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8.7 向量法求距离、探索性及折叠问题
知识点总结
1.点到平面的距离
若P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，
则点P到平面α的距离d＝ .
2.点到直线的距离
如图(1)，点P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个
与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d＝ .
如图(2)，设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d＝ .
3.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.
典型例题分析
考向一 点到直线的距离
例1 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝
1，则点P到直线BD的距离为________.考向二 点到平面的距离
例2 在棱长均为a的正三棱柱ABC－A B C 中，D是侧棱CC 的中点，则点 C 到平面AB D
1 1 1 1 1 1
的距离为( )
A.a B.a
C.a D.a
感悟提升 1.点线距的求解步骤：
直线的单位方向向量a→所求点到直线上一点的向量PP′及其在直线的方向向量a上的投影向
量→代入公式.
2.点面距的求解步骤：
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面
的距离.
考向三 探索性问题例 3 (2023·厦门质检)在三棱柱 ABC－A B C 中，四边形 AA B B 是菱形，AB⊥AC，平面
1 1 1 1 1
AA B B⊥平面ABC，平面A B C 与平面AB C的交线为l.
1 1 1 1 1 1
(1)证明：A B⊥B C.
1 1
(2)已知∠ABB ＝60°，AB＝AC＝2，l上是否存在点P，使A B与平面ABP所成角为30°？若
1 1
存在，求B P的长度；若不存在，请说明理由.
1
感悟提升 1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此
列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的
解”等.
2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.
训练2 如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱
SD上的点.
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；
若不存在，试说明理由.考向四 折叠问题
例4(1) (2023·济南调研)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得
点D到达点P的位置，连接PB，PB＝.
(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；
(2)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值.
(2)(2023·苏北四市质检)已知一圆形纸片的圆心为O，直径AB＝2，圆周上有C，D两点.如图，
OC⊥AB，∠AOD＝，点P 是BD上的动点.沿 AB 将纸片折为直二面角，并连接 PO，PD，
PC，CD.
(1)当AB∥平面PCD时，求PD的长；
(2)当三棱锥P－COD的体积最大时，求二面角O-PD-C的余弦值.感悟提升 翻折问题中的解题关键是要结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含
的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生
变化.
基础题型训练
一、单选题
1．在空间直角坐标系 中，已知 ，且平面 的法向量为 ，则 到平面
的距离等于（ ）
A． B．4 C． D．
2．空间中有三点 ， ， ，则点P到直线MN的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
3．已知空间三点 ，则 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知空间三点 ， ， ，则 到直线 的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
5．在空间直角坐标系 中，平面 的法向量为 ， 已知 ，则P到平面
的距离等于 （ ）
A． B． C． D．
6．已知正方体 的棱长为2， 、 分别为上底面 和侧面 的中心，则点到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．如图，在正四棱柱 中， ， 为四边形 对角线的交点，下列结论
正确的是（ ）
A．点 到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为
C．若 ，则 平面 D．点 到平面 的距离为
8．[多选题]下列命题中正确的是（ ）．
A．可以用 求空间两点A，B的距离
B．设 是平面 的法向量，AB是平面 的一条斜线，点A在平面 内，则点B到 的距离为C．若直线l与平面 平行，直线l上任意一点与平面 内任意一点的距离就是直线l与平面 的距离
D．若平面 与平面 平行，则平面 内任意一点到平面 的距离就是平面 与平面 之间的距离
三、填空题
9．已知点 在平面 内， 为平面 的一个法向量，则点 到平面 的距离为
___________.
10．如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是 的中点，则直线
到平面 的距离为_______．
11．一个正方体的平面展开图如图所示，AB=1，则在原来的正方体中，线段CF的中点到直线AM的距离
为________.
12． 为矩形 所在平面外一点， 平面 ，若已知 ， ， ，则点 到
的距离为__．四、解答题
13．如图， 是圆柱 的一条母线， 是底面的一条直径， 是圆
上一点，且 ， .
(1)求直线 与平面 所成角的大小；
(2)求点 到平面 的距离.
14．如图在棱长为2的正方体 中，点E是AD的中点，求：
(1)异面直线 和 所成的角的余弦值
(2)点 到平面 的距离
15．在平行四边形 中， ， ， ， ，且 平面ABCD，求点P到直
线BC的距离．
16．如图，在三棱柱 中， 平面 ， 的中点为 ．(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
提升题型训练
一、单选题
1．已知直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，若直线l与平面 垂直，则实
数x的值为（ ）
A． B． C． D．10
2．棱长为 的正四面体 中，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．在空间中，已知动点P（x，y，z）满足z＝0，则动点P的轨迹是
A．平面
B．直线
C．不是平面，也不是直线
D．以上都不对
4．四棱锥 中， ，则这个四棱锥的高为（ ）A． B． C． D．
5．如图在直三棱柱ABC﹣ABC 中，棱AB，BC，BB 两两垂直且长度相等，点P在线段AC 上运动，异
1 1 1 1 1 1
面直线BP与BC所成的角为θ，则θ的取值范围是
1
A． B． C． D．
6．已知正四棱锥 侧面和底面的棱长都为2，P为棱BC上的一个动点，则点P到平面SAD的距离
是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．有下列四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则
B．若两个非零向量 与 满足 ＋ ＝ ，则 .
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量.
D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若 (x，y，z )，则P，
A，B，C四点共面.
8．已知正方体 ，则下列结论中正确的有（ ）A．
B． 平面
C．线段 被平面 分成两段，其长线段与短线段长度比为
D．正方体 被平面 分割为大小两个几何体的体积比为
三、填空题
9．在空间直角坐标系中，点 和点 间的距离是__________．
10．已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，且 ，则
________．
11．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂
直，则B与D之间的距离为__________．
12．如图，锐二面角 的棱上有 ， 两点，直线 ， 分别在这个二面角的两个半平面内，且
都垂直于 .已知 ， ， ，则锐二面角 的平面角的余弦值是
___________.
四、解答题
13．在空间四边形 中，连接 ，设M，G分别是 的中点，化简下列各向量表达式：
(1) ；(2) .
14．如图，正方形 的边长为2， 的中点分别为C， ，正方形 沿着 折起形成三
棱柱 ，三棱柱 中， .
（1）证明:当 时，求证： 平面 ；
（2）当 时，求二面角 的余弦值.
15．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ， 是
中点．
（1）求直线 与平面 的夹角余弦值；
（2）求平面 和平面 的夹角的余弦值.
16．如图，正四棱锥 的底面面积为4，一条侧棱长为 .(1)求PA和DC的所成角的余弦值；
(2)求侧棱PA和侧面PBC所成角的正弦值.
