文档内容
专题23.1 图形的旋转
（知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共62题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01：旋转的定义...........................................................2
知识点梳理02：旋转的性质...........................................................2
知识点梳理03：旋转作图.............................................................3
优选题型 考点讲练......................................................................3
考点1：判断生活中的旋转现象........................................................3
考点2：判断由一个图形旋转而成的图案................................................4
考点3：找旋转中心、旋转角、对应点..................................................6
考点4：求旋转中心的个数............................................................9
考点5：旋转中的规律性问题.........................................................10
考点6：根据旋转的性质求解.........................................................11
考点7：根据旋转的性质说明线段或角相等.............................................14
考点8：旋转的性质及辨析...........................................................17
考点9：画旋转图形.................................................................22
考点10：利用旋转设计图案..........................................................24
考点11：求绕原点旋转90度的点的坐标...............................................25
考点12：求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标.....................................28
考点13：求绕原点旋转一定角度的点的坐标............................................30
考点14：坐标与旋转规律问题........................................................33
考点15：线段问题（旋转综合题）....................................................35
考点16：面积问题（旋转综合题）....................................................39
考点17：角度问题（旋转综合题）....................................................43
考点18：其他问题（旋转综合题）....................................................47
考点19：坐标系中的旋转............................................................52
中考真题 实战演练.....................................................................54
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................63
基础夯实..........................................................................63
培优拔高..........................................................................73知识点梳理01：旋转的定义
（1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫
做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示， 是 绕定点 逆时针旋转 得到的，其中点 与点 叫作对应点，线段
与线段 叫作对应线段， 与 叫作对应角，点 叫作旋转中心， （或
）的度数叫作旋转的角度.
（2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
A'
B'
A
45°
O
B
（3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
知识点梳理02：旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等;
旋转的
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
性质
(3)旋转前、后的图形全等
(1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度;
重点
(2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等;
解读
(3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置
知识点梳理03：旋转作图
旋转作图 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
的依据 (2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点(1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心.
(2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一
个旋转角.
(3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长
作图步骤
度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点.
(4)接:按原图形顺次连接所得到的各点.
注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进
行下一个点的旋转
考点1：判断生活中的旋转现象
【典例精讲】摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩
天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，
则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（ ）
45
A．14分钟 B．20分钟 C．15分钟 D． 分钟
2
【答案】C
【思路引导】先求出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可．
36−21+3
【规范解答】解： ×30=15（分钟）．
36
所以经过20分钟后，3号车厢才会运行到最高点．
故选C．
【考点剖析】本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小
比例是解答本题的关键．【变式训练】如图所示，图形①经过 变换得到图形②；图形①经过 变换得到图形③；图
形①经过 变换得到图形④(填“平移”“旋转”或“轴对称”)．
【答案】 轴对称 旋转 平移
【思路引导】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可．
【规范解答】仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发
生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系．
∴图形①经过轴对称变换得到图形②；图形①经过旋转变换得到图形③；图形①经过平移变换得到图形④．
故答案为轴对称；旋转；平移.
【考点剖析】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是
位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连
线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合．
考点2：判断由一个图形旋转而成的图案
【典例精讲】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（
）
A．将甲绕点O顺时针旋转90°．
B．将乙绕点O逆时针旋转90°．
C．将甲绕着AB和OF中垂线的交点顺时针旋转90°．
D．将甲先向下平移至点O和F重合，再绕点F逆时针旋转90°．
【答案】C
【思路引导】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着AB和OF中垂线的交点顺时针旋转90°，图形甲和图形乙重合．
【规范解答】解：A、将甲绕点O顺时针旋转90°，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意；
B、将乙绕点O逆时针旋转90°，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意；
C、将甲绕着AB和OF中垂线的交点顺时针旋转90°，图形甲和图形乙重合，符合题意；
D、将甲先向下平移至点O和F重合，再绕点F逆时针旋转90°，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意．
故选：C．
【变式训练】（24-25九年级上·天津北辰·期中）△ABC和△BDE是等边三角形，且A，B，D在一条
直线上，连接AE，CD交于点P，则下列结论
①AC∥BE；②∠APC=60°；③AE=CD；④△CBD可以看作是△ABE绕点B顺时针能转60°而成
的；其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【思路引导】利用等边三角形的定义可得：∠CAB=∠DBE=60°，由同位角相等可得：AC∥BE，可
判断①；先证明△ABE≌△CBD(SAS)，则∠BDC=∠AEB，根据外角的性质得：
∠APC=∠EAB+∠BDC=∠EAB+∠AEB=∠EBD=60°，可判断②；根据
△ABE≌△CBD(SAS)，得出AE=CD，可判断③；根据△ABE≌△CBD，且∠ABC=60°，由
旋转的概念可判定④．
【规范解答】解：∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴∠CAB=∠DBE=60°，
∴AC∥BE，故①正确；
∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，
即∠ABE=∠CBD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴∠BDC=∠AEB，
∴∠APC=∠EAB+∠BDC=∠EAB+∠AEB=∠EBD=60°，故②正确；∵△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD，故③正确；
∵△ABE≌△CBD，且∠ABC=60°，
∴△CBD可以看作是△ABE绕点B顺时针能转60°而成的，故④正确；
∴正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
【考点剖析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，三角形外
角的性质，旋转的图形的识别，本题是常考题型，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形．
考点3：找旋转中心、旋转角、对应点
【典例精讲】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，
将△ABE顺时针旋转后得到△CBF．
(1)指出旋转中心为点_____及旋转角的度数为_______°；
(2)判断AE与CF的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)旋转中心是B，旋转角是90°
(2)AE⊥CF，理由见解析
【思路引导】（1）将△ABE旋转后得到△CBF，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对
应点，即可确定；
（2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断．
【规范解答】（1）解：∵将△ABE顺时针旋转后得到△CBF
∴旋转中心是点B，旋转角的度数是90°；
（2）解：延长AE交CF于点M．由旋转可知：△ABE≌△CBF，
∴AE=CF，∠EAB=∠BCF．
又∵∠AEB=∠CEM，∠ABE=90°，
∴∠ECM+∠CEM=90°，
∴AE⊥CF．
【考点剖析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，旋转只是改变图形的位置，
不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等．
【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别
为A(−3,2)、B(0,4)、C(0,2)．
(1)操作与实践：
①步骤一：将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转180°，画出旋转后对应的△A B C；
1 1
②步骤二：平移△ABC，使点A的对应点A 的坐标为(1,−4)，画出平移后对应的△A B C ；
2 2 2 2
(2)应用与求解：
将△A B C绕某一点旋转可以得到△A B C ，请直接写出旋转中心M的坐标．
1 1 2 2 2
【答案】(1)①图见解析；②图见解析
(2)(2,−1)
【思路引导】本题考查作图−旋转变换、作图−平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
（1）①根据旋转的性质作图即可．
②根据平移的性质作图即可．
（2）分别连接A A ，B B ，CC ，相交于点M，则△A B C绕点M旋转180°可以得到△A B C ，
1 2 1 2 2 1 1 2 2 2
进而可得答案．
【规范解答】（1）解：①如图，△A B C即为所求．
1 1
②如图，△A B C 即为所求．
2 2 2
（2）解：分别连接A A ，B B ，CC ，相交于点M，则△A B C绕点M旋转180°可以得到
1 2 1 2 2 1 1
△A B C ，
2 2 2∴旋转中心M的坐标为(2,−1)．
考点4：求旋转中心的个数
【典例精讲】如图，ΔABC和ΔADC都是等边三角形.
（1）ΔABC沿着______所在的直线翻折能与ΔADC重合；
（2）如果ΔABC旋转后能与ΔADC重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；
（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.
【答案】（1）AC；（2）.点A、点C或者线段AC的中点；（3）60°
【思路引导】(1) 因为ΔABC和ΔADC有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将
△ABC旋转后与ΔADC重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心
时都旋转60°，以AC中点旋转时旋转180°.
【规范解答】(1)∵ΔABC和ΔADC都是等边三角形，
∴ΔABC和ΔADC是全等三角形，
∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合.
故填AC;
(2)将△ABC旋转后与ΔADC重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60°或以点C为旋转中心顺时针旋
转60°，或以AC的中点为旋转中心旋转180°即可；
（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转60°，以AC中点旋转时旋转180°.【考点剖析】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即
可.
【变式训练】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C
【答案】A
【规范解答】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应
点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；
若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对
应点为F，则可得到正方形EFGH；
若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D
点对应点为E，则可得到正方形EFGH．
故选A．
考点5：旋转中的规律性问题
【典例精讲】（20-21九年级上·黑龙江·期中）如图，将边长为1的正三角形AOP沿x轴正方向作无滑
动的连续反转，点P依次落在点P ，P ，P ⋅⋅⋅P 的位置，则点P 的坐标为 ．
1 2 3 2020 2020
【答案】(2020,0)
【思路引导】根据图形的翻转，分别得出P 、P 、P …的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，
1 2 3
进一步得出答案即可．【规范解答】解：由题意可知P 、P 的横坐标是1，P 的横坐标是2.5，P 、P 的横坐标是4，P 的横坐
1 2 3 4 5 6
标是5.5…
依此类推下去，P 、P 的横坐标是2017，P 的横坐标是2018.5，P 的横坐标是2020，
2017 2018 2019 2020
∴P 的坐标是(2020,0)，
2020
故答案为(2020,0)．
【考点剖析】本题考查翻折变换，等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出P 、P 、P …的
1 2 3
横坐标，得出规律是解答此题的关键．
考点6：根据旋转的性质求解
【典例精讲】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，
将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
(1)求证：EF=BC；
(2)若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)78°
【思路引导】（1）由旋转的性质可得AC=AF，证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相
等即可得出EF=BC；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE=180°−65°×2=50°，那么
∠FAG=50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F=∠C=28°，再根据三角形外角的性质即可求出
∠FGC=∠FAG+∠F=78°．
【规范解答】（1）证明：∵∠CAF=∠BAE，
∴∠CAF+∠EAC=∠BAE+∠EAC，即∠BAC=∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC=AF．
在△ABC与△AEF中，
{
AB=AE
)
∠BAC=∠EAF ，
AC=AF∴△ABC≌△AEF(SAS)，
∴EF=BC；
（2）解：∵AB=AE，∠ABC=65°，
∴∠ABE=∠AEB=65°，
∴∠BAE=180°−65°×2=50°，
∴∠FAG=∠BAE=50°．
∵△ABC≌△AEF，∠ACB=28°，
∴∠F=∠ACB=28°，
∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°．
【考点剖析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
以及三角形外角的性质，证明△ABC≌△AEF是解题的关键．
【变式训练】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
点D为△ABC内一点，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转90∘得到△ACE．
(1)连接DE交AC于点F．若点B、D、E三点共线，求∠FEC的度数；
(2)若AD=12cm，AB=AC=20cm，∠BAD=15°，求AF的长．
【答案】(1)90°
(2)4❑√6cm
【思路引导】（1）利用SAS证明△ABD≌△ACE，得∠AEC=∠BDA，由点B、D、E三点共线，
得∠ADB=180°−∠ADE=180°−45°=135°，即可解决问题；
（2）过A作AH⊥DE于H，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质，勾股定理求解即可．
【规范解答】（1）解：当点B、D、E三点共线，如图，
∵将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，
∴∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，∴∠DAE−∠DAF=∠BAC−∠DAF，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠AEC=∠BDA，
∵点B、D、E三点共线，
∴∠ADB=180°−∠ADE=180°−45°=135°，
∴∠FEC=∠AEC−∠AED=135°−45°=90°；
（2）解：过A作AH⊥DE于H，如图，
∵∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=45°
∵AH⊥DE
∴∠AHD=90°，DH=EH
∴∠ADH=∠DAH=45°，
❑√2
∴AH= AD=6❑√2(cm)，
2
∵∠BAD=15°，
∴∠FAH=90°−∠BAD−∠DAH=30°，
1
∴FH= AF，
2
∵AF2=AH2+FH2=AH2+ (1 AF ) 2
2
2❑√3
∴AF= AH=4❑√6cm．
3
【考点剖析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
考点7：根据旋转的性质说明线段或角相等
【典例精讲】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）综合与探究：如图①，点E为正方形ABCD内一点，
∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转90°得到△ADE′，延长BE交DE′于点F，连接CE．
【证明结论】
（1）求证：四边形AEFE′是正方形；
【解决问题】
（2）如图①，若AE=6，DF=2，求△BCE的面积；
【问题探究】
（3）如图②，若CB=CE，求证：点F是DE′的中点．
【答案】（1）证明见解析；（2）32；（3）证明见解析
【思路引导】（1）由旋转的性质可得AE′=AE，∠E′=∠AEB=90°，∠E′ AE=90°，即得四边形
AEFE′是矩形，进而由AE′=AE即可求证；
（2）过点C作CH⊥BE于点H，可证△ABE≌△BCH(AAS)，得到BE=CH，又由（1）可知：
E'F=AE，△ABE≌△ADE'，即可得BE=DE′=E′F+DF=AE+DF=8，再根据三角形的面积公
式计算即可；
（3）过点C作CG⊥BE于点G，可得AE=BG，又由（1）可知：BE=DE′，四边形AEFE′是正方形，
1
即得AE=E′F，由等腰三角形的性质得BG=EG= BE，即得BE=2BG=2AE=2E′F，得到
2
DE′=2E′F，即可求证．
【规范解答】（1）证明：∵△ADE′是由△ABE绕点A逆时针旋转90°而得到，
∴AE′=AE，∠E′=∠AEB=90°，∠E′ AE=90°，
∵BF是BE的延长线，
∴∠AEF=90°∴四边形AEFE′是矩形，
∵AE′=AE，
∴四边形AEFE′是正方形；
（2）如图，过点C作CH⊥BE于点H，
∴∠CHB=∠AEB=90°，
∴∠CBH+∠BCH=∠ABE+∠CBH=90°，
∴∠ABE=∠BCH，
∵AB=BC，
∴△ABE≌△BCH(AAS)，
∴BE=CH，
由（1）可知：E'F=AE，△ABE≌△ADE'，
∴BE=DE′=E′F+DF=AE+DF=6+2=8，
∴CH=8，
1 1
∴△BCE的面积= BE⋅CH= ×8×8=32；
2 2
（3）如图②，过点C作CG⊥BE于点G，
由（2）可知：△ABE≌△BCG，
∴AE=BG，
由（1）可知：BE=DE′，四边形AEFE′是正方形，∴AE=E′F，
∵CB=CE，CG⊥BE，
1
∴BG=EG= BE，
2
∴BE=2BG=2AE=2E′F，
∴DE′=2E′F，
∴点F为DE′的中点．
【考点剖析】本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性
质，掌握以上知识点是解题的关键．
【变式训练】（2024·江苏苏州·一模）如图所示，等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D
为斜边AB上一点（不与A，B重合），AD”“<”或“=”）
【答案】>
【思路引导】本题考查旋转的性质，三角形的外角，根据三角形的外角的性质，得到∠ACD>∠BAC，
旋转得到∠EAD=∠BAC，即可得出结果．
【规范解答】解：∵旋转，
∴∠EAD=∠BAC，
∵点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，
∴∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD>∠BAC，
∴∠ACD>∠EAD；
故答案为：>
7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，△AB′C′是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转180°后
得到的，点B、C的对应点分别为点B′ 、C′，已知∠B=90°,AB=3,∠C=30°，则CC′的长为
．
【答案】12
【思路引导】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意得出AC=6，进而根据旋
转的性质，即可求解．【规范解答】在Rt△ABC中，AB=3，∠C=30°，
∴AC=2AB=6．
又因为△AB′C′是△ABC绕点A旋转180°后得到的，
所以AC′=AC，且C，A，C′三点共线，
所以CC′=2AC=12．
故答案为：12．
8．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【问题情境】如图①，点E为正方形ABCD内一点，
∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C），延长
AE交CE′于点F．
【猜想证明】
(1)试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
(2)如图②，若AD=DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明．
【答案】(1)四边形BE′FE是正方形，详见解析
(2)CF=E′F，详见解析
【思路引导】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
（1）先证明四边形BE′FE是矩形，即可证明结论；
1
（2）过点D作DH⊥AE于H，结合正方形性质证明△ADH ≌△BAE，得出AH=BE= AE，根据
2
BE=E′F即可证明结论．
【规范解答】（1）解：四边形BE′FE是正方形，理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB=∠CE'B=∠EBE'=90°，BE=BE′．
又∵∠BEF=90°，
∴四边形BE′FE是矩形．
又∵BE=BE′，
∴四边形BE′FE是正方形．
（2）CF=E′F；理由如下：如图，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA=DE，DH⊥AE，
1
∵AH= AE，∠ADH+∠DAH=90°．
2
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠EAB=90°，
∴∠ADH=∠EAB．
又∵AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°，
∴△ADH ≌△BAE（AAS），
1
∴AH=BE= AE．
2
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE=CE′，
∵四边形BE′FE是正方形，
∴BE=E′F，
1
∴E'F= CE'=CF，
2
∴CF=E′F．
9．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）【探究与证明】
【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE=1,BE=2,∠AEB=90°，将直角三角形ABE绕
点A逆时针方向旋转α度(0≤α≤360°)点B、E的对应点分别为B′,E′．【问题解决】
(1)如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；
(2)若α=90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′于点F，①请判断四边形
AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长．
(3)在旋转过程中，直接写出线段CE′的取值范围．
【答案】(1)❑√10−❑√5
(2)①四边形AEFE′是正方形，理由见详解②❑√5
(3)❑√10−1≤CE′≤❑√10+1
【思路引导】本题考查了以下核心知识点：正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，特殊四
边形的判定以及线段取值范围的确定，对这些概念的理解程度是解题的关键．
（1）先通过勾股定理求正方形的边长AB，再结合正方形对角线性质求AC，最后利用旋转后AB′=AB的
性质，通过线段差AC−AB′计算CB'．
（2）①由旋转得AE=AE′且∠EAE′=90°，结合已知∠AEB=90°推出四边形有三个直角，先判定为
矩形，再通过邻边相等判定为正方形．
②通过作垂线构造直角三角形，利用“同角的余角相等”找到全等条件，证明△BCG≌△ABE，得到
对应边长度，再用勾股定理求CE．
（3）将A视为定点，AE′为定长，则E′的轨迹是以A为圆心、AE为半径的圆；结合AC为定长，通过
“点C到圆上点E'的距离范围确定取值范围．
【规范解答】（1）解：在Rt△ABE中，因为AE=1，BE=2，∠AEB=90°，
所以AB=❑√AE2+BE2=❑√12+22=❑√5，
由于四边形ABCD是正方形，
所以BC=AB=❑√5，∠ABC=90°，
那么AC=❑√2AB=❑√10，
由旋转性质可知AB′=AB=❑√5，
所以CB′=AC−AB′=❑√10−❑√5．
（2）解：①四边形AEFE′是正方形，理由如下：
由旋转的性质可得AE′=AE，∠EAE′=α=90°,∠AE′D=∠AEB=90°，
因为∠AEF=180°−90°=90°，
又因为AE′=AE，
所以四边形AEFE′是正方形．②过点C作CG⊥BE于点G，则∠BGC=∠AEB=90°，
因为∠CBG+∠BCG=∠CBG+∠ABE=90°，
所以∠BCG=∠ABE，
在△BCG和△ABE中，
{∠BGC=∠AEB
)
∠BCG=∠ABE ，
BC=AB
可得△BCG≌△ABE，
所以CG=BE=2，BG=AE=1，
则EG=BE−BG=2−1=1，
在Rt△CGE中，根据勾股定理CE=❑√CG2+EG2=❑√22+12=❑√5．
（3）解：因为E′的轨迹是以A为圆心、AE=1为半径的圆，
点C到圆心A的距离为❑√10，
所以CE′最短为❑√10−1，
当E′落在CA的延长线上时，AE′=AE=1，AC=❑√10，
CE′最长为AC+AE′=❑√10+1，
所以线段CE′的取值范围是❑√10−1≤CE′≤❑√10+1．
10．（24-25九年级上·吉林·期末）问题情境
四边形ABCD是边长为5的菱形，连接BD．将△BCD绕点B按顺时针方向旋转得到△BEF，点C、D
旋转后的对应点分别为点E、F．旋转角为α(0°<α<360°)．
观察思考
（1）如图①，连接AC，当点F第一次落在对角线AC上时，α=_______________；
探究证明
（2）如图②，当180°<α<360°，且EF∥BD时，EF与AD交于点G，试判断四边形BDGF的形状，并
说明理由；
拓展延伸
（3）如图③，连接CE，在旋转过程中，当EF∥AB时，请直接写出线段CE的长．【答案】（1）60°
（2）四边形BDGF是菱形，理由见解析
（3）CE的长为10
【思路引导】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质等知识，熟练掌握菱
形的判定与性质和旋转的性质是解题的关键．
（1）连接DF，根据菱形的性质得出FD=FB，根据旋转的性质得出BD=BF，进而可得△DBF是等边
三角形，即可求解；
（2）由菱形的性质得∠ADB=∠BDC，再由旋转的性质得BD=BF，∠F=∠BDC，然后证四边形
BDGF是平行四边形，结合BD=BF，即可得出结果；
（3）当EF∥AB时，则∠E=∠ABE，证E、B、C三点共线，即可得出CE的长．
【规范解答】解：（1）如图①，连接DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分DB，
∴FD=FB，
∵将△BCD绕点B按顺时针方向旋转得到△BEF，
∴BD=BF，
∴BD=BF=DF，
∴△DBF是等边三角形，
∴∠DBF=60°，即α=60°，
故答案为：60°．
（2）四边形BDGF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB=∠BDC，由旋转的性质得：BD=BF，∠F=∠BDC，
∴∠F=∠ADB，
∵EF∥BD，
∴∠F+∠DBF=180°，
∴∠ADB+∠DBF=180°，
∴DG∥BF，EF∥BD，
∴四边形BDGF是平行四边形，
∵BD=BF，
∴平行四边形BDGF是菱形；
（3）如图③，当EF∥AB时，则∠E=∠ABE，
∵AB∥CD
，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠BDC=∠F，
∴∠F=∠ABD，
∴∠ABD+∠ABE+∠EBF=∠F+∠E+∠EBF=180°，
∵∠DBC=∠FBE，
∴∠FBE+∠ABE+∠ABD=180°，
∴E、B、C三点共线，
∴CE=BC+BE=5+5=10．
∴CE的长为10．
培优拔高
11．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在△ABC中，AB=2，以点A为中心，把△ABC逆
时针旋转60°，得到△AB′C′，连接BB′，则BB′等于（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【思路引导】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
根据旋转的性质可得：AB=AB′=2，∠BAB′=60°，从而可得△ABB′是等边三角形，然后利用等边三
角形的性质即可解答．
【规范解答】解：由旋转得：AB=AB′=2，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴BB′=AB=AB′=2，
故选：B．
12．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋
转得到△ADE，且点E恰好落在BC上．若∠DAE=95°，则∠AEC的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】B
【思路引导】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的
性质是解答本题的关键．
由旋转的性质得AC=AE，∠BAC=∠DAE=95°，从而∠AEC=∠C，然后由三角形内角和求出
∠C的度数即可．
【规范解答】解：由旋转的性质得AC=AE，∠BAC=∠DAE=95°，
∴∠AEC=∠C．
∵∠B=30°，
∴∠C=180°−30°−95°=55°，
∴∠AEC=55°．故选B．
13．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC
沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C
重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60°
【答案】D
【思路引导】本题考查平移的性质、旋转的性质、等边三角形的判定；由旋转的性质和平移的性质可得
B'C=A'C，AB=A'❑B'❑=4,∠B=∠A'B'C=60°,可证△A'❑B'C是等边三角形，可得
A'B'=B'C=4，即可求解.
【规范解答】解：∵将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，
∴AB=A'B'❑=4,∠B=∠A'❑B'❑C=60°，
∵将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转后，点B′恰好与点C重合，
∴A'❑B'❑=A'C,∠A'B'❑C=60°，
∴△A'B'C是等边三角形，
∴∠B' A'C=60°，A'❑B'=B'C=4，
∴BB'=BC−B'C=3，
∴平移的距离为3，
故选：D.
14．（24-25九年级上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，把点P(−5,4)向右平移8个单位得到点
P ，再将点P 绕原点旋转90°得到点P ，则点P 的坐标是 ．
1 1 2 2
【答案】(4,−3)或(−4,3)
【思路引导】此题主要考查了坐标与图形的变化，正确利用图形分类讨论是解题关键．首先利用平移的性
质得出点P 的坐标，再分点P 绕原点顺时针和逆时针旋转90°讨论，结合旋转的性质画图求解即可．
1 1
【规范解答】解∶ ∵把点P(−5,4)向右平移8个单位得到点P ，
1
∴点P 的坐标为：(3,4)，
1
如图所示：将点P 绕原点逆时针旋转90°得到点P ，则其坐标为：(−4,3)，
1 2
将点P 绕原点顺时针旋转90°得到点P ′ ，则其坐标为：(4,−3)，
1 2
综上， 故符合题意的点P 的坐标为(4,−3)或(−4,3)，
2
故答案为∶(4,−3)或(−4,3)．
15．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）在正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），
点F在BC边上（不与点B，C重合），将线段EF绕点F顺时针旋转，使点E的对应点G落在正方形ABCD
的边上，将线段FG绕点G顺时针旋转，使点F的对应点H落在正方形ABCD的边上…依次操作下去，若
经过多次操作后可得到首尾顺次相接的正n边形，则n的值为 ．
【答案】3或4或8
【思路引导】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、正多边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解
题的关键．
根据旋转的性质解答即可．
【规范解答】解：如图：
①如图1，当点G落在点D时，此时n=3；
②如图2，当点G落在CD边上时，此时n=4；
③如图3，当点G落在BC边上时，此时n=8．
故答案为：3或4或8．16．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D为AB边
上一点，0
