文档内容
期中押题预测卷
（考试范围：第一~四章）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·河南·九年级阶段练习）要使式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1且x≠2 B．x≥1且x≠2 C．x＞2 D．1＜x＜2
【答案】B
【分析】根据分式有意义可得x﹣2≠0，根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解即可．
【详解】解：由题意得：x﹣2≠0，且x﹣1≥0，
解得：x≥1且x≠2，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握分式与二次根式有意义的条件是解
题的关键．
2．（2022·广东·东莞市宏远外国语学校八年级期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、 ＝ ＝ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ＝ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ＝ ＝2 ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；D、 是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的判断以及二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
3．（2022·山东·滨城六中八年级阶段练习）关于 有下列条件：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．其中能确定 是直角三角形的
有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：①∠A＋∠B＝∠C时，∠C＝90°，是直角三角形，符合题意；
②∠C＝90°，是直角三角形，符合题意；
③AC：BC：AB＝3：4：5，设 ，则 ，从而
，是直角三角形，符合题意；
④a2＝（b＋c）（b−c），a2＝b2−c2，是直角三角形，符合题意；
⑤当∠A：∠B：∠C＝2：3：4时，显然 是最大角，则∠C＝ ，是锐角三角形，
不符合题意；
综上所述，能确定△ABC是直角三角形的有4个，故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就
是直角三角形，同时也考查了三角形内角和定理．
4．（2022·广东·高州市八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，将点P先向左平移4个单位长度得到点 ，
点P 关于x轴对称的点为 ，已知 坐标为（-2，-3），则点P的坐标是（ ）
1
A．（2，3） B．（-6，-3） C．（-2，3） D．（2，-3）
【答案】A
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，可得出 的坐标，再将 向平移4个
单位长度可得出P的坐标．【详解】解：点 （﹣2，﹣3）关于x轴对称点的横坐标为-2，纵坐标为3，
∴点 （﹣2，﹣3）关于x轴对称点的坐标为（﹣2，3）；
∴点P的横坐标为﹣2+4＝2，纵坐标为3，∴点P的坐标为（ 2，3），故选：A．
【点睛】本题考查坐标的平移、对称，掌握平移和对称的规律是解题的关键，注意平移规律：左右平移只
改变点的横坐标，左减右加；两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；注意求原来点的坐标
让平移的方向相反即可．
5．（2022·上海·八年级期中）给出下列结论：① 在 和 之间；② 中 的取值范围是 ；
③ 的平方根是 ；④ ；⑤ ．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据估算出 的大小、二次根式有意义的条件、算术平方根、立方根、无理数比较大小方法，
即可解答．
【详解】解：① ， ，故①错误；
②因为二次根式 中 的取值范围是 ，故②正确；
③ ，9的平方根是 ，故③错误；④ ，故④错误；
⑤∵ ， ，∴ ，即 ，故⑤错误；
综上所述：正确的有②，共1个，故选：A．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，求一个数的立方根，二次根式有意义的条件，解决本题的关键是
掌握估算平方法比较无理数大小．
6．（2022·广东·八年级期中）下图中，能表示一次函数 与正比例函数 （m，n为常数，
且 ）的大致图象的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据m、n同正，同负，一正一负时进行讨论，然后根据正比例函数和一次函数的图象与性质，
进行判断即可．
【详解】解：①当mn＞0时，m、n同号，y=mnx过一三象限，
同正时，y=mx+n经过一、二、三象限；同负时，y=mx+n过二、三、四象限；
②当mn＜0时，m、n异号，y=mnx过二四象限，
m＞0，n＜0时，y=mx+n经过一、三、四象限；
m＜0，n＞0时，y=mx+n过一、二、四象限；故A正确．故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解的关键是熟练掌握，一次函数y=kx+b的图象的四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过
第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，
函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
7．（2022·成都八年级期中）关于函数 有下列结论，其中正确的是（ ）
A．图象经过 点 B．若 、 在图象上，则
C．当 时， D．图象向上平移1个单位长度得解析式为
【答案】D
【分析】根据题意易得 ，然后根据一次函数的图象与性质可直接进行排除选项．
【详解】解：A、当x=-1时，则有y=-2×（-1）-2=0，故点 不在一次函数的图象上；不符合题意；
B、∵ ，∴y随x的增大而减小，若 、 在图象上，则有 ，即 ，
故不符合题意；
C、当y=0时，则有-2x-2=0，解得x=-1，所以当x＞-1时，y＜0，则当 时， ，故不符合题意；
D、图象向上平移1个单位长度得解析式为 ，正确，故符合题意；故选D．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
8．（2022·河南信阳·一模） 为等边 内一点，且 ， ， ，将 绕点 逆时针
旋转，使 与 对应， 与 对应，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，先根据旋转的性质、等边三角形的性质可得
，由此判定 是等边三角形，进而得出 ，再证明
是直角三角形，且 ，可得 ，进而得到四边形 的面积．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ，
是等边三角形， ，
由旋转的性质得： ，
是等边三角形， ，
， ，
又 ， ，
是直角三角形，且 ， ，则四边形 的面积为 ，故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理的应用，解决问题
的关键是作辅助线构造等边三角形以及直角三角形．
9．（2022·辽宁·阜新市九年级阶段练习）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、
乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．
则下列结论：①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时， 或 ．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】当不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离；甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全
程用时3小时，确定甲，乙的函数解析式，求交点坐标；分甲出发，乙未动，距离为50千米，甲出发，乙
出发，且甲在前50距离50千米，甲在后距离50千米，乙到大时距离为50千米四种情形计算即可．
【详解】∵（0，300）表示不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离，∴①正确；
∵甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，
∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；∴②正确；
设 ，∴300=5m，解得m=60，∴ ；
设 ，∴ 解得 ，∴ ；
∴ 解得t=2.5，∴2.5-1=1.5，∴乙车出发后1.5小时追上甲车；∴③错误；
当乙未出发时， ，解得t= ；
当乙出发，且在甲后面时， ，解得t= ；当乙出发，且在甲前面时， ，解得t= ；
当乙到大目的地，甲自己行走时， ，解得t= ；∴④错误；故选B．
【点睛】本题考查了函数的图像，一次函数的解析式确定，交点的意义，熟练掌握待定系数法，准确捕获
图像信息是解题的关键．
10．（2022·河北·保定八年级期末）如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角 （ ）得
到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P
作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B
在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对 为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若 ，点P的
斜坐标为 ，点G的斜坐标为 ，连接 ，则线段 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，PA∥y轴交x轴于A，作GM∥x轴交PA的延长线于M，PN⊥MG交MG于N，连接PG．根
据题意得到PA＝2 ，OA＝1，MG＝8－1＝7， AM＝3 ，再根据勾股定理求出MN的值，即可再根据
勾股定理得到线段PG的长度．
【详解】如图，PA∥y轴交x轴于A，作GM∥x轴交PA的延长线于M，PN⊥MG交MG于N，连接PG．由题意可知，点P的斜坐标为 ，点G的斜坐标为 ，
∴PA＝2 ，OA＝1，MG＝8－1＝7， AM＝3 ，∴PM＝2 ＋3 ＝5 ，
∵PA∥y轴，GM∥x轴∴∠PMN＝∠1＝∠ROA＝ ，
又∵PN⊥MG∴ ，∴ ，即 ，
解得 或 （舍去）∴ ∴
∴ ，故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，理解题意，找准线段的长是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·陕西·西北大学附中八年级期中） _____； 的算术平方根为_____； _____．
【答案】 ##7或 ## 或7 2
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的概念解答即可．
【详解】解：∵ ，∴49的平方根为 ，即 ；
∵ ，∴ ，∵ ，∴4的算术平方根为2，即 的算术平方根为2；
∵ ，∴ 的立方根为 ，即 ．
故答案为： ；2； ．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念，掌握平方根、算术平方根、立方根的概念是解
题的关键．
12．（2022·广东揭阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B在第
一象限角平分线上，且BA⊥x轴，现将点A、B绕点O同时逆时针匀速旋转，当点A绕点O旋转90°到达y轴上的点C时，点B刚好绕点O旋转了45°到达y轴上的点D'处．则当点A旋转一周回到（2，0）时，点
B所在的位置坐标为 _____．
【答案】（-2，-2）
【分析】由题意，△AOB是等腰直角三角形，判断出点B的位置，可得结论．
【详解】解：∵当点A绕点O旋转90°到达y轴上的点C时，点B刚好绕点O旋转了45°到达y轴上的点
D'处，∴点A每旋转90°，点B才旋转45°，
由题意，△AOB是等腰直角三角形，
∵A（2，0），∴OA=OB=2，OB=2 ，
当点A旋转一周回到（2，0）时，即点A旋转了360°，则点B才旋转了 180°，
∴点B位于第三象限角平分线上，此时B（-2，-2），故答案为：（-2，-2）．
【点睛】本题考查了图形变化-旋转，坐标确定位置，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（2022·广西百色·八年级期末）已知一次函数 的图象不经过第二象限，且点（1，y ）、（－
1
1，y）在该函数图象上，则y，y 的大小关系是y______y．（用“＞”“＜”“＝”连接）
2 1 2 1 2
【答案】＞
【分析】首先根据一次函数 的图象不经过第二象限，可知此函数的增减性，再对这两点的横坐标
进行比较，即可判定y，y 的大小关系．
1 2
【详解】解： 一次函数 的图象不经过第二象限
一次函数 的图象经过一、三、四象限或一、三象限，y随x的增大而增大，
在点（1，y）与点（－1，y）中， 故答案为：＞
1 2
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握和运用一次函数的图象及性质是解决本题的关键．
14．（2022·成都七中八年级期中）如图，在同一平面内，直线 同侧有三个正方形，A，B，C，若A，C的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为________
【答案】6
【分析】如图，先标注各顶点，作 垂足分别为P，N，E， PD于QE交于点
D，则 证明 可得： 同理利用三角形全等的性质可得：
从而可得答案.
【详解】解：如图，先标注各顶点，作 垂足分别为P，N，E， PD于QE交
于点D，则
A，C的面积分别为9和4，
正方形，A，B，C，
同理可得：
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键.
15．（2022·四川仪陇八年级阶段练习）已知 ，则 的值是_______．【答案】9
【分析】先将原等式变形为 ，再根据平方的非负性可得 ，
， ，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，∴ ，故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此
题的关键．
16．（2022·成都·八年级期中）如图，∠AOB＝30°，M，Q在OA上，P，N在OB上，OM＝1，ON＝
，则MP+PQ+QN的最小值是______________．
【答案】
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，
∴在Rt△M′ON′中， ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称－最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解
题的关键．
17．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0）、A（3，
1 2
0）、A（6，0）、A（10，0）、……，以AA 为对角线作第一个正方形AC AB，以AA 为对角线作第
3 4 1 2 1 1 2 1 2 3
二个正方形AC AB，以AA，为对角线作第三个正方形AC AB，……，顶点B，B，B……都在第一
2 2 3 2 3 4 3 3 4 3 1 2 3
象限，按照此规律依次下去，则点Bn的坐标为____．
【答案】 ，
【分析】利用图形分别得出 点横坐标 ， ， ， 的横坐标分别为： ， ， ， ，点 的横
坐标为： ，再利用纵坐标变化规律进而得出答案．
【详解】解：分别过点 ， ， ，作 轴， 轴， 轴于点 ， ， ，， ， ， ， ，可得出 ，
， ， ， ， ，
可得 ， ，同理可得出： ， ， ， ，
， ， ， 的横坐标分别为： ， ， ， ， 点 的横坐标为： ，
， ， ， 的纵坐标分别为：1， ， ， ， ， 点 的纵坐标为： ，
点 的坐标为 ；点 的坐标为： ， ．故答案为： ， ．
【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律分别
得出B点横纵坐标的规律是解答本题的关键．
18．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，一次函数y=-x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C
为AO中点，OD=3，点P为AB上的动点，当∠APC=∠BPD时，点P的坐标为____．
【答案】（ ， ）
【分析】过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， 过点 作 ，交 轴于点 ，过点 作
轴，交 的延长线与点 ，如图， ， 是等腰直角三角形，证明 ，设，则 ，求得 ，进而根据 三点共线，求
得直线 的解析式，将点 的坐标代入求得 的值，即可求解．
【详解】解：过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∵一次函数y＝﹣x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，AB＝4 ，
∵点C为AO中点，OD＝3，
∴OC＝AC＝2，BD＝1，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
过点 作 ，交 轴于点 ，过点 作 轴，交 的延长线与点 ，如图，
则 ， 是等腰直角三角形， ，
轴， ， ，
设 ，则 ，
， ，
∠APC=∠BPD, ， ，又 ， ， ，
， ，
三点共线，设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ， 直线 的解析式为 ，
将点 代入得， ，解得 ，
∴P（ ， ）．故答案为：（ ， ）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，设参数
法求得点 的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（2022·广东八年级期中）计算下列各式的值
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1） ；（2） ；（3）0；（4） 或
【分析】（1）根据二次根式的乘除计算法则求解即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（4）根据求平方根的方法解方程即可．
【详解】（1）；
（2）
；
（3）
；
（4）∵ ，
∴ 或 ，
解得 或 ．
【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘除计算，二次根式的混合计算，二次根
式的加减计算，求平方根法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
20．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校八年级期中）我市夏季经常收台风天气影响，台风是一种自然灾
害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿
东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km
和400km，且 km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)求证： ；(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)见解析 (2)海港C受台风影响，理由见解析(3)3.5h
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解；
（2）过点C作 于D．根据直角三角形的面积，可得 ，即可求解；
（3）在线段AB上取点E，F，使 km， km，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．
根据等腰三角形的性质可得ED=FD，然后根据勾股定理可得 ，从而得到 km，即可
求解．
（1）解：∵ km， km， km，
∴ ．
∴ 是直角三角形，
∴ ；
（2）解：海港C受台风影响．理由如下：
如图，过点C作 于D．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴海港C受到台风影响．（3）解：如图，在线段AB上取点E，F，使 km， km，则台风中心在线段EF上时正好
影响C港口．∴EC=FC，∵CD⊥AB，∴ED=FD，
在 中，由勾股定理得：
，∴ km，
∵台风的速度为40km/h，∴ ．
∴台风影响该海港持续的时间为3.5h ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的实际应用，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定
理的逆定理，正确构造直角三角形是解题的关键．
新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．
21．（2022··成都市八年级期中）如图，已知直线l 经过点A(5，0)，B(1，4)，与直线l：y＝2x﹣4交于点
1 2
C，且直线1 交x轴于点D．（1）求直线l 的函数表达式；（2）求直线l 与直线l 交点C的坐标；（3）
2 1 1 2
求 ADC的面积．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）依题意设直线 的函数表达式为 ，将 的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可；（2）联立 的解析式求得点 的坐标；
（3）根据 与 轴的交点，求得 的坐标，进而求得 的长度，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）设直线 的函数表达式为 ，
将A(5，0)，B(1，4)代入 ，得，
解得 直线 的函数表达式为 ；
（2） 直线 与直线 相交于点 ，
解得 点 的坐标为 ，
（3）在 中，令 ，则 ，解得 ，
点 的坐标为 ， ，
， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标，求两直线围成的三角形面积，
掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
22．（2022·湖北·八年级月考）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发行驶在同一条
公路上．途中快车休息1小时后加速行驶，比慢车提前0.5小时到达目的地；慢车没有休息，保持匀速行
驶．设慢车行驶的时间为 （单位：小时），快车行驶的路程为 （单位：千米），慢车行驶的路程为
（单位：千米）．图中折线 表示 与 之间的函数关系，线段 表示 与 之间的函数关系．请
结合图象信息，解答下列问题：(1)甲、乙两地相距 千米，快车休息前的速度是 千米 时，慢车的速度是 千米 时；
(2)求图中线段 所表示的 与 之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(3)直接写出两人相距30千米时 的值．
【答案】(1)300，75，60
(2)
(3)2，3或者4.5
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度；
（2）根据函数图象中的数据可以求得点 和点 的坐标，从而可以求得 与 之间的函数表达式；
（3）根据快车休息前的速度列出一元一次方程，解方程即可；再根据快车休息1小时，慢车行驶60千米，
此时两车也相距30千米；快车到达目的时两车也相距30千米，共计分三中情况讨论求解即可．
（1）
由图可知：甲、乙两地相距300千米，
即快车休息前的速度为： （千米 小时），
慢车的速度为： （千米 小时）；
（2）
由题意可得，点 的横坐标为： ，
则点 的坐标为 ，
快车从开始到点 用的时间为： （小时），
则点 的坐标为 ，
设线段 所表示的 与 之间的函数表达式是 ，则 ，
解得 ，
即线段 所表示的 与 之间的函数表达式是 ， ；
（3）
第一种情况：在快车休息前，快车速度为75千米 小时，慢车速度为60千米 小时，
根据题意有： ，
解得： ；
第二种情况：快车原地休息时，根据题意有： ，
∴ ．
第三种情况：快车再次出发后，
根据题意可知，快车比慢车早0.5小时，
即快车到达目的地时，两车相距：60×0.5=30千米，
在（2）中已求得C点坐标为 ，
结合图象可知，此时x=4.5时，两车相距30千米，
∴当 ，3或者4.5时，两车相距30千米，
即当 ，3或者4.5时，两车相距30千米．
【点睛】本题是一次函数的应用问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的
坐标特征和两个函数的交点等知识，属于常考题型，正确读懂图象信息、熟练掌握一次函数的相关知识是
解题的关键．
23．（2021·四川·成都新津为明学校八年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 ， ，
．
（1）在平面直角坐标系中画出 ，并求出 的面积；
（2）在（1）的条件下，把 先关于y轴对称得到 ，再向下平移3个单位得到 ，则
中的坐标分别为 ( )， ( )， ( )；（直接写出坐标）
（3）已知 为 轴上一点，若 的面积为4，求点 的坐标．【答案】（1）见解析，4；（2）0，-2，-2，-3，-4，0；（3） 或 ．
【分析】（1）先画出△ABC，然后再利用割补法求△ABC得面积即可；
（2）先作出 ，然后结合图形确定所求点的坐标即可；
（3）先求出PB的长，然后分P在B的左侧和右侧两种情况解答即可．
【详解】解：（1）画出 如图所示：
的面积是： ；
（2）作出 如图所示，则 (0，-2)， ( -2，-3)， (-4，0)
故填：0，-2，-2，-3，-4，0；
（3）∵P为x轴上一点， 的面积为4，
∴ ，
∴当P在B的右侧时，横坐标为：
当P在B的左侧时，横坐标为 ，
故P点坐标为： 或 ．【点睛】本题主要考查了轴对称、三角形的平移、三角形的面积以及平面直角坐标系中点的坐标等知识点，
根据题意画出图形成为解答本题的关键．
24．（2022·广西南宁·八年级期末）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数
之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现 由 ；
； ；
； ；
猜想：如果 ， ，那么存在 （当且仅当 时等号成立）．
猜想证明：
∵ ，
∴①当且仅当 ，即 时， ，∴ ；
②当 ，即 时， ，∴ ．综合上述可得：若 ， ，则 成立（当且仅当 时等号成立）．
(1)猜想运用：对于函数 ，当 取何值时，函数 的值最小？最小值是多少？
(2)变式探究：对于函数 ，当 取何值时，函数 的值最小？最小值是多少？
(3)拓展应用：疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题，高速公路检测站入口处，检测人员利用检测
站的一面墙（墙的长度不限），用48米长的钢丝网围成了6间相同的长方形隔离房，如图．设每间隔离房
的面积为 （ ）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 最大？最大面积是多
少？
【答案】(1)当 时，函数 的值最小，最小值是2 (2)当 时，函数 的值最小，最小值是5
(3)每间隔离房的长为4米，宽为3米时，可使每间隔离房的面积 最大，最大面积是12
【分析】（1）根据猜想的不等式即可得；
（2）将 改写成 ，再利用猜想的不等式即可得；
（3）设每间隔离房与墙平行的边长为 米，与墙垂直的边长为 米，则 ， ，利用猜想
的不等式化简 即可得出答案．
（1）解： ， ，当且仅当 时，等号成立，
由 得： 或 （舍去），
经检验， 是方程 的解，
故当 时，函数 的值最小，最小值是2．
（2）解： ， ，，当且仅当 时，等号成立，
由 得： 或 （舍去），
经检验， 是方程 的解，
故当 时，函数 的值最小，最小值是5．
（3）解：设每间隔离房与墙平行的边长为 米，与墙垂直的边长为 米，
由题意得： ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
整理得： ，即 ，
则当 时， 取得最大值，最大值为12，
将 代入 得： ，解得 ，
，解得 ，
故每间隔离房的长为4米，宽为3米时，可使每间隔离房的面积 最大，最大面积是12 ．
【点睛】本题考查了完全平方公式、算术平方根、利用平方根解方程、解分式方程等知识点，熟练掌握完
全平方公式和算术平方根是解题关键．
25．（2022·广东八年级期中）已知，在△ABC中，AB=AC，
（1）如图1， 若 ，且点D在CA的延长线上时，求证： ；
（2）如图2， 若 ，试判断AD，BD，CD之间的等量关系，并说明理由
（3）如图3，若 BD=5，求CD的长．【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）13
【分析】（1）先求解 再证明 为等边三角形， 证明
结合勾股定理可得结论；
（2）如图，以 为边作等边 设 再证明 再利用勾股定
理可得答案；
（3）如图，以 为腰作等腰直角 证明 可得 再
利用勾股定理求解 从而可得答案.
【详解】解：（1） AB=AC，
为等边三角形，（2） ，理由如下：
如图，以 为边作等边
由（1）可得： 为等边三角形，
而
设
（3）如图，以 为腰作等腰直角【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出适当
的辅助线构建全等三角形，直角三角形是解题的关键.
26．（2022·成都七中八年级期中）如图1，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（5，0），点B在第
一象限内，且使得AB = 4，OB = 3．（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；（2）在第二象限内是否
存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明
理由；
（3）如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC = BD．求AC + OD的最小值．
【答案】（1）△AOB是以B为直角顶点的直角三角形；（2）存在点P的坐标为（ ， ）或（ ，
）使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形；（3）
【分析】（1）先求出OA=5，然后利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）分当∠POB=90°，△POB是以OB为腰的等腰直角三角形时和当∠PBO=90°，△PBO是以OB为腰的
等腰直角三角形时两种情况讨论求解即可；
（3）过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，可证△HOC≌△OBD得到OD=HC，则
AC+OD=AC+HC，故要想AC+OD的值最小，则AC+CH的值最小，即当A、C、H三点共线时，AC+CH有
最小值，即AC+OD有最小值即AH的长，由（2）可知H的坐标为（ ， ），利用两点距离公式求解
即可．
【详解】解：（1）∵A的坐标为（5，0），
∴OA=5，
∴ ，
∴△AOB是以B为直角顶点的直角三角形；
（2）如图所示，当∠PBO=90°，△POB是以OB为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作BE⊥x轴于
E，PF⊥x轴于F，
∴OB=OP=3，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵∠PFO=∠POB=∠OEB=90°，
∴∠POF+∠OPF=90°，∠POF+∠BOE=90°，
∴∠OPF=∠BOE，
在△OPF和△BOE中，
，
∴△OPF≌△BOE（AAS），
∴ ， ，
∵P在第二象限，
∴点P的坐标为（ ， ）；
如图所示，当∠POB=90°，△PBO是以OB为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作BE⊥x轴于E，
PF⊥BE交EB延长线于F，交y轴于D
同理可以求出 ， ，
同理可以证明△PFB≌△BEO（AAS），
∴ ， ，
∴ ， ，
∵P在第二象限，
∴点P的坐标为（ ， ）；∴综上所述，存在点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形；
（3）如图所示，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，
∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°，
又∵OC=DB，
∴△HOC≌△OBD（SAS），
∴OD=HC，
∴AC+OD=AC+HC，
∴要想AC+OD的值最小，则AC+CH的值最小，
∴当A、C、H三点共线时，AC+CH有最小值，即AC+OD有最小值即AH的长，
由（2）可知H的坐标为（ ， ），
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理的逆
定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
