文档内容
8.9 几何体的截面（交线）及动态问题
思维导图
知识点总结
立体几何中截面、交线问题综合性较强，解决此类问题要应用三个基本事实及其推论、
垂直、平行的判定与性质定理等知识.立体几何中的动态问题主要是指空间动点轨迹的判断、
求轨迹长度、最值与范围问题等.
1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，
棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，
总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所
得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：
3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角
梯形、正五边形。操作技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；
操作技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；
操作技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、
正六边形、正三棱锥等；
操作技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
典型例题分析
考向一 截面问题
例1 (2023·福州质检)已知正方体ABCD－A B C D 的棱长为4，E，F分别是棱AA ，BC的中
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点，则平面D EF截该正方体所得的截面图形周长为( )
1
A.6 B.10
C.＋2 D.感悟提升 作截面应遵循的三个原则：(1)在同一平面上的两点可引直线；(2)凡是相交的直线
都要画出它们的交点；(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线.
训练1 (2023·辽宁名校联考)在正方体ABCD－A B C D 中，AB＝2，E为棱BB 的中点，则平
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面AED 截正方体ABCD－A B C D 的截面面积为( )
1 1 1 1 1
A. B.
C.4 D.
考向二 交线问题
例2 (2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD－A B C D 的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D 为球
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心，为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为__________.
1 1
感悟提升 作交线的方法有如下两种：(1)利用基本事实3作交线；(2)利用线面平行及面面平
行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
训练2 (2023·南通模拟)已知在圆柱O O 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相
1 2
切.过直线O O 的平面截圆柱得到四边形 ABCD，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧CD的中点，
1 2
则平面PAB与球O的交线长为________.考向三 动态问题
角度1 动态位置关系的判断
例3 (多选)如图，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝x，BD和AC交于点O，将△BAD沿直线
BD翻折，则下列说法中正确的是( )
A.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥OC
B.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥BD
C.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥平面ACD
D.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥平面ABD
所以在△AOC中，OC为斜边，这与OC＝OA相矛盾，故D不正确.
感悟提升 解决空间位置关系的动点问题
(1)应用“位置关系定理”转化.
(2)建立“坐标系”计算.
角度2 动点的轨迹(长度)例4 (2023·济南模拟)已知正方体ABCD－A B C D 的棱长为2，E，F为体对角线BD 的两个
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三等分点，动点P在△ACB 内，且△PEF的面积S ＝2，则点P的轨迹的长度为________.
1 △PEF
感悟提升 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法
(1)几何法：根据平面的性质进行判定.
(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算.
(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.
角度3 最值(范围)问题
例5 (2023·石家庄质检)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是
《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学，
它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》中，将底面是直角三角形的
直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”ABC－A B C 中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA ＝，动点
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M在“堑堵”的侧面BCC B 上运动，且AM＝2，则∠MAB的最大值为( )
1 1
A. B.
C. D.
感悟提升 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思
路是
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解.
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求
目标函数的最值.
训练3 (多选)(2023·沈阳郊联体一模)已知棱长为a的正方体ABCD－A B C D 中，M为B C
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的中点，点P在正方体的表面上运动，且总满足MP垂直于MC，则下列结论正确的是( )
A.点P的轨迹中包含AA 的中点
1
B.点P在侧面AA D D内的轨迹的长为
1 1
C.MP长度的最大值为
D.直线CC 与直线MP所成角的余弦值的最大值为
1
基础题型训练
一、单选题
1．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是
A．三条交线为异面直线
B．三条交线两两平行
C．三条交线交于一点
D．三条交线两两平行或交于一点
2．下面四个命题中，其中正确的命题是（ ）
：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
：两个平面垂直，如果有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与其中一个平面垂直
：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那该直线与交线平行
：一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线就与这个平面平行
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
3．如图，已知正方体 ，则直线 是平面 与 ( )A．平面 的交线 B．平面 的交线
C．平面 的交线 D．平面 的交线
4．如图，在圆台OO 中， ，点C是底面圆周上异于A、B的一点， ，点D是BC的中点，
1
l为平面 与平面 的交线，则交线l与平面 所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5． 、 两个动点从棱长为 的正方体 的顶点 出发沿棱向前运动.动点 运动的路线
是 ，运动规则如下：第 段与第 段（其中 是正整数）所在直线一定是异面直线.动点
运动的路线是 ，它和点 具有相同的运动规则.那么动点 运动完 段、动点 运
动完 段后各自停止在正方体的某个顶点处，此时动点 、 的距离是（ ）A． B． C． D．
二、多选题
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．夹在两个平行平面间的平行线段相等
B．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直
C．如果直线 平面 ， ，那么过点 且平行于直线 的直线有无数条，且一定在 内
D．已知 ， 为异面直线， 平面 ， 平面 ，若直线 满足 ， ， ， ，则
与 相交，且交线平行于
7．已知点 是棱长为2的正方体 的底面 上一个动点（含边界），若 是 的中
点，且满足 平面 ，则（ ）
A． 所在的平面与正方体表面的交线为五边形
B． 所在的平面与正方体表面的交线为六䢍形
C． 长度的最大值是
D． 长度的最小值是
8．已知点P是空间中的一个动点，正方体棱长为2，下列结论正确的是（ ）A．若动点P在棱AB上，则直线 与 始终保持垂直
B．若动点P在棱AB上，则三棱锥 的体积是定值
C．若动点P在对角线AC上，当点P为AC中点时，直线 与平面ABCD所成的角最小
D．若动点P在四面体 内部时，点P与该四面体四个面的距离之和为定值
9．如图，已知正方体 的棱长为1，则下列结论中正确的是（ ）
A．若E是直线AC上的动点，则 平面
B．若E是直线 上的动点，F是直线BD上的动点，则
C．若E是 内（包括边界）的动点，则直线 与平面ABC所成角的正切值的取值范围是
D．若E是平面 内的动点，则三棱锥 的体积为定值三、解答题
10．如图所示，正方体 的棱长为a．
(1)过正方体 的顶点A，B， 截下一个三棱锥 ，求正方体剩余部分的体积；
(2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过 ，M，N三点的平面与正方体 表面的交
线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长；
(3)设正方体 外接球的球心为O，求三棱锥 的体积．
11．如图所示，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，且
，设平面 与平面 的交线为 ．
(1)作出交线 （写出作图步骤），并证明 平面 ；
(2)记 与平面 的交点为 ，点S在交线 上，且 ，当二面角 的余弦值
为 ，求 的值．
12．如图所示，正方体 的棱长为a.(1)过正方体 的顶点 ，B， 截下一个三棱锥 ，求正方体剩余部分的体积；
(2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过 ，M，N三点的平面与正方体 表面的交
线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长；
13．如图，在直三棱柱 中， ， 为 的中点，点 分别
在棱 上， ，平面 与平面 的交线为 ．以 为原点，
所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求：
（1）点 到平面 的距离 ；
（2）交线 的单位方向向量 ；
（3）点 到交线为 的距离 ．
14．如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 ， 的点， 平面 ， ，
， ， 分别为 ， 的中点，平面 与平面 的交线为 ， 在圆 上.(1)在图中作出交线 （说明画法，不必证明），并求三棱锥 的体积；
(2)若点 满足 ，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
15．（1）如图，在正方体 中，试画出平面 与平面 的交线.
（2）如图，在直角梯形ABCD中， ， ，S是直角梯形ABCD所在平面外一点，画出平
面SBC和平面SAD的交线.
16．如图，在棱长为2的正方体 中，P、Q分别为棱 和 中点.(1)请在图中作出过A、P、Q三点的正方体 的截面（保留作图痕迹，画出交线，无需说明
理由），并求交线所围成的多边形周长；
(2)求（1）中的截面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.
提升题型训练
一、单选题
1．已知m，n为异面直线， 平面 ， 平面 ， ，则l（ ）
A．与m，n都相交 B．与m，n中至少一条相交
C．与m，n都不相交 D．与m，n中一条相交
2．已知异面直线a、b分别在平面 内， ，那么c与a、b的关系为（ ）
A．与a、b都相交 B．至少与a、b之一相交
C．至多与a、b之一相交 D．只能与a、b之一相交
3．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是（ ）
A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则与另一条相交
B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条垂直
C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行
D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行4．如图所示，P是正方体 中棱 上异于端点的一个内点，连接 并延长，则 与
直线（ ）
A． 相交 B． 相交 C． 相交 D． 相交
5．已知m、n为不同的直线， 为不同的平面．则下列命题中错误的是（ ）
A．m，n是 内两相交直线，则 与 相交的充要条件是m，n至少有一条与 相交；
B．m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都垂直；
C． 与l都不垂直，则m与n一定不垂直；
D．m，n为异面直线、过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．
6．若异面直线 分别在平面 ， 内，且 ，则直线 （ ）
A．与直线 都相交
B．至少与 中的一条相交
C．至多与 中的一条相交
D．与直线 中的一条相交，与另一条平行
7．已知a，b为异面直线，aα，bβ，α∩β＝c，则直线c一定（ ）
A．同时和直线a，b相交 B．至少与直线a，b中的一条相交
C．至多与直线a，b中的一条相交 D．与直线a，b中一条相交，一条平行
8．异面直线a，b，若 ， ，且 ，则直线c与a，b的关系是（ ）A．c与a，b都相交 B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交 D．c至少与a，b中的一条相交
9．已知直线 ， 分别在两个不同的平面 ， 内，则下列结论成立的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 与 相交，则 与 相交 D．若 与 相交，则 与 相交
10．已知正方体 的棱长为 为 的中点， 为 所在平面上一动点， 为
所在平面上一动点，且 平面 ，则下列命题正确的个数为（ ）
（1）若 与平面 所成的角为 ，则动点 所在的轨迹为圆；
（2）若三棱柱 的侧面积为定值，则动点 所在的轨迹为椭圆；
（3）若 与 所成的角为 ，则动点 所在的轨迹为双曲线；
（4）若点 到直线 与直线 的距离相等，则动点 所在的轨迹为抛物线
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
11．a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若a与b相交，b与c相交则a与c也相交
C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面
D．若a与c相交b与c异面，则a与b异面
12． ， ，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 与 相交， 与c相交，则 与c也相交
C．若 ， 分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面D．若 与c相交， 与c异面，则 与 异面
13．（多选）若直线 和 是异面直线， 平面 ， 平面 ， ，那么下列说法中不正确的有
（ ）
A．l至少与 和 中的一条相交 B．l与 和 都相交
C．l至多与 和 中的一条相交 D．l与 和 都不相交
14．若直线a，b是异面直线，点O是空间中不在直线a，b上的任意一点，则（ ）
A．不存在过点O且与直线a，b都相交的直线
B．过点O一定可以作一条直线与直线a，b都相交
C．过点O可以作无数多条直线与直线a，b都相交
D．过点O至多可以作一条直线与直线a，b都相交
三、填空题
15．已知a、b、c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是______．（写出所有满足条件的说法序号）
①若 ， ，则 ；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；
③若a、b分别在两个相交平面上，则这两条直线可能平行、相交或异面；
④若a与c相交，b与c异面，则a与b异面．
16．如图，已知正方体 的棱长为1，则下列结论中正确的序号是______．（填所有正确结
论的序号）
①若E是直线AC上的动点，则 平面 ；②若E是直线 上的动点，F是直线BD上的动点，则 ；
③若E是 内（包括边界）的动点，则直线 与平面ABC所成角的正切值的取值范围是 ；
④若E是平面 内的动点，则三棱锥 的体积为定值
