文档内容
8.8 几何法求线面角、二面角及距离
知识点总结
利用几何法求线面角、二面角、距离的难点在于找到所求的角或距离，相对于向量法，
几何法运算简单、不易出错.知识点1：线与线的夹角
¿
¿ ¿
¿
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设 是两条异面直线，经过空间任一点 作直线 ，把 与 所成的锐角（或
直角）叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）．
②范围：
③求法：平移法：将异面直线 平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
知识点2：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
③求法：
常规法：过平面外一点 做 平面 ，交平面 于点 ；连接 ，则 即为直线 与
平面 的夹角．接下来在 中解三角形．即 （其中 即点 到面 的距
离，可以采用等体积法求 ，斜线长即为线段 的长度）；
知识点3：二面角
（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的
棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角 或者是二面角 ）
（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直
于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围 ．
（3）二面角的求法
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，
如图在二面角 的棱上任取一点 ，以 为垂足，分别在半平面 和 内作垂直于棱的射线 和
，则射线 和 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就
相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面 或面 内找一合适的点 ，作 于 ，过 作 于 ，则 为斜线 在面 内
的射影， 为二面角 的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点 ，作 于 ；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过 作 于 ，连接 ；
③计算： 为二面角 的平面角，在 中解三角形．
A
C
A
B
a
A'
C'
B
O B' b
b
图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面
积公式（ ，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为
补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面
积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是
二面角的平面角．
例如：过二面角内一点 作 于 ，作 于 ，面 交棱 于点 ，则 就是二
面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．
知识点4：空间中的距离
求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】典型例题分析
考向一 几何法求线面角
例1 (2023·杭州质检)在三棱柱ABC－A B C 中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点 D是
1 1 1
BC 与B C的交点，则AD与平面BB C C所成角的正弦值是( )
1 1 1 1
A. B.
C. D.
答案 C
解析 取BC的中点E，
连接DE，AE，如图.
依题意三棱柱ABC－A B C 为正三棱柱，
1 1 1
设棱长为2，则AE＝，DE＝1，
因为D，E分别是BC 和BC的中点，
1
所以DE∥CC ，所以DE⊥平面ABC，
1
所以DE⊥AE，
所以AD＝＝＝2.
因为AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，
所以AE⊥平面BB C C，
1 1
所以∠ADE是AD与平面BB C C所成的角，
1 1
所以sin∠ADE＝＝，
所以AD与平面BB C C所成角的正弦值是.
1 1
感悟提升 求线面角的三个步骤：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作
垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.
训练1 (2023·湖州模拟)如图，已知正四棱锥P－ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱
PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 作PO⊥底面ABCD于O，连接OC，
因为正四棱锥P－ABCD底面边长为2，故OC＝，
又侧棱长为4，故PO＝＝.
又M为侧棱PC中点，取OC的中点F，连接MF，BM，
则MF綉PO，且MF⊥平面ABCD，
故∠MBF是BM与平面ABC所成角，
且MF＝PO＝.
又cos∠BCM＝＝.
在△BCM中，由余弦定理有BM＝＝.
在△BFM中，sin∠MBF＝＝＝.
故直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为.
考向二
几何法求二面角
例2 如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则二面角S－BC－A的大小为( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
答案 C
解析 如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，
∵△ABC，△SBC都是等边三角形，
∴SB＝SC，AB＝AC，
因此有AD⊥BC，SD⊥BC.
∴∠ADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.
因为BC＝2，AD⊥BC，SD⊥BC，△SBC，△ABC都是等边三角形，
所以SD＝＝＝，AD＝＝＝，
而SA＝，所以△SDA是正三角形，
∴∠ADS＝60°，
即二面角S－BC－A的大小为60°.
感悟提升 作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平
面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可
得二面角的平面角.
训练2 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.
在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC ，则二面角C －AB－C的正切值为( )
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A.1 B.2
C. D.
答案 D
解析 由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB的中点M，连接C M，CM，
1
由条件，可知∠C MC即为二面角C －AB－C的平面角，
1 1
设AC＝CB＝CC ＝a，则CM＝a，
1
∴tan∠C MC＝＝.
1
考向三 几何法求距离
角度1 点线距
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C
到直线PA的距离为( )
A.2 B.2
C. D.4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】答案 A
解析 如图，取PA的中点M，连接BM，CM，
因为PB⊥平面ABCD，
又BC 平面ABCD，
所以P
⊂
B⊥BC，
又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，又PA 平面PAB，⊂
所以BC⊥PA，BC⊥PB，
⊂
因为M是PA的中点，PB＝AB，
所以BM⊥PA，
又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC 平面BCM，
所以PA⊥平面BCM，又CM 平面B
⊂
CM，
所以CM⊥PA，
⊂
即CM为点C到直线PA的距离.
在等腰Rt△PAB中，BM＝PB＝2，
在Rt△BCM中，CM＝＝＝2，
故点C到直线PA的距离为2.
角度2 点面距
例4 如图所示，在长方体ABCD－A B C D 中，AD＝AA ＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，
1 1 1 1 1
则点E到平面ACD 的距离为( )
1
A.1 B.
C. D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】答案 B
解析 设点E到平面ACD 的距离为h，
1
因为点E是棱AB的中点，
所以点E到平面ACD 的距离等于点B到平面ACD 的距离的一半，
1 1
又平面ACD 过BD的中点，
1
所以点B到平面ACD 的距离等于点D到平面ACD 的距离，
1 1
由等体积法V D－ACD1＝V D1－ACD ，
所以S △ACD1 ·2h＝S △ACD ·DD 1，
S ＝×2×4＝4，DD ＝2，
△ACD 1
在△ACD 中，AD ＝2，AC＝CD ＝2，
1 1 1
所以S △ACD1＝×2×＝6，
则×6×2h＝×4×2，解得h＝，
即点E到平面ACD 的距离为.
1
感悟提升 1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求
解.
2.求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若
不易作出点面距，可借助于等体积法求解.
基础题型训练
一、单选题
1．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，
且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2， ， ，
， 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】中异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据异面直线的夹角运算求解.
【详解】设 ，分别延长 到E，E ，使得
1
，
连接 ，
可得 // ， // ，则异面直线 与 所成角 （或其补角），
则 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：A.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．一个正六棱锥，其侧面和底面的夹角大小为 ，则该正六棱锥的高和底面边长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图正六棱锥 中，取 的中点 ，则 为侧面和底面的夹角，根据 的值
可求得 的值.
【详解】
如图正六棱锥 中，底面中心为 ，取 的中点 ，连接 ，
则 ，所以 为侧面和底面的夹角，即
因为 底面 ， 底面 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：A
3．在正方体 中， 是 的中点，则异面直线 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用线线平行推得 是异面直线 与 的夹角，再利用勾股定理依次求得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，从而得解.
【详解】连接 ，
因为正方体 中， ，
所以四边形 是平行四边形，则 ，
所以 是异面直线 与 的夹角，
不妨设正方体 的棱长为 ，则 ， ， ，
故 ，即 ，则 ，
所以 ，则 .
故选：A.
4．如图，在长方体 中， .则直线 与平面 所成角的余弦值是
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线面角的定义，可知 即为直线 与平面 所成角，解三角形即可求得结果.
【详解】如图，连接直线 ，显然，在长方体 中， 平面 ，故 即为
直线 与平面 所成角，
在 中， ， ， ，
，
故选：C.
5．在正四面体 中，点 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，则异面直线 ， 所成角的
余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】连接 ，设正四面体 的棱长为2，
因为 分别为 的中点，则 // ，
所以异面直线 ， 所成角为 （或其补角），
在 中，则 ，
由余弦定理可得 ，
所以异面直线 ， 所成角的余弦值为 .
故选：A.
6．如图，在三棱柱 中，底面 是正三角形，侧棱与底面 垂直，且
分别是 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据异面直线夹角的定义分析求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】如图，取 的中点D，连接 ，则 ，且 ，
所以 为异面直线 与 所成的角（或其补角），
又因为F是 的中点，则 ，
又因为三棱柱 的侧棱与底面垂直，
则 平面 ，且 平面 ，所以 ，
在 中， ，所以 .
故选：D．
7．在直三棱柱 中， ， ，过点 作直线 与 和 所成的角均为 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算异面直线 和 所成的角，则 的最小值为异面直线 和 所成角的一半．
【详解】依题意，直三棱柱是正方体的一半，如图所示，
， 为异面直线 和 所成角，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， 是等边三角形， ，
过C作直线 的平行线 ，则当 与 的角平分线重合时， 取得最小值 ．
故选：C
二、填空题
8．已知正三棱柱 ，O为 的外心，则异面直线 与OB所成角的大小为________．
【答案】
【分析】根据异面直线夹角的定义结合线面垂直分析求解.
【详解】延长 交 于点 ，
因为 为正三角形，则点 为 的中点，可得 ，
又因为 平面 ， 平面 ，可得 ，
且 ， 平面 ，可得 平面 ，
由于 平面 ，所以 ，即 ，
所以异面直线 与OB所成角的大小为 .
故答案为： .
9．如图，在三棱锥 中， 底面 ， ，且 ， 是 的中点，
则 与平面 所成角的正弦值是________．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 /
【分析】根据图形特征，取 中点 ，连接 ，通过线面垂直的性质与判定得到 面 ，
因而 是 与平面 所成角，再通过相关计算，在直角三角形中计算其正弦值即可.
【详解】如图，取 中点 ，连接 ，
因为 面 ， 面 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
因为 面 ， 面 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 面 ， ，
所以 面 ，
因为 面 ，
所以 ，
因为 面 ，
所以 面 ，
所以 是 与平面 所成角，
因为 ， ，
所以 ,
由已证知， 面 ，因为 面 ，
所以 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 面 ， 面 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由已证知， 面 ，
又因为 面 ，所以
所以 ，
即 与平面 所成角的正弦值是 .
故答案为：
10．长度为 的线段两个端点到平面 的距离分别为 和 ，且这两个端点都在平面 的同一侧，
则这条线段所在直线与平面 所成角的正弦值为______．
【答案】 /
【分析】根据线面夹角的定义分析运算.
【详解】如图所示，设线段两个端点 在平面 的投影分别为 ，连接 ，
则 ，
在线段 上取点 ，使得 ，连接 ，
因为 // ， ，则 为平行四边形，可得 // ，
则线段 所在直线与平面 所成角的即为线段 所在直线与平面 所成角 ，
所以这条线段所在直线与平面 所成角的正弦值 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
三、解答题
11．如图，在三棱柱 中，面 为正方形，面 为菱形， ，侧面
面 .
(1)求证： 面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证.
（2）过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，利用线面垂直的性质定理得出 为二
面角 的平面角，在 中直接求解即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）由菱形 可得 ，
面 面 ，面 面 ，
又正方形 中 ，
面 ，又 平面 ， ，
， 平面 ， 面 .
（2）过 作 于 ，则 面 .
过 作 于 ，连接 ，
因 平面 ，则 ，
又 平面 ， ，故 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
故 为二面角 的平面角，
在 中，设 ， ， ，
， ， ，
.
即二面角 的余弦值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12．如图， 是圆 的直径，点 在圆 所在平面上的射影恰是圆 上的点 ，且 ，点 是
的中点， 与 交于点 ，点 是 上的一个动点.
(1)求证： ；
(2)求二面角 平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明 平面 来证得 ；
（2）判断出二面角 平面角，解直角三角形求得其余弦值；
【详解】（1）证明： 点 在圆 所在平面上的射影恰是圆 上的点 ， 平面 ，
平面 ， ，
又 是圆 的直径，有 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
（2） 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
为二面角 的平面角．
设 ，则 ， ，有 ， 为锐角，
在直角 中可得 ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故二面角 平面角的余弦值为 ．
13．如图，正三棱柱 中， 分别是棱 上的点， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直；
（2）求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求出二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：取 的中点 ,连接 ，
在正三棱柱 中，不妨设 ;
以 为原点， 分别为 轴和 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 , ，
；
设平面 的一个法向量为 ，则 , ，
取 ，则 ，即 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面 的一个法向量为 ，则 ,
即 ，取 得 .
因为 ，所以平面 平面 ；
（2）因为 ，由（1）可得 ，即 ，
易知平面 的一个法向量为 ,
；
二面角 的余弦值为 .
14．如图所示，平面 平面 ，四边形 为矩形， ， ，
， ．
(1)求多面体 的体积；
(2)求二面角 的余弦值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过割补法，结合锥体体积计算公式求得正确答案.
（2）作出二面角 的平面角，进而计算出其余弦值.
【详解】（1）如图，连接BD，
∵四边形AEFB为矩形，
∴ ， ，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面 ，
平面ABEF， 平面ABEF，
∴AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
∵ 平面ABCD，
∴ ，
又 ，AB∩AE＝A， 平面 ，
∴AD⊥平面AEFB，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
∴多面体ABCDEF的体积为
．
（2）如图，过B作 交DC的延长线于点G，连接FG，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵FB⊥平面ABCD， 平面 ，
∴DG⊥FB，
又DG⊥BG，BG∩FB＝B， 平面 ，
∴DG⊥平面FBG，
∵ 平面 ，
∴DG⊥FG，
∴∠FGB为二面角F-CD-A的平面角，由题意得 ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△FBG中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴二面角F-CD-A的余弦值为 ．
15．如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证： 平面PAD；
(2)若PB中点为Q，求证：平面 平面PAD．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)若PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求直线PB与面PAD所成的角．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)45°
【分析】（1）利用三角形的中位线可得线线平行，进而由线面平行的判断即可求证，
（2）由线面平行即可求证，
（3）利用线面垂直得线线垂直，进而可由几何法求解线面角，即可由三角形的边角关系求角大小.
【详解】（1）取PD的中点E，连接AE，NE，
因为N是PC的中点，所以 且 ，
又M是AB的中点，ABCD是正方形，所以 且 ，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面PAD， 平面PAD，所以 平面PAD．
（2）因为Q为PB的中点，M是AB的中点
所以 ，又 平面PAD， 平面PAD，所以 平面PAD，
又 平面PAD， ，MQ， 平面MNQ，
所以平面 平面PAD．
（3）因为PA⊥平面ABCD， 平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
又ABCD为正方形，所以AB⊥AD， 平面ABCD，平面 平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD，
所以∠BPA即为直线PB与面PAD所成的角，又AB＝PA＝2，所以△BPA为等腰直角三角形，所以∠BPA＝
45°，即直线PB与面PAD所成的角为45°．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为2的正方形， 与 交于点 ， 面
，且 .
(1)求证 平面 .；
(2)求 与平面 所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 ，因为 平面 ，得到 ，结合直线与平面垂直的判定定理，即
可证得 平面 ；
（2）连接 ，得到 为 与平面 所成的角，在直角 中，即可求得 与平面 所成
的角.
【详解】（1）解：因为 是正方形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：连接 ，因为 平面 ，所以 为 与平面 所成的角，
因为 ，所以 ，
在直角 中， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 与平面 所成的角为 .
提升题型训练
一、多选题
1．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径， ， ，点C在底面圆周上，
且二面角 为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D． 的面积为
【答案】AC
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.
【详解】依题意， ， ，所以 ，
A选项，圆锥的体积为 ，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为 ，B选项错误；
C选项，设 是 的中点，连接 ，
则 ，所以 是二面角 的平面角，
则 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，则 ，C选项正确；
D选项， ，所以 ，D选项错误.
故选：AC.
2．已知点P是空间中的一个动点，正方体棱长为2，下列结论正确的是（ ）
A．若动点P在棱AB上，则直线 与 始终保持垂直
B．若动点P在棱AB上，则三棱锥 的体积是定值
C．若动点P在对角线AC上，当点P为AC中点时，直线 与平面ABCD所成的角最小
D．若动点P在四面体 内部时，点P与该四面体四个面的距离之和为定值
【答案】ABD
【分析】根据立体几何相关定理逐项分析.
【详解】对于A，连接 ，如图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 平面 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，正确；
对于B，如图：
连接PC， ， ，则三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，
平面 ，点P到平面 的距离 为定值，即三棱锥 的高为定值，底面三角形
的面积为定值，
所以三棱锥 的体积为定值，正确；
对于C，连接DP，如图：
设直线 与平面ABCD的夹角为 ，在 中， ，当P为AC的中点时，DP最小，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】最大，即 最大，错误；
对于D，因为 ，四面体 是正四面体，
本问题等价于当P点在四面体 内部时到各个面的距离之和为定值，如图：
显然 ， ，其中
是点P到四个面的距离，
，为定值，正确；
故选：ABD.
3．如图，在正四棱柱 中，底面边长 ，侧棱长 ， 为底面 内的动
点，且 与 所成角为 ，则下列命题正确的是（ ）
A．动点 的轨迹长度为
B．当 //平面 时， 与平面 的距离为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．直线 与底面 所成角的最大值为
D．二面角 的范围是
【答案】AC
【分析】选项A根据 与 所成角为 求出 ，从而确定动点 的轨迹并求出长度；选项B利用
等体积法即可求得；选项C根据直线与平面所成角的定义找到直线 与底面 所成角，再计算最大
值即可；选项D通过点 在特殊位置时求出二面角 的平面角超出选项范围进行排除.
【详解】正四棱柱 中，底面是正方形，侧棱垂直于底面.
对于A选项，因为 且 与 所成角为 ，所以 与 所成角也为 .又 ，
.
又 在底面 内， 的轨迹为以A为圆心，1为半径的圆周的四分之一，长度为 .故选
项A正确；
对于B选项，当 //平面 时， 到平面 的距离即为 与平面 的距离.
.
，
在 中， ， 边上的高为2，
设 到平面 的距离为 ，则 ，
解得 .故选项B错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C选项，连接 ，则线段 为线段 在底面 的投影，故直线 与底面 所成角为
，且 ,
由选项A可知，当 为正方形 中心时， 最短为1，此时 最大为 ,即 .故选
项C正确；
对于D选项，当 在线段 上时， ， ，
因为 是等腰三角形，所以取 中点 ，连接 ，则 .
过 作 交 于点 ，分别连接 ，则 ，故四边形 是等腰梯形，
取 中点 ，则 ，所以 是二面角 的平面角.
在四边形 中， ， ，故 .又 ，
故 .
由选项B知， .
在 中，由余弦定理得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，故选项D错误.
故选：AC.
4．两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面所成角；在正方体中，不在同
一表面上的两条平行的棱所确定的平面称为该正方体的对角面.则在某正方体中，两个不重合的对角面所成
角的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】结合图象，根据两个相交平面所成角的定义确定两个不重合的对角面所成角的可能大小即可.
【详解】如图：
平面 与平面 的交线为 ，
因为 ，
所以四边形 为矩形，故 ，同理 ，
所以 为二面角 的平面角，
又 ，所以二面角 的平面角为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由相交平面所成角的定义可得平面 与平面 所成的角的大小为 ，
如图（2）
平面 与平面 的交线为 ，
因为 ， ， 平面 ， ，
所以 平面 ，设 ，
则 平面 ，过点 作 ，
则 为二面角 的平面角，
设正方体的边长为 ，则 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以平面 与平面 所成的角的大小为 ，
故选：CD.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．如图，在正方体 中， 分别为 的中点，则以下结论正确的是
（ ）
A．
B．平面 平面
C． 平面
D．异面直线 与 所成角的余弦值是
【答案】BCD
【分析】由题意可得出 ，可判断A；因为四点 共面，所以平面 平面
可判断B；由线面平行的判定定理可判断C；由异面直线所成角可判断D.
【详解】对于A，连接 ，易证 ，因为 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
所以在 中， 与 不垂直，所以 不垂直，故A不正确；
对于B，连接 ，因为 分别为 的中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以四点 共面，
所以平面 平面 ，故B正确；
对于C，连接 ，易证 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故C正确；
对于D，连接 ，易知 ，异面直线 与 所成角即直线 与 所成角，
即 ，设正方体的边长为 ，
所以 ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值是 ，故D正确.
故选：BCD.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二、单选题
6．如图，在圆台OO 中， ，点C是底面圆周上异于A、B的一点， ，点D是BC的中点，
1
l为平面 与平面 的交线，则交线l与平面 所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由线面平行的性质定理可证得 ，所以直线l与平面 所成角即直线 与平面 所
成角，由线面垂直的判定定理可证得 平面 ，过点 作 交 于点 ，易证得
平面 ，所以 为交线l与平面 所成角，求解即可.
【详解】因为，因为 ，D分别是 ，BC的中点，所以 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
所以 ， ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以直线l与平面 所成角即直线 与平面 所成角，
因为 为直径，所以 ，因为 ，即 ，
又因为 平面 ，
平面 ，所以 ， 平面 ，
所以 平面 ，过点 作 交 于点 ，
因为 平面 ，所以 ， ，
， 平面 ，所以 平面 ，
所以 为交线l与平面 所成角，
因为 ， ，
.
所以，结合图知 .
故选：B.
7．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面PAB与平面PCD所成的锐二
面角的平面角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】B
【分析】构造正方体 将所求解的二面角转化为平面 与平面 所成二面角，利用二
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】面角的平面角的定义，找到对应的角，求解即可.
【详解】构造正方体 如图所示，
因为平面 与平面 所成二面角就是平面 与平面 所成二面角，
又 平面 , 平面 ,
所以 又 所以
又 所以
所以 就是面 与平面 所成二面角的平面角，
因为构造几何体为正方体，故
故选：B.
8．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型
之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．
若 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 的夹角的正切
值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据线面角的定义求得 ，从而依次求 ， ， ， ，再把所
有棱长相加即可得解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】如图，过 做 平面 ，垂足为 ，过 分别做 ， ，垂足分别为 ，
，连接 ，
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为 和 ，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，.
同理： ，又 ，故四边形 是矩形，
所以由 得 ，所以 ，所以 ，
所以在直角三角形 中，
在直角三角形 中， ， ，
又因为 ，
所有棱长之和为 .
故选：C
9．如图，在正方体 中，E，F，Q，H分别为所在棱的中点，则直线HC与平面EFQ所成
角的正弦值为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长FE交 的延长线于M，取ME的中点N，证明 ，再利用几何法求出线面角的正
弦作答.
【详解】在正方体 中，延长FE交 的延长线于M，取ME的中点N，连接 ，QN，
，
因为E，F分别为棱 的中点，则 ，有 ，因此 ，
又 为 的中点，则 ，而 平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，
因此 ，又 ， 平面 ，则 平面 ，
又H为 的中点，而 ， ，从而 ，
四边形 是平行四边形，即有 ，则直线HC与平面EFQ所成的角等于直线 与平面EFQ
所成的角 ，
令 ，则 ， ，因此 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以直线HC与平面EFQ所成角的正弦值为 ．
故选：B
【点睛】思路点睛：求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面
上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
10．在正四棱锥 中， 的中点为 ，给出以下三个结论：
① 平面 ；
②侧棱与底面所成角的大小为 时，则侧棱与底面边长之比为 ；
③若 ，该四棱锥相邻两侧面成角的余弦值为 ．
则关于这三个结论叙述正确的是（ ）
A．①②对，③错 B．①③对，②错
C．①对，②③错 D．①②③都对
【答案】D
【分析】连接 交 于 ，连接 ，即可得到 ，从而判断①，连接 ，则 为侧棱与
底面所成的角，根据锐角三角函数即可判断②，连接 ， ，则 为相邻两侧面所成的角，利用
余弦定理即可判断D.
【详解】连接 交 于 ，连接 ，则 为 的中点，又 的中点为 ，
在 中， ，而 平面 ， 平面 ，则 平面 ，故①正确；
连接 ，由正四棱锥的性质可证 平面 ，
所以 为侧棱与底面所成的角，即 ，所以 ，
而 ，所以 ，故②正确；
若 ，则侧面全是正三角形，连接 ， ，所以 ， ，
根据二面角定义知， 为相邻两侧面所成的角，
设 ，则 ， ，由余弦定理得 ，故③正确.
故选：D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三、解答题
11．如图，在四面体P-ABC中，△ABC是等腰三角形AB⊥BC， .
(1)证明：PB⊥AC；
(2)若AB=2， ，PA⊥AB.
（ⅰ）求点A到平面PBC的距离；
（ⅱ）求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)（ⅰ） （ⅱ）
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明；
（2）根据题意将三棱锥转化为直三棱柱. （ⅰ）根据线面垂直的判定定理分析求解；（ⅱ）利用二面角的
平面角的概念结合条件即得.
【详解】（1）由题意可得： ，
所以 ≌ ，则 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，可得PB⊥AC.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）（ⅰ）由题意可得： ，
因为 平面 ，且 平面 ，平面 平面 ，
过 作 平面 ，垂足为 ，连接 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 为钝角，则点 在 的延长线上，
可得 ，则 ，
即 ，且 ，则 为正方形，
以 为底面作直三棱柱 ，可得 ，
过 作 ，垂足为 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
， 平面 ，则 平面 ，
利用等面积法 ，即 ，解得 ，
所以点A到平面PBC的距离 ；
（ⅱ）过 作 // ，交 于点 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，可得 ，
又因为 平面 ， 平面 ，可得 ，
且 // ，则 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，则 ，
所以二面角 的平面角为 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12．如图，直三棱柱 中， ，且平面 平面 ．
(1)求BC的长；
(2)求直线AC与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在平面 内任取一点 ，分别作 ，利用面面垂直的性质，分别证
得 ， ，证得 平面 ，得到 ，在直角 中，即可求解；
（2）过点 作 ，证得 平面 ，得到 为直线 与平面 所成的角，在直角
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】中，结合 ，即可求解.
【详解】（1）证明：在平面 内任取一点 ，分别作 ，如图所示，
因为直三棱柱 ，可得平面 平面 ，
又因为 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又由平面 平面 ，且 平面 ，且平面 平面 ，所以 平面
，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在直角 中，因为 ，可得 .
（2）解：过点 作 ，垂足为 ，
由平面 平面 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
在直角 中， ，可得 ，所以 ，
在直角 中，可得 ，
所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．如图，四棱锥 的底面 是菱形， ， ， .
(1)求证： 平面PBD；
(2)若E为 的中点，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）连接 ，连接 ，推导出 ，由此能证明 平面 ；
（2）连接 ，由（1）知 平面 ，进而 是二面角 的平面角，先计算 ，
再求得 ，由此能求出二面角 的余弦值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）
连接 ，连接 ，
因为底面 为菱形，所以 为 的中点，
又 ，
又 平面 ， ，
平面 .
（2）连结 ，由（1）知 平面 ，
平面 ，
是二面角 的平面角，
由题意知 都是边长为2的等边三角形，所以 ，
又 为 的中点， ，
因为 ，且 为 的中点， ，
在Rt 中， ，
，
，即 ，
所以
二面角 的余弦值为 .
14．如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面 为直角梯形， ， ，
， 为 中点， 为线段 上的点，且 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证:平面 平面 ；
(2)已知 .求直线 和平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析.
(2) .
【分析】（1）由线线垂直可得 平面 再由面面垂直的判定可得证；
（2）转化法求出点C到平面PAD的距离，再由线面角的定义即可得解.
【详解】（1）由题 又 为 中点, ,
,又 ，
四边形 为矩形，则
又 为正三角形， 为 中点， ,
又 , 平面 则 平面
又 ， 平面 又 平面
平面 平面 .
（2）由（1）知平面 平面 ，平面 平面 ,
过点 作 ,交 于 则 平面
又 中， ,
过 作 ,交 于
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可求得 则 ,
即 ，
, 即点 到平面 的距离 .
又 平面 , 平面 ， 平面 ,
则点 到平面 的距离即是点 到平面 的距离 ，
又
设直线 和平面 所成角为 ，则
故直线 和平面 所成角的正弦值为
15．如图所示，在直三棱柱 中， ，D，E分别为棱AB， 的中
点.
(1)证明：CD∥平面 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)求BE与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形中位线的性质证得四边形DGEC是平行四边形，进而得 ，所以可证明
CD∥平面 ；
（2）利用线线垂直证明 面 ，根据线面角的概念得 即为所求的线面角，然后在直角三角
形中求解即可.
【详解】（1）连接 ，取 中点为点 ，连接 ，
因为G，D分别为 ，AB的中点，所以 且 ，
又E为 的中点，所以 且 ，
所以 且 ，则四边形DGEC为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面 .
（2）连接BG，BE，
因为 ，D为AB中点，则 ，
又直三棱柱 ， 面 ，则 ，
又 ，又 面 ， 面 ，所以 面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由（1）知， ，所以 面 ，则 与平面 所成角为 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，则 与平面 所成角的正弦值为 .
16．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ，
.
(1) 为 上一点，且 ，当 平面 时，求实数 的值；
(2)设平面 与平面 的交线为 ，证明 面 ；
(3)当平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 时，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，利用线面平行的性质可得出 ，由
可得出 ，再由 可求得 的值；
（2）证明出 面 ，利用线面平行的性质可证得结论成立；
（3）取 的中点 ，连接 、 ，过点 作 ，分析可知， 为平面 与平面 所成
的锐二面角，即有 ，证明出 平面 ，则 为 与平面 所成的角，计算出
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】、 的长，即可计算出 的正切值.
【详解】（1）如图，连接 交 于点 ，连接 ，
∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，∴ ，
在梯形 中，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ .
（2）∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 面 ，
又 面 ，面 面 ，∴ ，
又 面 ， 面 ，∴ 面 .
（3）取 的中点 ，连接 、 ，
∵ 为 的中点，且 ， ，
∴ 且 ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ 为等边三角形，
又 ，∴ 为等边三角形，∴ ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，
过点 作 ，由 ，则 ，∴ 平面 ， 平面 ，
即平面 平面 ，∴ ， ，
∴ 为平面 与平面 所成的锐二面角，∴ .
又由 ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 为 与平面 所成的角，
，
∴ ，
因此， 与平面 所成角的正弦值为 .
17．如图所示，在四棱锥 中，底面 是边长2的正方形，侧面 为等腰三角形，
，侧面 底面 ．
(1)在线段 上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由；
(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)存在，
(2) ．
【分析】（1）由已知面面垂直可得 平面 ，则 ，而要使 ，则必有 平面
，则 ，然后在等腰三角形 中求解即可；
（2）作 的中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ,则可证得 是所求二面角的平面角，
然后在 中求解即可.
【详解】（1）存在点E满足条件，且
证明：因为底面 为正方形，所以 ，
因为侧面 底面 ，侧面 底面 ， 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
而 ， 平面 ， 平面 ，
要使 ，则必有 平面 ，
因为 平面 ，
所以
在等腰三角形PAD中， ， ，计算可得 ， ，
所以 ，
所以 ．
（2）解：作 的中点 ，连接 ．
因为 ，所以 ．
取 的中点 ，连接 ,
因为 ， ∥ ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 是所求二面角的平面角．
因为 为等腰三角形，且 ，底面 为边长为2的正方形，
所以 ， ．
因为 ，侧面 底面 ，侧面 底面 ， 平面 ，
所以 底面 ，
因为 底面 ，
所以 ，
在 中， ，
所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以
故二面角 的余弦值 ．
18．如图，在五面体 中，四边形 为等腰梯形， ，且 .
(1)证明： ；
(2)若 为等边三角形，且面 面 ，求 与面 所成角.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理，结合直线平行的传递性可证；
（2）利用面面垂直性质定理证明 面 ，然后可知 即为所求，根据三角函数定义可得.
【详解】（1）依题意 面 面 ，
所以 平面 ，
又 面 ，面 面 ，
所以 ，所以 .
（2）在等腰梯形 中，不妨设 ， ，
分别过 作 的垂线EG，FH，则 ，故
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以 ，所以 ，
又面 面 ，面 面 面 ，
因此 面 ，
从而 与平面 所成角即为 ， ，
其中 ，
因而 ，故 ，从而 与平面 所成角为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
