文档内容
初中数学
2023年广东广州荔湾区中考一模
数学试卷
新东方教育科技集团2023年广东广州荔湾区中考一模数学
试卷
一、选择题（每题3分，本大题共10小题，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1 单选题 (3分)
中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40
元”记作( )．
A. +40元
B. −40元
C. +20元
D. 20元
答案
B
解析
解：如果“收人60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作−40元．
故选：B．
2 单选题 (3分)
在平面直角坐标系中，将点(−1,3)向右平移5个单位得到的点的坐标为( )．
A. (−1,−2)
B. (−1,8)
C. (4,3)
D. (−6,3)
答案
C
解析
解：将点(−1,3)向右平移5个单位长度得到的点坐标为(−1+5,3)，即(4,3)，
故选：C．
3 单选题 (3分)
一组数据2，3，4，2，5的众数和中位数分别是( )．
A. 2，2
B. 2，3
C. 2，4
1/21D. 5，4
答案
B
解析
解：将这组数据重新排列为2、2、3、4、5，
∴
这组数据的众数为2，中位数为3，
故选：B．
4 单选题 (3分)
下列运算正确的是( )．
A. a+a2 =a3
B. (−3a)2 =6a2
C. 4√a−√a=4
D. a2⋅a3 =a5
答案
D
解析
解：A、原式=a+a2，不符合题意；
B、原式=9a2，不符合题意；
C、原式=3√a，不符合题意；
D、原式=a5，符合题意；
故选：D．
5 单选题 (3分)
在RtΔABC中，∠C =90∘，AB=2BC，则cosA的值是( )．
A. √3
2
B. 1
2
C. 2√5
5
D. √5
5
答案
A
2/21解析
解：在RtΔABC中，
∵∠C =90∘，AB=2BC，
∴AC =√AB2−BC2 =√(2BC)2−BC2 =√3BC，
AC √3BC √3
∴cosA= = = ．
AB 2BC 2
故选：A．
6 单选题 (3分)
我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人
步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；
如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为
( )．
A. 3(y−2)=x
{2y−9=x
B. 3(y+2)=x
{2y+9=x
C. 3(y−2)=x
{2y+9=x
D. 3(y+2)=x
{2y−9=x
答案
C
解析
解：设共有x人，y辆车，
3(y−2)=x
依题意得： ．
{2y+9=x
故选：C．
7 单选题 (3分)
如图，将ΔABC绕点A逆时针旋转55∘得到ΔADE，若AD⊥BC于点F，∠E =75∘，则∠BAC的度
数为( )．
A. 65∘
3/21B. 70∘
C. 75∘
D. 80∘
答案
B
解析
解：
∵
将ΔABC绕点A逆时针旋转55∘得到ΔADE，
∴∠E =∠C =75∘，∠BAF =55∘，
∵AD⊥BC，
∴∠CAF =15∘，
∴∠BAC =70∘，
故选：B．
8 单选题 (3分)
如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为12的等腰三角形，俯视图是直径为6的
圆，则这个几何体的全面积是( )．
A. 24π
B. 21π
C. 15π
D. 12π
答案
A
解析
解：圆锥的高=12×2÷6=4，
母线长=√42+(6÷2)2 =5，
圆锥的全面积=π×(6÷2)2+π×(6÷2)×5=9π+15π=24π．
故选：A．
4/219 单选题 (3分)
如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2x⩾ax+4的解集为( )．
A. 3
x⩾
2
B. x⩽3
C. 3
x⩽
2
D. x⩾3
答案
A
解析
解：将点A(m,3)代入y=2x得，2m=3，
3
解得，m= ，
2
3
∴
点A的坐标为( ，3)，
2
3
∴
由图可知，不等式2x⩾ax+4的解集为x⩾ ．
2
故选：A．
10 单选题 (3分)
2023
已知方程x2−2023x+1=0的两根分别为x ，x ，则x2− 的值为( )．
1 2 1 x
2
A. 1
B. 2023
C. −1
D. −2023
答案
C
解析
解：
∵
方程x2−2023x+1=0的两根分别为x
1
，x
2
，
∴x
1
⋅x
2
=1，x2
1
−2023x
1
+1=0，
∴x2
1
−2023x
1
=−1，
5/212023
∴x2−
1 x
2
2023x
=x2− 1
1 x ⋅x
1 2
=x2−2023x
1 1
=−1．
故选：C．
二、填空题（每题3分，本大题共6小题，共18分．）
11 填空题 (3分)
计算：|−2|+√3 8= ．
答案
4．
解析
解：|−2|+√3 8=2+2=4．
故答案为：4．
12 填空题 (3分)
分解因式：9a3−ab2 = ．
答案
a(3a−b)(3a+b)．
解析
解：9a3−ab2，
=a(9a2−b2)，
=a(3a−b)(3a+b)．
13 填空题 (3分)
若抛物线y=x2−6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为 ．
答案
9．
解析
解：
∵
抛物线y=x2−6x+a与x轴只有一个公共点，
∴36−4a=0，
6/21∴a=9，
故答案为：9．
14 填空题 (3分)
已知直线y=−2x+1向下平移m(m>0)个单位后经过点(1,−3)，则m的值为 ．
答案
2．
解析
解：将直线y=−2x+1向下平移m(m>0)个单位后所得直线为：y=−2x+1−m．
将点(1,−3)代入，得−2+1−m=−3．
解得m=2．
故答案是：2．
15 填空题 (3分)
如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，若CP =CB，
OA=3，OP =1，则BC的长为 ．
答案
4．
解析
解： ∵CP =CB，
∠CPB=∠CBP，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBP，
∵OP⊥OA，
∴∠AOP =90∘、
∴∠A+∠APO=90∘，
∵∠CPB=∠APO，
∴∠A+∠CPB=90∘，
∴∠OBP +∠CBP =90∘，
7/21∴∠CBO=90∘，
设BC =x，则CO=CP +OP =x+1，
∵OC2 =OB2+BC2，
∴(x+1)2 =32+x2，
∴x=4，
∴BC的长是4．
故答案为：4．
16 填空题 (3分)
如图，RtΔABC中，∠ACB=90∘，AC =2，BC =4，CD是ΔABC的中线，E是边BC上一动
点，将ΔBED沿ED折叠，点B落在点F处，EF交线段CD于点G，当ΔDFG是直角三角形时，则
CE = ．
答案
5 √5
1或 − ．
2 2
解析
解：①如图1中，当∠DGF =90∘时，作DH⊥BC于H．
在RtΔACB中， ∵∠ACB=90∘，AC =2，BC =4，
∴AB=√AC2+BC2 =√22+42 =2√5，
∵AD=DB，
1
∴CD= AB=√5，
2
8/21∵DH//AC，AD=DB，
∴CH =BH，
1
∴DH =DG= AC =1，
2
∴CG=√5−1，
∵DC =DB，
∴∠DCB=∠B，
2√5
∴cos∠DCB=cos∠B= ，
5
5 √5
∴CE =CG÷cos∠DCB= − ；
2 2
②如图2中，当∠GDF =90∘，作DH⊥BC于H，DK⊥FG于K．
∵∠F =∠DCH，∠FGD=∠CGE，
∴∠CEG=∠FDG=90∘，
∴∠DKE =∠KEH =∠DHE =90∘，
∴
四边形DHEK是矩形，
∵DH =DK，
∴
四边形DKEH是正方形，
∴EH =DH =1，
∵CH =BH =2，
∴CE =1，
5 √5
综上所述，满足条件的CE的值为1或 − ．
2 2
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．）
17 解答题 (4分)
解不等式3x−40)的图象经过点E，分别与AD，BC交于点F，G
x
．
(1) (5分)若OB=8，求反比例函数的解析式；
(2) (5分)连接EG，若AF −AE =2，求ΔBEG的面积．
答案
20
(1) 该反比例函数的解析式为y= ；
x
21
(2) S = ．
ΔBEG
5
解析
(1) ∵ 矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，AD=8，AB=6，且OB=8，
∴B(8,0)，D(2,8)，B(8,0)，
∵
对角线AC，BD相交于点E，
∴
点E为AC的中点，
∴E(4,5)，
k
把E(4,5)代入y= ，得
x
k
5= ．
4
解得k=20．
20
故该反比例函数的解析式为：y= ；
x
(2) ∵AC =√62+82 =10，
∴BE =AE =5，
∵AF −AE =2，
∴AF =7，
设OA=t，则F(t,7)，E(t+3,4)，
13/21k
∵
反比例函数y= (x>0)的图象经过点E、F，
x
∴7t=4(t+3)，
解得t=4，
∴k=7t=28，
28
∴
反比例函数解析式为y= ，
x
28 14
当x=10时，y= = ，
10 5
14
∴G(10, )，
5
1 14 21
∴S
ΔBEG
=
2
×3×
5
=
5
．
23 解答题 (10分)
如图，⊙O是ΔABC的外接圆，AB=AC，AD是⊙O的切线．
(1) (3分)尺规作图：过点B作AC的平行线交AD于点E，交⊙O于点F，连接AF（保留作图痕
迹，不写作法）；
(2) (3分)证明：AF =BC；
(3) (4分)若⊙O的半径长为 5 ，BC =4，求EF和BF的长．
2
答案
(1) 见解析；
(2) 见解析；
(3) 8√5 2√5
EF = ，BF = ．
5 5
解析
(1) 如图，作∠ABE =∠BAC，
则BE//AC，
(2) 连接CF，
14/21∵BF//AC，
∴∠BFC =∠ACF，
∴A
ˆ
F =B
ˆ
C，
∴AF =BC；
(3) 连接AO，并延长交BC于H，连接OB，
∵AB=AC，
∴AH⊥BC，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠HAD=90∘，
∴∠EAH+∠BHA=180∘，
∴AD//BC，
∵BE//AC，
∴
四边形EBCA是平行四边形，
∴BE =AC，AE =BC =4，
5 3
在RtΔOBH中，由勾股定理得，OH = ( )2−22 = ，
√ 2 2
3 5
∴AH = + =4，
2 2
∴AB=√22+42 =2√5，
∵∠AEF =∠AEB，AE =AF，BE =BA，
∴ΔAEF ∽ΔBEA，
EF AE
∴ = ，
AE BE
EF 4
∴ = ，
4 2√5
8√5
∴EF = ，
5
8√5 2√5
∴BF =BE−EF =2√5− = ．
5 5
15/2124 解答题 (12分)
如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC =120∘．连接BD，总有∠DBC =∠DAB+60∘．
(1) (6分)求∠ADB的度数；
(2) (6分)点F是线段CD的中点，连接BF．
①写出线段AD，BD，BF之间的数量关系，并给出证明；
②延长AD，BF相交于点N，连接CN，若AB=2√3，求线段CN长度的最小值．
答案
(1) ∠ADB=120∘；
(2) ①2BF =BD+AD；
②CN的最小值=AC−AN =6−4=2．
解析
(1) ∵∠ABC =∠ABD+∠DBC =120∘，
∴∠DBC =120∘−∠ABD，
∵∠DBC =∠DAB+60∘，
∴∠DAB+60∘ =120∘−∠ABD，
∴∠DAB+∠ABD=60∘，
∴∠ADB=180∘−(∠DAB+∠ABD)=180∘−60∘ =120∘；
(2) ①2BF =BD+AD，理由如下：
如图2，延长CB至P，使BC =BP，连接AP，DP，延长BD至Q，使AD=DQ，连接
AQ，
16/21∵BP =BC，F为CD的中点，
∴BF是ΔCDP的中位线，
1
∴BF//PD，BF = PD，
2
∵∠ADB=120∘，
∴∠ADQ=60∘，
∵AD=DQ，
∴ΔADQ是等边三角形，
∴AD=DQ=AQ，∠QAD=60∘，
∵∠ABC =120∘，
∴∠ABP =60∘，
∵AB=BC =BP，
∴ΔABP是等边三角形，
∴AB=AP，∠BAP =60∘，
∴∠QAD=∠BAP =60∘，
∴∠QAB=∠DAP，
∴ΔQAB≅ΔDAP(SAS)，
∴BQ=PD，
1
∵BF = PD，
2
∴2BF =BQ=BD+DQ=BD+AD；
②如图3，由图2的辅助线，连接AC，
17/21∵∠ADP =∠ADQ=60∘，
∴∠BDP =60∘，
∵BF//PD，
∴∠NBD=60∘，
∵∠BDN =∠ADQ=60∘，
∴∠BND=60∘，
在ΔACN中，CN ⩾|AC−AN|，
当A，N，C三点共线时，CN有最小值，
如图4，过点B作BL⊥AC于L，
∵AB=BC =2√3，∠ABC =120∘，
∴∠CAB=∠C =30∘，
∴BL=√3，AL=BL=3，
∴AC =6，
∵∠CDB=60∘，∠BAC =30∘，
∴∠ABD=30∘ =∠DAB，
同理得：AD=BD=2，
∴CN的最小值=AC−AN =6−4=2．
18/2125 解答题 (12分)
已知抛物线y=−x2+2kx−k2+4的顶点为H，与y轴交点为A，点P(a,b)是抛物线上异于点H的
一个动点．
(1) (4分)若抛物线的对称轴为直线x=1，请用含a的式子表示b；
(2) (4分)若a=1，作直线HP交y轴于点B，当点A在x轴上方且在线段OB上时，直接写出k的取
值范围；
(3) (4分)在（1）的条件下，记抛物线与x轴的右交点为C，OA的中点为D，作直线CD，过点P
作PF⊥CD于点E并交x轴于点F，若a<3，PE =3EF，求a的值．
答案
(1) b=−a2+2a+3(a≠1)；
(2) k的取值范围是0⩽k<2且k≠1；
11
(3) a的值是− ．
7
解析
(1) 抛物线y=−x2+2kx−k2+4=−(x−k)2+4，
∴H(k,4)，对称轴x=k，
∵
点P(a、b)是抛物线上异于点H的一个动点，
∴a≠k，
∵
抛物线的对称轴为直线x=1，
∴k=1，
∴
抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，
∵
点P(a、b)在抛物线上，
∴
当x=a时，b=−a2+2a+3(a≠1)；
(2) ∵ 抛物线y=−x2+2kx−k2+4与y轴交点为A，
∴
当x=0时，y=−k2+4，
∴A(0,−k2+4)，
∵
点P(a,b)在抛物线y=−x2+2kx−k2+4上，且a=1，点P(a,b)是抛物线上异于点H的
一个动点，
∴P(1,−k2+2k+3)，k≠1，
设直线PH的解析式为y=mx+b ，
1
m+b =−k2+2k+3
1 ，
∴
{km+b =4
1
∴(k−1)b
1
=−k3+2k2+3k−4=(k−1)(−k2+k+4)，
∵k≠1，
∴k−1≠0，
∴b
1
=−k2+k+4，B(0,−k2+k+4)，
∵
点A在x轴上方且在线段OB上，
−k2+4>0
，
∴
{−k2+4⩽−k2+k+4
19/21−2
