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9.2 椭圆方程与性质
思维导图
知识点总结
内容提要
椭圆定义：设 是平面上的两个定点，若平面内的点 满足 ，则
F ，F P |PF |+|PF |=2a(2a>|F F |)
1 2 1 2 1 2
1.
点P的轨迹是以F ，F 为焦点的椭圆
1 2
椭圆的简单几何性质： .
2. x2 y2 y2 x2
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
焦点坐标 F (-c，0)，F (c，0) F (0，c)，F (0，-c)
1 2 1 2
焦距 |F F |=2c，且c2=a2-b2
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】x2 y2 y2 x2
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
范围 -a≤x≤a，-b≤ y≤b -b≤x≤b，-a≤ y≤a
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
左、右顶点：A (-a，0)，A (a，0) 左、右顶点：B (-b，0)，B (b，0)
1 2 1 2
顶点坐标
上、下顶点：B (0，b)，B (0，-b) 上、下顶点：A (0，a)，A (0，-a)
1 2 1 2
长轴长 |A A |=2a，其中a叫做长半轴长
1 2
短轴长 |B B |=2b，其中b叫做短半轴长
1 2
c
离心率 e= (0<e<1)
a
2b2
通径：经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做通径 如图中两条蓝色的线段 ，其长度为
a
3. ( ) .
典型例题分析
考向一 椭圆定义与应用
x2 y2
【例 】椭圆 + =1的焦点为F ，F ，点P在椭圆上，若|PF |=4，则|PF |=_ＦPF 的大小为
9 2 1 2 1 2 1 2
1 的周长为；若延长 交椭圆于 ，则
；△PF F PO Q |PF |+|F Q|=
1 2 1 1
___________ ___________
答案：2；120∘；6+2√7；6
解析：椭圆中给出 ，可由定义求 ，由题意， ，
|PF | |PF | a=3，b=√2，c=√a2-b2=√7
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，且 ，所以 ；
|PF |+|PF |=2a=6 |PF |=4 |PF |=6-|PF |=2
1 2 1 2 1
要求 ，可先求 ，在 中由余弦定理推论求 ，
∠F PF |F F | △PF F cos∠F PF
1 2 1 2 1 2 1 2
如图， ，
|F F |=2c=2√7
1 2
所以 cos∠F PF = |PF 1 |
2+|PF
2 |
2-|F
1 F 2 |
2
= 16+4-28 =- 1，故 ∠F PF =120∘；
1 2 2|PF |⋅|PF | 2×4×2 2 1 2
1 2
的周长为 ；
△PF F |PF |+|PF |+|F F |=2a+2c=6+2√7
1 2 1 2 1 2
由椭圆的对称性，O是PQ中点，而O也是F F 的中点，所以四边形PF QF 为平行四边形，
1 2 1 2
从而 ，故
|QF |=|PF |=2 |PF |+|QF |=4+2=6
1 2 1 1
.
x2 y2
【变式】已知椭圆C： + =1的左、右焦点分别为F 、F ，A(1，2)，P为椭圆C上的动点，则
4 3 1 2
的最小值为
|PA|-|PF |
1
___________
答案：
解析：-如2图， 在椭圆外，不易直接分析 的最小值，可考虑用椭圆定义将 换成 来
A |PA|-|PF | |PF | |PF |
1 1 2
看 ， 由 题 意 ， ， 所 以 ， 故
|PF |+|PF |=4 |PF |=4-|PF |
1 2 1 2
， 由 三 角 形 两 边 之 和 大 于 第 三 边 知
|PA|-|PF |=|PA|-(4-|PF |)=|PA|+|PF |-4
1 2 2
(1)
，结合 得： ，当且仅当点 位于图中
|PA|+|PF |≥|AF | |PA|-|PF |=|PA|+|PF |-4≥|AF |-4 P
2 2 1 2 2
(1) (2)
处时取等号，椭圆的半焦距 ，所以 ，又 ，所以 ，代
P c=√a2-b2=√4-3=1 F (1，0) A(1，2) |AF |=2
0 2 2
入 知 ，故 的最小值为
|PA|-|PF |≥2-4=-2 |PA|-|PF |
1 1
(2) -2.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】反思 涉及椭圆上的点到一个焦点的距离的最值问题，若不易直接求解，则可考虑用椭圆定义，转化到另
一个焦点去分析
[ ]
.
考向二 椭圆的标准方程
【例2】以 ， 为焦点，且经过点 的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点 ，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求
2a可得.
【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将 代入 得
，故A错误，所以选B.
故选：B
【变式】已知 ，B是圆C： 上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则
动点P的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】结合线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及椭圆定义得到正确答案．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】解：圆 ，圆心为 ，半径为4，
因为线段 的垂直平分线交 于 点，所以 ，
所以 ．
所以由椭圆定义知， 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，方程为 ．
故答案为： ．
考向三 椭圆的离心率问题
【例3】如图，A， 分别是椭圆 的左、右顶点，点 在以 为直径的圆 上（点
异于A， 两点），线段 与椭圆 交于另一点 ，若直线 的斜率是直线 的斜率的4倍，则椭圆
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可.
【详解】设 ，易知 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ，
又 ，
所以 .
故选：C
【变式1】若 、 为椭圆 ： 的左、右焦点，焦距为4，点 为 上一点，若对任意的
，均存在四个不同的点 满足 ，则 的离心率 的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的运算律和椭圆的性质求解.
【详解】由题可得， ，
设 为坐标原点，则 ,
所以
,即 ，
因为 ，所以 ，
若存在四个不同的点 满足 ，又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故答案为: .
【变式2】已知椭圆 ： 的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，线段 的垂直平分线
过点 ，则椭圆的离心率为 ．
【答案】 /
【分析】求出线段 的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得 ，再结合 可求得离心
率.
【详解】
如图，设 的垂直平分线与 交于点 ，
由题， ， ， ，则 ，
， ，
，
，化简得， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，解得 ，
，即 .
故答案为： .
考向四 椭圆的焦点三角形问题
x2 y2
【例 】设F ，F 为椭圆 + =1的两个焦点，P为椭圆上一点，ΔPF F 为直角三角形，且
1 2 9 4 1 2
4
|PF |
|PF |>|PF | ，则 1 的值为
1 2 |PF |
2
___________
7
答案： 或
2
2
解析：焦点三角形问题优先考虑结合椭圆的定义求解，先给出椭圆的 a、b、c，由题意，
，设 ，则 ， 是直
a=3，b=2，c=√a2-b2=√5 |PF |=m，|PF |=n，m>n m+n=2a=6 △PF F
1 2 1 2
(1)
角三角形，可用勾股定理稆译，但需讨论谁是直角顶点，有图 和图 两种情况，若为图 ，则
m2+n2=|F F | 2=4c2=20 ，联立 结合 m>n 可解得： m=4， 1 n=2 ，2所以 |PF 1 | = m =2 ；若1为图
1 2 |PF | n
2
(2) (1)(2)
14 4 m 7
，则n2+|F F | 2=m2，即n2+20=m2 ，联立 解得：m= ，n= ，故|PF |= =
1 2 3 3 1 |PF | 2
2
2 (3) (1)(3) .
反思 解析几何小题中对直角的常见翻译方法有： 勾股定理； 斜率之积为 ； 向量数量积等于
； 斜边上的中线等于斜边的一半等选择合适的方法前应先预判计算量
[ ] (1) (2) -1 (3)
0 (4) . .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】已知椭圆 x2 y2 的左、右焦点分别为 为椭圆 上一点， 为原点，
C： + =1(a>b>0) F 、F ，P C O
a2 b2 1 2
若 ，且 ，则椭圆 的离心率为
(⃗OF -⃗OP)⋅(⃗OF +⃗OP)=0 |PF |=2|PF | C
1 1 1 2
___________
√5
答案：
3
解析：椭圆 C 的离心率 e= c = 2c = |F 1 F 2 | ，故只需分析 △PF F 的三边比值，就可求得离心率，
a 2a |PF |+|PF | 1 2
1 2
题干的向量关系式可化简，先化简， 2 2 ，
(⃗OF -⃗OP)⋅(⃗OF +⃗OP)=0⇒|⃗OF | -|⃗OP| =0⇒|OF |=|OP|
1 1 1 1
1
所以|OP|= |F F |，故PF ⊥PF ，
2 1 2 1 2
接 下 来 只 需 结 合 即 可 分 析 的 三 边 比 值 ， 不 妨 设 ， 则
|PF |=2|PF | △PF F |PF |=m
1 2 1 2 2
|PF |=2m，|F F |=√|PF | 2+|PF | 2=√5m ，所以 e= |F 1 F 2 | = √5m = √5
1 1 2 1 2 |PF |+|PF | m+2m 3
1 2
.
|F F |
反思 椭圆焦点三角形已知 或可求得 三边比值求离心率，用公式 e= 1 2 来算
|PF |+|PF |
1 2
[ ] ( ) .
考向五 椭圆有关的最值与范围问题
【例5】已知椭圆 的离心率为 ，上顶点为A，左顶点为B， ， 分别是椭圆的左、
右焦点，且 的面积为 ，点P为椭圆上的任意一点，则 的取值范围为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】根据 的面积和离心率得出a，b，c的值，从而得出 的范围，得到 关于
的函数，从而求出答案．
【详解】∵ 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
由已知得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
由 ， 解得 ，进而 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 的取值范围为 .
故答案为：
【变式1】已知椭圆 ： 的长轴为双曲线 的实轴，且椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)点 、 是椭圆 上异于点 的两个不同的点，直线 与 的斜率均存在，分别记为 ， ，且
，求证：直线 恒过定点，并求出定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为 .
【分析】（1）由题意得 ，再根据椭圆上的一点即可求标准方程；
（2）分直线 的斜率存在和不存在两种情况讨论，利用韦达定理求出 与 的斜率，并结合
，列方程可得参数之间的关系，进而可求定点.
【详解】（1）因为椭圆 ： 的长轴为双曲线 的实轴，
所以 ，所以椭圆 ： ，
又因为椭圆 过点 ，所以 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以椭圆 的标准方程为 .
（2）
①当直线 的斜率存在时，设其方程为
由 得
所以 ，所以
，
因为 ，
所以 ，
所以
即 ，
化简得
所以 即
所以 ，或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，直线 的方程为 ，
直线 恒过定点 ，不满足题意；
当 时，直线 的方程为
直线 恒过定点 ，满足题意；
所以直线 恒过定点 .
②当直线 的斜率不存在时，设其方程为 ，
由 得 ，所以 ，
所以 ，
解得 （舍去）或 ，
所以直线 也过定点 .
综上，直线 恒过定点 .
【变式2】如图，点 是椭圆 的短轴位于 轴下方的端点，过 作斜率为 的直线
交椭圆于点 ，若点 的坐标为 ，且满足 轴， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 的左顶点为 ，左焦点为 ，点 为椭圆上任意一点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知求得 的坐标，得到直线方程，求出 ， 的坐标，得到 的坐标，由
，求得 ，得到 的坐标，把 的坐标代入椭圆方程求得 ，则椭圆方程可求；
（2）由椭圆方程得 ， ，设 ，则 ，按坐标运算得 可转换为
关于 的二次函数，由 ，即可得 的取值范围.
【详解】（1）解：由题意得 ， 的方程为 ，由 ，则 ，
， ，由 ，即
，即 ， ，又 在椭圆上，得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，解得 ，
所求椭圆方程 ；
（2）解：由椭圆方程得 ，则 ， ，设 ，则
所以 ，且 ，
则
由于 ，所以 ，即 的取值范围为 .
基础题型训练
提升题型训练
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
