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期中押题预测卷 01
（考试范围：第一~四章）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·重庆·八年级阶段练习）在 ， ， ， ， ， ， ， ，
（相邻两个 之间 的个数逐次加1）， 中，无理数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】解： ， 是整数，属于有理数，
， 是分数，属于有理数，
， 是有限小数，属于有理数，
无理数有 ， ， （相邻两个 之间 的个数逐次加1）， ，共有4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有
理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无
理数．
2．（2022·河南商丘·八年级期中）在 中， ， ， 的对边分别是 ， ， ，下列说法中，不
能推出 是直角三角形的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和进行计算，逐项判断即可．【详解】A、∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴ 不是直角三角形，符合题意；
C、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A=2∠B=2∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ，
∴∠A=90°，
∴ 是直角三角形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理及三角形内角和定理，掌握直角三角形的判定方法，熟练运用各定理
进行判断是解题的关键．
3．（2022·广东·汕头市潮南实验学校八年级阶段练习）下列二次根式中，x的取值范围是 的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，再求出即可．
【详解】解：A．∵ 是二次根式，∴3-x≥0，∴x≤3，故本选项错误；
B．∵ 是二次根式，∴6+2x≥0，∴x≥-3，故本选项错误；
C．∵ 是二次根式，∴2x-6≥0，∴x≥3，故本选项正确；
D．∵ 是二次根式，∴ ≥0，又 ∴x-3＞0，∴x＞3，故本选项错误；故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式的应用，能根据二次根式的定义得出关于
x的不等式是解此题的关键，注意：形如 （a≥0）的式子叫二次根式．
4．（2022·重庆·西南大学附中九年级期中）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则计算判断即可．
【详解】∵3和 不是同类二次根式，∴3和 不能合并，故A错误；
∵ ，故B错误；∵ ，故C正确；
∵ ，故D错误；故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的基本运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（2022·成都外国语学校八年级期中）若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m，n的值分别
为（ ）
A． ，2 B．3， C． ， D．3，2
【答案】C
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，得
m=-3，n=-2，
故选C．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
6．（2022·江苏·海安市紫石中学八年级阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在
右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
【答案】A
【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的
平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案.
【详解】
如图，在Rt△ACB中，
∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米， ∴
在Rt△A‘BD中，∵∠A’BD=90°，A’D=2米，
∴ ∴ ∵BD>0，∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米 即小巷的宽度为2.2米，故答案选A
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知并熟练运用勾股定理求斜边和直角边是解题的关键
7．（2022·广东·八年级阶段练习）一个小球从点A（2，3）出发，经过y轴上点C反弹后经过点B（1，
0），则小球从A点经过点C到B点经过的路线最短，则点C的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，1） C．（0， ） D．（0， ）
【答案】B
【分析】如果设A点关于y轴的对称点为 ，那么C点就是 与y轴的交点．易知 （-2，3），又B
（1，0），可用待定系数法求出直线 的方程．再求出C点坐标．
【详解】解：如果将y轴当成平面镜，设A点关于y轴的对称点为 ，则由小球路线知识可知， 相当于
A的像点，光线从A到C到B，相当于小球路线从 直接到B，所以C点就是 与y轴的交点．∵A点关于y轴的对称点为 ，A（2，3），∴ （-2，3），
设直线 的解析式为y=kx+b．
，解得： ，∴直线 的解析式为：y=-x+1．
令x=0，求得y=1．所以C点坐标为（0，1）．故选：B．
【点睛】此题考查轴对称的基本性质，勾股定理的应用等知识点．关键是根据小球路线从A点到B点经过
的路线长是 ．
8．（2022·山东济宁·七年级期末）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（ ）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是(2，0)
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象
D．若两点A (1，y)，B (3，y)在该函数图象上，则y＜y
1 2 1 2
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断．
【详解】解：A、函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故A选项正确．
B、当y=0时，x=2，则函数图象与x轴交点坐标是（2，0），故B选项正确；
C、函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x+4-4=-2x，故C选项正确；
D、一次项系数小于0，则函数值随自变量的增大而减小，
∵1＜3，∴y＞y，故D选项错误；故选：D．
1 2
【点睛】本题考查了一次函数的性质，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y
随x的增大而减小．9．（2022·重庆市八年级期末）如图，直线l：y＝﹣ x+ +3 与x轴交于点A，与经过点B（﹣2，
0）的直线m交于第一象限内一点C，点E为直线l上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接DC、
DE、BE，若∠DEC＝2∠DCE，∠DBE＝∠DEB，则CD2的值为（ ）
A．20+4 B．44+4 C．20+4 或44﹣4 D．20﹣4 或44+4
【答案】C
【分析】过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G，求出DF的解析式，联立方程组 ，求
出点F的坐标，分点E在点F的上方和下方两种情况结合勾股定理求出结论即可．
【详解】解：过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G，
∵点B（﹣2，0），且点D为点B关于y轴的对称点，∴D（2，0）∴BD=4
又∠DBE＝∠DEB，∴DE=BD=4对于直线l：y＝﹣ x+ +3 ，当x=0时，y= +3 ；当y=0时，x= +3
∴OH= +3 ，AO= +3∴ ∴
∴ ∴
又 ∴ ，∴ ∴
设直线DF所在直线解析式为
把 ，D（2，0）代入得， 解得，
∴直线DF所在直线解析式为
联立 ，解得， ∴F( ， )
∴ 在Rt△DFE中， ∴
①当E在F下方时，如图1，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM，
∵EM=DE∴ 又∵ ∴
又∵ ∴ ∴DC=DM 在Rt△DFM中，
∴
②当点E在F的上方时，如图2，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM，∵EM=DE∴
又∵ ，
∴ ∴DC=DM∴
在Rt△DFM中， ∴
综上所述， 或 故选：C
【点睛】本题是一次函数的综合题；灵活应用勾股定理，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
10．（2022·广东佛山·九年级阶段练习）在△ABC中，BAC 90°，AB=AC，D、E 是斜边 BC 上两点，
且∠DAE＝45°，将△ADC 绕点 A 顺时针旋转90° 得到△AFB， 连接 EF．下列结论：①BE⊥BF；
②△ABC 的面积等于四边形 AFBD 的面积；③当 BE CD 时，线段 DE 的长度最短．其中正确的个数
（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】D
【分析】由旋转的性质可得∠ABF=∠ACB=45°，可求∠FBE=90°，可得BE⊥BF，故①正确；由旋转的性质
可得 ADC≌△ABF，由面积的和差关系可得 ABC的面积等于四边形AFBD的面积，故②正确；由“SAS”
△ △可证 FAE≌△DAE，可得DE=EF，由勾股定理可得BE2+DC2=DE2，即可求解．
【详△解】∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵将 ADC绕点A顺时针旋转90°得到 AFB，∴∠ABF=∠ACB=45°，
∴∠F△BE=∠ABF+∠ABC=90°，∴BE⊥BF△，故①正确；
∵将 ADC绕点A顺时针旋转90°得到 AFB，
∴△A△DC≌△ABF，∴S ADC=S AFB，△∴S ADB+S ADC=S ADB+S ABF，
∴△ABC的面积等于四△边形AF△BD的面积，△故②正确△； △ △
∵△AFB≌△ADC，∴BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAE+∠DAC=45°，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAC+∠BAE=45°，即∠FAE=∠DAE=45°，
在 FAE和 DAE中
△ △
，∴△FAE≌△DAE（SAS），∴DE=EF，
在Rt FBE中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2，
∵BF=△DC，EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，
∵（BE-DC）2≥0，∴BE2+DC2≥2BE•DC，∴BE=DC时，BE2+DC2有最小值，
∴当BE=CD时，线段DE的长度最短，故③正确，故选：D．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，
勾股定理等知识，证明 FAE≌△DAE是解题的关键．
二、填空题（本大题共△8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2020·四川·成都外国语学校八年级期中）已知A、B、C在数轴上的位置如图，AB＝AC，A、B两点
对应的实数分别是1和﹣ ，则点C对应的实数是 _______________．
【答案】 ##
【分析】设出点C所表示的数为x，根据点B、C到点A的距离相等列出方程，即可求出x的值．
【详解】解：设点C所表示的数为x，∵点B与点C到点A的距离相等，∴AC＝AB，即x﹣1＝1+ ，解得：x＝2+ ．故答案为：2+ ．
【点睛】本题考查了实数与数轴的知识，根据条件点B、C到点A的距离相等列出方程是关键．
12．（2022·江苏南京·八年级期末）比较大小： _____ ．（填＞，＜，＝）
【答案】<
【分析】根据实数比较大小的方法求解即可．
【详解】解： ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
13．（2022·北京市八年级期中）平面直角坐标系中，已知点 ， ，且AB x轴，若点 到
轴的距离是到 轴距离的2倍，则点 的坐标为________．
【答案】 或
【分析】根据AB平行x轴，两点的纵坐标相同，得出y=2，再根据点 到 轴的距离是到 轴距离的2倍，
得出 即可．
【详解】解：∵点 ， ，且AB x轴，∴y=2，
∵点 到 轴的距离是到 轴距离的2倍，
∴ ，∴ ，∴B（-4，2）或（4，2）．故答案为（-4，2）或（4，2）．
【点睛】本题考查两点组成线段与坐标轴的位置关系，点到两轴的距离，掌握两点组成线段与坐标轴的位
置关系，与x轴平行，两点纵坐标相同，与y轴平行,两点的横坐标相同，点到两轴的距离，到x轴的距离
为|y|，到y轴的距离是|x|是解题关键．
14．（2022·山东·八年级期中）已知 ， 、 ， 是一次函数 图象上两点，且，则 的取值范围为__．
【答案】
【分析】根据 ，得出 随 的增大而减小，再根据 ，求出其取值范围即可．
【详解】∵ ，∴ 或 ，也就是， 随 的增大而减小，
∴ ，解得， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的增减性以及适当的转化是解决问题的关键．
15．（2022·广东八年级期中）一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒
底的 点爬到盒顶的 点，蚂蚁要爬行的最短行程是______cm．
【答案】20
【分析】如图所示，将长方体各个顶点标上字母，然后可分①情况一：经过前侧和右侧，②情况二：经过
前侧和上侧，然后根据长方体展开图及勾股定理可求解路线长，最后进行比较即可．
【详解】解：如图所示，将长方体各个顶点标上字母，
①情况一：经过前侧和右侧，如图所示，
∴ ；
②情况二：经过前侧和上侧，如图所示，
∴ ，∴ ，故蚂蚁爬行的最短路程为20cm；故答案为20．
【点睛】本题主要考查立体几何展开图、实数的大小比较及勾股定理，熟练掌握立体几何展开图、实数的
大小比较及勾股定理是解题的关键．
16．（2022·广西河池·三模）如图，在平面直角坐标系中，将 绕点B顺时针旋转到 的位置，
使点A的对应点 落在直线 上，再将 绕点 顺时针旋转到 的位置，使点 的对应
点 落在直线 上，依次进行下去……，若点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，则点
的横坐标是______．
【答案】
【分析】根据题意求出点A、A、A、A、的横坐标，得到规律，即可求解．
2 4 6 8
【详解】解：如图，延长AO 交x轴于点E，
2 2
∵点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，∴AB∥y轴，AB= ，OA=1，
∴∠OAB=90°， ，OB=2，∴∠BAO=90°，∠AOB=60°，
1 1
∴ ， ， ，
∴ ，∴AB∥x轴，∴∠AEO=90°，
2 2 2∴ ， ，
∴ ，∴点A 的横坐标为 ，
2
同理点A 的横坐标为 ，点A 的横坐标为
4 6
点A 的横坐标为 ，……，由此发现：点An的横坐标为 ．
8 2
∴点 的横坐标是 ．故答案为： .
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变换——旋转，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会
从特殊到一般，探究规律，由规律解决问题，属于中考常考题型.
17．（2022·辽宁·沈阳市八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，6），B（﹣4，0），C（2，
0），点D，E分别在射线CA上，并且DE＝AC，P为线段AB上一点，当△DPE为以ED为斜边的等腰直
角三角形时，Р点坐标为____．【答案】
【分析】如图所示，过点P作直线l∥y轴，分别过点D作DG⊥直线l于G，EH⊥直线l于H，过点D作
DN⊥y轴于N，过点E作EM⊥x轴于M,设直线AB，直线CD的解析式分别为 ， ，则
可求得直线AB，直线CD的解析式分别为 ， ，然后证明△NDA≌△MCE得到
DN=CM，NA=EM，△PDG≌△EPH得到DG=PH，GP=EH，设 ， ，则 ，
， ， ， ， ，
， 由此即可得到 ，
解方程即可．
【详解】解：如图所示，过点P作直线l∥y轴，分别过点D作DG⊥直线l于G，EH⊥直线l于H，过点D
作DN⊥y轴于N，过点E作EM⊥x轴于M，设直线AB，直线CD的解析式分别为 ， ，
∴ ， 解得 ， ，
∴直线AB，直线CD的解析式分别为 ， ，
∵DE=AC，∴DA=CE，∵DN⊥y轴，EM⊥x轴
∴DN∥CM，∠DNA=∠CME=90°∴∠NDA=∠MCE，
∴△NDA≌△MCE（AAS），∴DN=CM，NA=EM，
∵△DPE是以DE为斜边的等腰直角三角形，
∴PD=PE，∠DPE=90°，∴∠DPG+∠EPH=90°，
∵DG⊥GH，EH⊥GH，∴∠DGP=∠PHE=90°，
∴∠PDG+∠DPG=90°，∴∠PDG=∠EPH，∴△PDG≌△EPH（AAS），∴DG=PH，GP=EH，
∵A（0，6），B（-4，0），C（2，0），∴OA=6，OB=4，OC=2，
设 ， ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，解题的关键在于
能够构造全等三角形进行求解．
18．（2022·成都市双流区八年级期中）如图，在△ABC中，AC＝2＋2 ，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，
将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 ，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将
△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点 ，则线段 的最大值是________，最小
值是________．【答案】 ## ##
【分析】过点B作BD⊥AC，D为垂足，根据直角三角形的性质求出BD的长，当P在AC上运动至垂足点
D，△ABC绕点B旋转，点P的对应点 在线段AB上时， 最小；当 、E 、B三点共线，点P运动到
点C时，， 最大，．
【详解】解：过点B作BD⊥AC，D为垂足，连接BP， ，
∵∠BAC=45°，∠ACB=30°，∴△ABD是等腰直角三角形，BC=2BD， ∴BD=AD，
设BD=AD=x，则BC=2x，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即BD=2，
∴ ，BC=4，∵E是AB的中点，
∴ ，由旋转的性质可知 ，
∵ ，∴ ，
∴当 、E 、B三点共线，且P运动到点D时， 最小，最小值为 ；
∵ ，∴ ，∵当 、E 、B三点共线，点P运动到点C时，， 最大，最大值为 ；
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形
的性质，三角形三边关系的应用等等，熟知相关知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（2022·内蒙古·八年级阶段练习）计算：
(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1)0；
(2)15；
(3) ．
【分析】（1）利用二次根式的性质先化简，再进行加减运算即可；
（2）利用二次根式的性质先化简，再算乘除法即可；
（3）利用二次根式的性质先化简，进行乘法的运算，再进行加减运算即可．
（1）
解：
=3 -4 +
=0；
（2）
解：
=3 ×5 ÷
=15 ÷
=15；（3）
解：
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10．（2022·湖北·武汉市六中位育中学八年级阶段练习）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向
160千米的B处，以30千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心100千米范围内是受台风
影响的区域．(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
【答案】(1)A市会受到台风的影响，理由见解析 (2)受台风影响的时间有4小时
【分析】（1）根据题意得出AC的长，进而得出答案；
（2）首先求出CD的长，进而得出DE的长，进而求出A市受这次台风影响的时间．
（1）解：A市会受到台风的影响．理由：过点A作AC⊥BF于C，
∵Rt ABC中，∠ABC=30°，∴AC= AB=80km＜100km，
∴A市△会受到台风的影响；
（2）解：过A作AD=AE=100km，交BF于点D，E，在Rt△ACD中，CD= =60（km），
同理可得 ，
∴DE=CD+CE=120（km），
∴A市受这次台风影响的时间为： =4（小时）．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．
21．（2022·吉林·长春南湖实验中学九年级阶段练习）近期，多地出现新冠肺炎疫情，A社区对甲、乙两
个小区进行全员核酸样本采集．甲小区先按一定的效率采集一段时间后，乙小区开始采集，中途有志愿者
加入采集队伍，采集效率增加，两小区同时采集完毕，甲小区共采集了四小时．设甲、乙两个小区进行核
酸采集的人数为y，甲小区的工作时间为x时，y与x之间的函数图象如图所示．
(1)甲小区采集的效率为______人 时．(2)求乙小区在志愿者加入后y与x之间的函数关系式．
(3)求A社区参加此次核酸样本采集的人数．
【答案】(1)600 (2) ；(3)A社区参加此次核酸样本采集的有5640人．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲小区采集的效率；（2）根据函数图象中的数据，可
以计算出乙小区在志愿者加入后y与x之间的函数关系式；（3）将x=4代入（2）中的函数解析式，计算
出相应的y的值，然后再加600×4即可得到A社区参加此次核酸样本采集的人数．（1）解：由图象可得，甲小区采集的效率为：1800÷3=600（人/时），故答案为：600；
（2）解：设乙小区在志愿者加入后y与x之间的函数关系式是y=kx+b，
∵点（2，360），（3，1800）在该函数图象上，
∴ ，解得 ，
即乙小区在志愿者加入后y与x之间的函数关系式是y=1440x-2520（2≤x≤4）；
（3）解：将x=4代入y=1440x-2520，得：y=1440×4-2520=3240，
600×4+3240=2400+3240=5640（人），
答：A社区参加此次核酸样本采集的有5640人．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合
的思想解答．
22．（2022·河北唐山·七年级期末）如图，已知 ， ， ．
(1)写出点C到x轴的距离______；(2)连接AB、BC、AC，求 的面积；
(3)点P在y轴上，当 的面积是6时，求出点P的坐标．
【答案】(1)3(2)15(3) 或
【分析】（1）根据点到x轴的距离是点纵坐标的绝对值解答即可；（2）利用面积公式计算即可；
（3）设点P的坐标为 ，根据面积求出b即可．
（1）解：∵ ，∴点C到x轴的距离是3，故答案为：3；
（2）如图， ，（3）设点P的坐标为 ，则点P到AB的距离为 ，
∵ ，∴ ，解得 或 ，∴点P的坐标为 或 ．
【点睛】此题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，利用面积求点坐标，正确理解坐标与图形的关系是
解题的关键．
23．（2022·江苏南京·八年级期末）下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．点O在△ABC的内部，OD⊥AB，
OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F，且OD＝OE＝OF，AD＝3，
BD＝4，求△ABC的面积．
解：连接OA．
∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥BC，垂足分别为D、E，
∴∠ODA＝∠OEA＝90°=∠OFB．
∴∠OEC＝∠OFC＝90°，
在Rt△AOD和Rt△AOE中，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE．
∴_______＝AD＝3．
同理_______＝BD＝4，
∵∠C=∠OEC=∠OFC=90°，
∴四边形CEOF是矩形，∵OE=OF，
∴矩形CEOF是正方形，
∴CF＝CE．
设 CE的长为x．则CF＝CE＝x．
根据勾股定理，得(x＋3)2＋(x＋4)2＝(3＋4)2．
整理，得x2＋7x＝12．
即S ABC＝ AC•BC＝ (x＋3)(x＋4)＝ (x2＋7x＋12)＝ ×(12＋12)＝12．
△
(1)请补全她的证明过程；
(2)她发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积！这仅仅是巧合吗？倒过来思考对不对呢？
现将题目中的“AD＝3，BD＝4”改为“AD＝m，BD＝n”，请完成下面的探索．
①若题目中其他条件不变，求证：△ABC的面积等于mn．
②若去掉题目中“在Rt△ABC中，∠C＝90°”这个条件，增加条件“AC•BC＝2mn”，求证∠C＝90°．
【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据题目中全等三角形的性质即可求解；
（2）①连接 ，根据（1）中的解题方法即可求解；②由 ，得： ，整
理，得： ，即有 ，再根据 ，有
，根据勾股定理逆定理即可证明．
（1）连接OA．
∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥BC，垂足分别为D、E，
∴∠ODA＝∠OEA＝90°=∠OFB．
∴∠OEC＝∠OFC＝90°，
在Rt△AOD和Rt△AOE中，∴Rt△AOD≌Rt△AOE．
∴AE＝AD＝3．
同理BF＝BD＝4，
∵∠C=∠OEC=∠OFC=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴矩形CEOF是正方形，
∴CF＝CE．
设 CE的长为x．则CF＝CE＝x．
根据勾股定理，得(x＋3)2＋(x＋4)2＝(3＋4)2．
整理，得x2＋7x＝12．
即S ABC＝ AC•BC＝ (x＋3)(x＋4)＝ (x2＋7x＋12)＝ ×(12＋12)＝12．
△
故答案为： ；
（2）①连接 ，如图，
∵ ， ，垂足分别为D、E，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
同理 ，
∵∠C=∠OEC=∠OFC=90°，
∴四边形CEOF是矩形，∵OE=OF，
∴矩形CEOF是正方形，
∴ ．
设 的长为x．则 ．
根据勾股定理，得 ．
整理，得 ，
所以
；
②由 ，得： ，
整理，得： ，
∴
，
又∵ ，
∴ ，
根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，AB为斜边，
即 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、矩形的判定与性质等知识，掌握全
等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
24．（2022·成都七中八年级期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式 的最小值”；小强同学发现 可看作两直角边
分别为x和2的直角三角形斜边长， 可看作两直角边分别是12-x和3的直角三角形的斜边长．
于是构造出下图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得 的最小值是 _________
（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且a + b = 4．求 的最小值_________
（3）方法应用：已知a，b均为正数，且 是三角形的三边长，求这个三角形
的面积（用含a，b的代数式表示）
【答案】（1）13；（2）5；（3）
【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出 ， ，则
，要想 的值最小，则 的值最小，即
当A、D、B三点共线时， 的值最小，最小值为AB，由此利用勾股定理求出AB的值即可；
（2）如图所示， ， ， ， ，利用勾股定理求出 ， ，
然后同（1）求解即可；
（3）如图所示， ， ， ， ，∠ABF=∠ACD=∠DEF=90°，则
， ， ，故
△ADF的面积即为所求，由此求解即可．
【详解】解：（1）如图所示， ， ， ， ，在直角三角形ACD中， ，
在直角三角形BDE中， ，
∴ ，
∴要想 的值最小，则 的值最小，
∴当A、D、B三点共线时， 的值最小，最小值为AB，
过点B作BF⊥AC交AC延长线于F，
∵EC⊥AF，BF⊥AC，BE⊥AC，
∴由长方形的性质得BF=CE=CD+DE=12，CF=BE=3，
∴AF=AC+CF=5，∴ ，
∴ 的最小值为13，故答案为：13；
（2）如图所示， ， ， ， ，
在直角三角形ACD中， ，
在直角三角形BDE中， ，
∴ ，
∴要想 的值最小，则 的值最小，
∴当A、D、B三点共线时， 的值最小，最小值为AB，
过点B作BF⊥AC交AC延长线于F，
∵EC⊥AF，BF⊥AC，BE⊥AC，
∴由长方形的性质BF=CE=CD+DE=a+b=4，CF=BE=2，∴AF=AC+CF=3，∴ ，
∴ 的最小值为5，故答案为：5；
（3）如图所示， ， ， ， ，∠ABF=∠ACD=∠DEF=90°，
∴ ， ， ，
∴△ADF的面积即为所求，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质与判定，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定
理求解．
25．（2022·河北·八年级期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如 的化简，我们只要找
到两个数a，b，使 ， ，即 ， ，那么便有：
.
例如化简：
解：首先把 化为 ，这里 ， ，
由于 ， ，
所以 ，
所以
（1）根据上述方法化简：
（2）根据上述方法化简：
（3）根据上述方法化简：
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】根据题意把题目中的无理式转化成 的形式，然后仿照题意化简即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
（3）∵ ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题
的关键．
26．（2022·成都外国语学校八年级期中）如图1，等腰直角 ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE
经过点C，过A作AD⊥DE于点D，过B作BE⊥DE于点E，则△ BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“K
型全等”．（不需要证明） △
[模型应用]若一次函数y＝kx+4（h≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)如图2，当k＝﹣1时，若B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求A到直线l的距离AD的长．
(2)如图3，当k＝﹣ 时，点M在第一象限内，若 ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标．
△
(3)当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，当Q在第一象
限落在直线y＝0.5x+1上时，在x轴上求一点H，使HQ+HB的值最小，请求出H的坐标．
【答案】(1) (2)M（ ， ） (3)点H坐标为（ ，0）
【分析】（1）由题意可知△BEO≌△AOD（K型全等），OE=AD，B（0，4），OE= ，AD= ；
（2）k=- 时，A（3，0），分三种情况讨论，①当BM⊥AB，且BM=AB时，过点M作MN⊥y轴，由
“AAS”可证△BMN≌△ABO，所以MN=OB，BN=OA；②当AB⊥AM，且AM=AB时，过点M作x轴垂线MK，可知△ABO≌△AMK（AAS），所以OB=AK，
OA=MK；
③当AM⊥BM，且AM=BM时，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，由“AAS”可证△BMG≌△AHM，所以
BG=AH，GM=MH，GM=MH，则有4-MH=MH-3；
（3）由“AAS”可证△MAB≌△NBQ，可得BN=AM=4， ，可求点Q坐标，作点Q关于x
轴的对称点Q'（4，-3），连接BQ'，交x轴于H，此时HB+HQ最小，求出BQ'的解析式，联立方程组，可
求解．
（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），∴OE＝AD，
∵k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，令x=0，则y=4∴B（0，4），OB＝4，
∵BE＝3，∴由勾股定理得，OE＝ = ，∴AD＝ ；
（2）k＝﹣ 时，y＝﹣ x+4，当y=0时，x=3 ∴A（3，0），
①当BM⊥AB，且BM＝AB时，如图3﹣1，过点M作MN⊥y轴，
∴∠MNB＝∠AOB＝∠ABM＝90°，
∵∠ABO+∠MBN＝90°＝∠ABO+∠BAO，∴∠BAO＝∠MBN，
又∵AB＝BM，∴△BMN≌△ABO（AAS），
∴MN＝OB，BN＝OA，∴MN＝4，BN＝3，∴M（4，7）；
②如图3﹣2，当AB⊥AM，且AM＝AB时，
过点M作x轴垂线MK，同理可证：△ABO≌△AMK（AAS），
∴OB＝AK，OA＝MK，∴AK＝4，MK＝3，∴M（7，3）；③当AM⊥BM，且AM＝BM时，
如图3﹣3，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，
同理可证：△BMG≌△AHM（AAS），
∴BG＝AH，GM＝MH，∴GM＝MH，
∴4﹣MH＝MH﹣3，∴MH＝ ，∴M（ ， ）；
综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（ ， ）；
（3）设AB的解析式为y＝kx+4，∴点A（﹣ ，0），点B（0，4），
如图4，过点B作MN//AO，过点A作AM⊥MN于M，过点Q作QN⊥MN于N，
∵将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，∴AB＝BQ，∠ABQ＝90°，
∴∠ABM+∠MAB＝90°，∠MBA+∠NBQ＝90°，∴∠MAB＝∠NBQ，
在 MAB与 NBQ中， ，∴△MAB≌△NBQ（AAS），
△ △
∴BN＝AM＝4，NQ＝MB＝|﹣ |＝| |，
∴点Q（4，| |），∴| |＝0.5×4+1，∴点Q（4，3），
作点Q关于x轴的对称点Q'（4，﹣3），连接BQ'，交x轴于H，此时HB+HQ最小，
设直线BQ'解析式为y＝mx+n，
由题意可得： ，解得： ，∴直线BQ'解析式为y＝﹣ x+4，
当y＝0时，﹣ x+4＝0，∴x＝ ，∴点H坐标为（ ，0）．【点睛】本题考查了待定系数法解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全
等三角形解题是关键．
