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专题 9.2 圆的方程
题型一 求圆的方程
题型二 二元二次方程表示的曲线与圆的关系
题型三 点与圆的位置关系
题型四 圆的对称的应用
题型五 直线与圆的位置关系
题型六 圆与圆的位置关系
题型七 圆的（公共）弦长问题
题型八 圆的（公）切线与切线长
题型九 距离的最值问题
题型一 求圆的方程
例1．（2022选修第一册北京名校同步练习册）圆 的半径为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】将圆的方程配成标准式，即可判断.
【详解】圆 ，即 ，
所以半径 .
故选：B
例2．（2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知圆 过点 ， ， ，
则圆 的方程为___．
【答案】
【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可.
【详解】根据题意，设圆的方程为
又由圆 过点 ， ， ，
则有 ，
解可得 ， ， ，
即圆的方程为： ，故答案为： .
练习1．（2022·高三单元测试）已知 为圆 的直径，点 的坐
标为 ，则点 的坐标为______．
【答案】
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设 ，再利用中点坐标公式
得到方程组，解得即可.
【详解】解：圆 即 ，所以圆心坐标为 ，
设 ，又因为 ，所以由中点坐标公式得 ，解得 ，
所以点 的坐标为 ．
故答案为：
练习2．（2021春·河北·高二统考学业考试）若圆C： 的半径为1，则
实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程即可求解.
【详解】由 ，得 ，
所以圆C的圆心为 ，半径为 ，
因为圆C： 的半径为1，
所以 ，解得 ，
故实数 .
故选：D.
练习3．（2023·全国·高三对口高考）经过三点 的圆的方程为
________．
【答案】
【分析】设圆的一般方程，用待定系数法求解即可.【详解】设圆的方程为 ，
则 ，
∴圆的方程为： .
故答案为：
练习4．（2022秋·高三校考课时练习）已知圆心的坐标为（2，-3），一条直径的两个端
点恰好在两个坐标轴上，则这个圆的一般方程为________.
【答案】x2+y2-4x+6y=0
【分析】依题意可判断出圆恰好过原点，从而可求出圆的半径，圆的标准方程，再化为一
般方程即可.
【详解】因为直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，故半径为 ，
所以圆的标准方程为 ，化为一般方程为x2+y2-4x+6y=0.
故答案为：x2+y2-4x+6y=0
练习5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知直线 过点 且与直线
垂直，圆 的圆心在直线 上，且过 ， 两点．
(1)求直线 的方程；
(2)求圆 的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设 ，代入 得出直线 的方程；
（2）设圆心 ，根据 得出圆 的标准方程.
【详解】（1）由题设 ，
代入 得 ，于是 的方程为 .
（2）设圆心 ，则 ，
即 ，
解得： ，
，又圆心 ，圆 的标准方程为 .
题型二 二元二次方程表示的曲线与圆的关系
例3．（2022-2023学年高二同步练习）设方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4-
7m2+9=0，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.
【答案】 ， .
【分析】将方程配方，利用圆的方程建立不等式，即可求出实数m的取值范围；然后根据
圆的圆心坐标，再消去参数，根据实数m的取值范围，可求得圆心的轨迹方程．
【详解】配方得 ，
若该方程表示圆，则有 ，得 .
由标准方程知圆心的轨迹方程为 ，消去m，得 .
由 ，得 .
故所求的轨迹方程是 ， .
例4．（2023届甘肃省定西市高三下学期高考模拟考试文科数学试题）若点 在圆
的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.
【详解】依题意，方程 可以表示圆，则 ，得 ；
由点 在圆 的外部可知： ，得 .
故 .
故选：C
练习6．（2023秋·甘肃天水·高三统考期末）若方程 表示圆，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据圆的一般方程的形式，列出关于 不等式，即可求解.
【详解】由方程 表示圆，则满足 ，
整理得 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
练习7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 的方程 ，则“
”是“曲线 是圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案.
【详解】 ，即 ，
∴曲线 是圆 ，∴“ ”是“ ”的必要不充分条
件.
故选：A.
练习8．（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知点 为圆
外一点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合点在圆外条件，及 表示圆的方程可得答案.
【详解】因 在圆外，则 ，得 .
又 表示圆，则 ，得 .
综上： .
故选：D
练习9．（2022秋·河南许昌·高三禹州市高级中学校考阶段练习）方程
表示圆，则实数a的可能取值为（ ）A． B．2 C．0 D．
【答案】D
【分析】先把 整理成圆的标准形式，满足右边关于 的表达式
大于零.
【详解】由 ，可得 ，
所以 ，
解得 或 ，
选项中只有 符合题意.
故选：D.
练习10．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）方程
表示的几何图形是（ ）
A．一点和一圆 B．两点 C．一圆 D．两圆
【答案】A
【分析】分 ， 讨论，结合条件及圆的方程即得.
【详解】由 可得，
当 时， ，
即 表示以 为圆心，以 为半径的圆，
当 时， ，
即 ，表示点 ，
综上，方程 表示的几何图形是一点和一圆.
故选：A.
题型三 点与圆的位置关系
例5．（2023秋·福建三明·高三统考期末）（多选）已知圆的方程为 ，
以下各点在圆内的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用代入验证法确定正确答案.
【详解】 ，A选项正确.
，B选项错误，，C选项正确.
，D选项错误.
故选：AC
例6．（2022秋·高二校考课时练习）若点 在圆 的内部，则a
的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.
【详解】由题可知，半径 ，所以 ，把点 代入方程，
则 ，解得 ，所以故a的取值范围是 .
故选：D
练习11．（2023·高三课时练习）直线 与 的交点在曲线
上，则 ______．
【答案】
【分析】先联立方程求出两直线的交点坐标，再代入曲线的方程进行求解.
【详解】联立 ，得 ，
即直线 与 的交点为 ，
因为两直线的交点 在曲线 上，
所以 ，解得 .
故答案为： .
练习12．（2023春·湖南·高三校联考期中）若不同的四点
共圆，则实数 __________．
【答案】-1或5
【分析】先由A、B、C三点确定其外接圆，再计算即可.
【详解】易知圆心在线段 的垂直平分线上，该直线方程为 ，设圆心坐标为 ，
半径为 ，所以 ，解得 ，所以所求圆的方程为
，点 在圆 上，所以 ，解得 或 ．
故答案为：-1或5
练习13．（2022秋·高三单元测试）直线 与圆 的
位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．不确定
【答案】A
【分析】易得直线 过定点 ，判断出点 与圆的位置关系即可得出结论.
【详解】由直线 ，得 ，
令 ，则 ，所以直线 过定点 ，
因为 ，
所以点 在圆 内，
所以直线 与圆 相交.
故选：A.
练习14．（2023·全国·高三专题练习）点 与圆 的位置关系是
（ ）．
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定【答案】C
【分析】由点到原点距离与圆半径大小比较，即可判断点、圆位置关系.
【详解】因为 ，所以点在圆外．
故选：C
练习15．（2023·浙江·高三专题练习）（多选）已知圆的方程为 ，
对任意的 ，该圆（ ）
A．圆心在一条直线上 B．与坐标轴相切
C．与直线 不相交 D．不过点
【答案】ABC
【分析】对A：显然圆心 在 上；对B：用圆心到坐标轴的距离判断；对C：用
圆心到直线 的距离判断；对D：将点 代入圆方程看是否有解.
【详解】对于 ：显然圆心 在 故A对；
对于B：圆心 到坐标轴的距离均为 ，等于圆的半径 ，故该圆与坐标轴相切，B
正确；
对于C：圆心 到直线 距离 ，故相离，C对；
对于D：将点 代入圆方程得 ，
显然 ，故有解，所以可能过点 错；
故选：ABC．
题型四 圆的对称的应用
例7．（2022-2023学年广东省深圳中学高三上学期期中数学试题）已知圆
关于直线 对称， 为圆C上一点，则 的最
大值为__________．
【答案】20
【分析】由圆 关于直线 对称列方程求 ，由此确定圆的圆心坐标和半径，设
，由直线 与圆 有公共点，列不等式求 的范围及最大值.
【详解】方程 可化为 ，
所以圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆 关于直线 对称，所以 ，所以，令 ，则 ，
所以 ，所以 ，所以 的最大值为20，
故答案为：20.
例8．（2023届江西省新八校高三第二次联考数学（理）试题）已知圆
关于直线 对称，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用特殊值“1”将 化成积为定值的形式，再用基本不等式即可求解.
【详解】解：由题意可知，圆心 在直线 上，
则 ，又因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 且 即 ， 时取等号，
此时取得最小值 ．
故选：D．
练习16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）（多选）已知圆
，则下列说法正确的有（ ）
A．关于点 对称 B．关于直线 对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
【答案】ABC
【分析】求得圆心，结合对称性确定正确答案.
【详解】圆 即 ，
所以圆心为 ，
A选项， 为圆心，所以圆关于点 对称，A正确.
直线 ，直线 过圆心 ，所以圆关于直线 、
直线 对称，BC选项正确.直线 不过圆心 ，所以D选项错误.
故选：ABC
练习17．（2022·全国·高二专题练习）若圆 关于直线 和
直线 都对称，则D＋E的值为_________．
【答案】4
【分析】根据圆 关于直线 和直线 都对称，
由圆心在直线 上，也在直线 上求解.
【详解】圆 的圆心为 ，
因为圆 关于直线 和直线 都对称，
所以圆心在直线 上，也在直线 上，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
故答案为：4
练习18．（2022秋·江苏南通·高三统考期末）已知A，B是圆 的一
条直径上的两个端点，则 （ ）
A．0 B．19 C． D．1
【答案】B
【分析】设 ，则 ，利用数量积公式以及圆的方程得出答案.
【详解】圆心坐标为 ，设 ，则 ，
.
故选：B
练习19．（2022秋·广东广州·高三校考期末）已知圆 关于直线
对称，则 ___________.
【答案】 /
【分析】由圆的方程可确定圆心，根据直线过圆心可构造方程求得结果.
【详解】由圆 方程知：圆心 ；圆 关于直线 对称， 直线 过圆 的圆心 ， ，解得： .
故答案为： .
练习20．（2023·北京·校考模拟预测）点M、N在圆 上，且
M、N两点关于直线 对称，则圆C的半径（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为
【答案】C
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，
得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由 ，得 ，
所以圆心 为 ，半径为 ，
由题意可得直线 经过圆心 ，
故有 ，即 ，
所以半径为 ，
当 时，圆C的半径的最小值为 .
故选：C.
题型五 直线与圆的位置关系
例9．（2023届北京名校高三一轮总复习）若直线 与圆 相交，则点
（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能
【答案】B
【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系确定点与圆的位置关系即可.
【详解】直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即：
，即 ，
据此可得：点 与圆 的位置关系是点在圆外.
故选：B.
例10．（2022北京名校同步练习册） 为圆 内异于圆心的一点，则直线
与该圆的位置关系为（ ）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
【答案】C
【分析】由题意可得 ，结合圆心到直线 的距离判断与半径的大小关
系，即得答案.
【详解】由题意知 为圆 内异于圆心的一点，
则 ，
而圆： 的圆心到直线 的距离为 ，
故直线 与该圆的位置关系为相离，
故选：C
练习21．（2023春·北京海淀·高三北理工附中校考期中）直线 与圆
的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】C
【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系.
【详解】由题知，圆心坐标 ，半径 ，
将直线 化为点斜式得 ，
知该直线过定点 ，
又 ，故该定点在圆内，
所以该直线与圆 必相交.
故选：C
练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，求 的取值范围
______________．
【答案】
【分析】令 ，利用圆心到直线距离小于等于半径可解.
1
【详解】将 化为∴(3− )∈[2,3).，表示以 为圆心， 为
n
半径的圆，
令 ，即 ，由题可知，直线和圆有公共点，所以 ，即 ，解得 .
即 的取值范围为 .
故答案为：
练习23．（2023·四川·校联考模拟预测）已知实数 满足 ，则 的取值范围
为__________.
【答案】
【分析】根据题意转化为圆 上的点与定点 之间的连线的斜率，结合圆的
性质，即可求解.
【详解】由题意，设 ，且
可得 表示点 与点 连线的斜率，其中点 为圆 上的点，
如图所示，
在直角 中，可得 ，可得直线 的斜率为 ；
在直角 中，可得 ，可得直线 的斜率为 ，
所以 的范围为 .
故答案为： .
练习24．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设集合 ，
，则 的真子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C
【分析】求出 再求真子集个数即可．
【详解】依题意 表示直线 与圆 的交点的集合，
则 ，所以 的真子集个数为 个．
故选：C．
练习25．（2023·江苏南通·三模）（多选）直线 与圆 交于
两点， 为圆上任意一点，则( ).
A．线段 最短长度为 B． 的面积最大值为
C．无论 为何值， 与圆相交 D．不存在 ，使 取得最大值
【答案】CD
【分析】求出直线 经过的定点，也可知直线斜率一定存在，结合弦长的几
何求法可判断A；结合三角形面积公式以及l的位置可判断B；根据定点在圆内可判断C，
结合圆周角和弧长之间的关系可判断D.
【详解】由直线 可知 ，该直线过定点 ,
且直线斜率一定存在，
当 时，弦 的弦心距最长，则 长最短为 ，
此时 的斜率不存在，与题意矛盾，故A错误；
的面积为 ,
若 的面积取到最大值，则 为直角，
由于 ,此时 ，与题意矛盾，B错误；
由于直线 过定点 , 在 内，
故无论 为何值， 与圆相交，C正确；
为圆上任意一点，假设当 与x轴垂直时，如图中虚线位置，
此时劣弧 最短， 最大，但由于直线l斜率存在，故直线取不到图中虚线位置，即不存在 ，使 取得最大值，D正确，
故选：CD
题型六 圆与圆的位置关系
例11．（2022北京名校同步练习册）当 为何值时，两圆 和
.
(1)外切；
(2)相交；
(3)外离.
【答案】(1) 或
(2) 或
(3) 或
【分析】（1）化两圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出两圆的圆心距 ，
由 列式，即可求解.
（2）由 列不等式组，即可求出 的范围.
（3）由 列不等式，即可求出 的范围.
【详解】（1）设圆 ，半径为 ，得 ，
圆心 ， .
，半径为 ，得 ，圆心 ，
.
圆心距 ，
因为两圆 外切，则 ，所以 ，
解得 或 .
（2）因为两圆 相交，则 ，
即 ，所以 ，解得 或 .
（3）因为两圆 外离，则 ，即 ，
所以 ，解得 或 .
例12．（2022届深圳中学高三下学期）已知圆C过点 且与圆 切于点 ，
则圆C的方程为__________.
【答案】
【分析】根据条件求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程.【详解】因为圆C过点 且与圆 切于点 ，
可知圆C与 的公切线为 ，且圆C过点 ，
过点 作切线 的垂线，即为 轴，
可知圆心C在此垂线上，即圆心C在 轴上，
设圆C ，又圆C过点 ，且圆C过点 ，
由圆心到圆上任一点距离相等，且为半径，
所以 ，可得 ，从而半径 ，
所以圆C的方程为 .
故答案为： .
练习26．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知圆 ，
圆 过点 且与圆 相切于点 ，则圆 的方程为__________.
【答案】
【分析】由两圆外切，两圆心所在直线与圆 中弦的垂直平分线交点即为 ，再求出半径，
即可得圆 的方程.
【详解】如图所示：
过点 和 的直线方程为 ，以点 和点 为端点的线段的垂直
平分线为 .
由 得 ，则圆 的半径 ，
所以圆 的方程为 .
故答案为：
练习27．（2023秋·高三课时练习）若两圆 和圆 相交，则a
的取值范围是（ ）A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【分析】圆 与圆 相交，则圆心距大于两圆的半径之差的绝对
值且小于半径之和，解不等式．
【详解】 圆 与圆 相交，
两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，
即 ，所以 .
解得 或 .
故选：B
练习28．（2022秋·贵州遵义·高三习水县第五中学校联考期末）圆
与圆 的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为5；
圆 的圆心坐标为 ，半径为3，
所以两圆的圆心距为 ，
因为 ，所以两圆相交，
所以两圆的公切线有2条.
故选：B.
练习29．（2023春·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）圆 与
圆 的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【分析】先将两圆化为标准方程，再根据两圆的位置关系判定即可.
【详解】两圆化为标准形式，可得 与圆 ，
可知半径 ， ，于是 ，
而 ，故两圆相交，
故选： .
练习30．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点 ，且与圆外切，则动圆P圆心 的轨迹方程为______.
【答案】 ，
【分析】设动圆 的半径为 ，则有 ，再由两圆外切得到 ，进而得
到 ，再利用双曲线的定义求解.
【详解】定圆的圆心为 ，与 关于原点对称，
设动圆 的半径为 ，则有 ，因为与圆 外切，
所以 ，即 ，
所以点 的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，
则 ， ， ，
所以轨迹方程为 ， ，即 ， .
故答案为： ，
题型七 圆的（公共）弦长问题
例13．（2023届安徽省定远中学高三下学期考前押题数学试卷）已知圆 与圆
相交所得的公共弦长为 ，则圆 的半径
（ ）
A． B． C． 或1 D．
【答案】D
【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆 圆心与半径表达
式可得答案.
【详解】 与 两式相减得
，即公共弦所在直线方程.
圆 方程可化为 ，可得圆心 ， 半径
.则圆心 到 的距离为 ，
半弦长为 ，则有 ，解得 或 （舍），此
时
故选： .例14．（2023届东莞定远中学高三下学期）与y轴相切，圆心在直线 上，且在直
线 上截得的弦长为 ，则此圆的方程是（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
【答案】C
【分析】根据圆心位置以及与y轴相切可设出圆心坐标和半径，再根据弦长为 即可求
得圆的方程.
【详解】由圆心在直线 上，可设圆心坐标为 ，
又因为与y轴相切，所以半径 ，
易知圆心到直线 的距离为 ，
根据直线被圆截得的弦长公式可得，直线 被截得的弦长为 ，
所以 ，解得 ；
当 时，该圆是以 为圆心， 为半径的圆，圆方程为 ；
当 时，该圆是以 为圆心， 为半径的圆，圆方程为 .
故选：C
练习31．（2023·广东深圳·校考二模）过点 且被圆 所截得的弦
长为 的直线的方程为___________.
【答案】
【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，由弦长求出圆心到直线
的距离，分析可得直线的斜率存在，设直线方程为 ，利用点到直线的距离公
式求出 ，即可得解.
【详解】圆 ，即 ，
圆心为 ，半径 ，
若弦长 ，则圆心到直线的距离 ，显然直线的斜率存在，设直线方程为 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以直线方程为 .
故答案为：
练习32．（2023·江西·统考模拟预测）已知圆 的方程为 ，若直线
与圆 相交于 两点，则 的面积为___________.
【答案】12
【分析】根据直线与圆相交弦长公式确定弦长 及圆心到直线 得距离，即可求
的面积.
【详解】圆 ： ，得圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线的距离 ，因此 ，
所以 .
故答案为： .
练习33．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）圆 与圆
的公共弦所在的直线方程为______．
【答案】
【分析】两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程.
【详解】联立 ，两式相减得 .
故答案为：
练习34．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）（多选）已知圆
与圆 ，下列说法正确的是（ ）
A． 与 的公切线恰有4条
B． 与 相交弦的方程为
C． 与 相交弦的弦长为
D．若 分别是圆 上的动点，则
【答案】BD
【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做
差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心
距和两半径之和，逐项分析判断即可.【详解】由已知得圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
，
故两圆相交，所以 与 的公切线恰有2条，故A错误；
做差可得 与 相交弦的方程为
到相交弦的距离为 ，故相交弦的弦长为 ，故C错误；
若 分别是圆 上的动点，则 ，故D正确.
故选：BD
练习35．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知圆 与圆
交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为 ，则 ___________．
【答案】
【分析】根据题意，由条件两圆方程作差可得直线 方程，然后再求得圆心 到直
线 的距离，再由勾股定理即可得到结果.
【详解】因为圆 与圆 交于A，B两点，
则两圆方程相减可得 ，
即直线 方程为 ，
又因为直线AB的倾斜角为 ，则斜率 ，
又因为 ，即 ，则 ，
所以直线 方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以 .
故答案为： .
题型八 圆的（公）切线与切线长
例15．（2023届四川省成都市树德中学高三适应性考试文科数学试题）若直线
，与 相切，则 最大值为（ ）
A． B． C．3 D．5【答案】B
【分析】由条件可得 ，然后设 ，由三角函数的知识可得答案.
【详解】 的圆心为 ，半径为 ，
因为直线 ，与 相切，
所以 ，即 ，
所以可设 ，
所以 ，其中 ，
故选：B
例16．（2023届北京市师大附属中学高三适应性练习数学试题）已知圆 ，直
线 上动点 ，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 的最小值为
（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】首先得出切线长 的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.
【详解】圆 ： 中，圆心 ，半径
设 ，则 ，
则 ,
当 时， ，
故选：C
练习36．（2023·天津南开·统考二模）若直线 与圆 相切，则
______.
【答案】 /0.75
【分析】由圆心到切线的距离等于半径求解．
【详解】由题意圆心为 ，半径为2，
所以 ，解得 ．故答案为： ．
练习37．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）过点 作圆 的两条切线，切
点分别为A、B，则直线AB方程是________.
【答案】
【分析】求出以 为直径的圆的方程, 将两圆的方程相减, 即可求解.
【详解】圆 的圆心为 , 半径为 2，
以 为直径的圆的方程为 ,
将两圆的方程相减可得公共弦 所在直线的方程 .
故答案为: .
练习38．（2023春·贵州·高三遵义一中校联考阶段练习）已知圆 ，点A是直
线 上的一个动点，过点A作圆 的两条切线 ，切点分别为 ，则
四边形 的面积的最小值为__________；直线 过定点__________.
【答案】
【分析】第一空， ，结合圆的几何性质推出 ，即可知当 垂直
于直线 时，d最小，即可求得答案；第二空，设 ，表示出以
为直径的圆的方程，和圆 的方程相减，可得直线 的方程，分离参数，即
可求得直线所过的定点坐标.
【详解】由题意过点A作圆 的两条切线 ，切点分别为 ，
连接 ,则 ,
设 ，则 ,
故 ,
当 垂直于直线 时，d最小，所以 ，所以 ；
由于点A是直线 上的一个动点，设点 ，
线段 的中点设为P，则 ，且 ，
所以以线段 为直径为圆的方程为 ，
即 ，
将方程 与 作差可得 ，
即直线 的方程为 ，可得 ，
由于 ,故 ，
因此，直线 恒过定点 ，
故答案为： ；
练习39．（2023·全国·高三专题练习）写出与圆 和圆 都相
切的一条直线的方程___________.
【答案】 或 或 （三条中任写一条即可）
【分析】根据两圆公切线的知识求得正确答案.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ；
圆 的圆心为 ，半径为 ；
与 的距离为 ，所以两圆外切.
过 与 的直线方程为 .
由图可知，直线 是两圆的公切线，
由 解得 ，设 ，
设两圆的一条公切线方程为 ，
到直线 的距离为 ，即 ，解得 ，
所以两圆的一条公切线方程为 ，即 .
由 两式相减并化简得 ，
所以两圆的公切线方程为 或 或 .
故答案为： 或 或 （三条中任写一条即可）
练习40．（2023秋·高三课时练习）在直角坐标系 中，以原点O为圆心的圆与直线
相切
(1)求圆O的方程；
(2)若已知点 ，过点P作圆O的切线，求切线的方程．
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】（1）根据圆与直线 相切，可得圆心到直线的距离为半径，即可求
得半径，可得答案；
（2）判断切线斜率存在，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可求得切线斜率，
即得答案.
【详解】（1）由题意知以原点O为圆心的圆与直线 相切，
故圆的半径为 ，
故圆的方程为 .
（2）当过点 的直线斜率不存在时，为 与圆 不相切；
故过点 作圆O的切线，斜率一定存在，设方程为 ，即 ，则 ，解得 或 ，
故切线方程为 或 ．
题型九 距离的最值问题
例17．（2023届广西邕衡金卷高三第三次适应性考试数学（理）试题）已知直线
和圆 ，则圆心O到直线l的距离的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把直线方程化为 ，求得直线 过定点 ，结合圆的几何
性质，即可求解.
【详解】由题意，直线 可化为 ，
联立方程组 ，解得 ，即直线 过定点 ，
又由 ，可得定点 在圆内，
由圆的几何性质知，圆心到直线的距离 ．
故选：B.
例18．（2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高三上学期期末文科数学试题）已
知直线 与圆 ，则圆 上的点到直线 的距离的最小值为
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离，再计算最小值得到答案.
【详解】圆 ，圆心为 ，半径 ，
圆心到直线的距离为 ，直线和圆相离，
故圆 上的点到直线 的距离的最小值为 .
故选：B练习41．（2023·全国·校联考三模）已知点 为圆 上的动点，则点 到
直线 的距离的最大值为______.
【答案】
【分析】求出圆心 到直线 的距离，结合圆的几何性质可求得点 到直线 距离的最大值.
【详解】由题可得，圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离等于 ，
所以点 到直线 的距离的最大值为 .
故答案为： .
练习42．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线 与
圆 交于两点 ，则弦长 的最小值是___________.
【答案】
【分析】先把圆 的方程化成标准形式，从而得出圆心坐标和半径，再通过直线方程得出
直线过定点，发现定点在圆的内部，从而根据圆的有关知识知：当定点是弦的中点时，弦
长最短，从而求出弦长的最小值.
【详解】圆 化成标准形式为圆 ，
圆心 ，半径 ，
直线 过定点 ，并在圆 内，
最短时，点 为弦 的中点，即 时，
所以 .
故答案为： .
练习43．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）若直线
与 相交于点 ，过点 作圆
的切线，切点为 ，则|PM|的最大值为______．
【答案】
【分析】根据两直线所过的定点和位置关系，结合圆的性质进行求解即可.
【详解】直线 过定点 ，直线 过定点 ，
显然这两条直线互相垂直，因此 在以 为直径的圆上，设该圆的圆心为 ，显然点 的坐标为 ，所以该圆的方程为 ，
由圆的切线性质可知： ，要想|PM|的值最大，只需 的值最大，
当点 在如下图位置时， 的值最大，即 ，
所以|PM|的最大值为 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据两直线的位置关系确定点 的轨迹，利用圆的几何性质是解题的
关键.
练习44．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知圆
，过直线 上一点 向圆 作切线，切点为 ，则
的面积最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】结合图形，利用勾股定理可知 取得最小值时 也最小，从而求得
，进而可得 的面积最小值.
【详解】由圆 ，得圆心 ，半径 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
因为
所以当直线 与 垂直时， 取得最小值 ，此时 也最小，
故 ，所以 ，
即 的面积最小值为 .
故选：B.
练习45．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知圆
，过直线 上的动点 作圆 的切线，切点为 ，则 的最
小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意易知当圆心 到直线 上点的距离最小时， 最小，利用点到直线的
距离公式计算即可.
【详解】圆 ，圆心 ，半径 ，
设圆心 到直线 ： 的距离为 ，则 ，
易得 ，则 ，
故当圆心 到直线 上点的距离最小时，即圆心到直线的距离 ，此时 最小，
因为 ，所以 ，
故 最小值是 ．
故选：D.
