专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示 1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题. 新课程考试要求 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3．掌握平面向量的加法、减法、数乘、数量积的坐标运算. 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算 核心素养 （多例）等. （1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的加法、减法、数乘及数量积运算； （2）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或 填空题，难度中等以下； （3）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易 考向预测 同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现． (4) 理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键； (5)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思 想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题. 【知识清单】 1．平面向量基本定理 平面向量基本定理 e，e a ， 如果 1 2是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量 ，有且只有一对实数 1 2， ae +e e，e 使 1 1 2 2.其中，不共线的向量 1 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．平面向量的坐标运算 1. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 i,j (1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底，对于平面内的一个向 a a＝xi＋yj a 量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 ，这样，平面内的任一向量 都 (x,y) a a(x,y) a 可由x、y唯一确定，因此把 叫做向量 的坐标，记作 ，其中x叫做 在x轴上的坐标，ya 叫做 在y轴上的坐标． A(x，y )，B(x，y ) AB＝(x－x，y－y ) (2)若 1 1 2 2 ，则 2 1 2 1 ． 3．平面向量的坐标运算 a(x，y )，b(x，y ) ab(x x，y  y ) (1)若 1 1 2 2 ，则 1 2 1 2 ； a＝(x，y) a＝(x，y) (2)若 ，则 ． A(x，y )，B(x，y ) AB＝(x－x，y－y ) | AB|＝ (x－x )2(y－y )2 (3)设 1 1 2 2 ，则 2 1 2 1 ， 2 1 2 1 . 3．平面向量共线的坐标表示 向量共线的充要条件的坐标表示 a(x，y )，b(x，y ) a∥b x y -x y 0 若 1 1 2 2 ，则 ⇔ 1 2 2 1 . 4．数量积的坐标运算 设a＝(a，a)，b＝(b，b)，则： 1 2 1 2 1．a·b＝ab＋ab. 1 1 2 2  2．a⊥b ab＋ab＝0. 1 1 2 2 3．|a|＝. ab a b ab 1 1 2 2 |a||b| a2 a 2 b2 b 2 4．cosθ＝ ＝ 1 2 1 2 .(θ为a与b的夹角) 【考点分类剖析】 考点一 ：平面向量基本定理及其应用 【典例1】（2020·全国高一单元测试）在平行四边形ABCD中， ， ， （1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用 分别表示 . （2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用 表示 . 【典例2】（2017·全国高考真题（理））在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若⃑AP=λ ⃑AB+μ ⃑AD，则λ+μ的最大值为（ ） A．3 B．2√2 C．√5 D．2 2 【典例3】（2019·山东高考模拟（文））如图，在ΔABC中，⃑AN= ⃑NC，P是BN上一点，若 3 1 ⃑AP=t⃑AB+ ⃑AC，则实数t的值为________． 3 【总结提升】 1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用 平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 2.特别注意基底的不唯一性： a 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量 都可被这个 e，e 平面的一组基底 1 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 【变式探究】 ABC AD BC E AD 1.（2020·烟台市教育科学研究院高一期末）在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 ⃑ EB ( ) 3⃑ 1⃑ 1⃑ 3⃑ AB AC AB AC A．4 4 B．4 4 3⃑ 1⃑ 1⃑ 3⃑ AB AC AB AC C．4 4 D．4 4 2.（2019·江西高考模拟（理））如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ，E为 AO 的中点，若(cid:5) (cid:5) (cid:5) DE ABAD(,R)  ，则 等于（ ）． 1 1  A． 2 B．2 C．1 D．1 3．（2021·全国高三其他模拟（理））在平行四边形 中，点 为 边的中点， ，则 ________． 【易错提醒】 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘 运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形 式，再通过向量的运算来解决． 考点二：平面向量的坐标运算 【典例4】（2021·北京首都师大二附高一期末）在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°，sin80°)， B(cos20°，sin20°)，则 的值是（ ） A． B． C． D．1 OM//AB P OM OB AB 【典例5】（2020·天津滨海新·高三月考）如图， ，点 由射线 、线段 及 的延长线 uuur uur uuur OP xOA yOB x,y 围成的阴影区域内（不含边界）.且 ，则实数对 可以是（ ） 1 3  1 7 1 1  2 2   ,    ,   ,    ,  A．  4 4 B．  5 5 C． 4 2 D．  3 3 【总结提升】 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标， 则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减 去始点的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 【变式探究】 1．（2019·吉林高考模拟（理））已知向量⃑a=(cosθ−2,sinθ)，其中θ∈R，则|⃑a|的最小值为（ ） A．1 B．2 C．√5 D．3  11 A(1,2),B(1,8),C  x,  (cid:5) (cid:5) 2．（2020·上海高二课时练习）已知  2 三点共线，则AC CB，则 x ______， ______． 考点三：平面向量共线的坐标表示 (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5)(cid:5)(cid:5)   a=1,2 b=2,2 c=1,λ c∥ 2a+b 【典例6】（2018·全国高考真题（文））已知向量 ， ， ．若 ，则  ________． ⃑ 1⃑ A1,0 B3,1 C1,2 AE  AC 【典例7】（2020·桂阳县第二中学期中）已知 、 、 ， 3 ， ⃑ 1⃑ BF  BC 3 . ⃑ E F EF （1）求点 、 及向量 的坐标；⃑ ⃑ EF AB （2）求证： . 【规律方法】 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为 λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． (2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x，y)，b＝ 1 1 (x，y)，则a∥b的充要条件是xy＝xy”解题比较方便． 2 2 1 2 2 1 【变式探究】 1．（2021·江苏省镇江第一中学高一期中）设向量 ， ， ，且 ， 则 （ ） A． B． C． D． (cid:5) (cid:5) a 1 b3,4 2.【多选题】（2020·山东诸城·高一期中）已知 ， ，则以下结论正确的是（ ） r r (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5) r r ab 6 (cid:5)(cid:5) ab  ab A．若a//b，则 B．若 ab ，则 (cid:5) 3 4 r r r r a   ,  ab C．若 a//b ，则 5 5 D． 的最小值为 4 考点四： 平面向量数量积的坐标运算 【典例8】（2020·天津高考真题）如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ， 则 的最小值为_________．【典例9】（2021·北京高考真题） ， ， ，则 _______； _______． 【规律方法】 1.已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解． 设a＝(a，a)，b＝(b，b)，则a·b＝ab＋ab. 1 2 1 2 1 1 2 2 2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算. 【变式探究】 ABCD AD∥BC AB2 3 AD5 A30 1. （2019·天津高考真题（理）） 在四边形 中， ， ， ， (cid:5) (cid:5) E CB AE  BE BDAE  ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 __________. ABC P ABC 2．（2020届浙江绍兴市柯桥区高三上期末）已知正三角形 的边长为4， 是平面 内一点，且  APB  (cid:5) (cid:5) 满足 3 ，则PBAC的最大值是______，最小值是______. 考点五 平面向量的夹角问题 (cid:5)(cid:5) (cid:5)(cid:5) a(2,2),b(8,6) cosa,b 【典例10】（2019·全国高考真题（文））已知向量 ，则 ___________. 【典例11】（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量 ， ， ， ， ___________. 【总结提升】 向量夹角问题的解答方法： (1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系； (2)若已知a＝(x，y)与b＝(x，y)，则cos〈a，b〉＝. 1 1 2 2 提醒：〈a，b〉∈[0，π]． 【变式探究】 1．（2020·江苏镇江市·高一月考）已知向量 ，则 与 有夹角为__________． 2．（2021·江西省万载中学高一期末（文））如图，已知 中， ，，设 . （1）将 用 表示； （2）求 与 的夹角的余弦值. 考点六 平面向量的模的问题 【典例12】（2019·全国高考真题（文））已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=（ ） 2 A． B．2 2 C．5 D．50 【典例13】（2021·江西新余市·高一期末（理））已知平面向量 ， ，且 ， ，向量 满足 ，则 的最小值为___________. 【规律方法】 平面向量模问题的类型及求解方法 (1)求向量模的常用方法 ①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝. ②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝ a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解． (2)求向量模的最值(范围)的方法 ①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解． ②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． （3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决． 【变式探究】 (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5)(cid:5) a b c ab 1．（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）已知 ， ， 是平面内三个单位向量，若 ，则(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:5) a2c  3a2bc 的最小值（ ） 29 293 2 192 3 A． B． C． D．5 2.（2021·四川成都市·树德中学高一月考）已知直角梯形 中， ， ， ， ， 是腰 上的动点，则 的最小值为______. 考点七 平面向量垂直的条件 (cid:5) (cid:5) (cid:5) a b b 【典例14】（2020·全国高考真题（文））已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂 直的是（ ） (cid:5)(cid:5) (cid:5)(cid:5) (cid:5)(cid:5) (cid:5)(cid:5) a2b 2ab a2b 2ab A． B． C． D． 【典例15】（2020·全国高考真题（文））设向量 ，若 ，则 ______________. 【总结提升】 平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直 第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 【变式探究】 1．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y=2x上在第一象限内的点，B(5,0)， 以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若⃑AB⋅⃑CD=0，则点A的横坐标为________． (cid:5) (cid:5) (cid:5)(cid:5) 2.（2019·北京高考真题（文））已知向量 a =（－4，3）， b =（6，m），且ab，则m=__________.