则f(x)≥0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意；
若a>0，令f(x)>0，解得x>lna；令f(x)<0，解得x<lna；
可知f(x)在-∞,lna 内单调递减，在lna,+∞ 内单调递增，
则f(x)有极小值flna =a-alna-a3，无极大值，
由题意可得：flna =a-alna-a3<0，即a2+lna-1>0，
构建ga =a2+lna-1,a>0，则ga
1
=2a+ >0，
a
可知ga 在0,+∞ 内单调递增，且g1 =0，
不等式a2+lna-1>0等价于ga >g1 ，解得a>1，
所以a的取值范围为1,+∞ ；
解法二：因为f(x)的定义域为R，且f(x)=ex-a，
若f(x)有极小值，则f(x)=ex-a有零点，
令f(x)=ex-a=0，可得ex=a，
可知y=ex与y=a有交点，则a>0，
若a>0，令f(x)>0，解得x>lna；令f(x)<0，解得x<lna；
可知f(x)在-∞,lna 内单调递减，在lna,+∞ 内单调递增，
则f(x)有极小值flna =a-alna-a3，无极大值，符合题意，
由题意可得：flna =a-alna-a3<0，即a2+lna-1>0，
数学试题 第 132 页 共 171 页构建ga =a2+lna-1,a>0，
因为则y=a2,y=lna-1在0,+∞ 内单调递增，
可知ga 在0,+∞ 内单调递增，且g1 =0，
不等式a2+lna-1>0等价于ga >g1 ，解得a>1，
所以a的取值范围为1,+∞ .
17.(1)证明见解析
8 65
(2)
65
【分析】(1)由题意，根据余弦定理求得EF=2，利用勾股定理的逆定理可证得EF⊥AD，则EF⊥PE,
EF⊥DE，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；
(2)由(1)，根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE⊥ED，建立如图空间直角坐标系E-xyz，利用空
间向量法求解面面角即可.
2 1
【解析】(1)由AB=8,AD=5 3,AE= AD,AF= AB，
5 2
得AE=2 3,AF=4，又∠BAD=30°，在△AEF中，
3
由余弦定理得EF= AE2+AF2-2AE⋅AFcos∠BAD= 16+12-2⋅4⋅2 3⋅ =2,
2
所以AE2+EF2=AF2，则AE⊥EF，即EF⊥AD，
所以EF⊥PE,EF⊥DE，又PE∩DE=E,PE、DE⊂平面PDE，
所以EF⊥平面PDE，又PD⊂平面PDE，
故EF⊥PD；
(2)连接CE，由∠ADC=90°,ED=3 3,CD=3，则CE2=ED2+CD2=36，
在△PEC中，PC=4 3,PE=2 3,EC=6，得EC2+PE2=PC2，
所以PE⊥EC，由(1)知PE⊥EF，又EC∩EF=E,EC、EF⊂平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD，又ED⊂平面ABCD，
所以PE⊥ED，则PE,EF,ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E-xyz，
则E(0,0,0),P(0,0,2 3),D(0,3 3,0),C(3,3 3,0),F(2,0,0),A(0,-2 3,0)，
由F是AB的中点，得B(4,2 3,0)，
所以PC=(3,3 3,-2 3),PD=(0,3 3,-2 3),PB=(4,2 3,-2 3),PF=(2,0,-2 3)，
设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n=(x ,y ,z),m=(x ,y ,z )，
1 1 1 2 2 2
n⋅PC=3x +3 3y -2 3z =0 m⋅PB=4x +2 3y -2 3z =0
则 1 1 1 ，
2 2 2 ，
n⋅PD=3 3y -2 3z =0 m⋅PF=2x -2 3z =0
1 1 2 2
令y =2,x = 3，得x =0,z =3,y =-1,z =1，
1 2 1 1 2 2
所以n=(0,2,3),m=( 3,-1,1)，
所以 cosm,n
m⋅n
=
m n
1 65
= = ， 5⋅ 13 65
8 65
设平面PCD和平面PBF所成角为θ，则sinθ= 1-cos2θ= ，
65
8 65
即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为 .
65
数学试题 第 133 页 共 171 页【点睛】
18.(1)0.686
(2)(i)由甲参加第一阶段比赛；(i)由甲参加第一阶段比赛；
【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；
(2)(i)首先各自计算出P =1-(1-p)3
甲
q3，P =1-(1-q)3
乙
⋅p3，再作差因式分解即可判断；(ii)首先
得到X和Y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.
【解析】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1
次，
∴比赛成绩不少于5分的概率P=1-0.63 1-0.53 =0.686.
(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P =1-(1-p)3
甲
q3，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P =1-(1-q)3
乙
⋅p3，
∵0<p<q，
∴P 甲 -P 乙 =q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=(q-p)q2+pq+p2 +(p-q)⋅
(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq) =(p-q)3p2q2-3p2q-3pq2 =3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p
-q)[(1-p)(1-q)-1]>0，
∴P >P ，应该由甲参加第一阶段比赛.
甲 乙
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，
P(X=0)=(1-p)3+1-(1-p)3
⋅(1-q)3，
PX=5 = 1-1-p 3 C 3 1q⋅1-q 2，
P(X=10)=1-(1-p)3 ⋅C2q2(1-q)，
3
P(X=15)=1-(1-p)3 ⋅q3，
∴E(X)=151-(1-p)3 q=15p3-3p2+3p ⋅q
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15，
同理E(Y)=15q3-3q2+3q ⋅p
∴E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)]
=15(p-q)pq(p+q-3)，
因为0<p<q，则p-q<0，p+q-3<1+1-3<0，
则(p-q)pq(p+q-3)>0，
∴应该由甲参加第一阶段比赛.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大
小关系，最后得到结论.
19.(1)x =3，y =0
2 2
(2)证明见解析
(3)证明见解析
数学试题 第 134 页 共 171 页【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 的坐标即可；
2
(2)思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证明；
(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S 的取值为与n无关的定值即可.思路二：使用
n
等差数列工具，证明S 的取值为与n无关的定值即可.思路三：利用点差法得到k =
n PnPn+1
x +y +x -y
n+1 n+1 n n
x n+1 +y n+1 -x n -y n
x +y +x -y
，k = n+2 n+2 n-1 n-1
Pn-1Pn+2 x n+2 +y n+2 -x n-1 -y n-1
，再结合(2)中的结论得x +y =
n+1 n+1
qx n+2 +y n+2 ，最后证明出k =k 即可. PnPn+1 Pn-1Pn+2
【解析】(1)
公众号：MST数学聚集地MathHub
由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.
1
当k=
2
时，过P 15,4
1 x+3 x+3
且斜率为 的直线为y= ，与x2-y2=9联立得到x2-
2 2 2
2
=9.
解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P 1 的交点为Q 1-3,0 ，该点显然在C的左支上.
故P 23,0 ，从而x =3，y =0. 2 2
(2)方法一：由于过P nx n ,y n 且斜率为k的直线为y=kx-x n +y ，与x2-y2=9联立，得到方程x2- n
kx-x n +y n 2=9.
展开即得1-k2 x2-2ky n -kx n x-y n -kx n 2-9=0，由于P nx n ,y n 已经是直线y=kx-x n +y n
和x2-y2=9的公共点，故方程必有一根x=x .
n
从而根据韦达定理，另一根x= 2ky n -kx n 2ky -x -k2x 1-k2 -x n = n 1- n k2 n ，相应的y=kx-x n +y = n
y +k2y -2kx
n n n .
1-k2
2ky -x -k2x y +k2y -2kx
所以该直线与C的不同于P 的交点为Q n n n , n n n
n n 1-k2 1-k2
，而注意到Q 的横坐标亦
n
可通过韦达定理表示为 -y n -kx n 2-9
1-k2
，故Q 一定在C的左支上.
x n n
x +k2x -2ky y +k2y -2kx
所以P n n n , n n n
n+1 1-k2 1-k2
.
x +k2x -2ky y +k2y -2kx
这就得到x = n n n ，y = n n n .
n+1 1-k2 n+1 1-k2
x +k2x -2ky y +k2y -2kx
所以x -y = n n n - n n n
n+1 n+1 1-k2 1-k2
x +k2x +2kx y +k2y +2ky 1+k2+2k
= n 1- n k2 n - n 1- n k2 n = 1-k2 x n -y n
1+k
= 1-k x n -y n .
再由x2-y2=9，就知道x -y ≠0，所以数列x -y
1 1 1 1 n n
1+k
是公比为 的等比数列.
1-k
方法二：因为P nx n ,y n ，Q n-x n+1 ,y n+1
y -y 1+k x +x -y +y
，k=- n+1 n ，则 = n+1 n n+1 n ， x +x 1-k x +x +y -y
n+1 n n+1 n n+1 n
数学试题 第 135 页 共 171 页x 2-y 2=9
由于 x n 2 + - 1 y2= n+ 9 1 ，作差得x n+1 -y n+1
n n
x n+1 +y n+1 =x n -y n x n +y n ，
x -y x +y x -y x +y x -y +x +y 1+k
n+1 n+1 = n n ，利用合比性质知 n+1 n+1 = n n = n+1 n+1 n n = ，
x -y x +y x -y x +y x -y +x +y 1-k
n n n+1 n+1 n n n+1 n+1 n n n+1 n+1
因此x -y
n n
1+k
是公比为 的等比数列.
1-k
(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U,V,W，若UV=a,b
，UW =c,d ，则S =
△UVW
1
ad-bc
2
.(若U,V,W在同一条直线上，约定S =0)
△UVW
1
证明：S = UV
△UVW 2
⋅UW
1
sinUV,UW = UV
2
⋅UW
1-cos2UV,UW
1 = UV
2
⋅UW
UV⋅UW 1-
UV
⋅UW
2 1 = UV
2
2 ⋅UW 2 -UV⋅UW 2
1
= a2+b2
2
c2+d2 -ac+bd 2
1
= a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-b2d2-2abcd
2
1 1
= a2d2+b2c2-2abcd= ad-bc
2 2
1
2= ad-bc
2
.
证毕，回到原题.
x +k2x -2ky y +k2y -2kx
由于上一小问已经得到x = n n n ，y = n n n ，
n+1 1-k2 n+1 1-k2
x +k2x -2ky y +k2y -2kx 1+k2-2k
故x n+1 +y n+1 = n 1- n k2 n + n 1- n k2 n = 1-k2 x n +y n
1-k
= 1+k x n +y n .
再由x2-y2=9，就知道x +y ≠0，所以数列x +y
1 1 1 1 n n
1-k
是公比为 的等比数列.
1+k
所以对任意的正整数m，都有
x y -y x
n n+m n n+m
1
= 2 x n x n+m -y n y n+m +x n y n+m -y n x n+m
1
- 2 x n x n+m -y n y n+m -x n y n+m -y n x n+m
1
= 2 x n -y n x n+m +y n+m
1
- 2 x n +y n x n+m -y n+m
1 1-k
= 2 1+k
m
x n -y n x n +y n
1 1+k
- 2 1-k
m
x n +y n x n -y n
1 1-k
= 2 1+k
m 1+k
- 1-k
m
x2 n -y2 n
9 1-k
=
2 1+k
m 1+k
-
1-k
m
.
而又有P n+1 P n = -x n+1 -x n ,-y n+1 -y n
，P n+1 P n+2 =x n+2 -x n+1 ,y n+2 -y n+1 ，
故利用前面已经证明的结论即得
1
S n =S △PnPn+1Pn+2 = 2 -x n+1 -x n y n+2 -y n+1 +y n+1 -y n x n+2 -x n+1
1
= 2 x n+1 -x n y n+2 -y n+1 -y n+1 -y n x n+2 -x n+1
1
= 2 x n+1 y n+2 -y n+1 x n+2 +x n y n+1 -y n x n+1 -x n y n+2 -y n x n+2
1 9 1-k 1+k
= -
2 2 1+k 1-k
9 1-k 1+k
+ -
2 1+k 1-k
9 1-k
-
2 1+k
2 1+k
-
1-k
2
.
这就表明S 的取值是与n无关的定值，所以S =S .
n n n+1
x +k2x -2ky y +k2y -2kx
方法二：由于上一小问已经得到x = n n n ，y = n n n ，
n+1 1-k2 n+1 1-k2
数学试题 第 136 页 共 171 页x +k2x -2ky y +k2y -2kx 1+k2-2k
故x n+1 +y n+1 = n 1- n k2 n + n 1- n k2 n = 1-k2 x n +y n
1-k
= 1+k x n +y n .
再由x2-y2=9，就知道x +y ≠0，所以数列x +y
1 1 1 1 n n
1-k
是公比为 的等比数列.
1+k
所以对任意的正整数m，都有
x y -y x 公众号：MST数学聚集地MathHub
n n+m n n+m
1
= 2 x n x n+m -y n y n+m +x n y n+m -y n x n+m
1
- 2 x n x n+m -y n y n+m -x n y n+m -y n x n+m
1
= 2 x n -y n x n+m +y n+m
1
- 2 x n +y n x n+m -y n+m
1 1-k
= 2 1+k
m
x n -y n x n +y n
1 1+k
- 2 1-k
m
x n +y n x n -y n
1 1-k
= 2 1+k
m 1+k
- 1-k
m
x2 n -y2 n
9 1-k
=
2 1+k
m 1+k
-
1-k
m
.
9 1-k 1+k
这就得到x y -y x = -
n+2 n+3 n+2 n+3 2 1+k 1-k
=x y -y x ，
n n+1 n n+1
9 1-k
以及x y -y x =
n+1 n+3 n+1 n+3 2 1+k
2 1+k
-
1-k
2
=x y -y x .
n n+2 n n+2
两式相减，即得x n+2 y n+3 -y n+2 x n+3 -x n+1 y n+3 -y n+1 x n+3 =x n y n+1 -y n x n+1 -x n y n+2 -y n x n+2 .
移项得到x y -y x -x y +y x =y x -x y -y x +x y .
n+2 n+3 n n+2 n+1 n+3 n n+1 n+2 n+3 n n+2 n+1 n+3 n n+1
故y n+3 -y n x n+2 -x n+1 =y n+2 -y n+1 x n+3 -x n .
而P n P n+3 =x n+3 -x n ,y n+3 -y n
，P n+1 P n+2 =x n+2 -x n+1 ,y n+2 -y n+1 .
所以PP 和P P 平行，这就得到S =S ，即S =S .
n n+3 n+1 n+2 △PnPn+1Pn+2 △Pn+1Pn+2Pn+3 n n+1
x 2-y 2=9
方法三：由于 x n 2 + - 1 y2= n+ 9 1 ，作差得x n+1 2-x n 2=y n+1 2-y n 2，
n n
y -y x +x x +y +x -y
变形得k = n+1 n = n+1 n = n+1 n+1 n n
PnPn+1 x n+1 -x n y n+1 +y n x n+1 +y n+1 -x n -y n
①，
y -y x +x x +y +x -y
同理可得k = n+2 n-1 = n+2 n-1 = n+2 n+2 n-1 n-1
Pn-1Pn+2 x n+2 -x n-1 y n+2 +y n-1 x n+2 +y n+2 -x n-1 -y n-1
，
由(2)知x -y n n
1+k 1+k
是公比为 1-k 的等比数列，令q= 1-k 则x n -y n =qx n-1 -y n-1 ②，
同时x +y n n
1
是公比为 q 的等比数列，则x n+1 +y n+1 =qx n+2 +y n+2 ③，
将②③代入①，公众号：MST数学聚集地MathHub
y -y x +y +x -y n+1 n = n+1 n+1 n n
x n+1 -x n x n+1 +y n+1 -x n -y n
= qx n+2 +y n+2 +qx n-1 -y n-1
qx n+2 +y n+2 -qx n-1 -y n-1
x +y +x -y = n+2 n+2 n-1 n-1
x n+2 +y n+2 -x n-1 -y n-1
即k =k ，从而S =S ，即S =S .
PnPn+1 Pn-1Pn+2 n-1 n n n+1
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.
数学试题 第 137 页 共 171 页2025年普通高等学校招生全国统一考试(新1卷)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. (1+5i)i的虚部为 ( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 6
2. 设全集U=xx是小于9的正整数 ，集合A={1,3,5}，则∁ A中元素个数为 ( )
U
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
3. 若双曲线C的虚轴长为实轴长的 7倍，则C的离心率为 ( )
A. 2 B. 2 C. 7 D. 2 2
π
4. 若点(a,0)(a>0)是函数y=2tanx-
3
的图象的一个对称中心，则a的最小值为 ( )
π π π 4π
A. B. C. D.
6 3 2 3
3
5. 设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f-
4
= ( )
1 1 1 1
A. - B. - C. D.
2 4 4 2
6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风
风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速
对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运
动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向量的大小相同)，单
位(m/s)，则真风为 ( )
等级 风速大小m/s 名称
2 1.1~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.1 劲风
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
7. 若圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y= 3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是
( )
A. (0,1) B. (1,3) C. (3,+∞) D. (0,+∞)
8. 若实数x，y，z满足2+log x=3+log y=5+log z，则x，y，z的大小关系不可能是 ( )
2 3 5
A. x>y>z B. x>z>y C. y>x>z D. y>z>x
数学试题 第 138 页 共 171 页二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对
的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在正三棱柱ABC-ABC 中，D为BC中点，则 ( )
1 1 1
A. AD⊥AC B. BC⊥平面AAD C. AD⎳AB D. CC ⎳平面AAD
1 1 1 1 1 1
3
10. 设抛物线C:y2=6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交l:x=- 于E，
2
过点A作准线l的垂线，垂足为D，则 ( )
A. |AD|=|AF| B. |AE|=|AB| C. |AB|≥6 D. |AE|⋅|BE|≥18
1 1
11. 已知△ABC的面积为 ，若cos2A+cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinC= ，则 ( )
4 4
A. sinC=sin2A+sin2B B. AB= 2
6
C. sinA+sinB= D. AC2+BC2=3
2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a= .
13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
14. 一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的
个数X，则数学期望E(X)= .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列
联表：
超声波检查结果
正常 不正常 合计
组别
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；
(2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
n(ad-bc)2
附χ2= ，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
Px2≥k 0.005 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
数学试题 第 139 页 共 171 页16. 设数列a
n
a a 1
满足a =3， n+1 = n +
1 n n+1 n(n+1)
(1)证明：na
n
为等差数列；
(2)设f(x)=ax+a x2+⋯+a xm，求f(-2)．
1 2 m
17. 如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥AD,AB⊥AD．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；公众号：MST数学聚集地MathHub
(2)PA=AB= 2,AD=1+ 3,BC=2，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O．
(i)证明：O在平面ABCD上；
(ⅱ)求直线AC与直线PO所成角的余弦值．
数学试题 第 140 页 共 171 页x2 y2 2 2
18. 设椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，下顶点为A，右顶点为B，|AB|= 10．
a2 b2 3
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足AR ⋅AP =3．
(i)设P(m,n)，求点R的坐标(用m，n表示)；
(ⅱ)设O为坐标原点，M是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PM|的最大值．
π
19. (1)设函数f(x)=5cosx-cos5x,求f(x)在 0,
4
的最大值；
(2)给定θ∈(0,π)，设a为实数，证明：存在y∈[a-θ,a+θ]，使得cosy≤cosθ；
(3)若存在φ使得对任意x，都有5cosx-cos(5x+φ)≤b，求b的最小值．
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数学试题 第 141 页 共 171 页参考答案
1. C
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
因为1+5i i=i+5i2=-5+i，所以其虚部为1，
故选：C.
2. C
【分析】根据补集的定义即可求出．
因为U=1,2,3,4,5,6,7,8 ，所以∁ A=2,4,6,7,8
U
，∁ A中的元素个数为5，
U
故选：C．
3. D
【分析】由题可知双曲线中a,b的关系，结合a2+b2=c2和离心率公式求解
设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c，
由题知，b= 7a，公众号：MST数学聚集地MathHub
于是a2+b2=c2=a2+7a2=8a2，则c=2 2a，
c
即e= =2 2.
a
故选：D
4. B
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
π
根据正切函数的性质，y=2tanx-
3
π kπ
的对称中心横坐标满足x- = ,k∈Z，
3 2
π
即y=2tanx-
3
π kπ
的对称中心是 + ,0
3 2
,k∈Z，
π kπ
即a= + ,k∈Z，
3 2
π
又a>0，则k=0时a最小，最小值是 ，
3
π
即a= .
3
故选：B
5. A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2,3]的范围中求解.
由题知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立，
3
于是f-
4
3
=f
4
11
=f
4
11 1
=5-2× =- .
4 2
故选：A
6. A
【分析】结合题目条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向
量，得出真风风速的大小，即可由图1得出结论.
由题意及图得，
视风风速对应 向量为：n=0,2 -3,3 =-3,-1 ，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
数学试题 第 142 页 共 171 页
设真风风速对应的向量为n ，船行风速对应的向量为n ，
1 2
∴n=n 1 +n 2 ，船行风速：n 2 =- 3,3 -2,0 =-1,-3 ，
∴n 1 =n-n 2 =-3,-1 --1,-3 =-2,2 ，
n 1 = -2 2+22=2 2≈2.828，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
7. B
【分析】先求出圆心E0,-2 到直线y= 3x+2的距离，然后结合图象，即可得出结论.
由题意，
在圆x2+y+2 2=r2r>0 中，圆心E0,-2 ，半径为r，
到直线y= 3x+2的距离为1的点有且仅有 2个，公众号：MST数学聚集地MathHub
∵圆心E0,-2
0× 3--2
到直线y= 3x+2的距离为：d=
×1+2
3 2+-1
=2，
2
故由图可知，
当r=1时，
圆x2+y+2 2=r2r>0 上有且仅有一个点(A点)到直线y= 3x+2的距离等于1；
当r=3时，公众号：MST数学聚集地MathHub
圆x2+y+2 2=r2r>0 上有且仅有三个点(B,C,D点)到直线y= 3x+2的距离等于1；
当则r的取值范围为1,3 时，
圆x2+y+2 2=r2r>0 上有且仅有两个点到直线y= 3x+2的距离等于1.
故选：B.
8. B
【分析】法一：设2+log x=3+log y=5+log z=m，对m讨论赋值求出x,y,z，即可得出大小关系，
2 3 5
利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
法一：设2+log x=3+log y=5+log z=m，所以
2 3 5
1 1
令m=2，则x=1,y=3-1= ,z=5-3= ，此时x>y>z，A有可能；
3 125
令m=5，则x=8,y=9,z=1，此时y>x>z，C有可能；
令m=8，则x=26=64,y=35=243,z=53=125，此时y>z>x，D有可能；
故选：B．公众号：MST数学聚集地MathHub
法二：设2+log x=3+log y=5+log z=m，所以，x=2m-2,y=3m-3,z=5m-5
2 3 5
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
数学试题 第 143 页 共 171 页作出函数y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5的图象，以上方程的根分别是函数y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5的图
象与直线x=m的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x，
故选：B．
9. BD
【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与
性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根
据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解.
法一：对于A，在正三棱柱ABC-ABC 中，AA ⊥平面ABC，
1 1 1 1
又AD⊂平面ABC，则AA ⊥AD，则AA⋅AD=0，
1 1
因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则AD⊥BC，则CD⋅AD=0
又AC=AA+AD+CD，
1 1
所以AC⋅AD=AA+AD+CD
1 1
⋅AD=AA⋅AD+AD 2 +CD⋅AD=AD 2 ≠0，
1
则AD⊥AC不成立，故A错误；
1
对于B，因为在正三棱柱ABC-ABC 中，AA ⊥平面ABC，
1 1 1 1
又BC⊂平面ABC，则AA ⊥BC，
1
因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则AD⊥BC，
又AA ∩AD=A,AA ,AD⊂平面AAD，
1 1 1
所以BC⊥平面AAD，故B正确；
1
对于D，因为在正三棱柱ABC-ABC 中，CC ⎳AA
1 1 1 1 1
又AA ⊂平面AAD,CC ⊂平面AAD，所以CC ⎳平面AAD，故D正确；
1 1 1 1 1 1
对于C，因为在正三棱柱ABC-ABC 中，AB ⎳AB，
1 1 1 1 1
假设AD⎳AB ，则AD⎳AB，这与AD∩AB=A矛盾，
1 1
所以AD⎳AB 不成立，故C错误；
1 1
故选：BD.
数学试题 第 144 页 共 171 页法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2，高为h，
则D0,0,0 ,A 3,0,0 ,A 1 3,0,h ,C0,-1,0 ,C 10,-1,h ,B0,1,0 ,B 10,1,h ，
对于A，AD=- 3,0,0
,A 1 C=- 3,-1,-h ，
则AD⋅A 1 C=- 3 ×- 3 +0=3≠0，
则AD⊥AC不成立，故A错误；
1
对于BC，BC=0,-2,0
,CC 1 =0,0,h
,AA 1 =0,0,h
,AD=- 3,0,0 ，
设平面AA 1 D的法向量为n=x,y,z ，
AA ⋅n=hz=0
则 1 ，得x=z=0，令y=1，则n=0,1,0
AD⋅n=- 3x=0
，
所以BC=0,-2,0
=-2n，CC ⋅n=0， 1
则BC⊥平面AAD，CC ⎳平面AAD，故BD正确；
1 1 1
对于D，AD=- 3,0,0
,A 1 B 1 =- 3,1,0 ，
- 3 0
则 ≠ ，显然AD⎳AB 不成立，故C错误；
- 3 1 1 1
故选：BD.
10.ACD公众号：MST数学聚集地MathHub
3
【分析】对于A，先判断得直线l:x=- 为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用
2
三角形相似证得∠AEB=90°，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法(法一)与正设法(法二)，联立
直线AB与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得AE 2=AF ⋅
AB ，BE 2=BF ⋅AB ，结合焦半径公式可判断D.
法一：对于A，对于抛物线C:y2=6x，
3 3
则p=3，其准线方程为x=- ，焦点F ,0
2 2
，
则AD 为抛物线上点到准线的距离，AF 为抛物线上点到焦点的距离，
数学试题 第 145 页 共 171 页由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确；
对于B，过点B作准线l的垂线，交于点P，
由题意可知AD⊥l,EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，
又|AD|=|AF|，|AE|=|AB|，所以△ADE≅△AFE，
所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，
又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，
所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，
显然AB为△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误；
对于C，易知直线AB的斜率不为0，
3
设直线AB的方程为x=my+ 2 ，Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ，
3
x=my+
联立 2 ，得y2-6my-9=0，
y2=6x
易知Δ>0，则y +y =6m,yy =-9，
1 2 1 2
3 3
又x =my + ，x =my + ，
1 1 2 2 2 2
所以|AB|=x 1 +x 2 +p=my 1 +y 2 +3+3=6m2+6≥6，
当且仅当m=0时取等号，故C正确；
对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF，
AE
所以Rt△ABE∼Rt△AEF，则
AB
AF
=
AE
，即AE 2=AF ⋅AB ，
同理BE 2=BF ⋅AB ，
又AF ⋅BF
3
=x + 1 2
3
x + 2 2 =my 1 +3 my 2 +3
=m2y 1 y 2 +3my 1 +y 2 +9=-9m2+18m2+9=9m2+1 ，
AB =6m2+6=6m2+1 ，
所以AE 2⋅BE 2=BF ⋅AF ⋅AB 2=9m2+1 ×36m2+1 2，
则AE ⋅BE =3m2+1
1
2 ×6m2+1 =18m2+1
3
2 ≥18，故D正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线C:y2=6x，
3 3
则p=3，其准线方程为x=- ，焦点F ,0
2 2
，
则AD 为抛物线上点到准线的距离，AF 为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确；
数学试题 第 146 页 共 171 页对于B，过点B作准线l的垂线，交于点P，
由题意可知AD⊥l,EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，
又|AD|=|AF|，|AE|=|AB|，所以△ADE≅△AFE，
所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，
又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，
所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，
显然AB为△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误；
对于C，当直线AB的斜率不存在时，AB =2p=6；
3
当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为y=kx-
2
，
3
y=kx-
联立 2
，消去y，得k2x2-3k2+6
y2=6x
9
x+ k2=0，
4
6 9
易知Δ>0，则x +x =3+ ,xx = ，
1 2 k2 1 2 4
所以AB = 1+k2x 1 -x 2 = 1+k2× x 1 +x 2 2-4xx 1 2
6
= 1+k2× 3+
k2
2 1
-9=61+
k2
>6，
综上，|AB|≥6，故C正确；
对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF，
AE
所以Rt△ABE∼Rt△AEF，则
AB
AF
=
AE
，即AE 2=AF ⋅AB ，
同理BE 2=BF ⋅AB ，
当直线AB的斜率不存在时，AB =6，AF =BF
1
= AB
2
=3；
所以AE 2⋅BE 2=BF ⋅AF ⋅AB 2=3×3×62，即AE ⋅BE =18；
当直线AB的斜率存在时，AB
1
=61+
k2
，
AF ⋅BF
3
=x + 1 2
3
x + 2 2
3
=x 1 x 2 + 2 x 1 +x 2
9
+ 4
9 3 6
= + 3+
4 2 k2
9 1
+ =91+
4 k2
，
所以AE 2⋅BE 2=BF ⋅AF ⋅AB
1
2=91+
k2
1
×361+
k2
2
，
则AE ⋅BE
1
=31+
k2
1 1
2 ×61+
k2
1
=181+
k2
3
2 >18；
综上，AE ⋅BE ≥18，故D正确.
故选：ACD.
11.ABC
【分析】对cos2A+cos2B+2sinC=2由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较A+B和
π
的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础
2
1
上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用cosAcosBsinC= 算出A,B取值，最后利用三角形
4
面积求出三边长，即可判断每个选项.
cos2A+cos2B+2sinC=2，由二倍角公式，1-2sin2A+1-2sin2B+2sinC=2，
整理可得，sinC=sin2A+sin2B，A选项正确；
数学试题 第 147 页 共 171 页由诱导公式，sin(A+B)=sinπ-C =sinC，
展开可得sinAcosB+sinBcosA=sin2A+sin2B，
即sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)=0，
π
下证C= .
2
方法一：分类讨论
π
若A+B= ，则sinA=cosB,sinB=cosA可知等式成立；
2
π π
若A+B< ，即A< -B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sinA<cosB，同理sinB<cosA，
2 2
又sinA>0,sinB>0，于是sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)<0，
π
与条件不符，则A+B< 不成立；
2
π π
若A+B> ，类似可推导出sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)>0，则A+B> 不成立.
2 2
π π
综上讨论可知，A+B= ，即C= .
2 2
方法二：边角转化
sinC=sin2A+sin2B时，由C∈(0,π)，则sinC∈(0,1]，
于是1×sinC=sin2A+sin2B≥sin2C，
由正弦定理，a2+b2≥c2，
π
由余弦定理可知，cosC≥0，则C∈0,
2
，
π
若C∈0,
2
π 1
，则A+B> ，注意到cosAcosBsinC= ，则cosAcosB>0，
2 4
π
于是cosA>0,cosB>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A,B∈0,
2
，
π π π π
结合A+B> ⇔A> -B，而A, -B都是锐角，则sinA>sin -B
2 2 2 2
=cosB>0，
于是sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和sinC≤1相矛盾，
π
故C∈0,
2
π
不成立，则C=
2
方法三：结合射影定理(方法一改进)
由sinC=sin2A+sin2B，结合正弦定理可得，c=asinA+bsinB，由射影定理可得c=acosB+bcosA，
于是asinA+bsinB=acosB+bcosA，
π
则a(sinA-cosB)+b(sinB-cosA)=0，可同方法一种讨论的角度，推出A+B= ，
2
方法四：和差化积(方法一改进)
续法三：
a(sinA-cosB)+b(sinB-cosA)=0，可知sinA-cosB,sinB-cosA同时为0或者异号，即(sinA-
cosB)(sinB-cosA)≤0，展开可得，
sinAsinB-sinAcosA-cosBsinB+cosAcosB≤0，
1
即cos(A-B)- sin2A+sin2B
2
≤0，结合和差化积，cos(A-B)1-sin(A+B) ≤0，由上述分析，
π
A,B∈0,
2
π π
，则A-B∈ - ,
2 2
，则cos(A-B)≥0，则1-sin(A+B)≤0，即sinC≥1，于是
π
sinC=1，可知C= .
2
1 π 1
由cosAcosBsinC= =cosAcosB，由A+B= ，则cosB=sinA，即sinAcosA= ，
4 2 4
数学试题 第 148 页 共 171 页1 1 π
则sin2A= ，同理sin2B= ，由上述推导，A,B∈0,
2 2 2
，则2A,2B∈(0,π)，
π 5π π 5π
不妨设A<B，则2A= ,2B= ，即A= ,B= ，
6 6 12 12
π 5π 6- 2 6+ 2 6
由两角和差 正弦公式可知sin +sin = + = ，C选项正确
12 12 4 4 2
5π
由两角和的正切公式可得，tan =2+ 3，
12
设BC=t,AC=2+ 3 t，则AB= 2+ 6 t，
1 1 4-2 3 3-1
由S = (2+ 3)t2= ，则t2= =
△ABC 2 4 4 2
2 3-1
，则t= ，
2
于是AB=( 6+ 2)t= 2，B选项正确，由勾股定理可知，AC2+BC2=2，D选项错误.
故选：ABC
12.4
【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用
导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点x 0 ,y 0 与a的方程组，解之即可得解.
法一：对于y=ex+x+a，其导数为y=ex+1，
因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2，
令y=ex+1=2，即ex=1，解得x=0，
将x=0代入切线方程y=2x+5，可得y=2×0+5=5，
所以切点坐标为(0,5)，
因为切点(0,5)在曲线y=ex+x+a上，
所以5=e0+0+a，即5=1+a，解得a=4.
故答案为：4.
法二：对于y=ex+x+a，其导数为y=ex+1，
假设y=2x+5与y=ex+x+a的切点为x 0 ,y 0 ，
ex0+1=2
则y =2x +5 ，解得a=4.
0 0
y =ex0+x +a
0 0
故答案为：4.
13.2
【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前n项和的定
义，得到关于q的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前n项和性质得到关于q的方程，解之即可
得解.
法一：设该等比数列为a
n
，S 是其前n项和，则S =4,S =68，
n 4 8
设a n 的公比为qq>0 ，
当q=1时，S =4a =4，即a =1，则S =8a =8≠68，显然不成立，舍去；
4 1 1 8 1
当q≠1时，则S =
a 11-q4
4
=4,S =
a 11-q8
1-q 8
=68，
1-q
数学试题 第 149 页 共 171 页1-q8 68 1-q4
两式相除得 = ，即
1-q4 4
1+q4
=17，
1-q4
则1+q4=17，所以q=2，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法二：设该等比数列为a
n
，S 是其前n项和，则S =4,S =68，
n 4 8
设a n 的公比为qq>0 ，
所以S =a +a +a +a =4，
4 1 2 3 4
S =a +a +a +a +a +a +a +a
8 1 2 3 4 5 6 7 8
=a +a +a +a +aq4+a q4+a q4+a q4
1 2 3 4 1 2 3 4
=a 1 +a 2 +a 3 +a 4 1+q4 =68，
所以41+q4 =68，则1+q4=17，所以q=2，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为a
n
，S 是其前n项和，则S =4,S =68，
n 4 8
设a n 的公比为qq>0 ，
因为S 8 -S 4 =a 5 +a 6 +a 7 +a 8 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 q4=68-4=64，
又S =a +a +a +a =4，
4 1 2 3 4
S -S 64
所以 8 4 =q4= =16，所以q=2，
S 4
4
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
61
14. ##2.44
25
【分析】法一：根据题意得到X的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得X的分布
列，从而求得E(X)；法二，根据题意假设随机变量X，利用对立事件与独立事件的概率公式求得E(X)，
i i
进而利用数学期望的性质求得E(X).
法一：依题意，X的可能取值为1、2、3，
总的选取可能数为53=125，
其中X=1：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，
5 1
故P(X=1)= = ，
125 25
X=2：恰好两种不同球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次)，
选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，
其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X=2的可能情况有5×4×3=60种，
60 12
故P(X=2)= = ，
125 25
X=3：三种不同球被取出，
由排列数可知事件X=3的可能情有况5×4×3=60种，
60 12
故P(X=3)= = ，
125 25
所以EX =1×PX=1 +2×PX=2 +3×PX=3
5 12 12 61
=1× +2× +3× = .
125 25 25 25
数学试题 第 150 页 共 171 页61
故答案为： .
25
法二：依题意，假设随机变量X，其中i=1,2,3,4,5：
i
1,这3次选取中,球i至少被取出一次 5
其中X
i
=
0,这3次选取中,球i一次都没被取出
，则X=X
i
，
i=1
由于球的对称性，易知所有EX i 相等，
5
则由期望的线性性质，得E[X]=E ∑X i
i=1
5
=∑EX i
i=1
=5EX i ，
4
由题意可知，球i在单次抽取中未被取出的概率为 ，
5
由于抽取独立，三次均未取出球i的概率为PX i =0
4
= 5
3 64
= ， 125
因此球i至少被取出一次的概率为：PX i =1
64 61
=1- = ， 125 125
故EX i
61
= ， 125
所以E[X]=5EX i
61 61
=5× = . 125 25
61
故答案为： .
25
9
15.(1)
10
(2)有关
【分析】(1)根据古典概型的概率公式即可求出；
(2)根据独立性检验的基本思想,求出χ2,然后与小概率值α=0.001对应的临界值10.828比较,即可判
断.
【小问1详解】
180 9
根据表格可知，检查结果不正常的200人中有180人患病，所以p的估计值为 = ；
200 10
【小问2详解】
零假设 H ：超声波检查结果与患病无关，
0
1000×20×20-780×180
根据表中数据可得，χ2=
2
=765.625>10.828=x ，
800×200×800×200 0.001
根据小概率值α=0.001 χ2独立性检验，我们推断H 不成立，即认为超声波检查结果与患该病有
0
关，该推断犯错误的概率不超过0.001.
16.(1)证明见解析；
(2)f-2
7 3m+7
= -
9
-2 m
9
a a 1
【分析】(1)根据题目所给条件 n+1 = n +
n n+1 nn+1
化简，即可证明结论；
(2)先求出a
n
的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以x，作差并利用等比数列前n项和得出导
函数表达式，即可得出结论.
【小问1详解】
由题意证明如下，n∈N*，
在数列a
n
a a 1
中，a =3， n+1 = n +
1 n n+1 nn+1
，
∴n+1 a n+1 =na n +1，即n+1 a -na =1， n+1 n
数学试题 第 151 页 共 171 页∴na
n
是以a =3为首项，1为公差的等差数列.
1
【小问2详解】
由题意及(1)得，n∈N*，
在数列na
n
中，首项为3，公差为1，
∴na n =3+1×n-1
2
，即a =1+ ， n n
在fx =ax+a x2+⋯+a xm中， 1 2 m
fx
2
=3x+2x2+⋯+1+
m
xm，fx =3+4x+⋯+m+2 xm-1
fx
∴
=3+4x+⋯+m+2 xm-1
xfx =3x+4x2+⋯+m+2
，
xm
当x≠1且x≠0时，
∴1-x fx =3+x+x2+⋯+xm-1-m+2
x1-xm-1
xm=3+
-m+2
1-x
xm，
∴fx
3 x1-xm-1
= +
1-x
1-x
m+2
-
2
xm
1-x
∴f-2
3
=
1--2
-2 1--2
+
m-1
1--2
m+2
-
2
-2 m
1--2
-2
=1+
1--2 m-1 m+2
-
9
-2 m
3
2 -2
=1- -
9
m m+2
-
9
-2 m
3
7 3m+7
= -
9
-2 m
.
9
17.(1)证明见解析；
(2)(i)证明见解析；
2
(ii) .
3
【分析】(1)通过证明AP⊥AB，AP⊥AD，得出AB⊥平面PAD，即可证明面面垂直；
(2)(i)法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设P,B,C,D在同一球面O上，在平面xAy
中，得出点O坐标，进而得出点O在空间中的坐标，计算出OP =OB =OC =OD ，即可证明结论；
法二：作出△BCD的边BC和CD的垂直平分线，找到三角形的外心O ，求出PO ，求出出外心O 到P，
1 1 1
B，C，D的距离相等，得出外心O 即为P，B，C，D所在球的球心，即可证明结论；
1
(ii)法一：写出直线AC和PO的方向向量，即可求出余弦值.
法二：求出AC的长，过点O作AC的平行线，交BC的延长线为C ，连接AC ，PC ，利用勾股定理求出
1 1 1
AC 的长，进而得出PC 的长，在△POC 中由余弦定理求出cos∠POC ，即可求出直线AC与直线PO
1 1 1 1
所成角的余弦值.
【小问1详解】
由题意证明如下，
在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴AP⊥AB，AP⊥AD，
∵AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，AP∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
数学试题 第 152 页 共 171 页∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
【小问2详解】
(i)由题意及(1)证明如下，
法一：
在四棱锥P-ABCD中，AP⊥AB，AP⊥AD，AB⊥AD，BC∥AD，
PA=AB= 2，AD=1+ 3，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴A0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 2,2,0 ,D0,1+ 3,0 ,P0,0, 2 ，
若P，B，C，D 同一个球面上，
则OP =OB =OC =OD ，
在平面xAy中，
∴A0,0 ,B 2,0 ,C 2,2 ,D0,1+ 3 ，
2 3+3
∴线段CD中点坐标F ,
2 2
，
1+ 3-2 3-1
直线CD的斜率：k = =- ，
1 0- 2 2
2 6+ 2
直线CD的垂直平分线EF斜率：k = = ，
2 3-1 2
3+3 6+ 2 2
∴直线CD的方程：y- = x-
2 2 2
，
6+ 2 2
即y= x-
2 2
3+3
+ ，
2
6+ 2 2
当y=1时，1= x -
2 O 2
3+3
+ ，解得：x =0，
2 O
∴O0,1
在立体几何中，O0,1,0 ，
数学试题 第 153 页 共 171 页OP
∵
= 02+12+0- 2 2
OB = 0- 2 2+12+02
OC = 0- 2 2+1-2 2+02
OD = 02+1-1- 3
2+02
解得：OP =OB =OC =OD = 3，
∴点O在平面ABCD上.
法二：
∵P，B，C，D在同一个球面上，
∴球心到四个点的距离相等
在△BCD中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，
作出BC和CD的垂直平分线，如下图所示，
由几何知识得，
1
O E=AB= 2，BE=CE=AO =GO = BC=1，OD=AD-AO = 3
1 1 1 2 1 1
BO 1 =CO 1 = 12+ 2 2= 3，
∴OD=BO =CO ，
1 1 1
∴点O 是△BCD的外心，
1
在Rt△AOP中，AP⊥AD，AP= 2，
由勾股定理得，
PO 1 = AP2+AO2 1 = 2 2+12= 3
∴PO =BO =CO =OD= 3，
1 1 1 1
∴点O 即为点P，B，C，D所在球的球心O，
1
此时点O在线段AD上，AD⊂平面ABCD，
∴点O在平面ABCD上.
(ii)由题意，(1)(2)(ii)及图得，
数学试题 第 154 页 共 171 页
AC= 2,2,0
,PO=0,1,- 2 ，
设直线AC与直线PO所成角为θ，
AC⋅PO
∴cosθ=
AC
PO
0+2×1+0
=
2 2+22+0× 0+12+- 2
2
= .
2 3
法2：
由几何知识得，PO= 3，
AB⊥AD，BC∥AD，
∴AB⊥BC，
在Rt△ABC中，AB= 2，BC=2，由勾股定理得，
AC= AB2+BC2= 2 2+22= 6，
过点O作AC的平行线，交BC的延长线为C ，连接AC ，PC ，
1 1 1
则OC =AC= 6，直线AC与直线PO所成角即为△POC 中∠POC 或其补角.
1 1 1
∵PA⊥平面ABCD，AC ⊂平面ABCD，PA∩AC =A，
1 1
∴PA⊥AC ，
1
在Rt△ABC 中，AB= 2，BC =BC+CC =2+1=3，由勾股定理得，
1 1 1
AC 1 = AB2+BC 1 2= 2 2+32= 11，
在Rt△APC 中，PA= 2，由勾股定理得，
1
PC 1 = PA2+AC 1 2= 2 2+ 11 2= 13，
在△POC 中，由余弦定理得，
1
PC2=PO2+OC2-2PO⋅OCcos∠POC ，
1 1 1 1
即： 13 2= 3 2+ 6 2-2 3× 6cos∠POC 1
2
解得：cos∠POC =-
1 3
∴直线AC与直线PO所成角的余弦值为：cos∠POC 1
2
= . 3
x2
18.(1) +y2=1
9
数学试题 第 155 页 共 171 页3m
(2)(ⅰ)
m2+n+1
n+2-m2-n2
,
2 m2+n+1
2
(ⅱ) 3 3+ 2
【分析】(1)根据题意列出a,b,c的关系式,解方程求出a,b,c,即可得到椭圆的标准方程；
(2)(ⅰ)设Rx 0 ,y 0 ,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出；
(ⅱ) 根据斜率关系可得到点P的轨迹为圆(除去两点)，再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直
接运算即可解出.
【小问1详解】
由题可知,A0,-b ,Ba,0
a2+b2= 10
c 2 2
，所以 e= = ，解得a2=9,b2=1,c2=8，
a 3
c2=a2-b2
x2
故椭圆的标准方程为 +y2=1；
9
【小问2详解】
(ⅰ)设Rx 0 ,y 0 ，易知m≠0，
n+1 y +1 n+1
法一：所以k = ，故 0 = ，且mx >0．
AP m x m 0
0
因为A0,-1 ，AR AP =3，所以 x2 0 +y 0 +1 2× m2+n+1 2=3，
n+1 即 1+
m
2
3m x m=3，解得x =
0 0 m2+n+1
n+2-m2-n2 ，所以y =
2 0 m2+n+1
，
2
3m
所以点R的坐标为
m2+n+1
n+2-m2-n2
,
2 m2+n+1
2
.
法二：设AR=λAP,λ>0，则AR AP =3⇒λ m2+n+1 2 =3，所以
3
λ=
m2+n+1
，AR=λAP=λm,n+1
2
3m
=
m2+n+1
3n+1
,
2
m2+n+1
2
，故
3m
点R的坐标为
m2+n+1
n+2-m2-n2
,
2 m2+n+1
2
.
n+2-m2-n2
m2+n+1
(ⅱ)因为k =
OR
2
3m
m2+n+1
n+2-m2-n2 n
= ,k = ,由k =3k ,可得
3m OP m OR OP
2
3n n+2-m2-n2
= ,化简得m2+n2+8n-2=0,即m2+n+4
m 3m
2=18m≠0 ,
所以点P在以N0,-4 为圆心,3 2为半径的圆上(除去两个点),
PM 为M到圆心N的距离加上半径,
max
法一：设M3cosθ,sinθ ,所以
MN 2=3cosθ 2+sinθ+4 2=9cos2θ+sin2θ+8sinθ+16
=8cos2θ+1+8sinθ+16
数学试题 第 156 页 共 171 页=81-sin2θ +8sinθ+17
3cosθ 2+sinθ+4 2=9cos2θ+sin2θ+8sinθ+16=8cos2θ+1+8sinθ+16=81-sin2θ +8sinθ
+17=-8sin2θ+8sinθ+25
1
=-8sinθ-
2
2 1
+27≤27,当且仅当sinθ= 时取等号,
2
所以PM = 27+3 2=3 3+ 2
max
.
法二：设Mx M ,y m
x2
，则 M +y2 =1， 9 M
MN 2=x2 +y +4
M M
2=9-9y2 +y2 +8y +16=-8y2 +8y +25
M M M M M
1
=-8y -
M 2
2 1
+27≤27，当且仅当y = 时取等号,
M 2
故PM = 27+3 2=3 3+ 2
max
.
19.(1)3 3
(2)证明见解析 (3)3 3
【分析】(1)利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用
均值不等式可求最大值.
(2)利用反证法可证三角不等式有解；
(3)先考虑φ=0,π时b的范围，对于φ∈0,π 时，可利用(2)中的结论结合特值法求得b≥3 3，从而
可得b的最小值；或者先根据函数解析特征得b≥0，再结合特值法可得b≥3 3，结合(1)的结果可得b
的最小值.
(1)法1：fx =-5sinx+5sin5x=10cos3xsin2x，
π
因为x∈ 0,
4
π
，故2x∈ 0,
2
，故sin2x≥0，
π
当0<x< 时，cos3x>0即fx
6
>0，
π π
当 <x< 时，cos3x<0即fx
6 4
<0，
故fx
π
在0,
6
π π
上为增函数，在 ,
6 4
为减函数，
故fx
π
在 0,
4
π
上的最大值为f
6
π 5π
=5cos -cos =3 3.
6 6
法2：我们有cos5x=cosx+4x =cosxcos4x-sinxsin4x
=cosx2cos22x-1 -sinx⋅2sin2xcos2x
=cosx 22cos2x-1 2-1 -sinx⋅2⋅2sinxcosxcos2x
=cosx8cos4x-8cos2x+1 -4cosxcos2xsin2x
=8cos5x-8cos3x+cosx-4cosx2cos2x-1 1-cos2x
=16cos5x-20cos3x+5cosx.
所以：
fx =5cosx-cos5x=5cosx-16cos5x-20cos3x+5cosx =20cos3x-16cos5x
=4cos3x5-4cos2x ≤4cosx 3 5-4cosx 2 =4cosx 3 5-2cosx 5+2cosx
32
= cosx
3
⋅cosx ⋅cosx
15+3
⋅ 5-2cosx
4
15-3
⋅ 5+2cosx
4
32 1
≤ cosx
3 5
+cosx +cosx
15+3
+ 5-2cosx
4
15-3
+ 5+2cosx
4
5
32 3
=
3 2
5
=3 3.
数学试题 第 157 页 共 171 页这得到fx
π
≤3 3，同时又有f
6
π 5π
=5cos -cos =3 3，
6 6
故fx
π
在 0,
4
上的最大值为3 3，在R上的最大值也是3 3.
(2)法1：由余弦函数的性质得cosx≤cosθ的解为2kπ+θ,2kπ+2π-θ ，k∈Z，
若任意2kπ+θ,2kπ+2π-θ ,k∈Z与a-θ,a+θ 交集为空，
则a-θ>2kπ+2π-θ且a+θ<2kπ+2π+θ，此时a无解，
矛盾，故无解；故存在k∈Z，使得2kπ-θ,2kπ+θ ∩a-θ,a+θ ≠∅，
法2：由余弦函数的性质知cosy≤cosθ的解为 2kπ+θ,2k+1 π-θ k∈Z ，
若每个 2kπ+θ,2k+1 π-θ 与a-θ,a+θ 交集都为空，
则对每个k∈Z，必有2k+1 π-θ<a-θ或2kπ+θ>a+θ之一成立.
a a a a
此即k< -1或k> ，但长度为1的闭区间 -1,
2π 2π 2π 2π
上必有一整数k，该整数k不满足条件，
矛盾.
故存在y∈a-θ,a+θ ，使得cosy≤cosθ成立.
(3)法1：记hx =5cosx-cos5x+φ ，
因为hx+2π =5cosx+2π -cos5x+10π+φ =hx ，
故hx 为周期函数且周期为2π,故只需讨论x∈0,2π ,φ∈0,π 的情况.
当φ=π时，h(x)=5cosx-cos5x+π =6cosx≤6，
当φ=0时，h(x)=5cosx-cos5x，
此时hx =-5sinx+5sin5x=10cos3xsin2x,x∈0,2π ，
π π 5π 7π 3π 11π
令h(x)=0，则x= , , ,π, , , ，
6 2 6 6 2 6
π
而h
6
11π
=h
6
π
=3 3,h
2
3π
=h
2
5π
=0,h
6
7π
=h
6
=-3 3,h(π)=-4，
π
h(0)=h(2π)=4，故h(x) =h
max 6
11π
=h
6
=3 3，
当φ∈0,π ，在(2)中取φ=t，则存在y∈φ-θ,φ+θ ，使得cosy≤cosθ，
5π 3 y-φ θ θ
取θ= ，则cosy≤- ，取x= ∈- ,
6 2 5 5 5
y-φ π π
即x= ∈- ,
5 6 6
，
5 3
故5cosx≥ ，故5cosx-cos5x+φ
2
≥3 3，
π
综上b≥3 3，可取x= ，φ=0使得等号成立.
6
综上，b =3 3.
min
法2：设g φx =5cosx-cos5x+φ .
①一方面，若存在φ，使得g φx =5cosx-cos5x+φ ≤b对任意x恒成立，则对这样的φ，同样有g φx
=-g φx+π ≥-b.
所以 g φx ≤b对任意x恒成立，这直接得到b≥0.
φ π
设
6
-
6
=m，则根据 g φx ≤b恒成立，有
φ π
b ≥ g - +
φ 6 6
φ π
= 5cos- +
6 6
φ 5π
-cos +
6 6
φ π
= 5cos -
6 6
φ π
+cos -
6 6
=
φ π
6cos -
6 6
=6cosm
φ π
b ≥ g - -
φ 6 6
φ π
= 5cos- -
6 6
φ 5π
-cos -
6 6
φ π
= 5cos +
6 6
φ π
+cos +
6 6
=
数学试题 第 158 页 共 171 页φ π
6cos +
6 6
π
=6cosm+
3
φ π
b ≥ g - +
φ 6 2
φ π
= 5cos- +
6 2
φ 5π
-cos +
6 2
φ π
= 5cos -
6 2
φ π
+cos -
6 2
=
φ π
6cos -
6 2
π
=6cosm-
3
所以cosm
π
, cosm+
3
π
, cosm-
3
b
均不超过 ，
6
再结合cos2x=2cosx 2-1，
2π
就得到cos2m,cos2m+
3
2π
,cos2m-
3
b
均不超过2
6
2 b2
-1= -1.
18
b2 3 3
假设b<3 3，则 -1<
18
2 1
-1= ，
18 2
2π
故cos2m,cos2m+
3
2π
,cos2m-
3
1
∈ -1,
2
.
2π 2π
但这是不可能的，因为三个角2m,2m+ ,2m- 和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可
3 3
1
能都在直线x= 左侧.
2
所以假设不成立，这意味着b≥3 3.
②另一方面，若b=3 3，则由(1)中已经证明fx ≤3 3，
知存在φ=0，使得
5cosx-cos5x+φ =5cosx-cos5x=fx ≤3 3=b.
从而b=3 3满足题目要求.
综合上述两个方面，可知b的最小值是3 3.
数学试题 第 159 页 共 171 页2025年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅱ卷)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为 ( )
A. 8 B. 9 C. 12 D. 18
1
2. 已知z=1+i，则 = ( )
z-1
A. -i B. i C. -1 D. 1
3. 已知集合A={-4,0,1,2,8},B=x∣x3=x ,则A∩B= ( )
A. {0,1,2} B. {1,2,8} C. {2,8} D. {0,1}
x-4
4. 不等式 ≥2的解集是 ( )
x-1
A. {x∣-2≤x≤1} B. {x∣x≤-2} C. {x∣-2≤x<1} D. {x∣x>1}
5. 在△ABC中，BC=2，AC=1+ 3，AB= 6，则A= ( )
A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
6. 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF
的方程为y=-2x+2，则|AF|= ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 记S 为等差数列a
n n
的前n项和，若S =6,S =-5,则S = ( )
3 5 6
A. -20 B. -15 C. -10 D. -5
α 5 π
8. 已知0<α<π，cos = ，则sinα-
2 5 4
= ( )
2 2 3 2 7 2
A. B. C. D.
10 5 10 10
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 记S 为等比数列a
n n
的前n项和，q为a
n
的公比，q>0，若S =7,a =1，则 ( )
3 3
1 1
A. q= B. a = C. S =8 D. a +S =8
2 5 9 5 n n
10. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx =x2-3 ex+2，则 ( )
A. f(0)=0 B. 当x<0时，fx =-x2-3 e-x-2
C. f(x)≥2当且仅当x≥ 3 D. x=-1是f(x)的极大值点
x2 y2
11. 双曲线C: - =1(a>0,b>0) 左、右焦点分别是F、F，左、右顶点分别为A ，A ，以FF
a2 b2 1 2 1 2 1 2
5π
为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且∠NAM= ，则 ( )
1 6
π
A. ∠A 1 MA 2 = 6 B. MA 1 =2MA 2
C. C的离心率为 13 D. 当a= 2时，四边形NAMA 的面积为8 3
1 2
数学试题 第 160 页 共 171 页三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥a-b
，则|a|=
13. 若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)=
14. 一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，
则铁球半径的最大值为 cm．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数fx =cos2x+φ (0≤φ<π),f0
1
= ．
2
(1)求φ;
π
(2)设函数g(x)=f(x)+fx-
6
，求g(x)的值域和单调区间．
x2 y2 2
16. 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，长轴长为4．
a2 b2 2
(1)求C的方程；
(2)过点(0,-2)的直线l与C交于A, B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为 2，求|AB|．
17. 如图，在四边形ABCD中，AB⎳CD,∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF⎳AD，AB=
3AD,CD=2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFDA，使得面EFDA与面EFCB所成的二
面角为60°．
(1)证明:AB⎳平面CDF；
(2)求面BCD与面EFDA所成的二面角的正弦值．
数学试题 第 161 页 共 171 页1 1
18. 已知函数f(x)=ln(1+x)-x+ x2-kx3，其中0<k< ．
2 3
(1)证明：f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设x ,x 分别为f(x)在区间(0,+∞)的极值点和零点.
1 2
(i)设函数g(t)=fx 1 +t -fx 1 -t ·证明：g(t)在区间0,x 1 单调递减；
(ii)比较2x 与x 的大小，并证明你的结论．
1 2
1
19. 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为p <p<1
2
，乙
胜的概率为q，p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数k≥2，记p 为打完k个球后甲比乙至少多得
k
2分的概率，q 为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．
k
(1)求p ,p (用p表示)．
3 4
p -p
(2)若 4 3 =4，求p．
q -q
4 3
(3)证明：对任意正整数m，p -q <p -q <p -q ．
2m+1 2m+1 2m 2m 2m+2 2m+2
数学试题 第 162 页 共 171 页参考答案
1. C
【分析】由平均数的计算公式即可求解.
2+8+14+16+20 60
样本数据2,8,14,16,20的平均数为 = =12.
5 5
故选：C.
2. A
【分析】由复数除法即可求解.
1 1 1 i
因为z=1+i，所以 = = = =-i.
z-1 1+i-1 i i2
故选：A.
3. D
【分析】求出集合B后结合交集的定义可求A∩B.
B=x|x3=x =0,-1,1 ，故A∩B=0,1 ，
故选：D.
4. C
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
x-4 x+2 x+2
≥2即为 ≤0即
x-1 x-1
x-1 ≤0
，故-2≤x<1，
x-1≠0
故解集为-2,1 ，
故选：C.
5. A
AB2+AC2-BC2
【分析】由余弦定理cosA= 直接计算求解即可.
2AB∙AC
AB2+AC2-BC2 6
由题意得cosA= =
2AB∙AC
2+1+ 3 2-22
2× 6×1+ 3
2
= ，
2
又0°<A<180°，所以A=45°.
故选：A
6. C
【分析】先由直线l 求出焦点F和p即抛物线C的方程，进而依次得抛物线的准
BF
线方程和点B，从而可依次求出y 和x ，再由焦半径公式即可得解.
A A
对l :y=-2x+2，令y=0，则x=1，
BF
所以F1,0 ，p=2即抛物线C:y2=4x，故抛物线的准线方程为x=-1，
故B-1,4 ，则y =4，代入抛物线C:y2=4x得x =4.
A A
所以AF =AB
p
=x + =4+1=5.
A 2
故选：C
7. B
【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项a =2和公差d的方程求出首项a =2和公差
1 1
d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解.
设等差数列a n
3a +3d=6 d=-3
的公差为d，则由题可得 1 ⇒ ， 5a +10d=-5 a =5
1 1
数学试题 第 163 页 共 171 页所以S 6 =6a 1 +15d=6×5+15×-3 =-15.
故选：B.
8. D
3 4
【分析】利用二倍角余弦公式得cosα=- ，则sinα= ，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
5 5
α 5
cosα=2cos2 -1=2×
2 5
2 3
-1=- ，
5
π 3
因为0<α<π，则 <α<π，则sinα= 1-cos2α= 1--
2 5
2 4
= ，
5
π
则sinα-
4
π π 4 2 3
=sinαcos -cosαsin = × --
4 4 5 2 5
2 7 2
× = .
2 10
故选：D.
9. AD
【分析】对A，根据等比数列通项公式和前n项和公式得到方程组，解出a ,q，再利用其通项公式和前n
1
项和公式一一计算分析即可.
a =4 a =9
对A，由题意得 a 1 q2=1 ，结合q>0，解得 1 1 或 1 1 (舍去)，故A正确；
a +aq+aq2=7 q= q=-
1 1 1 2 3
1
对B，则a =aq4=4×
5 1 2
4 1
= ，故B错误；
4
对C，S =
a 11-q5
5
1
4×1- 32
=
1-q
31
= ，故C错误；
1 4
1-
2
1
对D，a =4×
n 2
1
4× 1-
n-1 2
=23-n，S =
n
n
=8-2-n+3，
1
1-
2
则a +S =23-n+8-23-n=8，故D正确；
n n
故选：AD.
10.ABD
【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用f(x)=-f-x 代入求解即可；对C，举反例f(-1)>
2即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
对A，因为f(x)定义在R上奇函数，则f(0)=0，故A正确；
对B，当x<0时，-x>0，则f(x)=-x2-3 e-x-2，故B正确；
对C，f(-1)=-1-3 e-2=2e-1 >2，故C错误；
对D，当x<0时，f(x)=3-x2 e-x-2，则f(x)=-3-x2 e-x-2xe-x=x2-2x-3 e-x，
令f(x)=0，解得x=-1或3(舍去)，
当x∈-∞,-1 时，f(x)>0，此时fx 单调递增，
当x∈-1,0 时，f(x)<0，此时fx 单调递减，
则x=-1是f(x)极大值点，故D正确；
故选：ABD.
11.ACD
【分析】由平行四边形的性质判断A；由F 1 M⊥F 2 M且MO =c结合M在渐近线上可求M的坐标，从而
可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得c2=
数学试题 第 164 页 共 171 页13a2，计算后可判断C的正误，或者利用 MA 2
A 1 A 2
b = = 3并结合离心率变形公式即可判断；结合BC
2a
的结果求出面积后可判断D的正误.
b
不妨设渐近线为y= x，M在第一象限，N在第三象限，
a
5π π
对于A，由双曲线的对称性可得AMA N为平行四边形，故∠AMA =π- = ，
1 2 1 2 6 6
故A正确；
对于B，方法一：因为M在以F 1 F 2 为直径的圆上，故F 1 M⊥F 2 M且MO =c，
设Mx 0 ,y 0
x2+y2=c2
0 0 x =a
，则y 0 = b ，故 y 0 =b ，故MA 2 ⊥A 1 A 2 ，
x a 0
0
π
由A得∠A 1 MA 2 = 6 ，故MA 2 =MA 1
3
× 2 即MA 1
2 3
= 3 MA 2 ，故B错误；
b
方法二：因为tan∠MOA = ，因为双曲线中，c2=a2+b2，
2 a
a
则cos∠MOA = ，又因为以FF 为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N，则OM=c，
2 c 1 2
则若过点M往x轴作垂线，垂足为H，则OH
a
=c⋅ c =a=OA 2 ，则点H与A 2H 重合，则MA ⊥x 2
轴，则MA 2 = c2-a2=b，
方法三：在△OMA 2 利用余弦定理知，MA 2 2=OM 2+OA 2 2-2OM OA 2 cos∠MOA ， 2
即MA 2
a
2=c2+a2-2ac⋅ c =b2，则MA 2 =b，
π
则△A 1 A 2 M为直角三角形，且∠A 1 MA 2 = 6 ，则2MA 2 = 3MA 1 ，故B错误；
1 对于C，方法一：因为MO= MA +MA
2 1 2
，故4MO 2 =MA 2 +2MA ⋅MA +MA 2，
1 1 2 2
由B可知MA 2 =b,MA 1
2 3
= b， 3
数学试题 第 165 页 共 171 页4 2 3 3 13 13
故4c2=b2+ b2+2×b× b× = b2= c2-a2
3 3 2 3 3
即c2=13a2，
故离心率e= 13，故C正确；
方法二：因为 MA 2
A 1 A 2
b b c b2 = = 3，则 =2 3，则e= = 1+ = 1+(2 3)2= 13，故C正确；
2a a a a2
对于D，当a= 2时，由C可知e= 13，故c= 26，
1
故b=2 6，故四边形NAMA 为2S =2× ×2 6×2 2=8 3，
1 2 △MA1A2 2
故D正确，
故选：ACD.
12. 2
【分析】根据向量坐标化运算得a-b=(1,1-2x)，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
a-b=(1,1-2x)，因为a⊥a-b
，则a⋅a-b =0，
则x+1-2x=0，解得x=1.
则a=(1,1)，则|a|= 2.
故答案为： 2.
13.-4
【分析】由题意得f2 =0即可求解a，再代入即可求解.
由题意有fx =x-1 x-2 x-a ，
所以fx =x-a x-1 +x-1 x-2 +x-a x-2 ，
因为2是函数fx 极值点，所以f2 =2-a=0，得a=2，
当a=2时，fx =2x-2 x-1 +x-2 2=x-2 3x-4 ，
4
当x∈-∞,
3
,fx >0,fx
4
单调递增，当x∈ ,2
3
,fx <0,fx 单调递减，
当x∈2,+∞ ,fx >0,fx 单调递增，
所以x=2是函数fx =x-1 x-2 x-a 的极小值点，符合题意；
所以f0 =-1×-2 ×-a =-2a=-4.
故答案 ：-4.
14.2.5
【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径；
圆柱的底面半径为4cm，设铁球的半径为r，且r<4，
由圆柱与球的性质知AB2=(2r)2=(8-2r)2+(9-2r)2，
即4r2-68r+145=2r-5 2r-29 =0，∵r<4，
∴r=2.5.
数学试题 第 166 页 共 171 页故答案为：2.5.
π
15.(1)φ=
3
(2)答案见解析
1
【分析】(1)直接由题意得cosφ= ,0≤φ<π
2
，结合余弦函数的单调性即可得解；
(2)由三角恒等变换得gx
π
= 3cos2x+
6
，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数gx 的单
调区间.
【小问1详解】
由题意f0
1
=cosφ= ,0≤φ<π
2
π
，所以φ= ；
3
【小问2详解】
由(1)可知fx
π
=cos2x+
3
，
所以gx =fx
π
+fx-
6
π
=cos2x+
3
+cos2x
1 3 3 3 π
= cos2x- sin2x+cos2x= cos2x- sin2x= 3cos2x+
2 2 2 2 6
，
所以函数gx 的值域为- 3, 3 ，
π π 5π
令2kπ≤2x+ ≤π+2kπ,k∈Z，解得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z，
6 12 12
π 5π 11π
令π+2kπ≤2x+ ≤2π+2kπ,k∈Z，解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z，
6 12 12
所以函数gx
π 5π
的单调递减区间为 - +kπ, +kπ
12 12
,k∈Z，
函数gx
5π 11π
的单调递增区间为 +kπ, +kπ
12 12
,k∈Z.
x2 y2
16.(1) + =1
4 2
(2) 5
【分析】(1)根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程；
(2)设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数t表示面积后可求t的值，从而可求弦长.
【小问1详解】
2
因为长轴长为4，故a=2，而离心率为 ，故c= 2，
2
x2 y2
故b= 2，故椭圆方程为： + =1.
4 2
【小问2详解】
由题设直线AB的斜率不为0，故设直线l:x=ty+2 ，Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ，
数学试题 第 167 页 共 171 页x=ty+2
由
可得t2+2
x2+2y2=4
y2+4t2y+4t2-4=0，
故Δ=16t4-4t2+2 4t2-4 =48-4t2 >0即- 2<t< 2，
4t2 4t2-4
且y +y =- ,yy = ，
1 2 t2+2 1 2 t2+2
1
故S = ×2t △OAB 2 ×y 1 -y 2 =t y 1 +y 2
t
2-4yy = 1 2
32-16t2
= 2， t2+2
6
解得t=± ，
3
故AB = 1+t2y 1 -y 2
2
= 1+ 3 × y 1 +y 2
2
32-16×
5 3
2-4yy = × = 5. 1 2 3 2
+2
3
17.(1)证明见解析
42
(2)
7
【分析】(1)先应用线面平行判定定理得出AE⎳平面CDF及EB⎳平面CDF，
再应用面面平行判定定理得出平面AEB⎳平面CDF，进而得出线面平行；
(2)建立空间直角坐标系，利用已知条件将点B,C,D,E,F的坐标表示出来，然后将平面BCD及平面
EFDA的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得
其正弦值.
【小问1详解】
设AD=1，所以AB=3,CD=2，因为F为CD中点，所以DF=1，因为EF⎳AD，AB⎳CD，所以
AEFD是平行四边形，所以AE⎳DF，所以AE⎳DF，
因为DF⊂平面CDF,AE⊄平面CDF，所以AE⎳平面CDF，
因为FC⎳EB,FC⊂平面CDF,EB⊄平面CDF，所以EB⎳平面CDF，
又EB∩AE=E，EB,AE⊂平面AEB，所以平面AEB⎳平面CDF，
又AB⊂平面AEB，所以AB⎳平面CDF．
【小问2详解】
因为∠DAB=90°，所以AD⊥AB，又因为AB⎳FC,EF⎳AD，所以EF⊥FC，
以F为原点，FE,FC以及垂直于平面BECF的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.
因为DF⊥EF,CF⊥EF，平面EFDA与平面EFCB所成二面角为60° ，
所以∠DFC=60°.
则B1,2,0 ，C0,1,0
1 3
，D0, ,
2 2
，E1,0,0 ，F0,0,0 ，.
所以BC=-1,-1,0
1 3
,CD=0,- ,
2 2
,FE=1,0,0
1 3
,FD=0, ,
2 2
.
数学试题 第 168 页 共 171 页
设平面BCD的法向量为n=x,y,z ，则
1 3
BC·n=0 - y+ z=0
，所以 2 2 ，令y= 3，则z=1,x=- 3，则n=- 3, 3,1
CD·n=0 -x-y=0
.
设平面EFDA的法向量为m=x 1 ,y 1 ,z 1 ，
1 3
FE·m=0 y+ z=0
则
，所以 2 2 ，
FD·m=0 x=0
令y= 3，则z=-1,x=0，所以m=0, 3,-1 .
m·n
所以cosm,n=
m n
0+3-1 1
= = .
3+3+1× 1+3 7
1
所以平面BCD与平面EFDA夹角的正弦值为 1-
7
2 42
= .
7
18.(1)证明见解析；
(2)(i)证明见解析；(ii)2x >x ，证明见解析.
1 2
【分析】(1)先由题意求得fx
1
=x2 -3k
1+x
，接着构造函数gx
1
= -3k,x>0，利用导数工具
1+x
研究函数gx 的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数fx 在区间(0,+∞)上存
在唯一极值点；再结合f0 =0和x→+∞时fx 的正负情况即可得证fx 在区间(0,+∞)上存在唯一
零点；
1
(2)(i)由(1)x 1 +1= 3k 和gt =fx 1 +t -fx 1 -t 结合(1)中所得导函数fx 1 计算得到gt =
6kt2t2-x2 1 -2x 1 1+x 1 2-t2 ，再结合t∈0,x 1 得gt <0即可得证；
(ii)由函数gt 在区间0,x 1 上单调递减得到0>f2x 1 ，再结合fx 2 =0，
和函数fx 的单调性以以及函数值的情况即可得证.
小问1详解】
由题得fx
1 x2 1
= -1+x-3kx2= -3kx2=x2 -3k
1+x 1+x 1+x
，
因为x∈0,+∞ ，所以x2>0，设gx
1
= -3k,x>0，
1+x
则gx
1
=-
1+x
<0在(0,+∞)上恒成立，所以gx
2
在(0,+∞)上单调递减，
g0 =1-3k>0，令gx 1
1
=0⇒x = -1， 1 3k
所以当x∈0,x 0 时，gx >0，则fx >0；当x∈x 0 ,+∞ 时，gx <0，则fx <0，
所以fx 在0,x 0 上单调递增，在x 0 ,+∞ 上单调递减，
所以fx 在(0,+∞)上存在唯一极值点，
对函数y=ln1+x
1 x
-x有y= -1=- <0在(0,+∞)上恒成立，
1+x 1+x
所以y=ln1+x -x在(0,+∞)上单调递减，
所以y=ln1+x -x<y| =0在(0,+∞)上恒成立， x=0
又因 f0
1 1
=0，x→+∞时 x2-kx3= x21-2kx
2 2
<0，
所以x→+∞时fx <0，
数学试题 第 169 页 共 171 页所以存在唯一x 2 ∈0,+∞ 使得fx 2 =0，即fx 在(0,+∞)上存在唯一零点.
【小问2详解】
1 1
(i)由(1)知x 1 = 3k -1，则x 1 +1= 3k ，fx
1 1
=x2 - 1+x 1+x
1
，
∵g(t)=fx 1 +t -fx 1 -t ，
则gt =x 1 +t
1 1
2 - x +t+1 1+x
1 1
+x 1 -t
1 1
2 - x -t+1 1+x
1 1
= -tx 1 +t 2
x 1 +t+1 x 1 +1
+ tx 1 -t 2
x 1 -t+1 x 1 +1
=3kt - x 1 +t 2 + x 1 -t
x +t+1 1
2
x -t+1 1
= 6kt2t2-x2 1 -2x 1
1+x 1
，
2-t2
∵k>0,t∈0,x 1 ,∴t2-x2 1 -2x 1 <0,1+x 1 2-t2>0，
∴g(t)= 6kt2t2-x2 1 -2x 1
1+x 1
<0，
2-t2
即g(t)在t∈0,x 1 上单调递减.
(ii)2x >x ，证明如下：
1 2
由(i)知：函数gt 在区间0,x 1 上单调递减，
所以g0 >gx 1 即0>f2x 1 ，又fx 2 =0，
由(1)可知fx 在x 0 ,+∞ 上单调递减，x 2 ∈x 0 ,+∞ ，且对任意x∈0,x 2 fx >0，
所以2x >x .
1 2
19.(1)p 3 =p3，p 4 =p34-3p
2
(2)p=
3
(3)证明过程见解析
【分析】(1)直接由二项分布概率计算公式即可求解；
(2)由题意q 3 =q3,q 4 =q34-3q
p -p
，联立 4 3 =4，p+q=1即可求解； q -q
4 3
(3)首先p -p =Cm-1pm+1qm，p -p =Cm pm+2qm，同理有q -q =Cm-1qm+1pm，q
2m 2m+1 2m 2m+2 2m+1 2m+1 2m 2m+1 2m 2m+2
2m+1
-q =Cm qm+2pm，作差有p -q <p -q ，另一方面p -p =
2m+1 2m+1 2m+1 2m+1 2m 2m 2m+2 2m
!
m!m+1
pmqm⋅
!
m
pp-
2m+1
2m+1
，且同理有q -q =
2m+2 2m
!
m!m+1
m
pmqm⋅qq-
! 2m+1
，作差能得到p -q <p
2m 2m 2m+2
-q ，由此即可得证.
2m+2
【小问1详解】
p 为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场，
3
故所求为p 3 =C 3 31-p 0p3=p3，
p 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场，
4
故所求为p 4 =C 4 31-p 1p3+C 4 41-p 0p4=4p31-p +p4=p34-3p ；
【小问2详解】
由(1)得p 3 =p3，p 4 =p34-3p ，同理q 3 =q3,q 4 =q34-3q ，
p -p
若 4 3 =4，p+q=1，
q -q
4 3
p -p p34-3p
则 4 3 =
q -q 4 3
-p3
q34-3q
3p31-p
=
-q3
3q31-q
p3q p
= =
q3p q
2
=4，
数学试题 第 170 页 共 171 页由于0<p,q<1，所以p=2q=21-p
2
>0，解得p= ；
3
【小问3详解】
我们有
m-1 m-1 m-1 m-1 m-1
p -p =Ck p2m-kqk-Ck p2m+1-kqk=Ck p2m-kqk-Ck p2m+1-kqk-Ck-1p2m+1-kqk
2m 2m+1 2m 2m+1 2m 2m 2m
k=0 k=0 k=0 k=0 k=0
=1-p
m-1 m-1 m-1 m-1
Ck p2m-kqk-Ck-1p2m+1-kqk=Ck p2m-kqk+1-Ck-1p2m+1-kqk 2m 2m 2m 2m
k=0 k=0 k=0 k=0
m-1 m-2
=Ck p2m-kqk+1-Ck p2m-kqk+1=Cm-1pm+1qm.
2m 2m 2m
k=0 k=0
以及
m m-1 m m
p -p =Ck p2m+2-kqk-Ck p2m+1-kqk=Ck-1 p2m+2-kqk+Ck p2m+2-kqk-
2m+2 2m+1 2m+2 2m+1 2m+1 2m+1
k=0 k=0 k=0 k=0
m-1
Ck p2m+1-kqk
2m+1
k=0
m
=C 2 k m - + 1 1 p2m+2-kqk+C 2 m m+1 pm+2qm+p-1
k=0
m-1
Ck p2m+1-kqk 2m+1
k=0
m m-1
=Ck-1 p2m+2-kqk+Cm pm+2qm-Ck p2m+1-kqk+1
2m+1 2m+1 2m+1
k=0 k=0
m-1 m-1
=Ck p2m+1-kqk+1+Cm pm+2qm-Ck p2m+1-kqk+1=Cm pm+2qm.
2m+1 2m+1 2m+1 2m+1
k=0 k=0
至此我们得到p -p =Cm-1pm+1qm，p -p =Cm pm+2qm，同理有q -q =Cm-1qm+1pm，
2m 2m+1 2m 2m+2 2m+1 2m+1 2m 2m+1 2m
q -q =Cm qm+2pm
2m+2 2m+1 2m+1
故p 2m -p 2m+1 =C 2 m m -1pm+1qm=p⋅C 2 m m -1pmqm >q⋅C 2 m m -1pmqm =Cm-1qm+1pm=q -q ，即p - 2m 2m 2m+1 2m+1
q <p -q .
2m+1 2m 2m
另一方面，由于
p 2m+2 -p 2m =p 2m+2 -p 2m+1 -p 2m -p 2m+1 =C 2 m m+1 pm+2qm-C 2 m m -1pm+1qm=pmqm⋅pp⋅C 2 m m+1 -C 2 m m -1
2m+1
=pmqm⋅p p⋅
!
m!m+1
2m
-
!
!
m-1 !m+1
!
2m+1
=
!
m!m+1
m
pmqm⋅pp-
! 2m+1
2m+1
且同理有q -q =
2m+2 2m
!
m!m+1
m
pmqm⋅qq-
! 2m+1
.
m
故结合pp-
2m+1
m
-qq-
2m+1
=p-q p+q
m
- p-q
2m+1
=p-q
m
- p-q
2m+1
=
m+1
p-q
2m+1
>0，
就能得到p -p >q -q ，即p -q <p -q ，证毕.
2m+2 2m 2m+2 2m 2m 2m 2m+2 2m+2
数学试题 第 171 页 共 171 页
