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9.2 椭圆方程与性质
思维导图
知识点总结
内容提要
椭圆定义：设 是平面上的两个定点，若平面内的点 满足 ，则
F ，F P |PF |+|PF |=2a(2a>|F F |)
1 2 1 2 1 2
1.
点P的轨迹是以F ，F 为焦点的椭圆
1 2
椭圆的简单几何性质： .
2. x2 y2 y2 x2
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
焦点坐标 F (-c，0)，F (c，0) F (0，c)，F (0，-c)
1 2 1 2
焦距 |F F |=2c，且c2=a2-b2
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】x2 y2 y2 x2
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
范围 -a≤x≤a，-b≤ y≤b -b≤x≤b，-a≤ y≤a
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
左、右顶点：A (-a，0)，A (a，0) 左、右顶点：B (-b，0)，B (b，0)
1 2 1 2
顶点坐标
上、下顶点：B (0，b)，B (0，-b) 上、下顶点：A (0，a)，A (0，-a)
1 2 1 2
长轴长 |A A |=2a，其中a叫做长半轴长
1 2
短轴长 |B B |=2b，其中b叫做短半轴长
1 2
c
离心率 e= (0|PF | ，则 1 的值为
1 2 |PF |
2
___________
7
答案： 或
2
2
解析：焦点三角形问题优先考虑结合椭圆的定义求解，先给出椭圆的 a、b、c，由题意，
，设 ，则 ， 是直
a=3，b=2，c=√a2-b2=√5 |PF |=m，|PF |=n，m>n m+n=2a=6 △PF F
1 2 1 2
(1)
角三角形，可用勾股定理稆译，但需讨论谁是直角顶点，有图 和图 两种情况，若为图 ，则
m2+n2=|F F | 2=4c2=20 ，联立 结合 m>n 可解得： m=4， 1 n=2 ，2所以 |PF 1 | = m =2 ；若1为图
1 2 |PF | n
2
(2) (1)(2)
14 4 m 7
，则n2+|F F | 2=m2，即n2+20=m2 ，联立 解得：m= ，n= ，故|PF |= =
1 2 3 3 1 |PF | 2
2
2 (3) (1)(3) .
反思 解析几何小题中对直角的常见翻译方法有： 勾股定理； 斜率之积为 ； 向量数量积等于
； 斜边上的中线等于斜边的一半等选择合适的方法前应先预判计算量
[ ] (1) (2) -1 (3)
0 (4) . .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】已知椭圆 x2 y2 的左、右焦点分别为 为椭圆 上一点， 为原点，
C： + =1(a>b>0) F 、F ，P C O
a2 b2 1 2
若 ，且 ，则椭圆 的离心率为
(⃗OF -⃗OP)⋅(⃗OF +⃗OP)=0 |PF |=2|PF | C
1 1 1 2
___________
√5
答案：
3
解析：椭圆 C 的离心率 e= c = 2c = |F 1 F 2 | ，故只需分析 △PF F 的三边比值，就可求得离心率，
a 2a |PF |+|PF | 1 2
1 2
题干的向量关系式可化简，先化简， 2 2 ，
(⃗OF -⃗OP)⋅(⃗OF +⃗OP)=0⇒|⃗OF | -|⃗OP| =0⇒|OF |=|OP|
1 1 1 1
1
所以|OP|= |F F |，故PF ⊥PF ，
2 1 2 1 2
接 下 来 只 需 结 合 即 可 分 析 的 三 边 比 值 ， 不 妨 设 ， 则
|PF |=2|PF | △PF F |PF |=m
1 2 1 2 2
|PF |=2m，|F F |=√|PF | 2+|PF | 2=√5m ，所以 e= |F 1 F 2 | = √5m = √5
1 1 2 1 2 |PF |+|PF | m+2m 3
1 2
.
|F F |
反思 椭圆焦点三角形已知 或可求得 三边比值求离心率，用公式 e= 1 2 来算
|PF |+|PF |
1 2
[ ] ( ) .
考向五 椭圆有关的最值与范围问题
【例5】已知椭圆 的离心率为 ，上顶点为A，左顶点为B， ， 分别是椭圆的左、
右焦点，且 的面积为 ，点P为椭圆上的任意一点，则 的取值范围为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】根据 的面积和离心率得出a，b，c的值，从而得出 的范围，得到 关于
的函数，从而求出答案．
【详解】∵ 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
由已知得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
由 ， 解得 ，进而 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 的取值范围为 .
故答案为：
【变式1】已知椭圆 ： 的长轴为双曲线 的实轴，且椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)点 、 是椭圆 上异于点 的两个不同的点，直线 与 的斜率均存在，分别记为 ， ，且
，求证：直线 恒过定点，并求出定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为 .
【分析】（1）由题意得 ，再根据椭圆上的一点即可求标准方程；
（2）分直线 的斜率存在和不存在两种情况讨论，利用韦达定理求出 与 的斜率，并结合
，列方程可得参数之间的关系，进而可求定点.
【详解】（1）因为椭圆 ： 的长轴为双曲线 的实轴，
所以 ，所以椭圆 ： ，
又因为椭圆 过点 ，所以 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以椭圆 的标准方程为 .
（2）
①当直线 的斜率存在时，设其方程为
由 得
所以 ，所以
，
因为 ，
所以 ，
所以
即 ，
化简得
所以 即
所以 ，或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，直线 的方程为 ，
直线 恒过定点 ，不满足题意；
当 时，直线 的方程为
直线 恒过定点 ，满足题意；
所以直线 恒过定点 .
②当直线 的斜率不存在时，设其方程为 ，
由 得 ，所以 ，
所以 ，
解得 （舍去）或 ，
所以直线 也过定点 .
综上，直线 恒过定点 .
【变式2】如图，点 是椭圆 的短轴位于 轴下方的端点，过 作斜率为 的直线
交椭圆于点 ，若点 的坐标为 ，且满足 轴， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 的左顶点为 ，左焦点为 ，点 为椭圆上任意一点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知求得 的坐标，得到直线方程，求出 ， 的坐标，得到 的坐标，由
，求得 ，得到 的坐标，把 的坐标代入椭圆方程求得 ，则椭圆方程可求；
（2）由椭圆方程得 ， ，设 ，则 ，按坐标运算得 可转换为
关于 的二次函数，由 ，即可得 的取值范围.
【详解】（1）解：由题意得 ， 的方程为 ，由 ，则 ，
， ，由 ，即
，即 ， ，又 在椭圆上，得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，解得 ，
所求椭圆方程 ；
（2）解：由椭圆方程得 ，则 ， ，设 ，则
所以 ，且 ，
则
由于 ，所以 ，即 的取值范围为 .
基础题型训练
提升题型训练
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