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初中数学
2023年广东广州番禺区中考一模
数学试卷
新东方教育科技集团2023年广东广州番禺区中考一模数学
试卷
一、选择题（每题3分，本大题共10题，共30分）
1 单选题 (3分)
如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是( )．
A. a<b<−c
B. b<−c<a
C. −a<c<b
D. a<c<−b
答案
B
解析
解：由题意可知，b<0<c<a，且|a|>|b|>|c，
∴b<−c<a，故选项A不合题意；
∴a>−c>b，故选项B合题意；
∴−a<b<c，故选项C不合题意；
∴c<−b<a，故选项D符合题意．
故选：B．
2 单选题 (3分)
下列计算正确的是( )．
A. √22 =2
B. √(−2)2 =−2
C. √3 −8=2
D. √(−2)2 =±2
答案
A
解析
解：A．正确；符合题意．
B.√(−2)2 =2；不符合题意．
C.√3 −8=−2；不符合题意．
1/20D.√(−2)2 =2；不符合题意．
故选：A．
3 单选题 (3分)
图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( )．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
答案
D
解析
解：如图所示，该图形有5条对称轴，
故选：D．
4 单选题 (3分)
1
要使分式 有意义，x的取值应满足( )．
x+2
A. x≠0
B. x≠−2
C. x⩾−2
D. x>−2
答案
B
解析
1
解：要使分式 有意义，则x+2≠0，
x+2
解得：x≠−2．
故选：B．
2/205 单选题 (3分)
不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，
放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )．
A. 1
4
B. 1
3
C. 1
2
D. 3
4
答案
A
解析
解：列表如下：
红 绿
红 （红，红） （绿，红）
绿 （红，绿） （绿，绿）
所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，
1
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为 ，
4
故选：A．
6 单选题 (3分)
5
若点A(−5,y )，B(1,y )，C(5,y )都在反比例函数y=− 的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是
1 2 3 x 1 2 3
( )．
A. y <y <y
1 2 3
B. y <y <y
2 3 1
C. y <y <y
1 3 2
D. y <y <y
3 1 2
答案
B
解析
5
解：
∵
反比例函数y=− 中，k=−5<0，
x
∴
函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵−5<0，0<1<5，
∴
点A(−5,y
1
)在第二象限，点B(1,y
2
)，C(5,y
3
)在第四象限，
3/20∴y
2
<y
3
<y
1
．
故选：B．
7 单选题 (3分)
若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )．
A. −4
B. 1
−
4
C. 1
4
D. 4
答案
C
解析
解：根据题意得△=12−4m=0，
1
解得m= ．
4
故选：C．
8 单选题 (3分)
如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是( )．
A. 9
B. 6
C. 6+π
D. 9−π
答案
A
解析
解：连接BE，
4/20∵
四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠BAC =45∘，AB=BC =6，
∵BC是圆的直径，
∴∠BEC =90∘，
∴ΔBEC是等腰直角三角形，
∴∠ECB=∠EBC =45∘，
∴
弓形BME的面积=弓形CNE的面积，
∴
阴影的面积=ΔABE的面积，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE =EC，
1
∴ΔABE的面积=ΔABC的面积× ，
2
1 1
∵ΔABC = AB⋅BC = ×6×6=18，
2 2
1
∴ΔABE的面积= ×18=9．
2
∴
阴影的面积=9．
故选：A．
9 单选题 (3分)
如图，在ΔABC中，∠BAC =120∘，将ΔABC绕点C逆时针旋转得到ΔDEC，点A，B的对应点
分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是( )．
A. ∠B=∠BCD
B. CB=CD
C. DE+DC =AE
D. ∠BCD+∠ADC =90∘
答案
C
5/20解析
解：由旋转的性质可知，∠BAC =∠EDC =120∘，
∵A，D，E共线，
∴∠ADC =180∘−∠EDC =60∘，
∵CA=CD，
∴ΔACD是等边三角形，
∴AD=CD，
∴DE+DC =AE．
故选：C．
10 单选题 (3分)
如图，在菱形ABCD中，已知∠B=60∘，AB=2cm．动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿折
线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC →CD运动到点D，当一
个点停止运动时，另一点也随之停止．设在此过程中运动时间为x秒，ΔAPQ的面为y．则下列图
象中能大致反映y与x之间函数关系的是( )．
A.
B.
C.
6/20D.
答案
B
解析
解：当0⩽x⩽2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于H，
由题意可得BP =AQ=x，
∵
在菱形ABCD中，∠B=60∘，AB=2，
∴AB=BC =AD=CD，∠B=∠D=60∘，
∴ΔABC和ΔADC都是等边三角形，
∴AC =AB=2，∠BAC =60∘ =∠ACD，
HQ
∵sin∠BAC = ，
AQ
√3
∴HQ=AQ⋅sin60∘ = x，
2
1 √3 √3 √3
∴ΔAPQ的面积=y= (2−x)× x=− (x−1)2+ ；
2 2 4 4
当2<x⩽4时，如图2，过点Q作QN⊥AC于N，
由题意可得AP =CQ=x−2，
NQ √3
∵sin∠ACD= = ，
CQ 2
√3
∴NQ= (x−2)，
2
1 √3 √3
∴ΔAPQ的面积=y= (x−2)× (x−2)= (x−2)2，
2 2 4
7/20∴
该图象开口向上，对称轴为直线x=2，
∴
在2<x⩽4时，y随x的增大而增大，
∴
当x=4时，y有最大值为√3，
故选：B．
二、填空题（每题3分，本大题共6题，共18分）
11 填空题 (3分)
若√x−6在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
答案
x⩾6．
解析
解：由题意可得x−6⩾0，
解得x⩾6，
故答案为：x⩾6．
12 填空题 (3分)
分解因式：xy2−x= ．
答案
x(y−1)(y+1)．
解析
解：xy2−x，
=x(y2−1)，
=x(y−1)(y+1)．
故答案为：x(y−1)(y+1)．
13 填空题 (3分)
随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占
0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为 ．
答案
7×10−7．
解析
解：0.0000007=7×10−7．
8/20故答案为：7×10−7．
14 填空题 (3分)
在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为
S2 =1.45，S2 =0.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 ．（填“甲”、“乙”中的一个）．
答案
乙．
解析
解：
∵
两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为S2 =1.45，S2 =0.85，
∴S2 >S2，
考核成绩更为稳定的运动员是乙；
∴
故答案为：乙．
15 填空题 (3分)
把光盘、含60∘角的三角板和直尺如图摆放，光盘与直尺和三角板的一边相切，若点A为圆的切
点，AB=2，则光盘的直径是 ．
答案
4√3．
解析
解：光盘的圆心为O点，连接OA，⊙O切直角三角板的斜边于D点，连接OB，如图，
∵⊙O与AB相切于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90∘，
∵BA与BC为⊙O的切线，
∴OB平分∠ABC，
9/201
∴∠ABO= (180∘−60∘)=60∘，
2
在RtΔOAB中，OA=√3AB=2√3，
即光盘的直径为4√3．
故答案为：4√3．
16 填空题 (3分)
1 1
在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A(x,y)，我们把点B( ， )称为点A的“倒数
x y
2
点”．如图，矩形OCDE的顶点C为(3,0)，顶点E在y轴上，函数y= (x>0)的图象与DE交于点
x
A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则ΔOBC的面积为 ．
答案
1 3
或 ．
4 2
解析
2
解：设点A的坐标为(m, )，
m
∵
点B是点A的“倒数点”，
1 m
∴
点B坐标为( ， )，
m 2
1 m 1
∵ 点B的横纵坐标满足 ⋅ = ，
m 2 2
∴
点B在某个反比例函数上，
∴
点B不可能在OE，OC上，
分两种情况：
①点B在ED上，
由ED//x轴，
m 2
∴ 点B、点A的纵坐标相等，即 = ，
2 m
∴m=±2(−2舍去），
∴
点B纵坐标为1，
1 3
此时，S = ×3×1= ；
ΔOBC
2 2
②点B在DC上，
1
∴
点B横坐标为3，即 =3，
m
m 1
∴ 点B纵坐标为： = ，
2 6
10/201 1 1
此时，S = ×3× = ；
ΔOBC
2 6 4
1 3
故答案为： 或 ．
4 2
三、解答题（本大题共9题，共72分）
17 解答题 (4分)
x+2>−1
解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来．
{x−5⩽3(x−1)
答案
原不等式组解集为x⩾−1．
解析
x+2>−1
，
{x−53(x−1)
解不等式①，得x>−3．
解不等式②，得x⩾−1，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为x⩾−1．
18 解答题 (4分)
如图，点E、F在线段BC上，AB//CD，∠A=∠D，BE =CF，证明：AE =DF．
答案
见解析.
解析
∵AB//CD，
∴∠B=∠C．
在ΔABE和ΔDCF中，
11/20∠A=∠D,
⎧ ∠B=∠C,
⎨
BE =CF,
⎩
∴ΔABE ≅ΔDCF(AAS)．
∴AE =DF．
19 解答题 (6分)
a2−9 6
已知T = + ．
a(a+3)2 a(a+3)
(1) (3分)化简T；
(2) (3分)若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．
答案
1
(1) T = ；
a
1
(2) T = ．
3
解析
(1) a2−9 6(a+3) (a+3)2 1
T = + = = ；
a(a+3)2 a(a+3)2 a(a+3)2 a
(2) 由正方形的面积为9，得到a=3，
1
则T = ．
3
20 解答题 (6分)
为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改
造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD=30∘，BD⊥AD于点D．为方便通
行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15∘．
(1) (3分)求该斜坡的高度BD；
(2) (3分)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
答案
(1) 该斜坡的高度BD为10m；
(2) 斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．
解析
12/20
⎪
⎪(1) 在RtΔABD中， ∵∠ADB=90∘，∠BAD=30∘，BA=20m，
1
∴BD= BA=10(m)，
2
答：该斜坡的高度BD为10m；
(2) 在ΔACB中，∠BAD=30∘，∠BCA=15∘，
∴∠CBA=15∘，
∴AB=AC =20(m)，
答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．
21 解答题 (8分)
我市某中学举行书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计
图，请结合图中相关数据解答下列问题：
(1) (4分)请将条形统计图补全；
1 1
(2) (4分)获得一等奖的同学中有 来自七年级，有 来自八年级，其他同学均来自九年级．现准
4 2
备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中
既有七年级又有九年级同学的概率．
答案
(1) 见解析；
1
(2) 所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率= ．
6
解析
(1) 调查的总人数为10÷25%=40（人)，
所以获一等奖的人数为40−8−6−12−10=4（人)，
条形统计图为：
13/201 1
(2) 获得一等奖的同学中有 来自七年级，有 来自八年级，其他同学均来自九年级，则获得
4 2
一等奖的同学中七年级一人，八年级二人，九年级一人，
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为2，
2 1
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率= = ．
12 6
22 解答题 (10分)
如图，平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，
k
函数y= (x>0)的图象经过点A(3,4)和点M．
x
(1) (5分)求k的值和点M的坐标；
(2) (5分)求平行四边形OABC的周长．
答案
(1) M(6,2)；
(2) 平行四边形OABC的周长为2×(5+9)=28．
解析
14/20k
(1)
∵
点A(3,4)在y= 上，
x
∴k=12，
∵
四边形OABC是平行四边形，
∴AM =MC，
∴
点M的纵坐标为2，
12
∵
点M在y= 的图象上，
x
∴M(6,2)；
(2) ∵AM =MC，A(3,4)，M(6,2)
∴C(9,0)，
∴OC =9，OA=√32+42 =5，
∴
平行四边形OABC的周长为2×(5+9)=28．
23 解答题 (10分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC =8，BC =6．
(1) (5分)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作
法）；
(2) (5分)在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及cos∠ACD的值．
答案
(1) 见解析；
(2) 2√5
点O到AC的距离为2，cos∠ACD= ．
5
解析
(1) 如图：OD即为所求；
(2) ∵AB是⊙O的直径，
15/20∴∠ACB=90∘，
∴AB=10，
∴OD=OB=5，
∵OD⊥AC，
∴OD//BC，
∵O是AB的中点，
∴E平分AC，
1 1
∴CE = AC =4，OE = CB=3，
2 2
∴DE =OD−OE =2，
在RtΔCDE中，CD=2√5，
CE 4 2√5
∴cos∠ACD= = = ．
CD 2√5 5
24 解答题 (12分)
已知抛物线y=ax2−2ax+c(a，c为常数，a≠0)经过点C(0,−1)，顶点为D．
(1) (4分)当a=1时，求该抛物线的顶点坐标；
(2) (4分)当a>0时，点E(0,1+a)，若DE =2√2DC，求该抛物线的解析式；
(3) (4分)当a<−1时，点F(0,1−a)，过点C作直线l平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动点，
N(m+3,−1)是直线l上的动点．当a为何值时，FM +DN的最小值为2√10，并求此时点M，N
的坐标．
答案
(1) 抛物线的顶点坐标为(1,−2)；
1 3
(2) 抛物线的表达式为y= x2−x−1或y= x2−3x−1；
2 2
5 7 11
(3) 当a=− 时，FM +DN的最小值为2√10，点M的坐标为(− ，0)、点N的坐标为(
2 6 6
，−1)．
解析
(1) 抛物线y=ax2−2ax+c(a，c为常数，a≠0)经过点C(0,−1)，则c=−1，当a=1时，抛
物线的表达式为y=x2−2x−1=(x−1)2−2，
故抛物线的顶点坐标为(1,−2)；
(2) ∵y=ax2−2ax−1=a(x−1)2−a−1，
故点D(1,−a−1)，
由DE =2√2DC得：DE2 =8CD2，
即(1−0)2+(a+1+a+1)2 =8[(1−0)2+(−a−1+1)2]，
1 3
解得a= 或 ，
2 2
1 3
故抛物线的表达式为y= x2−x−1或y= x2−3x−1；
2 2
(3) 将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′(−2,−a)，
16/20作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为(0,a−1)，
当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN =D′M，故此时FM +ND最小，
理由：
∵FM +ND=F′M +D′M =F′D′为最小，即F′D′=2√10，
则F′D′2 =F′H2+D′H2 =(1−2a)2+4=(2√10)2，
7 5
解得a= （舍去）或− ，
2 2
5 7
则点D′、F′的坐标分别为(−2, )、(0,− )，
2 2
7
由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y=−3x− ，
2
7 7
当y=0时，y=−3x− =0，解得x=− =m，
2 6
11
则m+3= ，
6
7 11
即点M的坐标为(− ，0)、点N的坐标为( ，−1)．
6 6
25 解答题 (12分)
完成下列试题
(1) (4分)如本题图①，AD为ΔABC的角平分线，∠ADC =60∘，点E在AB上，AE =AC．求
证：DE平分∠ADB．
(2) (4分)如本题图②，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB=FC，
DG=2，CD=3，求BD的长．
17/20(3) (4分)如本题图③，在四边形ABCD中，BC =6，CD=5，对角线AC平分∠BAD，
1
∠BCA=2∠DCA，点E为AC上一点，∠EDC =∠ABC．若DE = DC，求AB的长．
2
答案
(1) 见解析；
9
(2) BD的长是 ；
2
52
(3) AB的长是 ．
9
解析
(1) ∵∠ADC =60∘，
∴∠ADB=180∘−∠ADC =120∘，
∵AD为ΔABC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AE =AC，AD=AD，
∴ΔADE ≅ΔADC(SAS)，
∴∠ADE =∠ADC =60∘，
∴∠BDE =∠ADB−∠ADE =60∘，
∴∠ADE =∠BDE，
∴DE平分∠ADB；
(2) 由（1）得∠BDE =∠CDG=60∘，ED=CD，
∵FB=FC，
∴∠B=∠DCG，
∴ΔBDE ∽ΔCDG，
BD ED
∴ = ，
CD DG
∵DG=2，CD=3，
∴ED=3，
18/20CD⋅ED 3×3 9
∴BD= = = ，
DG 2 2
9
∴BD的长是 ；
2
(3) 如图③，作CL平分∠BCA交AB于点L，
1
则∠LCA=∠LCB= ∠BCA，
2
∵∠BCA=2∠DCA，
1
∴∠DCA= ∠BCA，
2
∴∠LCA=∠BCL=∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAL=∠CAD，
∵AC =AC，
∴ΔACL≅ΔACD(ASA)，
∴CL=CD=5，AL=AD，
∵∠DCA=∠BCL，∠EDC =∠ABC，
∴ΔDCE ∽ΔBCL，
1 1 5
∵BC =6，DE = DC = ×5= ，
2 2 2
DE CE CD 5
∴ = = = ，
BL CL BC 6
6 6 5 5 5 25
∴BL= DE = × =3，CE = CL= ×5= ，
5 5 2 6 6 6
∵∠CED=∠CLB，
∴∠AED=180∘−∠CED=180∘−∠CLB，
∵∠ADC =∠ALC =180∘−∠CLB，
∴∠AED=∠ADC，
∵∠EAD=∠DAC，
∴ΔEAD∽ΔDAC，
AE AD DE 1
∴ = = = ，
AD AC DC 2
1
∴AD2 =AE⋅AC，AE = AD，
2
1 1 25
∴AD2 = AD( AD+ )，
2 2 6
25
解得AD= 或AD=0（不符合题意，舍去），
9
25
∴AL= ，
9
25 52
∴AB=AL+BL= +3= ，
9 9
19/2052
∴AB的长是 ．
9
20/20
