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培优 04 实数有关类型题（7 大题型）
题型1 实数的性质
实数性质的解题策略
依有理数（分数形式）和无理数（无限不循环）定义分类；利用相反数、倒数、绝对值性质计
算，含参时验证存在性．
1．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）下列关于 的说法错误的是（ ）
A． 的绝对值是 B． 的相反数是
C． 的平方是 D． 是无理数
2．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）实数 的相反数为 ．3．（24-25七年级下·山东滨州·期末）实数 的绝对值为 ．
4．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末） ．
5．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）已知 、 是实数，下列四条命题：
①如果 ，那么 ；
②如果 ，那么 ；
③如果 ，那么 ；
④如果 ，那么 ．
其中真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数与绝对值： ．
7．（20-21七年级下·陕西商洛·期中）已知 是绝对值最小的整数， 是最大的负整数， 和 互为相反数，
表示的数是 ．求式子 的值．
8．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数：
(1)小于 的所有正整数；
(2)大于 且小于 的所有整数；
(3)绝对值小于 的所有整数．
题型2 实数与数轴
实数与数轴问题的解题策略
数轴上的点与实数一一对应，利用勾股定理求出线段长，用距离公式求出两点距离．
9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上点 表示的数为 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·河南周口·三模）如图所示，数轴上各点表示的数中比 小的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
11．（24-25七年级下·山西大同·期末）如图所示，数轴上表示3、 的对应点分别为C、B，点C是
的中点，则点A表示的数是（ ）
A．－ B．6－ C． －3 D． ＋3
12．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）把无理数 表示在数轴上，在这四个无理数中，被
墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示 的
点重合，将该圆沿数轴无滑动滚动1周，点A到达点 处，则点 表示的数为 ．
14．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点 处，此时
它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为 ，
那么点 所表示的数是 ．15．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点 表示的数是 ．
16．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是 的正方形
网格上的格点，以点A为圆心， 长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为
．
题型3 无理数的估算与大小比较
无理数的估算与大小比较问题的解题策略
平方去根号比较正数；估算用相邻整数夹逼．
17．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，数轴上可表示 的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
18．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即
弦”，即 （ 为“勾”， 为“股”， 为“弦”）若“勾”为 ，“股”为 ，则“弦”在如
图所示数轴上可表示在（ ）A． 点 B． 点 C． 点 D． 点
19．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）估计 的值在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
20．（24-25七年级下·广东汕尾·期末）估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
21．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”）
22．（2025·河南漯河·二模）在数轴上表示实数 的相反数的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
23．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）比较大小： ．
24．（25-26八年级上·全国·随堂练习）比较下列各组数的大小：
(1) 与 ；
(2) 与1．
25．（25-26八年级上·全国·随堂练习）阅读材料：对于任意两个实数 和 比较大小，若 ，则
；若 ，则 ；若 ，则 ．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题：
(1)比较大小： ________ ；（填“ ”“ ”或“ ”）
(2)已知 ，且 ，若 ，试比较 和 的大小．
题型4 实数与程序运算实数与程序运算问题的解题策略
逐步执行计算步骤，注意循环终止条件；多次循环归纳周期律，分支结构分类讨论所有路径．
26．（24-25七年级下·吉林·期末）有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的
y值是（ ）
A． B．2 C． D．
27．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是一个数值转换器，当输入 时，则输出 （ ）
A． B． C． D．
28．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）根据图中的程序，当输入 为 时，输出 的值是（ ）
A． B． C． D．
29．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如图，是一个数值转换器示意图，根据图示工作原理解决：当 为
时， 的值是（ ）
A． B． C． D．
30．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为 ．
31．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为7，则输出的值
为 ．
32．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）小壮设计了一个小程序如图所示，当输入的x值为2时，y的
相反数为 ．
33．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）按照如图所示的操作步骤进行计算，若输入的值为 ，则输出的
值为 ．
34．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）一个数值转换器如图所示：
(1)当输入的x值为16时，输出的y值是 ．
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ．
(3)若输出的y值是 ，请直接写出两个满足要求的x的值 ．
题型5 算术平方根非负性的应用算术平方根非负性的应用问题的解题策略
利用 、 、 等非负数形式，构造解方程或求最值．
35．（24-25七年级下·西藏日喀则·期末）若 与 互为相反数，则 ．
36．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）若 ，则 的值为 ．
37．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）若直角三角形的两边的长分别为m、n，且满足
，则该直角三角形的第三边长为 ．
38．（21-22九年级下·浙江台州·期末）已知实数 、 、 满足 ，求
的值．
39．（24-25八年级上·湖南常德·期末）已知： ， ， 满足 ．
(1)求 ， ， 的值；
(2)请判断以 ， ， 为边构成的 的形状，并说明理由．
40．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，已知点 ， 是数轴上两点， ，点 在点 的右侧，
点 表示的数为 ，设点 表示的数为 ．
(1)实数 的值是___________；
(2)求 的值；
(3)在数轴上有 两点分别表示实数 和 ，且有 与 互为相反数，求 的算术平方根．
41．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列例题：
已知 ，求 和 的值．解：把等式左边变形，
得 ，即 ．因为 ，所以 ，即 ．仿照以上解法，解答下列问题．
(1)无论 取何值，多项式 的值总是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
(2)已知 的三边长分别为 ，且 ，则 为 三角形；
(3)已知 ，求 和 的值．
题型6 平方根与立方根的应用
平方根与立方根的应用问题的解题策略
区别平方根（±）与立方根（唯一），实际问题利用勾股定理、计算平方根、立方根进行计算注意取有意
义解（如长度取正值）．
42．（24-25七年级下·贵州黔西·期末）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，
完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为 ，由此可估计该正方体铁块的棱长
位于哪两个相邻的整数之间（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．6和7之间
43．（24-25七年级下·吉林·期末）用电器的功率 、电路中的电流 及用电器的电阻 满足 ，
当 ， 时， ．
44．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知 的立方根是3， 的算术平方根是4．求：
(1)x，y的值；
(2) 的平方根．
45．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为
．
若把正方形 放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为
，这个数的绝对值是 ．
46．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图 是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为 ．
(1)求这个魔方的棱长；
(2)图 中阴影部分是一个正方形 ，求阴影部分的面积及其边长．
(3)把正方形 放到数轴上，如图 ，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若 ，则点E
在数轴上表示的数为______．
47．（24-25七年级下·河南商丘·期末）在学习《实数》时，我们思考了在网格中画格点（网格线的交点）
正方形（顶点都在格点上的正方形）的问题．如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格．
(1)网格中以 为边的格点正方形的面积是________．如图，以原点O为圆心， 长为半径画弧，与数轴
正半轴交于点B，则点B表示的数m为________，说明可以在数轴上表示________（填“有理数”或“无理数”）．
(2)仿照（1）中的思路，在网格中设计以 为边的正方形，并求出线段 的长．
(3)若C，D两点分别表示实数c和d，且有 与 互为相反数．求 的立方根．
48．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）【问题提出】
正方形 的边长为1，求对角线 的长．
【情境再现】
老师在课堂上引导同学们探究边长为1的正方形的对角线的长时，如图1，把两个边长为1的正方形分别
沿对角线剪开，将所得的4个等腰直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，大正方形的边
长即为所求．
【问题探究】
（1）按上述情景，求对角线 的长．
（2）如图2，将这个边长为1的正方形沿虚线剪开，利用拼图的方法，先画出拼接后的图形，再求对角线
的长．
【拓展应用】
（3）如图3，将长为2，宽为1的2个小长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形，请用这4个直
角三角形在右边的正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）拼出顶点在格点上且边长为 的正方形
．
49．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间
的关系．
实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间 ；
实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间 ．
已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式 来表示．(1)请利用公式，求 的值．
(2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间 刚好是你记录的时间 的一半．”小悦说：“你一定是记录
错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由．
50．（24-25七年级下·山东济宁·期末）综合与实践
在综合实践课上，老师让同学们用一张正方形纸片制作一个无盖长方体盒子．
(1)操作计算：如图①，在边长为a的正方形的四个角分别剪去边长为b的小正方形，再将剩余部分折成无
盖长方体盒子，如图②．
计算：ⅰ．折成的长方体盒子的高 ______；（用含a或b的代数式表示）．
ⅱ．折成的长方体盒子的底面面积 ______．（用含a或b的代数式表示）
(2)规律探究：设图①中正方形纸片的边长为 ，小正方形的边长b取不同值时，对应的长方体盒子的
容积如下表：
边长 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
容积 40.5 m 73.5 72 62.5 n 31.5 16 4.5
ⅰ．表格中， ______， ______；
ⅱ．在图③中近似画出长方体盒子的容积随小正方形边长变化的趋势图，并根据趋势图写出一条正确的信
息：______．(3)拓展应用：如图④，该长方形纸片的长是宽的2倍，且小正方形的边长等于长方形宽的 ，剪去小正方
形后，若用剩余纸片折成的长方体盒子的容积为 ，求长方形纸片的长．
51．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）求下列各式中 或 值：
(1)
(2)
(3) ；题型7 与平方根、立方根有关的规律探究
与平方根、立方根有关的规律探究问题的解题策略
观察进行开立方、开平方时被开方数小数点的变化规律．
52．（24-25七年级下·河北邢台·期末）嘉淇发现 ， ， 根据嘉淇的发现解决
问题：已知 ， ，则 的值是（ ）
A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3
53．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下面是一个按某种规律排列的数阵：
第一行 1
第二行 2
第三行 3
第四行 4
…… ……
根据数阵规律，第八行第十五个数是（ ）
A． B． C． D．
54．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方．
x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
65.61 67.24 68.89 70.56 72.25
531.441 551.368 571.787 592.704 614.125
根据上表的数据，可得： ； ； ．
55．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下：① ，又 ， ，∴能确定59319的立
方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又 ，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③划去59319后面的三位319得到数59，而 ，则 ，可得 ，由
此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是
．
56．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知 ， ， ，则 ．
57．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）规律探究，观察 ，即
，即 ．
(1)猜想 等于什么？并通过计算验证你的猜想；
(2)写出符合这一规律的一般等式（用含有n的式子表示出来）．
58．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)观察算式规律，计算 ＝ ； ＝ ．
(2)用含正整数 的式子表示上述算式的规律： ．
(3)计算： ．
59．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）（1）观察发现：表格中 ___________， ___________；
（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动
___________位；
1000
… 0.0001 0.01 1 100 …
0
… 0.01 x 1 y 100 …
（3）规律运用：①已知 ，则 ___________；
②已知 ，则 ___________．
60．（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题．
a 0.0004 0.04 4 400 40000
0.02 0.2 2 20 200
(1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右
（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位．
(2)已知 ， ，则 ______．
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知 ， ， ，则
______．
培优综合练
61．（2024八年级上·全国·专题练习）实数 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算 的结
果为（ ）
A． B． C． D．
62．（22-23七年级下·重庆江津·期中）对代数式 定义新运算： ．在代数式 中任意加新
运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数 ， ， 在数轴上的位置如图所
示．例如： ， ， ．下列说法正确的个数是
（ ）
① ；② ；
③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0；
④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为 ．
A．4 B．3 C．2 D．1
63．（24-25八年级下·上海·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点
处，记 右侧最近的整数点为 ．以点 为圆心， 为半径画半圆，交数轴于点 ，记 右侧最近的
整数点为 ；以点 为圆心， 为半径画半圆，交数轴于点 ，…，如此继续，则 的长为
．
64．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）有一个数值转换器原理如图．
(1)当 时，y是多少？
(2)输入的x能是任何实数吗？为什么？
(3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的
值；如果不存在，请说明理由；
(4)若输出的y是 ，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．65．（24-25七年级下·福建厦门·期末）某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动．
【探究一】正方形纸张的对角线的长
如图1，该小组用了两个面积为 的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，
得到一个面积为 的大正方形．
（1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____；
【探究二】A型纸中的奥秘
根据国际标准， 系列纸为长方形，其中A4纸的宽为 ．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将
A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁
开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠．
根据上述操作过程，
（2）直接写出A4纸的长；
（3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号）
【探究三】拓展迁移
该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个
相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为 型纸．他们
用5个边长为 的正方形，通过剪拼得到宽为 的 型纸的长，截取该长度，画出一张 型纸．
（4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张 型纸．
（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤）
66．（24-25七年级下·广东湛江·期末）项目式学习活动主题：估算 纸的长与宽【知识储备】
（1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正
方形，则大正方形的边长为 ．
一般结论：正方形的对角线与边长的比是 ．
【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形（长宽比相同），其中 纸的面积为 ．
将 纸沿长边对折、裁开，便成两张 纸；将 纸沿长边对折、裁开，便成两张 纸；将 纸沿长边
对折、裁开，便成两张 纸；．．．．．．，将 纸沿长边对折、裁开，便成两张 纸．
（2）【任务探究】
任务一： 纸面积是 纸面积的 倍， 纸周长是 纸周长的 倍；
（3） 任务二：将一张 纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和
点C重合，求 纸的长与宽之比．
（4） 任务三：根据上述结论，估算 纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）．
（参考数据： ， ， ， ， ，
， ， ）
