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2022年辽宁省锦州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（2分）﹣2022的绝对值是（ ）
A． B．﹣2022 C．2022 D．﹣
2．（2分）党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展．据报
道，截至2021年底，我国高技能人才超过60000000人，请将数据60000000用科学记数法
表示为（ ）
A．0.6×108 B．6×107 C．6×106 D．60×106
3．（2分）如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体搭成的，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）某校教师志愿者团队经常做公益活动，下表是对10名成员本学期参加公益活动情
况进行的统计：
次数 10 8 7 4
人数 3 4 2 1
那么关于活动次数的统计数据描述正确的是（ ）
A．中位数是8，平均数是8 B．中位数是8，众数是3
C．中位数是3，平均数是8 D．中位数是3，众数是8
5．（2分）下列运算正确的是（ ）A．（﹣4ab2）2＝8a2b4 B．﹣a6÷a3＝﹣a3
C．2a3•a2＝2a6 D．a3+a3＝2a6
6．（2分）如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°）按图中位置摆放，若
∠1＝110°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．50°
7．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和C为圆心，以大于 的长
为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为（
）
A． B． C． D．
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝4，动点P从点A出发，以每秒1个
单位长度的速度沿线段AB匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作PQ⊥AB
交AC于点Q，将△APQ沿直线PQ折叠得到△A′PQ，设动点P的运动时间为t秒，
△A′PQ与△ABC重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是
（ ）A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲10次立定跳远成绩的方差
为S甲 2＝0.6，乙10次立定跳远成绩的方差为S乙 2＝0.35，则甲、乙两名学生10次立定跳
远成绩比较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
10．（3分）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中
的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，
共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为 ．
11．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于 O，AB为 O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则
∠BAC的度数为 ． ⊙ ⊙
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB＝6，则
△AEF的面积为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且
BD＝AD，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点A，若S△OAB ＝1，则k的值为 ．
15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①
abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜ 时，y随x的增大而减小．其中正确的结
论有 ．（填写代表正确结论的序号）16．（3分）如图，A 为射线ON上一点，B 为射线OM上一点，∠B A O＝60°，OA ＝3，B A ＝
1 1 1 1 1 1 1
1．以B A 为边在其右侧作菱形A B C D ，且∠B A D ＝60°，C D 与射线OM交于点B ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
得△C B B ；延长B D 交射线ON于点A ，以B A 为边在其右侧作菱形A B C D ，且
1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2
∠B A D ＝60°，C D 与射线OM交于点B ，得△C B B ；延长B D 交射线ON于点A ，以
2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3
B A 为边在其右侧作菱形A B C D ，且∠B A D ＝60°，C D 与射线OM交于点B ，得
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4
△C B B ；…，按此规律进行下去，则△C B B 的面积为 ．
3 3 4 2022 2022 2023
三、解答题（本大题共2道题，第17题6分，第18题8分，共14分）
17．（6分）先化简，再求值： ，其中 ．
18．（8分）某校为了传承中华优秀传统文化，举行“薪火传承育新人”系列活动，组建了四
个活动小组：A（经典诵读），B（诗词大赛），C（传统故事），D（汉字听写）．学校规定：每名
学生必须参加且只能参加其中一个小组．学校随机抽取了部分学生，对其参加活动小组的
情况进行了调查．下面图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次随机调查的学生有 名，在扇形统计图中“C”部分圆心角的度数为；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若该校共有1500名学生，请根据以上调查结果，估计参加“B”活动小组的人数．
四、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）
19．（8分）小华同学从一副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各
1张放入不透明的甲盒中，再从这副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，
“梅花”各1张放入不透明的乙盒中．
（1）小华同学从甲盒中随机抽取1张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为 ；
（2）小华同学从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌．请用画树状图或列表的方法，求
抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率．
20．（8分）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学
生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定
购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购
买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别
是多少元．
五、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）
21．（8分）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码
头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东
30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求
货轮从 A 到 B 航行的距离（结果精确到 0.1 海里．参考数据：sin50°≈0.766，
cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．22．（8分）如图，在 O中，AB为 O的直径，点E在 O上，D为 的中点，连接AE，BD并
⊙ ⊙ ⊙
延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF＝ ∠BAC．
（1）求证：BF为 O的切线；
⊙
（2）若AE＝4，OF＝ ，求 O的半径．
⊙
六、解答题（本题共10分）
23．（10分）某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低
于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价
x（元）满足一次函数关系，且当x＝15时，y＝50；当x＝17时，y＝30．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
七、解答题（本大题共2道题，每题12分，共24分）
24．（12分）如图，在△ABC中， ，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连
接DE，DF．
（1）如图1，求证： ；（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点
G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关
系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当 的值最大时，求点D
的坐标；
（3）P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ
＝ 时，请直接写出点P的横坐标．2022年辽宁省锦州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（2分）﹣2022的绝对值是（ ）
A． B．﹣2022 C．2022 D．﹣
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解：﹣2022的绝对值是2022．
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
2．（2分）党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展．据报
道，截至2021年底，我国高技能人才超过60000000人，请将数据60000000用科学记数法
表示为（ ）
A．0.6×108 B．6×107 C．6×106 D．60×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：将数据60000000用科学记数法表示为6×107；
故选B．
【点评】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
3．（2分）如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体搭成的，它的主视图是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．
【解答】解：由题意得：
该几何体的主视图为 ；
故选C．
【点评】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
4．（2分）某校教师志愿者团队经常做公益活动，下表是对10名成员本学期参加公益活动情
况进行的统计：
次数 10 8 7 4
人数 3 4 2 1
那么关于活动次数的统计数据描述正确的是（ ）
A．中位数是8，平均数是8 B．中位数是8，众数是3
C．中位数是3，平均数是8 D．中位数是3，众数是8
【分析】由表格可直接进行求解．
【解答】解：由表格得：次数为8的人数有4人，故众数为8，这组数据的中位数为 ，
平均数为 ；
故选A．
【点评】本题主要考查平均数、众数及中位数，熟练掌握平均数、众数与中位数的求法是解
题的关键．
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣4ab2）2＝8a2b4 B．﹣a6÷a3＝﹣a3C．2a3•a2＝2a6 D．a3+a3＝2a6
【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方的运算法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除
法法则以及合并同类项逐一判断即可．
【解答】解：A．（﹣4ab2）2＝16a2b4，故本选项不合题意；
B．﹣a6÷a3＝﹣a3，故本选项符合题意；
C．2a3⋅a2＝2a5，故本选项不合题意；
D．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记这些运算法则
是解答本题的关键．
6．（2分）如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°）按图中位置摆放，若
∠1＝110°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．50°
【分析】根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝110°，则有∠4＝70°，然后根据三角形外角的性
质可求解．
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝110°，
∴∠3＝∠1＝110°，
∴∠4＝180°﹣∠3＝70°，
∵∠B＝30°
∴∠2＝∠4﹣∠B＝40°；故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角
形外角的性质是解题的关键．
7．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和C为圆心，以大于 的长
为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为（
）
A． B． C． D．
【分析】根据矩形ABCD可知△ADC为直角三角形，根据勾股定理可得AC的长度，在
Rt△ADC中得到 ，又由题知MN为AC的垂直平分线，于是∠MOA＝90°，
，于是在Rt△AOE中，利用锐角三角函数即可求出AE的长．
【解答】解：设MN与AC的交点为O，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝DC＝6，BC＝AD＝8，
∴△ADC为直角三角形，∵CD＝6，AD＝8，
∴ ， ，
又由作图知MN为AC的垂直平分线，
∴∠MOA＝90°， ，
在Rt△AOE中， ，
∵cos∠CAD＝cos∠EAO，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点评】本题主要考查矩形的性质，锐角三角函数，垂直平分线，勾股定理，掌握定理以及
性质是解题的关键．
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝4，动点P从点A出发，以每秒1个
单位长度的速度沿线段AB匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作PQ⊥AB
交AC于点Q，将△APQ沿直线PQ折叠得到△A′PQ，设动点P的运动时间为t秒，
△A′PQ与△ABC重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是
（ ）
A．B．
C．
D．
【分析】由题意易得AP＝t， ，则有 ，进而可分当点P在AB中点的左侧
时和在AB中点以及中点的右侧时，然后分类求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝2BC＝4，
∴ ，
由题意知：AP＝t，
∴ ，
由折叠的性质可得：A'P＝AP，∠APQ＝∠A'PQ＝90°，
当点P与AB中点重合时，则有t＝2，
当点P在AB中点的左侧时，即0≤t＜2，
∴△A'PQ与△ABC重叠部分的面积为 ；
当点P在AB中点及中点的右侧时，即2≤t≤4，如图所示：由折叠性质可得：A'P＝AP＝t，∠APQ＝∠A'PQ＝90°， ，
∴BP＝4﹣t，
∴A'B＝2t﹣4，
∴BD＝A'B⋅tan∠A'＝t﹣2，
∴ △ A'PQ 与 △ ABC 重 叠 部 分 的 面 积 为
；
综上所述：能反映△A'PQ与△ABC重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选
项；
故选：D．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次
函数的图象及三角函数是解题的关键．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲10次立定跳远成绩的方差
为S甲 2＝0.6，乙10次立定跳远成绩的方差为S乙 2＝0.35，则甲、乙两名学生10次立定跳
远成绩比较稳定的是 乙 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义可直接求解．
【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，
∴甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是乙，
故答案为：乙．
【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差
越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明
这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10．（3分）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中
的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，
共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为 6 ．
【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．【解答】解：估计这个口袋中红球的数量为8× ＝6（个）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位
置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋
势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，
随试验次数的增多，值越来越精确．
11．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
k ＜ ．
【分析】根据当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根可得Δ＝9﹣4k＞0，再解即可．
【解答】解：由题意得：
Δ＝9﹣4k＞0，
解得：k＜ ，
故答案为：k＜ ．
【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根
与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于 O，AB为 O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则
∠BAC的度数为 40 ° ． ⊙ ⊙
【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周
角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，∠ADC＝130°，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝⊙50°，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接
四边形的对角互补．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB＝6，则
△AEF的面积为 3 ．
【分析】由正方形的性质可知AE＝3，AD//BC，则可判断△AEF∽△CBF，利用相似三角形
的性质得到 ，然后根据三角形面积公式得到S△AEF ＝ S△ABE ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝AB＝6，AD∥BC，
∵E为AD的中点，
∴AE＝ AB＝3，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ ＝ ＝ ，
∴S△AEF ：S△ABF ＝1：2，
∴S△AEF ＝ S△ABE ＝ × ×3×6＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且
BD＝AD，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点A，若S△OAB ＝1，则k的值为 2 ．
【分析】过A点作x轴的垂线与x轴交于C，证明△ADC≌△BDO，推出S△OAC ＝S△OAB ＝1，
由此即可求得答案．
【解答】解：设A（a，b），如图，作A 过x轴的垂线与x 轴交于C，
则：AC＝b，OC＝a，AC∥OB，
∴∠ACD＝∠BOD＝90°，∠ADC＝∠BDO，
∵BD＝AD，
∴△ADC≌△BDO（AAS），
∴S△ADC ＝S△BDO ，
∴S△OAC ＝S△AOD +S△ADC ＝S△AOD +S△BDO ＝S△AOB ＝1，
∴ ×OC×AC＝ ab＝1，
∴ab＝2，
∵A（a，b） 在y＝ 上，
∴k＝ab＝2．
故答案为：2．【点评】本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等
知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线进行解题．
15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①
abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜ 时，y随x的增大而减小．其中正确的结
论有 ①②③ ．（填写代表正确结论的序号）
【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线与y轴交点位置确定①③，根据x＝﹣2时
判定②，由抛物线图像性质判定④．
【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝﹣2时，函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），则对称轴 ，故a+b＝0，故③正
确；
④当 时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而增大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等
点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
16．（3分）如图，A 为射线ON上一点，B 为射线OM上一点，∠B A O＝60°，OA ＝3，B A ＝
1 1 1 1 1 1 1
1．以B A 为边在其右侧作菱形A B C D ，且∠B A D ＝60°，C D 与射线OM交于点B ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
得△C B B ；延长B D 交射线ON于点A ，以B A 为边在其右侧作菱形A B C D ，且
1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2
∠B A D ＝60°，C D 与射线OM交于点B ，得△C B B ；延长B D 交射线ON于点A ，以
2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3B A 为边在其右侧作菱形A B C D ，且∠B A D ＝60°，C D 与射线OM交于点B ，得
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4
△C B B ；…，按此规律进行下去，则△C B B 的面积为 ．
3 3 4 2022 2022 2023
【分析】过点B 作B D⊥OA 于点D，连接B D ，B D ，B D ，分别作B H⊥B D ，
1 1 1 1 1 2 2 3 3 2 1 1
B G⊥B D ，B E⊥B D ，然后根据菱形的性质及题意可得 B D ∥OA ，B D ∥OA ，
3 2 2 4 3 3 1 1 1 2 2 1
B D ∥OA ，则有 ，进
3 3 1
而可得出规律进行求解．
【解答】解：过点B 作B D⊥OA 于点D，连接B D ，B D ，B D ，分别作B H⊥B D ，
1 1 1 1 1 2 2 3 3 2 1 1
B G⊥B D ，B E⊥B D ，如图所示：
3 2 2 4 3 3
∴∠B DO＝∠B DA ＝∠B HD ＝∠B GD ＝∠B ED ＝90°，
1 1 1 2 1 3 2 4 3
∵∠B A O＝60°，
1 1
∴∠DB A ＝30°，
1 1
∵B A ＝1，OA ＝3，
1 1 1
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵菱形A B C D ，且∠B A D ＝60°，
1 1 1 1 1 1 1
∴△A B D 是等边三角形，
1 1 1
∴∠A B D ＝60°，B D ＝A B ＝1，
1 1 1 1 1 1 1
∵∠A B D ＝∠OA B ＝60°，
1 1 1 1 1
∴OA ∥B D ，
1 1 1
∴∠O＝∠B B D ，
2 1 1
∴ ，
设B D ＝x，
2 1
∵∠B D H＝60°，
2 1
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ， ，
∴ ，
由上可得： ， ，
∴
故答案为： ．
【点评】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质
及三角函数是解题的关键．
三、解答题（本大题共2道题，第17题6分，第18题8分，共14分）
17．（6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】先对分式进行化简，然后再代入求解即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝ ，
当 时，
原式＝ ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二
次根式的运算是解题的关键．
18．（8分）某校为了传承中华优秀传统文化，举行“薪火传承育新人”系列活动，组建了四
个活动小组：A（经典诵读），B（诗词大赛），C（传统故事），D（汉字听写）．学校规定：每名
学生必须参加且只能参加其中一个小组．学校随机抽取了部分学生，对其参加活动小组的
情况进行了调查．下面图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次随机调查的学生有 50 名，在扇形统计图中“C”部分圆心角的度数为
108° ；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若该校共有1500名学生，请根据以上调查结果，估计参加“B”活动小组的人数．【分析】（1）由A的人数及其所占百分比可得总人数，根据各类型人数之和等于总人数求
得C的人数，用360°乘以C人数所占比例即可得其对应圆心角度数；
（2）据（1）的数据补全图形即可得；
（3）总人数乘以B活动小组人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为10÷20%＝50（名），
C活动小组人数为50﹣（10+5+20）＝15（名），
扇形统计图中，C所对应的扇形的圆心角度数是360°× ＝108°，
故答案为：50，108°；
（2）由（1）得C活动小组人数为15名，
补全图形如下：
；
（3）估计参加“B”活动小组的人数有1500× ＝150（名）．
答：估计参加“B”活动小组的150名学生．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
四、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）
19．（8分）小华同学从一副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的甲盒中，再从这副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，
“梅花”各1张放入不透明的乙盒中．
（1）小华同学从甲盒中随机抽取1张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为 ；
（2）小华同学从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌．请用画树状图或列表的方法，求
抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率．
【分析】（1）先求出从甲盒中随机抽取1张有4种等可能的结果，抽到扑克牌花色为“红
心”结果只有1种，再利用概率公式求解；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张
“方块”的结果有2种，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小华同学从甲盒中随机抽取1张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为 ，
故答案为： ；
（2）把“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”扑克牌分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的结
果有2种，
∴抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率是 ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，此法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试
验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学
生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定
购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购
买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别
是多少元．【分析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，利用数量＝总价÷单价，
结合用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套，即可得出
关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B款套装的单价，再将其代入1.2x中即可求出
A款套装的单价．
【解答】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，
依题意得： ﹣ ＝5，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×150＝180．
答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
五、解答题（本大题共2道题，每题8分，共16分）
21．（8分）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码
头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东
30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求
货轮从 A 到 B 航行的距离（结果精确到 0.1 海里．参考数据：sin50°≈0.766，
cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD＝15.32海里，再在
Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形
是解题的关键．
22．（8分）如图，在 O中，AB为 O的直径，点E在 O上，D为 的中点，连接AE，BD并
⊙ ⊙ ⊙
延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF＝ ∠BAC．
（1）求证：BF为 O的切线；
⊙
（2）若AE＝4，OF＝ ，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB＝90°，由等弧对等角可得∠BAD＝∠CAD
＝ ∠BAC，再进行等量代换可得∠ABF＝90°便可证明；
（2）连接BE，由圆周角定理可得∠AEB＝90°，∠BOD＝2∠BAD，于是∠BOD＝∠BAC，由△OBF∽△AEB可得OB：AE＝OF：AB，再代入求值即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，
AB是圆的直径，则∠ADB＝90°，
D为 的中点，则∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，
∵ ，
∴∠CBF＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABF＝∠ABD+∠CBF＝90°，
∴AB⊥BF，
∵OB是 O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解⊙：如图，连接BE，
AB是圆的直径，则∠AEB＝90°，
∵∠BOD＝2∠BAD，∠BAC＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC，
又∵∠ABF＝∠AEB＝90°，
∴△OBF∽△AEB，
∴OB：AE＝OF：AB，
∴OB：4＝ ：2OB，OB2＝9，
OB＞0，则OB＝3，
∴ O的半径为3．
⊙
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线
是解题关键．六、解答题（本题共10分）
23．（10分）某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低
于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价
x（元）满足一次函数关系，且当x＝15时，y＝50；当x＝17时，y＝30．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，然后代值求解即可；
（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得w＝﹣10（x﹣16）2+160进而根据二次函数的性
质可求解．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由题意得： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+200；
（2）设每天获得的利润为w元，
由（1）可得：w＝（x﹣12）（﹣10x+200）＝﹣10x2+320x﹣2400＝﹣10（x﹣16）2+160，
∵12≤x≤18，且﹣10＜0，
∴当x＝16时，w有最大值，最大值为160．
答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象
与性质是解题的关键．
七、解答题（本大题共2道题，每题12分，共24分）
24．（12分）如图，在△ABC中， ，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连
接DE，DF．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点
G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关
系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．【分析】（1）连接AF，可得AF⊥BC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
，根据中位线定理可得 ，即可得证；
（2）证明△DNF∽△DME，根据（1）的结论即可得 ；
（3）连接AF，过点C作CH⊥AB于H，证明△AGD∽△AHC，可得 ，勾股
定理求得GE，AG，根据 ，∠EMG＝∠ADG，可得 ，
进而求得MG，根据MD＝MG+GD求得MD，根据（2）的结论 ，即可求解．
【解答】（1）证明：如图1，连接AF，
∵ ，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，
∴ ，AF⊥BC，
∴ ，
∴ ；（2）解： ，
理由如下：
连接AF，如图2，
∵ ，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，
∴ ，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴∠DEF＝∠C，
∵ ，
∴∠DFC＝∠C，
∴∠DFC＝∠DEF，
∴180°﹣∠DFC＝180°﹣∠DEF，
∴∠DFN＝∠DEM，
∵将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，
∴∠EDF＝∠PDQ，
∵∠FDN+∠NDE＝∠EDM+∠NDE，
∴∠FDN＝∠EDM，
∴△DNF∽△DME，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，连接AF，过点C作CH⊥AB于H，Rt△AFC中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵DP⊥AB，
∴△AGD∽△AHC，
∴ ，
∴ ，
Rt△GED中， ，
Rt△AGD中， ，
∴ ，
∵EF∥AD，
∴∠EMG＝∠ADG，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵△DNF∽△DME，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，掌握相
似三角形的性质与判定是解题的关键．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当 的值最大时，求点D
的坐标；
（3）P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ
＝ 时，请直接写出点P的横坐标．
【分析】（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入解析式求解即可；
（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，由（1）设D（m，﹣m2+2m+3），直线AC的解析式为
y＝kx+b，然后可求出直线AC的解析式，则有H（m，﹣m+3），进而可得DH＝﹣m2+3m，最后根据△OCN∽△DHN可进行求解；
（3）由题意可作出图象，设P（n，﹣n2+2n+3），然后根据题意及k型相似可进行求解．
【解答】解：（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：
设D（m，﹣m2+2m+3），直线AC的解析式为y＝kx+b，
由（1）可得：C（0，3），
∴ ，解得： ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴H（m，﹣m+3），
∴DH＝﹣m2+3m，
∵DH∥y轴，
∴△OCN∽△DHN，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 的值最大，
∴ ；
（3）由题意可得如图所示：过点P作y轴的平行线PH，分别过点C、Q作CG⊥PH于G，QH⊥PH于H，
∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ＝∠CGP＝∠PHQ＝90°，
∴∠CPG+∠PCG＝∠CPG+∠QPH＝90°，
∴∠PCG＝∠QPH，
∴△PCG∽△QPH，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设点P（n，﹣n2+2n+3），
由题意可知：抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，3），
∴QH＝|n﹣1|，PG＝|﹣n2+2n|，
∴ ，
当 时，解得： ，
当 时，解得：
综上：点P的横坐标为 或 或 或 ．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，
三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
