文档内容
2022年辽宁省阜新市中考数学试卷
一、选择题（在每一个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）在有理数﹣1，﹣2，0，2中，最小的是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2
2．（3分）在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）为庆祝神舟十四号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，本班决
定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩
的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 96 98 95 98
方差 2 0.4 0.4 1.6
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（3分）已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图象也一
定经过点（ ）
A．（4，2） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8）
5．（3分）不等式组 的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，A，B，C是 O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是（ ）
⊙A．35° B．55° C．60° D．70°
7．（3分）如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这
个点取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数
是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，
所列方程正确的是（ ）
A． ﹣ ＝20 B． ﹣ ＝1.2
C． ﹣ ＝20 D． ﹣ ＝1.2
9．（3分）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，在直线y＝x+1和x轴之间由小到大依次画出若干个等
腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂
直，则第100个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．298 B．299 C．2197 D．2198二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：2﹣2﹣ ＝ ．
12．（3分）一副三角板如图摆放，直线AB∥CD，则∠ 的度数是 ．
α
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F，若
△DEF的面积是3，则△BCF的面积是 ．
14．（3分）在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随
机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的
概率是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到
△ADE，则点D到BC的距离是 ．
16．（3分）快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客
户的距离（s km）与行驶时间（t h）之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次
折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员的行驶速度是 km/h．
三、解答题（17、18题每题6分，19、20题每题8分，21、22题每题10分，23、24题每题12分，
共72分）17．（6分）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中a＝4．
18．（6分）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面
是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．
（1）如图1，将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了
个单位长度；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 （填
“左”或“右”）平移了 个单位长度；
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，
相当于将它向 （填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向 （填“左”或
“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式 ．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的
圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若∠A＝60°，⊙AC＝2 ，求 的长．
20．（8分）某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”“绘画”“书法”“街舞”四门校本课程，为了解学生对这四门课程的选择情况（要求每名学生只能选择其中一门课程）
学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的
两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：
（1）参加此次问卷调查的学生人数是 人，在扇形统计图中，选择“泥塑”的学生
所对应的扇形圆心角的度数是 ；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校七年级共有600名学生，请估计七年级学生中选择“书法”课程的约有多少人？
21．（10分）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，
在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为 ，cos ＝ ．小文在C点处测
α α
得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30（° 点A，B，C，D在同一平面
内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据： ≈1.7）
22．（10分）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销
售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产
当月全部售出．（1）第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求
这个月生产A，B两种产品各多少件？
（2）下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产
品至少要生产多少件？
23．（12分）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE
＝DF，连接AE，CF．
（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；
（2）直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的
最小值．
24．（12分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴
于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，点M从点B出发，以每秒 个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N
从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运
动时间为t秒（0＜t＜5）．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．2022年辽宁省阜新市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每一个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）在有理数﹣1，﹣2，0，2中，最小的是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2
【分析】利用有理数的大小比较来比较大小即可．
【解答】解：有理数﹣1，﹣2，0，2中，最小的是﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，做题关键是掌握负数的大小比较．
2．（3分）在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A．俯视图是带圆心的圆，左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
B．俯视图是圆，左视图是矩形，故本选项不合题意；
C．俯视图与左视图都是正方形，故本选项符合题意；
D．俯视图是三角形，左视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的轮廓线都应
表现在三视图中．
3．（3分）为庆祝神舟十四号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，本班决
定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩
的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 96 98 95 98
方差 2 0.4 0.4 1.6
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳
定，于是可决定选乙同学去参赛．
【解答】解：∵乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大，
∴应从乙和丁同学中选，
∵乙同学的方差比丁同学的小，
∴乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学．
故选：B．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做
这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散
程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4．（3分）已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图象也一
定经过点（ ）
A．（4，2） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8）
【分析】先把点（﹣2，4）代入反比例函数的解析式求出k的值，再对各选项进行逐一判断
即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点（﹣2，4），
∴k＝﹣2×4＝﹣8，
A、∵4×2＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、∵1×8＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、﹣1×8＝﹣8，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D、（﹣1）×（﹣8）＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y＝ （k≠0）中，
k＝xy为定值是解答此题的关键．
5．（3分）不等式组 的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，
由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（3分）如图，A，B，C是 O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是（ ）
⊙
A．35° B．55° C．60° D．70°
【分析】由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，又由OA＝OB，根据等边对等角与三角形
内角和定理，即可求得∠ABO的度数．
【解答】解：连接OA，
∵∠C＝35°，
∴∠AOB＝2∠C＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝ （180°﹣∠AOB）＝55°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
7．（3分）如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这
个点取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先设每个小等边三角的面积为x，则阴影部分的面积是6x，得出整个图形的面积是
12x，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【解答】解：先设每个小等边三角的面积为x，
则阴影部分的面积是6x，得出整个图形的面积是12x，
则这个点取在阴影部分的概率是 ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴
影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事
件（A）发生的概率．
8．（3分）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数
是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，
所列方程正确的是（ ）
A． ﹣ ＝20 B． ﹣ ＝1.2
C． ﹣ ＝20 D． ﹣ ＝1.2
【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2x万人，再
结合结果提前20天完成了这项工作，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x万人，
∴实际每天接种1.2x万人，
又∵结果提前20天完成了这项工作，
∴ ﹣ ＝20．故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解
题的关键．
9．（3分）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；
C、根据对称轴公式计算；
D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x＝﹣
＝ ，
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点
的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元
二次方程的问题是解题关键．10．（3分）如图，平面直角坐标系中，在直线y＝x+1和x轴之间由小到大依次画出若干个等
腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂
直，则第100个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．298 B．299 C．2197 D．2198
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第1个等腰直角三角形的直角边长，求出
第1个等腰直角三角形的面积，用同样的方法求出第2个等腰直角三角形的面积，第3个
等腰直角三角形的面积，找出其中的规律即可求出第100个等腰直角三角形的面积．
【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，
根据题意，第1个等腰直角三角形的直角边长为1，
第1个等腰直角三角形的面积为 ＝ ，
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴第2个等腰直角三角形的直角边长为2，
第2个等腰直角三角形的面积为 ＝2，
当x＝3时，y＝x+1＝4，
∴第3个等腰直角三角形的直角边长为4，
第3个等腰直角三角形的面积为 ＝8，
依此规律，第100个等腰直角三角形的面积为 ＝2197，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及等腰直角三角形的
性质，找出规律是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：2﹣2﹣ ＝ ﹣ ．【分析】先计算2﹣2、 ，再算减法．
【解答】解：原式＝ ﹣2＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了实数的计算，掌握负整数指数幂、二次根式的化简是解决本题的关键．
12．（3分）一副三角板如图摆放，直线AB∥CD，则∠ 的度数是 15 ° ．
α
【分析】根据题意可得：∠EBD＝90°，∠BDE＝45°，∠EDC＝30°，然后利用平行线的性质
可得∠ABD+∠BDC＝180°，从而进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：
∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，∠EDC＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠FDC＝180°，
∴∠ ＝180°﹣∠EFD﹣∠FDE﹣∠EDC
＝18α0°﹣90°﹣45°﹣30°
＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F，若
△DEF的面积是3，则△BCF的面积是 2 7 ．【分析】根据矩形ABCD的性质，很容易证明△DEF∽△BCF，相似三角形之比等于对应边
比的平方，即可求出△BCF的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD BC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∵∠EFD＝∠CFB，
∴△DEF∽△BCF，
∵AE＝2DE，AD＝BC，
∴DE：BC＝1：3，
∴S△DEF ：S△BCF ＝DE2：BC2，即3：S△BCF ＝1：9，
∴S△BCF ＝27．
故答案为：27．
【点评】本题考查了相似三角形面积之比，综合性比较强，学生要灵活应用．
14．（3分）在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随
机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的
概率是 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生
的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：设两名男生分别记为A，B，两名女生分别记为C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的
知识点为：概率＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到
△ADE，则点D到BC的距离是 2 ．
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，可证△ABD是等边三角形，由直角
三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，连接BD，过点D作DH⊥BC于H，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，
∴AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，∠ABD＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∵DH⊥BC，
∴DH＝ BD＝2，
∴点D到BC的距离是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转
的性质是解题的关键．
16．（3分）快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离（s km）与行驶时间（t h）之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次
折返，且快递员始终匀速行驶），那么快递员的行驶速度是 3 5 km/h．
【分析】根据图象求出快递员往返的时间为2（0.35﹣0.2）h，然后再根据速度＝路程÷时间．
【解答】解：∵快递员始终匀速行驶，
∴快递员的行驶速度是 ＝35（km/h）．
故答案为：35．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是结合图象掌握快递员往返的时间．
三、解答题（17、18题每题6分，19、20题每题8分，21、22题每题10分，23、24题每题12分，
共72分）
17．（6分）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中a＝4．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝ ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝ ，
当a＝4时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18．（6分）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面
是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．
（1）如图1，将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了
1 个单位长度；（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 左 （填
“左”或“右”）平移了 个单位长度；
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，
相当于将它向 右 （填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向 左 （填“左”或
“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式 m ＝ n | k（ | 或：当 k ＞ 0
时， m ＝ n k ，当 k ＜ 0 时， m ＝﹣ n k ） ．
【分析】（1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；
（2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；
（3）根据（1）（2）题得出结论即可．
【解答】解：（1）∵将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x+2﹣1＝（x
﹣1）+2，
∴相当于将它向右平移了1个单位长度，
故答案为：1；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度得到y＝﹣2x+4﹣1＝﹣2（x+ ）
+4，
∴相当于将它向左平移了 个单位长度；
故答案为：左； ；
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，
相当于将它向右（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向左（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式m＝n|k|．
故答案为：右；左；m＝n|k|（或：当k＞0时，m＝nk，当k＜0时，m＝﹣nk）．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，
上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的
圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若∠A＝60°，⊙AC＝2 ，求 的长．
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．
再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最
后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角
形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是 O的半径，
∴CD是 O⊙的切线．
（2）解：⊙∵AC＝CD＝ ，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO＝ tan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴ 的长＝ ．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线
是解决此题的关键．
20．（8分）某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”“绘画”“书法”“街舞”四门
校本课程，为了解学生对这四门课程的选择情况（要求每名学生只能选择其中一门课程）
学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的
两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：
（1）参加此次问卷调查的学生人数是 5 0 人，在扇形统计图中，选择“泥塑”的学生
所对应的扇形圆心角的度数是 64.8 ° ；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校七年级共有600名学生，请估计七年级学生中选择“书法”课程的约有多少人？
【分析】（1）根据“街舞”的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数；用选择“泥
塑”课程的学生数除以总人数，再乘以360°即可得出选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数；
（2）用总人数减去其它课程的人数，求出“绘画”的人数，从而补全统计图；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）参加此次问卷调查的学生人数是：7÷14%＝50；
选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是：360°× ＝64.8°．
故答案为：50，64.8°；
（2）“绘画”的人数为：50﹣9﹣18﹣7＝16（人），
补全条形统计图如图所示．
（3） （名）．
答：七年级学生中选择“书法”课程的约有216人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，
找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．（10分）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，
在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为 ，cos ＝ ．小文在C点处测
α α
得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30（° 点A，B，C，D在同一平面
内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据： ≈1.7）【分析】（1）过点 D 作 DE⊥BC，交 BC 的延长线于点 E，在 Rt△DCE 中，可得
（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．
（2）过点D作DF⊥AB于F，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°＝ ，解得DF
＝ x，在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（ x﹣12）m，tan60°＝ ＝
，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵在Rt△DCE中，cos ＝ ，CD＝15m，
α
∴ （m）．
∴ （m）．
答：C，D两点的高度差为9m．
（2）过点D作DF⊥AB于F，
由题意可得BF＝DE，DF＝BE，
设AF＝xm，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝ ，解得DF＝ x，
在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（ x﹣12）
m，
tan60°＝ ＝ ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，
∴AB＝ + +9≈24（m）．
答：居民楼的高度AB约为24m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三
角函数的定义是解答本题的关键．
22．（10分）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销
售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产
当月全部售出．
（1）第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求
这个月生产A，B两种产品各多少件？
（2）下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产
品至少要生产多少件？
【分析】（1）设生产A产品x件，B产品y件，根据题意列出方程组，求出即可；
（2）设B产品生产m件，则A产品生产（180﹣m）件，根据题意列出不等式组，求出即可．
【解答】解：（1）设生产A产品x件，B产品y件，
根据题意，得
解这个方程组，得 ，
所以，生产A产品30件，B产品70件．
（2）设B产品生产m件，则A产品生产（180﹣m）件，
根据题意，得（100﹣75）m+（120﹣100）（180﹣m）≥4300，
解这个不等式，得m≥140．所以，B产品至少生产140件．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，能根据题意列出方程组
和不等式组是解此题的关键．
23．（12分）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE
＝DF，连接AE，CF．
（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；
（2）直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的
最小值．
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
②作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，证明△BMG是等腰直角三角形，求出
BM的最小值，可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°．
∵DE＝DF，∠EDF＝90°．
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）①证明：如图2中，设AG与CD相交于点P．
∵∠ADP＝90°，
∴∠DAP+∠DPA＝90°．
∵△ADE≌△CDF，
∴∠DAE＝∠DCF．
∵∠DPA＝∠GPC，
∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°．
∴∠PGN＝90°，
∵BM⊥AG，BN⊥GN，
∴四边形BMGN是矩形，
∴∠MBN＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°．
∴∠ABM＝∠CBN．
又∵∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴△AMB≌△CNB．
∴MB＝NB．
∴矩形BMGN是正方形；
②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，此时△AMB≌△AHD．
∴BM＝AH．
∵AH2＝AD2﹣DH2，AD＝4，
∴DH最大时，AH最小，DH最大值 ＝DE＝2．
∴BM最小值 ＝AH最小值 ＝ ．
由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形，
∴BG最小值 ＝ ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直
角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，
属于中考压轴题．
24．（12分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴
于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，点M从点B出发，以每秒 个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N
从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运
动时间为t秒（0＜t＜5）．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，设△BMN面积为S，由ON＝t，BM＝ ，可得BN＝5﹣
t，ME＝BMsin45°＝ ，即得S＝ BN•ME＝ （5﹣t）•t＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
由二次函数性质可得当 秒时，△BMN的面积最大，最大面积是 ；
（3）由B（5，0），C（0，5）得直线BC解析式为y＝﹣x+5，设Q（m，﹣m+5），P（n，﹣
n2+4n+5），分三种情况：①当PQ，AC是对角线，有 ，解得Q（﹣7，
12）；②当QA，PC为对角线，有 ，解得Q（7，﹣2）；③当QC，PA
为对角线，有 ，解得Q（1，4）或（2，3）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得 ，
解这个方程组得 ，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，如图：设△BMN面积为S，
根据题意得：ON＝t，BM＝ ．
∵B（5，0），
∴BN＝5﹣t，
在y＝﹣x2+4x+5中，令x＝0得y＝5，
∴C（0，5），
∴OC＝OB＝5，
∴∠OBC＝45°．
∴ME＝BMsin45°＝ ，
∴S＝ BN•ME＝ （5﹣t）•t＝﹣ t2+ t＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∵0＜t＜5，
∴当 时，△BMN的面积最大，最大面积是 ；
（3）存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由B（5，0），C（0，5）得直线BC解析式为y＝﹣x+5，
设Q（m，﹣m+5），P（n，﹣n2+4n+5），又A（﹣1，0），C（0，5），
①当PQ，AC是对角线，则PQ，AC的中点重合，
∴ ，
解得m＝0（与C重合，舍去）或m＝﹣7，
∴Q（﹣7，12）；
②当QA，PC为对角线，则QA，PC的中点重合，
∴ ，解得m＝0（舍去）或m＝7，
∴Q（7，﹣2）；
③当QC，PA为对角线，则QC，PA的中点重合，
∴ ，
解得m＝1或m＝2，
∴Q（1，4）或（2，3），
综上所述，Q的坐标为（﹣7，12）或（7，﹣2）或（1，4）或（2，3）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及
应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．
