文档内容
专题 3.2 图形的旋转
目 录
一．知识梳理与题型分类精析.........................................................................................................1
知识点（一）旋转.................................................................................................................................1
【题型1】旋转图形的识别..................................................................................................................2
【题型2】找旋转中心、旋转角、对应点...........................................................................................3
知识点（二）旋转的性质.....................................................................................................................5
【题型3】利用旋转的性质作图..........................................................................................................6
【题型4】利用旋转的性质求值..........................................................................................................9
【题型5】利用旋转的性质证明........................................................................................................11
知识点（三）旋转综合题型...............................................................................................................15
【题型6】旋转综合题——线段问题.................................................................................................15
【题型7】旋转综合题——角度问题.................................................................................................19
【题型8】旋转综合题——面积问题.................................................................................................22
二. 同步练习..................................................................................................................................26
【基础巩固（16题）】......................................................................................................................26
【能力提升（20题）】......................................................................................................................38
【中考真题12题】.............................................................................................................................60
一．知识梳理与题型分类精析
观察上面三幅“风车”图形，进行旋转时图形上各部分有什么特点？
知识点（一）旋转
像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点 转动一个角度，叫做图形的旋转，点 叫
做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点 经过旋转变为点 ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.如图1，线段 绕点 逆时针旋转 后得到线段 ，这是点 是旋转中
心，旋转角是 ，点 和点 是对应点.
【题型1】旋转图形的识别
【例题1】（2025·贵州铜仁·三模）下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查图形变换中的“旋转”，理解旋转的概念是解题关键．
根据旋转定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形称为旋
转，旋转前后两个图形形状和大小不变，即可判断．
解：A选项中，可看作“基本图案”经过旋转得到，符合题意；
B选项中，可看作“基本图案”经过轴对称得到，不符合题意；
C选项中，可看作“基本图案”经过平移缩放得到，不符合题意；
D选项中，可看作“基本图案”经过平移得到，不符合题意．
故选：A．
【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动
画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（ ）
A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，
那么这个图形叫做轴对称图形”和图形的旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫
做图形的旋转”、平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为
平移”，熟记图形的旋转、轴对称图形、平移的定义是解题关键．根据图形的旋转、轴对称图形、
平移的定义进行判断即可得．
解：由图可知，第一次为轴对称，第二次为平移，第三次为旋转，
故选：A．
【变式2】（23-24九年级上·广东珠海·期中）下列现象中属于旋转的有 （填序号）
①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．
【答案】②④⑤
【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平
移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换．
解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移；
②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转，
故答案为：②④⑤．
【点拨】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键．
【题型2】找旋转中心、旋转角、对应点
【例题2】（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点 、
、 、 中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，
结合网格即可求得旋转角，即可求解．
解：如图，旋转中心为点 ，旋转角为
故答案为： ．
【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系 中， 由
绕点 旋转得到，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查旋转的性质，连接 ，线段 的垂直平分线的交点就是旋转中心
点P．
解：由图形可知，对应点的连线 的垂直平分线的交点是点 ，根据旋转变换的性质，点 即为旋转中心．
故旋转中心坐标是 ．
故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，将 绕着点A顺时针旋转 后，得到
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查求旋转角，正确理解旋转的概念是解题的关键．
根据旋转的概念得到 是旋转角，即可求解.
解：∵ 绕着点A顺时针旋转 后，得到 ，
∴ 是旋转角，
∴ ，
故答案为： ．
小结：（1）找旋转中心方法：对应点连线垂直平分线交点就是旋转中心；（2）找旋转角方
法：对应点和旋转中心连线的夹角就是旋转角.
知识点（二）旋转的性质
性质1：对应点到旋转中心的距离相等；
性质2：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
性质3：旋转前、后的图形全等.
数学语言：
如图2： 绕点 逆时针方向旋转一定角度得到 ，点 为旋转中心，点 与 ，
与 ， 与 分别叫对应点，由旋转的性质我们可以得到：
（1）（2）
（3） ；
【题型3】利用旋转的性质作图
【例题3】（24-25八年级下·内蒙古包头·阶段练习）（1）画出 平移后的图形 ，使点
的对应点 坐标为 ．
（2）画出以 点为旋转中心，将 沿顺时针方向旋转 后的 ．
【答案】（1）见分析；（2）见分析
【分析】本题主要考查了旋转变换以及平移变换，解题的关键是正确得出对应点位置．
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．
解：（1）如图所示： ，即为所求；（2）如图所示： ，即为所求．
【变式1】（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点
的坐标 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，点 对应点分别是 ，请在图
中画出 ，并写出点 的坐标．
【答案】见分析，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转．根据旋转的性质得到点A，O，B的对应点，即
可得到 ．
解：如图， 即为所求；由图可知，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ．
【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图：在正方形网格上有一个 ．
（1）画出 关于直线 的对称图形 ；
（2）以点N为原点， 所在直线为y轴作出平面直角坐标系；
（3）画出将 绕点A逆时针旋转 得到的 ；
（4）在（2）（3） 的条件下， 正方形格子边长为1， 点 （ ， ）， 点 （ ， ）．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）
【分析】本题考查了坐标系在网格中的轴对称图形的画法，旋转图形的画法，确定点的坐标，建立
坐标系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据要求建立坐标系即可；
（3）根据旋转的性质作图，即可得出答案；
（4）根据旋转后的图形，写出点的坐标即可．
解：（1）解：如图， 即为所求；（2）解：坐标系如图所示；
（3）解：如图， 即为所求；
（4）解：根据旋转后的图形可得，
，
故答案为： ．
【题型4】利用旋转的性质求值
【例题4】（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在等边三角形 中，点P在其内部，且
， ， ，将 绕点B按逆时针方向旋转 得到 ．
（1）求点P与点D之间的距离；
（2）求线段 的长．
【答案】（1）12；（2）13
【分析】题目主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，
作出辅助线是解题关键．
（1）连接 ．根据等边三角形的判定和性质，旋转的性质得出 是等边三角形，即可求解；
（2）利用等边三角形的性质确定 是直角三角形，再由勾股定理求解即可．
解：（1）解：如图，连接 ．是等边三角形，
．
是 绕点B逆时针旋转得到的，
，
．
，
是等边三角形．
，即点P与点D之间的距离是12．
（2） ， 是等边三角形．
，
是直角三角形，
，
，
．
由（1）知 ．
．
【变式1】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在等腰直角 中， ，
，点D为斜边 上一点，将 绕点C逆时针旋转 得到 ， ，
，则 为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】先根据等腰三角形和直角三角形的性质得到 ，再根据图形旋转的性质，求出 的长，及证明 ， ，最后根据勾股定理即可求得答案．
解： ， ，
，
绕点C逆时针旋转 得到 ，
， ， ， ，
，
，
在 中， ，
，
解得 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌
握图形旋转问题的常用解法是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ，将
绕点 顺时针旋转 后得到的 （点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 ），连接
．若 ，则 ．
【答案】 /77度
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹
角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先利用旋转的性质得 ， ，
，则可判断 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得
，然后利用三角形外角性质得 ，从而得到 的度数．
解：∵ 绕点 顺时针旋转 后得到的 ，
∴ ， ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【题型5】利用旋转的性质证明
【例题5】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【问题情境】如图①，点E为正方形 内一
点， ，将 绕点B按顺时针方向旋转 ，得到 （点A的对应点为点
C），延长 交 于点F．
【猜想证明】
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）如图②，若 ，请猜想线段 与 的数量关系并加以证明．
【答案】（1）四边形 是正方形，详见分析；（2） ，详见分析
【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
（1）先证明四边形 是矩形，即可证明结论；
（2）过点D作 于H，结合正方形性质证明 ，得出 ，根
据 即可证明结论．
解：（1）解：四边形 是正方形，理由如下：
∵将 绕点B按顺时针方向旋转 ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴四边形 是矩形．
又∵ ，
∴四边形 是正方形．
（2） ；理由如下：
如图，过点D作 于H，∵ ， ，
∵ ， ．
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ （ ），
∴ ．
∵将 绕点B按顺时针方向旋转 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（2025·天津·二模）如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 ， 的对应
点分别为 ， ，连接 ，点 恰好落在线段 上，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． 平分 D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质可判断选项A；根据旋转的性质及三角形内角和定理得
，可判断选项B；根据旋转的性质及等边对等角可推出 ，可判断选项C；根据旋转的性质及勾股定理可推出 ，可判断选项D．
解：∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 ， 的对应点分别为 ， ，
∴ ， ， ， ， ， ，
故选项A不符合题意；
∴ ，
故选项B不符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，故选项C符合题意；
∵连接 ，点 恰好落在线段 上， ， ，
∴ ， ，
∴ ，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，角平分线的定义，勾股定理等知
识点，掌握旋转的性质及勾股定理是解题的关键．
【变式2】（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）如图，在 中， ， 、 是斜边
上两点，且 ，将 绕点 顺时针旋转 后，得到 ，连结 ，则下
列结论：① ；② 为等腰直角三角形；③ 平分 ；④ ．
正确的是 ．
【答案】①③④
【分析】①根据旋转的性质，可得 ，结合 ，即可判断，
③根据旋转的性质，可证 ，得到 ，即可判断，
④由 ， ，在 中，应用勾股定理，即可判断，
②根据 与 的关系，判断 与 的关系，即可判断，本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握旋转的性
质．
解：由旋转的性质可得： ， ， ，
，
，故①正确，
，
，即： 平分 ，故③正确，
，
，
在 中， ，即： ，故④正确，
与 不一定相等，
与 不一定相等，故②不正确，
综上所述，①③④正确，
故答案为：①③④．
知识点（三）旋转综合题型
1.旋转综合题的核心是“转化”：通过旋转性质将线段、角转化到全等三角形或特殊三角形
中，利用等量关系突破；
2.解题时需紧扣“旋转三要素”和“性质”:结合图形特点（特殊三角形、四边形）逐步拆
解，辅助线以“连接旋转中心与对应点”为优先.
【题型6】旋转综合题——线段问题
【例题6】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形 的边
上，且 ，把 顺时针旋转一定角度后得到 ．
（1）填空： 绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到 ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求正方形 的边长．【答案】（1）A，90；（2）证明见分析；（3）正方形 的边长为
【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可；
（2）先根据旋转的性质可得 ，再根据正方形的性质、角的和差可得
，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）设正方形 的边长为x，从而可得 ，再根据旋转的性质可得
，从而可得 ，然后根据三角形全等的性质可得 ，最后在
中，利用勾股定理即可得．
解：（1）解：在正方形 中， ，
又 顺时针旋转一定角度后得到 ，
绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到 ,
故答案为：A，90；
（2）证明：由旋转的性质得： ，
四边形 是正方形，
，即 ，
，即 ，
，
，
在 和 中，
，
；
（3）解：设正方形 的边长为 ，则 ，
，
，
由旋转的性质得： ，
，
由（2）已证： ，
，又 四边形 是正方形，
，
则在 中， ，
即 ，
解得 或 （不符题意，舍去）
故正方形 的边长为 ．
【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识
点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，线段 在直角坐标轴中，已知 ，
将线段 绕点 逆时针旋转 后，点 的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过作辅助线，利用旋转的性质，找到对应线段的关系，从而确定点 的坐标．本题主
要考查了坐标与图形变化 - 旋转，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形
的判定方法是解题的关键．
解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ．
线段 绕点 逆时针旋转 ，， ，
， ， ，
，
，
， ，
， ，
， ，
，
．
故选：D．
【变式2】（24-25九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图， ，
，点D为 的中点，点E在 的延长线上，将 绕点D顺
时针旋转α度（ ）得到 ，当 是直角三角形时， 的长为 ．
【答案】10或
【分析】此题考查旋转的性质，勾股定理，根据勾股定理可求出 ，则
，然后进行分类讨论：①当 时，②当 时，据此解答．
解：∵ ，
∴根据勾股定理可得：
∵ ，
∴ ，
∵将 绕点D顺时针旋转α度（ ）得到 ，
∴ ，∵点D为 的中点，
∴ ，
①当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，
在 中， ，
在 中， ，
综上： 的长为10或 ．
故答案为：10或 ．
【题型7】旋转综合题——角度问题
【例题7】（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E是正方形 内一点，将 绕点
A顺时针旋转至 ，点E的对应点为点F．
（1）若 ， ，求 的度数．
（2）连接 ，若 ，求线段 的长．【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）证明 即可求解；
（2）先证明 ，再利用勾股定理求解即可
解：（1）解∶ ，
，
绕点 顺时针旋转至 ，
，
；
（2） 绕点 顺时针旋转至 ，点 的对应点为点 ，
旋转至 的位置，旋转角为 ，
，
．
【点拨】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质等知
识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。
【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将 绕点 顺时针旋转一定角度后得到
，若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握图形旋转的性质．
由旋转可得 ，根据三角形外交的性质，计算即可．解：∵将 绕点 顺时针旋转一定角度后得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【变式2】（24-25九年级下·江西九江·期中）已知两块相同的三角板如图摆放，点B，C，E在同一
直线上， ， ，将 绕点C顺时针旋转角度
当旋转角为 时， 与 的边垂直．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，解题关键是利用分类讨论思想解答．分三种
情况画图分别进行解答．
解：如图，当 时，过点B作 延长线于点G，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即此时旋转角为 ，
如图，当 时，∴ ，
∴
即此时旋转角为 ，
当 时，
∴ ，
∴
即此时旋转角为 ，
综上所述：当旋转角为 或 或 时， 与 的边垂直．
故答案为： 或 或 ．
【题型8】旋转综合题——面积问题
【例题8】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，O是等边 内一点，
，将线段 绕点B逆时针旋转 得到线段 ．
（1）求 的度数．
（2）求 的面积．
【答案】（1） ；（2）15
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等边三角形的性质
等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．（1）由旋转的性质可得 ，可证明 是等边三角形，由 可证
，可得 ，利用勾股定理的逆定理即可证得 是直角三角形，即可求
解；
（2）作 ，交 延长线于点H，利用 的外角 得出边 上的高 ，利用
面积公式即可求解．
解：（1）解：∵等边 ，
∴ ．
∵线段 以点B为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ；
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ 是直角三角形， ．
∴ ．
（2）作 ，交 延长线于点H，
∵ ，∴边 上的高就是 ，
∴ ．
【变式1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在 中， ， ，
将 绕点 逆时针方向旋转60°到 的位置，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【分析】过点 作 于点D，根据旋转的性质可得到 是等边三角形， ，
进而得到阴影部分的面积等于 ，再由勾股定理求出 ，继而得到 ，即可求解．
解：如图，过点 作 于点D，
∵将 绕点A逆时针方向旋转 到 的位置，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，阴影部分的面积等于 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即阴影部分的面积是 ．
故选B．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运
用旋转的性质是本题的关键．
【变式2】（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示， 中， ， 是斜
边 的中点，将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，点 在 的延长线上，若 ，
，则 与 的面积比为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，利用面积法求 的长是解决
本题的关键．
过点 作 于点 ，根据勾股定理可得 的长，根据直角三角形的性质可得 的长，根
据 ，可得 的长，根据勾股定理可得 的长，根据旋转的性质进一步可得 的
长，即可判断出面积比．
解：过点 作 于点 ，如图所示：
， ， ，∴ ，
∵ 是斜边 的中点，
∴ ， ，
，
即
解得
在 中
根据勾股定理， ，
根据旋转的性质，可得 ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ 与 的高为 ，
∴ 与 的面积比为 ．
故答案为 ．
二. 同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移
动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B
【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后求解．
解：①地下水位逐年下降，是平移现象；
②传送带上的物品的移动，是平移现象；
③钟摆的运动，是旋转现象；
④荡秋千运动，是旋转现象．
属于旋转的有③④共2个．
故选：B．
2．（2025七年级下·江苏·专题练习）如图， 顺时针旋转到 的位置，则旋转中心及旋
转角分别是（ ）
A．点 ， B．点O，
C．点 ， D．点O，
【答案】B
【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应
点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案．
解：由题给图形得： 绕着点O顺时针旋转到 的位置，则旋转中心及旋转角分别是点
O和 ．
故选：B．
3．（24-25九年级上·吉林白城·期末）如图，在 中， ， ， ，将
绕点A逆时针旋转，点C落在边 上的E处，则B、D两点间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握旋转
的性质及勾股定理是解题的关键．
连接 ，在 中，根据勾股定理可得 ，由旋转的性质可得
， ， ，进而可得 ，由邻补角互补可得
，在 中，根据勾股定理可得 ，由此即可求出
B、D两点间的距离．
解：如图，连接 ，
在 中， ， ， ，
根据勾股定理可得：
，
由旋转的性质可得：
， ， ，
，
，
在 中， ， ，
根据勾股定理可得：
，
故选： ．
4．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，将线段 先绕原点 按逆时针方向旋转 ，再
向下平移4个单位，得到线段 ，则点 的对应点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查坐标与图形变化 旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形．根据题
意画出图形，即可可得结论．
先求出 点绕 点逆时针旋转 后的坐标为 ，再求向下平移4个单位后的点的坐标即可．
解：如图所示， 点绕 点逆时针旋转 ，得到点 ，
向下平移4个单位，得到 ，
故选：D．
5．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，等边三角形 的边长为2，边 在x轴正半
轴上，现将等边三角形 绕点O逆时针旋转，每次旋转 ，则第2025次旋转结束后，等边三
角形 中的点A坐标为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关
键．由每次旋转 可知，旋转6次为一个循环，即可确定第2025次旋转结束后A所在位置，即可
得解．
解： ∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转 ，
∴旋转6次为一个循环，
，
第2025次旋转结束后，等边三角形 中的点A落在x轴的负半轴，
点A坐标为 ，
故选： ．
6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3
和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚 ，然后在桌面上按逆时针方向
旋转 ，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变
换后，骰子朝上一面的点数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了图形的变化，将骰子向右翻滚 ，然后在桌面上按逆时针方向旋转 ，叫
做一次变换，据此可得连续3次变换是一个循环，然后根据10被3整除后余数为1，即可确定骰子
朝上一面的点数．
解：根据题意可知，
骰子第一次向右翻滚 ，上面的点数为5，逆时针旋转 前面的点数为4，
骰子第二次向右翻滚 ，上面的点数为6，逆时针旋转 前面的点数为2，
骰子第三次向右翻滚 ，上面的点数为3，逆时针旋转 前面的点数为1，
骰子第四次向右翻滚 ，上面的点数为5，逆时针旋转 前面的点数为4，
，
以此类推可知连续3次变换是一循环．
．
得到第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5．故选：C．
二、填空题
7．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图， 与 都是等腰直角三角形，
， 和 都是直角，如果 经旋转后能与 重合，那么旋转中心
是点 ，绕中心逆时针旋转了 ．
【答案】 B 45°/45度
【分析】此题主要考查了旋转的性质及等腰直角三角形的性质．由于 与 都是等腰直角
三角形，由此可以得到 与 都是 ，如果 经过旋转后能与 重合，那么根
据旋转的性质即可确定旋转中心及旋转角．
解：∵ 与 都是等腰直角三角形， 和 都是直角，点C在 上，
∴ 与 都是 ，
而 经过旋转后能与 重合，
那么旋转中心为点B，旋转角为 ，
∴旋转角度为 ．
故答案为：B， ．
8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，将 绕点O按逆时针方向旋转至 ，使点B
恰好落在边 上，已知 ，则 的长是 ．
【答案】2.5
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据旋转，得到 ，进而得到 ，线段
的和差关系求出 的长即可．
解：∵将 绕点O按逆时针方向旋转至 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
故答案为：2.5
9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，E为正方形 内一点，将三角形 绕点B
顺时针旋转至三角形 处，若 ，则 ， ．
【答案】 /90度 10
【分析】此题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
根据正方形的性质和旋转的性质即可得到答案．
解： 四边形 是正方形，
，
∵ 绕点B顺时针旋转与 重合，
∴ ， ，
∴ ，
．
故答案为： ，10．
10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图， 是等边三角形，D为 外一点，
，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，
先将 绕点C顺时针旋转 到 ，连接 ，可得 为等边三角形，即可得出
，然后根据勾股定理可得答案.
解：将 绕点C顺时针旋转 到 ，连接 ．则 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ .
根据勾股定理，得 ．
故答案为：
11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）将二次函数 绕顶点旋转 后的函数表
达式是 ．
【答案】
【分析】将函数图象绕其顶点旋转 后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，
据此即可求解．
解：∵ ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，
将二次函数 绕顶点旋转 后，得到 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解题的关键．
12．（2025·江西宜春·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点A，B的坐标分别为 ， ．
若 经过A，B两点，且圆心P的横坐标为正整数，纵坐标为负整数，则圆心P的坐标为 ．
【答案】 或 或【分析】题目主要考查中垂线的性质，圆的基本性质，根据题意得出经过A，B两点圆的圆心在
的中垂线上，然后作出图形求解即可．
解：经过A，B两点圆的圆心在 的中垂线上，由条件“圆心O的横坐标为正整数、纵坐标为负
整数”所限，
如图所示：
只有 或 或 三点．
三、解答题
13．（19-20九年级上·天津·期中）如图，已知 为正方形 内一点， 经过旋转后到达
的位置．
（1）请写出旋转中心及旋转角的度数；
（2）若 ，求 的度数和 的长．
【答案】（1）旋转中心为点 ，旋转角的度数为 ；（2） ， ．
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理
（1）由旋转的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得 ， ，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求
解．解：（1）解： 经过旋转后到达 的位置，
∴旋转中心为点 ，旋转角的度数为 ；
（2） 经过旋转后到达 的位置
，
， ，
， ．
14．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图， 绕点 按逆时针方向旋转90°得到 ，
且点 的对应点 恰好落在 的延长线上，连接 ，交 于点 ．
（1）求 的度数；
（2） 是 延长线上一点，当 时，判断 和 的数量关系，并证明．
【答案】（1） ；（2） ，证明见分析
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，
（1）根据旋转的性质及三角形内角和定理可得答案；
（2）根据旋转的性质可知 ，再结合已知条件说明 ，然后根据
等角对等边得出答案．
解：（1）解：根据旋转可得 ，
∴ ．
（2）解： ．
证明：由旋转的性质可知， ， ，
在 中， ，
， ，
，
即 ，
．
15．（24-25九年级上·贵州黔西·阶段练习）如图1，已知点 在同一条直线上， 和都是等边三角形， 交 于点F， 交 于点H．
（1）求出 的度数；
（2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；
（3）若将 绕C点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还成立，试
说明理由．
【答案】（1） ；（2）见详解；（3）见详解
【分析】本题核心考查等边三角形的性质（三边相等、三角均为 ）与全等三角形的判定（
）．解题关键在于利用等边三角形的边和角的等量关系，结合平角或角的和差推导夹角相等，从而
满足全等判定条件．
（1）利用等边三角形内角为 ，结合平角定义计算 的度数；
（2）通过等边三角形的边相等、角相等，寻找满足全等判定条件（如 ）的三角形；
（3）分析图形旋转后，等边三角形的边和角的关系是否保持，进而判断全等结论是否成立．
解：（1）解：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ，
∵点B、C、D在同一直线上， ，
∴ ；
（2）解：在图1中， 和 是一对全等的三角形，理由如下：
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ；
在 和 中，
，
∴ ．
（3）解：（2）中的结论仍然成立．理由如下：
∵将 绕C点转动到如图2所示的位置， 和 仍为为等边三角形，
， ，
∴ ，即 ，在 和 中，
，
，即（2）中的结论仍然成立．
16．（24-25八年级下·广东河源·期末）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组
遇到这样一个问题：如图（1），点D为等边 的边 上一点，将线段 绕点A逆时针旋转
得到线段 ，连接 ．
【猜想证明】
（1）试猜想 与 的数量关系，并加以证明：
【探究应用】
（2）如图（2），点D为等边 内一点，将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连
接 ，若B、D、E三点共线，求证： 平分 ；
【拓展提升】
（3）如图（3），若 是边长为2的等边三角形，点D是线段 上的动点，将线段 绕点
D顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．当点D运动到什么位置时， 的周长最小，并求最
小值．
【答案】（1） 与 ，见分析；（2）见分析；（3）当点D在运动到 的中点位置时，
的周长最小，最小值为
【分析】对于（1），由旋转的性质，根据“边角边”证明 ，即可得出答案；
对于（2），先说明 是等边三角形，进而得 ，再由（1）中 ，可
得 ，接下来说明 ，则结论可得；
对于（3），当点D在运动到 的中点位置时， 的周长最小，由前两问可得
，可知当 最小时， 的周长最小，此时 ，
再结合勾股定理求出 ，可得答案.
解：（1）解： .理由是：由旋转的性质可得， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
即 ，
，
；
（2）证明： 平分
理由是： 绕点A逆时针旋转 得到 ，
∵ ，
是等边三角形，
，
．
由（1）的证明可得， ，
，
，
，
即 平分 ；
（3）解：当点D在运动到 的中点位置时， 的周长最小
连接AE，由（1）的证明可得， ，
.
是等边三角形，
，
，
当 最小时， 的周长最小，此时 ，
∴ 是等边三角形，边长为2，
，
的周长最小值为 ．
即当点D在运动到BC的中点位置时， 的周长最小，最小值为 ．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，确定最小值是解题的关键.
【能力提升（20题）】
一、单选题
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将 轴所在的直线绕原点逆时针旋转
，再向下平移1个单位后得到直线 ，则直线 对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转，等腰三角形的判定，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平
移问题等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
先求出将 轴所在的直线绕原点逆时针旋转 后的直线解析式，再由一次函数的平移规律求解即
可．
解：如图，在将 轴所在的直线绕原点逆时针旋转 后的直线上任取一点 （非原点），过点
作 轴于点 ，
由题意得： ，则 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，
则 ，
设直线
则代入 得： ，
∴ ，
∴直线 ，∴再向下平移1个单位后得到直线 ，则直线 对应的函数表达式为 ，
故选：D．
2．（24-25九年级下·天津静海·阶段练习）如图，在 中， ，将 绕点B逆时针
旋转得到 ，点A，C的对应点分别是点D，E，且点E在 的延长线上，连接 ， ，则
下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．设 ，利用旋转的性
质，等边对等角，三角形内角和定理逐一判断即可．
解：设 ，
∵ ，由旋转的性质得 ， ，
，
∴ ，
故选项A不成立，不符合题意；
∴ ， ，
∴ ，
故选项C成立，符合题意；
∵ ，
∴ ，故选项B不成立，不符合题意；
∵ ，且 ，
∴ 与 不一定垂直，故选项D不成立，不符合题意；
故选：C．
3．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在 中， ，以点A为中心，把 逆
时针旋转 ，得到 ，连接 ，则 等于（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
根据旋转的性质可得： ， ，从而可得 是等边三角形，然后利用等
边三角形的性质即可解答．
解：由旋转得： ， ，
是等边三角形，
，
故选：B．
4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图， 绕点 旋转到 ，
， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质和全等三角形的性质的应用，根据旋转的性质得 ，继
而得到 ，根据三角形内角和定理求出 ，即可求出答案．掌握旋转的性质是解
题的关键．
解：∵ 绕点 旋转到 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
即 的度数是 ．
故选：A．
5．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图， 中， ， ， ，将 沿
射线 的方向平移，得到 ，再将 绕点 逆时针旋转一定角度后，点 恰好与点
重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4， B．2， C．1， D．3，
【答案】D
【分析】本题考查平移的性质、旋转的性质、等边三角形的判定；由旋转的性质和平移的性质可得
， 可证 是等边三角形，可得 ，即
可求解.
解：∵将 沿射线 的方向平移，得到 ，
，
∵将 绕点 逆时针旋转后，点 恰好与点 重合，
，
是等边三角形，
∴∠ ， ，
∴ ，
∴平移的距离为 ，
故选：D.
6．（2025·山东青岛·一模）如图，在边长为5的正方形 中，点 是 上一点， ，连
接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ， 平分 交 于点 ，则
的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由旋转可证明 ，故 ，设 ，则
， ，在 中，由勾股定理可得：
，解得 ，即可由 求解．
解：∵正方形 的边长为5，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理可得： ，解得 ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握
相关性质是解题的关键．
7．（24-25九年级上·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移m个单位长度，
再绕原点按顺时针方向旋转 角度，我们把这样的图形运动叫做图形的 变换．如图，等边
三角形 的顶点A在第一象限，顶点B与原点O重合，顶点C在x轴的正半轴上， 是
经过 变换所得的图形，其中点 的坐标为 ，则n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的 变换的定义后运用，关键是能
发现连续变换后出现的规律，过点 作 轴于点 ，先求得点 的坐标为 ，再求出
，据此求解即可．
解：如图，过点 作 轴于点 ．∵ 是 经过 变换所得的图形，其中点 的坐标为 ，
∴将 向右平移 个单位长度后，点 的对应点 的坐标为 ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
，
，
∴ ．
故选：C．
8．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图， 中， ，在 边的同侧作等边三角
形 ， ， ，连接 ．以下结论中正确的有（ ）
①四边形 是平行四边形；
② ；
③ ；
④ 可以看成是 绕点C顺时针旋转 得到的．
A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明
和 可得 ，由等边三角形的性质得 ，
得四边形 是平行四边形； ； 可以看成是 绕点C顺时针旋
转 得到的，故可得结论．
解：∵ ， ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，∴ ， ，故②正确；
∴ ，故③正确；
同理可证 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
∵ ，且 ，
∴ 可以看成是 绕点C顺时针旋转 得到的，故④正确；
∴正确的结论是①②③④，
故选：C．
二、填空题
9．（24-25七年级下·云南临沧·阶段练习）如图 在矩形 中， ， ．点 在线段
上运动（含 、 两点），连接 ，以点 为中心，将线段 逆时针旋转 到 ，连接
，则线段 的最小值为 ．
【答案】
【分析】取 的中点 ，在 上取一点 ，连接 ，使 ，作射线 ，勾股定理
求出 ， ，证明出 是等边三角形，连接 、 ，作 于点 ，则
，勾股定理求出 ，证明出 ，得到 ，然后
利用 求解即可．
解：取 的中点 ，在 上取一点 ，连接 ，使 ，作射线 ，
四边形 是矩形， ， ，， ，
， ，
， ，
，
，
，
是等边三角形，
连接 、 ，作 于点 ，则 ，
，
，
，
，
将线段 逆时针旋转 到 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
点 在射线 上运动，
，
，
线段 的最小值为 ，故答案为： ．
【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题
的关键是掌握以上知识点．
10．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在 中， ，将 绕着点 旋转
，旋转后的点 落在 上，点 的对应点为 ，连接 ， 是 的角平分
线，则 ．
【答案】 / 度
【分析】如图， ， ，根据角平分线的定义可得 ，根据三角形
的外角性质可得 ，即得 ，然后根据三角形的内角和定理求解
即可．
解：如图，根据题意可得： ， ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
则在 中，∵ ，
∴ ，
解得： ；
故答案为：
【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知
识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．11．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，将 绕点 顺时针旋转 后得到 ，点
与点 是对应点，点 与点 是对应点．如果 ，那么 °
【答案】125
【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握：旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状
与大小．据此解答即可．
解： 将 绕点 顺时针旋转 后得到 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴故答案为： ．
12．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在 中， ， ，
．将 绕点 逆时针旋转 度（ ），得到 ， ， 的对应点分别为 ，
．边 ， 分别交直线 于 ， ，当 是直角三角形时，则 ．
【答案】4或
【分析】本题考查了旋转的性质，解含有 的直角三角形，勾股定理解三角形．由图形旋转可以
得到旋转前后边长和角度不变，结合勾股定理求解边长是解决本题的关键．
分类讨论 这个直角三角形的直角为 是直角和 是直角这两种情况，由含有 的
直角三角形求解边长，再结合勾股定理即可求解．
解：∵在 中， ， ， ，
∴ ， ，∵ 是由 绕点 逆时针旋转得到，
∴ ， ， ，
∵ 是直角三角形，
∴当 时，如图，
，
即 ，
解得 ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ；
当 时，连接 ，如图，
∵ ，
在 ， ，
综上， 的值为4或 ．
故答案为：4或 ．13．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，点
为 内一点，且 ， ，则 点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，
掌握知识点的应用是解题的关键．
由一次函数 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，则 ， ，故有
，由 ，从而得出 ， 绕点 顺时针时针旋转
至 ，连接 ，所以 ， ， ， ，则有
， ，通过三角形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质得
， ，最后由勾股定理即可求解．
解：∵一次函数 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图， 绕点 顺时针旋转 至 ，连接 ，∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 点坐标为 ，
故答案为： ．
14．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 的坐标分
别为 ， ，将 绕坐标原点 顺时针旋转 至 的位置，则点 的坐标为
．【答案】
【分析】本题考查坐标与旋转，平行四边形的性质，根据平移思想，求出 点坐标，连接 ，
作 轴， 轴，证明 ，进而求出 的坐标即可．
解：∵ 的顶点 的坐标分别为 ， ，
∴点 向右，向上各平移1个单位得到点 ，
∴点 向右，向上各平移1个单位得到点 ，
∴ ，
连接 ，作 轴， 轴，则： ， ，
∵旋转，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．15．（2023·湖北鄂州·二模）如图， 是等边 内的一点， ．若
的面积为 ，则边 的长为 ．
【答案】
【分析】将 绕点C逆时针旋转 得到 ，作 交 的延长线于点F，首先证明
出 是等边三角形，然后设 ，则 ，得到 ，根据
求出 ，然后利用勾股定理求解即可．
解：如图所示，将 绕点C逆时针旋转 得到 ，作 交 的延长线于点F，
∴ ， ， ，
∴ ，，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴设 ，则 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴解得 （负值舍去），
∴ ， ， ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了旋转综合题，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练
掌握以上知识点．
16．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图， ， ， ，连接 ，
是 上一点， ，连接 交 于 点，若 ， ， ．
【答案】 /
【分析】如图，连接 ，则 ，可证 是等腰直角三角形，
，如图，延长 交 的延长线于 ，则 ， ，如图，将
绕着点 逆时针旋转 到 ，连接 ，证明 ，则 ，
，由勾股定理得， ，则 ，由勾股定理得， ，可求 ，由 ，
可得 ，由勾股定理得， ，根据 ，求解作答即
可．
解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
如图，延长 交 的延长线于 ，
∴ ，
∴ ，
如图，将 绕着点 逆时针旋转 到 ，连接 ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
由勾股定理得， ，解得， ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，等腰三角
形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键
三、解答题
17．（24-25八年级下·山西运城·期末） 在平面直角坐标系中，如图所示，
（1）请画出 向右平移5个单位后得到的 ．
（2） 经过一次旋转得到
①请直接写出旋转中心点P的坐标_______．
② 经过怎样的旋转可以得到 ？
【答案】（1）见分析；（2）① ；② 绕点 逆时针旋转 可以得到
【分析】此题考查了平移和旋转的作图和性质，根据旋转和平移的性质进行解答即即可．
（1）根据平移方式作图即可得到答案；
（2）①根据旋转的特征找到旋转中心即可；②根据旋转的特征找到旋转三要素即可．解：（1）解：如图， 即为所求，
（2）①旋转中心点P的坐标为 ，
故答案为：
②由题意可得， 绕点 逆时针旋转 可以得到
18．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在 中， ，将 绕点
顺时针旋转得到 ，点 的对应点为 ，点 的对应点 落在线段 上， 与 相交于点
，连接 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）试判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见分析；（2） ，证明见分析．
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形性质，垂直定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）由旋转性质可得 ， ，则 ，则有 ，从而得证；
（ ）由旋转性质可得 ， ， ，则 ，
，然后通过角度和差即可求解．
解：（1）证明：∵ 是由 旋转得到，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ 平分 ；
（2）解： ，理由：
由旋转的性质可知， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
19．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在四边形 中， 是对角线， 是等
边三角形．线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与证明，旋转的性质及勾股定理，
证明三角形全等是解题的关键；
（1）由等边三角形的性质与旋转的性质证明 即可；
（2）由旋转知 是等边三角形，则 ，可得 ，在直角三角形中利用勾
股定理即可求得结果．
解：（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ；
∵线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：旋转知 ，∴ 是等边三角形，
∴ ；
∴ ；
∵ ，
∴由勾股定理得： ．
20．（24-25九年级上·广西钦州·期末）在 中， ，将 绕点O逆时针旋转 得
到 ，点 分别是 的中点，连接 ．
（1）【证明与推断】如图 ，当 时， 求证： ； 推断：
是_______三角形；
（2）【类比探究】如图 ，当 时，判断 的形状，并加以证明；
（3）【拓展运用】在（ ）的条件下，当点 在 上时（如图 ），设 相交于点 ，若
， ，求线段 的长．
【答案】（ ） 见分析； 等腰直角；（ ） 是等腰直角三角形，证明见分析；（ ）
．
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理
等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（ ） 由旋转的性质可得， ， ， ，再通过中点定义可得 ，
最后证明 ； 由全等三角形性质可得 ， ，可得
，从而求解；
（ ）同（ ）可证得 ，则 ， ，可得 ，从
而求解；（ ）由（ ）可知， 是等腰直角三角形，则 ， 即 ，设
，则 ，即 ，又点 是 的中点， ，则
，由勾股定理得 ，即 ，求出 的值即可．
解：（ ） 证明：由旋转的性质可得， ， ， ，
∵点 分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ；
解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（ ）解： 是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转的性质可得， ， ， ， ，
同（ ）可证得， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
（ ）解：由（ ）可知， 是等腰直角三角形，
∴ ， 即 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得， 或 （舍去），
∴ ，
∴ ．
【中考真题12题】
一、单选题
1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， ，将 绕点O逆时针
旋转 到 位置，则点B坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到 ，
推出 ， 即可求解．
解：∵ ，
∴ ， ，
∵将 绕点O逆时针旋转 到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点B坐标为 ，
故选：A．
2．（2023·山东青岛·中考真题）如图，将线段 先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线
段绕原点旋转 得到线段 ，则点A的对应点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平移的性质得 ，点 ，再由旋转的性质得点 与 关于原点对称，即可
得出结论．
解：
解：如图，
由题意可知，点 ， ，
由平移的性质得： ，点 ，
由旋转的性质得：点 与 关于原点对称，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转、坐标与图形的变化﹣平移，熟练掌握旋转和平移的
性质是解题的关键．
3．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点C的坐标为．以 为边作矩形 ，若将矩形 绕点O顺时针旋转 ，得到矩形 ，
则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到
，再由矩形的性质可得 ，由旋转的性质可得
， ，据此可得答案．
解：∵点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵将矩形 绕点O顺时针旋转 ，得到矩形 ，
∴ ， ，
∴ 轴，
∴点 的坐标为 ，
故选：C．
4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针
旋转得到 ．当 落在 上时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得 ，
由三角形内角和定理可得出 ，最后根据角的和差关系即可得出答案．
解：由旋转的性质可得出 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴故选：B．
5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图， 中， ， ，将 绕点A
顺时针旋转 得到 ，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接 ．点D恰好落在线段
上，则 的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性
质得 ；再由旋转的性质得 ，从而得
，故可得 ，从而可求出结论．
解：在 中， ，
∴ ；
由旋转可知 ，
∴ ，
由旋转得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
6．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形 中， ， ， ，
，点 为边 上的动点．将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，，则下列结论错误的是（ ）
A． 的最大值是 B． 的最小值是
C． 的最小值是 D． 的最大值是
【答案】A
【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角
的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分
别判断各个结论的正确性．
解：∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ．
又∵ ， ， ， ，
过点 作 于点 ，在 上取一点 ，使得 延长 交 于点 ，则四边
形 是矩形，
∴ ．
∴ ，
∴ （ ），
∴
∴ ，即点 在 上运动，
∴四边形 和四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ， ，∴
∴ ，
∴ 最大时， 最大，
当点 与点 重合时， 与 重合时， 最小 此时 ，
，故 错误，符合题意； 故B正确，不符合
题意；
作点 关于 的对称点 ，连接 则 ， ， 过
作 于点 ，此时 当 、 、 三点共线时， 最小，
∵
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ 的最小值 故 正确，不符合题意；
当 与 重合时，
当 与 重合时，过 作 ，则四边形 是矩形，如下图，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
综上， 最大值为 ．故 项正确，不符合题意；
故选： ．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以
及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的
关系是解题的关键．
二、填空题
7．（2023·浙江金华·中考真题）在直角坐标系中，点 绕原点 逆时针方向旋转 ，得到的点
的坐标是 ．
【答案】
【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题．
解：过A点作 轴，过B点作 轴，∵点A的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ,
∴点B的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．
8．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在矩形 中，点P在 边上，连接 ，将 绕点P
顺时针旋转90°得到 ，连接 ．若 ， ， ，则 ．【答案】2
【分析】过点 作 于点F，则 ，可证 ，于是
．设 ， ， ，解得 ，于是 ．
解：过点 作 于点F，则 ，
∵ ，
∴ ．
又 ，
∴ .
∴ ．
设 ，矩形 中， ，
，
， ，解得 ，
∴ ．
故答案为：2
【点拨】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；根据勾股定理构建方程求解
是解题的关键．
9．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点 ， ，将
绕点 逆时针方向旋转 得到 ，则点 的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长
交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形 是正方形，进而求
出 和 的长度即可求解．
解：如图，延长 交y轴于点E，
中，令 ，则 ，令 ，解得 ，
， ，
， ，
绕点 逆时针方向旋转 得到 ，
， ， ，
四边形 是正方形．
，
，
点 的坐标为 ．
故答案为： ．
10．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在边长为4的等边三角形 中， 是中线，将 绕
点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，则 ．【答案】
【分析】过点E作 交 延长线于点H，由等边三角形的性质得到 ，继
而由三线合一得到 ， ，由勾股定理得到 ，旋转得到 ，
，则 ，继而 ，即可求解面积．
解：过点E作 交 延长线于点H，
∵ 为等边三角形
∴ ，
∵ 是中线，
∴ ， ，
∴由勾股定理得： ，
由旋转得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理， 角直角三角形的性质，旋转的性质，正确
构造辅助线是解题的关键．三、解答题
11．（2025·北京·中考真题）在 中， ， ，点 在射线 上，连接 ，
将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 （点 不在直线 上），过点 作 ，
交直线 于点 ．
（1）如图1， ，点 与点 重合，求证： ；
（2）如图2，点 ， 都在 的延长线上，用等式表示 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定
理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；
（1）根据 ，得出 ，根据旋转可得 ，
，进而证明四边形 是平行四边形，得出 ， ；即
可得证；
（2）在 上取一点 ，使得 ，证明 得出 ，
，进而根据三角形内角和定理得出 ，根
据平行线的性质得出 ，进而得出 ，根据等角对等边可得 ，则
，根据三线合一可得 ，进而根据 ，即可得
证．
解：（1）证明：∵ ，
∴
∵线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，点 与点 重合
∴ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ；
（2） ，
证明：如图，在 上取一点 ，使得
∵
∴
∴ ，
∴
∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴
∴
∴
∴
∴ ，
又∵
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴
12．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数 的图像经过三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在直线 下方的抛物线上运动，求点P到直线 的最大距离；
（3）动点Q在抛物线的对称轴上，作射线 ，若射线 绕点Q逆时针旋转 与抛物线交于点
D，是否存在点Q使 ？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在点Q使 ，此时点Q的坐标为
或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线 的解析式为 ；过点P作 轴交 于E，连接 ，设
，则 ，可得 ；根据
，可得 ，则当 有最大值是， 有最大值，可求出 的
最大值为 ；求出 ，设点P到直线 的距离为h，根据三角形面积计算公式可得
，则当 有最大值时，h有最大值，据此可求出答案；（3）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据
“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上
构造方程求解即可．
解：（1）解：∵二次函数 的图像经过 三点，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ；
如图所示，过点P作 轴交 于E，连接 ，设 ，则 ，
∴ ；
∵ ，
∴
，
∴当 有最大值是， 有最大值，
∵ ， ，
∴当 ，即 时， 有最大值，最大值为 ，
∴ 的最大值为 ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
设点P到直线 的距离为h，
∴ ，
∴ ，
∵当 有最大值时，h有最大值，∴h的最大值为 ，
∴点P到直线 的最大距离为 ；
（3）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作
交直线 于G，
∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
设点Q的坐标为 ，则 ；
由旋转的性质可得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴ ，
∵点D在抛物线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴此时点 的坐标为 ；
如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作 轴，分别过点A，点D作直线 的垂线，
垂足分别为R、S，设点Q的坐标为 ，
∴ ；
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴点D的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴ ，
∵点D在抛物线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴此时点 的坐标为 ；
综上所述，存在点Q使 ，此时点Q的坐标为 或 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与
判定等等，解（2）的关键在于把求点P到 的距离的最大值转换成求 的面积的最大值，解
（3）的关键在于通过“一线三垂直”模型构造全等三角形．
