文档内容
9.2 椭圆方程与性质
思维导图
知识点总结
内容提要
椭 圆 定 义 ： 设 F ，F 是 平 面 上 的 两 个 定 点 ， 若 平 面 内 的 点 P满 足
1 2
，则点 的轨迹是以 为焦点的椭圆
|1P. F |+|PF |=______(2a>|F F |) P F ，F
1 2 1 2 1 2
.
椭圆的简单几何性质：
2. x2 y2
标准方程 + =1(a>b>0)
a2 b2
焦点坐标 F (-c，0)，F (c，0)
1 2
焦距 |F F |=2c，且c2=a2-b2
1 2
图形
范围 -a≤x≤a，-b≤ y≤b
对称性 关于x轴、y轴、原点对称x2 y2
标准方程 + =1(a>b>0)
a2 b2
左、右顶点：A (-a，0)，A (a，0)
1 2
顶点坐标
上、下顶点：B (0，b)，B (0，-b)
1 2
长轴长 |A A |=2a，其中a叫做长半轴长
1 2
短轴长
离心率
通径：经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做通径 如图中两条蓝色的线段 ，其长度为
3. ( ) _____.
典型例题分析
考向一 椭圆定义与应用
x2 y2
例 椭圆 + =1的焦点为F ，F ，点P在椭圆上，若|PF |=4，则|PF |=_ＦPF 的大小为
9 2 1 2 1 2 1 2
[ 1] 的周长为；若延长 交椭圆于 ，则
；△PF F PO Q |PF |+|F Q|=
1 2 1 1
___________ ___________
x2 y2
变式 已知椭圆C： + =1的左、右焦点分别为F 、F ，A(1，2)，P为椭圆C上的动点，则
4 3 1 2
[ ] 的最小值为
|PA|-|PF |
1
___________考向二 椭圆的标准方程
【例2】以 ， 为焦点，且经过点 的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式】已知 ，B是圆C： 上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则
动点P的轨迹方程为 .考向三 椭圆的离心率问题
【例3】如图，A， 分别是椭圆 的左、右顶点，点 在以 为直径的圆 上（点
异于A， 两点），线段 与椭圆 交于另一点 ，若直线 的斜率是直线 的斜率的4倍，则椭圆
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可.
【详解】设 ，易知 ，
则 ， ，
又 ，
所以 .
故选：C【变式1】若 、 为椭圆 ： 的左、右焦点，焦距为4，点 为 上一点，若对任意的
，均存在四个不同的点 满足 ，则 的离心率 的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的运算律和椭圆的性质求解.
【详解】由题可得， ，
设 为坐标原点，则 ,
所以
,即 ，
因为 ，所以 ，
若存在四个不同的点 满足 ，又 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故答案为: .
【变式2】已知椭圆 ： 的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，线段 的垂直平分线
过点 ，则椭圆的离心率为 ．【答案】 /
【分析】求出线段 的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得 ，再结合 可求得离心
率.
【详解】
如图，设 的垂直平分线与 交于点 ，
由题， ， ， ，则 ，
， ，
，
，化简得， ，
由 ，解得 ，
，即 .
故答案为： .
考向四 椭圆的焦点三角形问题
x2 y2
【例 】设F ，F 为椭圆 + =1的两个焦点，P为椭圆上一点，ΔPF F 为直角三角形，且
1 2 9 4 1 2
4|PF |
|PF |>|PF | ，则 1 的值为
1 2 |PF |
2
___________
【变式】已知椭圆 x2 y2 的左、右焦点分别为 为椭圆 上一点， 为原点，
C： + =1(a>b>0) F 、F ，P C O
a2 b2 1 2
若 ，且 ，则椭圆 的离心率为
(⃗OF -⃗OP)⋅(⃗OF +⃗OP)=0 |PF |=2|PF | C
1 1 1 2
___________
考向五 椭圆有关的最值与范围问题
【例5】已知椭圆 的离心率为 ，上顶点为A，左顶点为B， ， 分别是椭圆的左、右焦点，且 的面积为 ，点P为椭圆上的任意一点，则 的取值范围为 ．
【变式1】已知椭圆 ： 的长轴为双曲线 的实轴，且椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)点 、 是椭圆 上异于点 的两个不同的点，直线 与 的斜率均存在，分别记为 ， ，且
，求证：直线 恒过定点，并求出定点的坐标.【变式2】如图，点 是椭圆 的短轴位于 轴下方的端点，过 作斜率为 的直线
交椭圆于点 ，若点 的坐标为 ，且满足 轴， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 的左顶点为 ，左焦点为 ，点 为椭圆上任意一点，求 的取值范围．
基础题型训练
一、单选题
1．过椭圆 的左顶点A作圆 (2c是椭圆的焦距)两条切线，切点分别为M，
N，若∠MAN=60°，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．2．方程 表示椭圆的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，点P在椭圆C上，若 ，则 的余
弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为右焦点，若 ，
则椭圆的离心率为 ( )
A． B． C． D．
5．若方程 表示椭圆 ，则下面结论正确的是（ ）
A． B．椭圆 的焦距为
C．若椭圆 的焦点在 轴上，则 D．若椭圆 的焦点在 轴上，则
6．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，M为E上一点.若 ，
，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．二、多选题
7．已知椭圆 的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则椭圆 的
标准方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．设P是椭圆 上的动点，则（ ）
A．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为
B．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为
C．点P到左焦点距离的最大值为
D．点P到左焦点距离的最大值为
三、填空题
9．以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在 轴
上，且 ，则椭圆的标准方程是 ．
10．椭圆 （ ）的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜角为 的直线与椭圆的一个
交点为 ，若 垂直于 ，则椭圆的离心率为 ．
11．椭圆 的离心率为 ，则实数 ．12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与 交于A，B两点，满足
且 ，则 ．
四、解答题
13．已知椭圆 (a>b>0)，F ，F 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF ⊥PF ，求椭
1 2 1 2
圆的离心率的取值范围．
14．椭圆 焦距为4，经过点 ， ， 分别为它的左右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求 外接圆的标准方程．
15．已知动点 与平面上两定点 ， 连线的斜率的积为定值 ．
（1）试求动点 的轨迹方程 ；
（2）设直线 ： 与曲线 交于 ， 两点，求 ．
16．已知椭圆 的右焦点为 ，且椭圆 上的一点 到其两焦点 的距
离之和为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 与椭圆 交于不同两点 ，且 .若点 满足
，求 .提升题型训练
一、单选题
1．若方程 表示椭圆，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．圆 与圆 相外切，与圆 相内切，则圆 的圆心在（ ）
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
3．已知椭圆 ，直线 ，则直线l与椭圆C的位置关系
为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
4．椭圆 为参数)的离心率是( )
A． B． C． D．
5．函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 ，若点 在椭圆 （ ， ）上，则
的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
6．记椭圆 的左焦点和右焦点分别为 ，右顶点为 ，过 且倾斜角为 的直线上有一点 ，且 在 轴上的投影为 .连接 ， 的方向向量 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知 是椭圆 ： 上一点， ， 是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率
C． D． 的面积的最大值是4
8．一般地，我们把离心率为 的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（ ）
A．若 ，且点 在以 ， 为焦点的“黄金椭圆”上，则 的周长为
B．若 是“黄金椭圆”，则
C．若“黄金椭圆”的左焦点是 ，右顶点和上顶点分别是 ， ，则
D．设焦点在 轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为 ，“黄金椭圆”上动点 （异于 ， ），设
直线 ， 的斜率分别为 ， ，则
三、填空题
9．若椭圆的两焦点分别为 ， ，点P在椭圆上，且三角形 的面积的最大值为12，则
此椭圆方程是 ．10．已知椭圆 ，左焦点 ，右顶点 ，上顶点 ，满足 ，则
椭圆的离心率为 .
11．已知A、B、P是椭圆 上的三个不同的点.O为坐标点， ，且
，则椭圆C的离心率为 .
12．已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于
的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是 ．
四、解答题
13．如图，椭圆的上半部分拱形用于支撑横跨20m水面宽的桥，拱的中心距河面6m.试写出椭圆的一个方
程.
14．求下列椭圆的标准方程：
（Ⅰ）焦点在x轴上，离心率 ，且经过点 ；
（Ⅱ）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且与双曲线 有相同的焦点．
15．已知点 在椭圆 上，且点 到椭圆 左顶点的距离是到右顶点距
离的 倍(1)求椭圆 的方程
(2)点 是椭圆 上的动点，且到动直线 与 的距离均为 ，直线 与椭圆 相交
于 两点，直线 与椭圆 相交于 两点，求证： 为定值．
16．已知椭圆 ： 的一个焦点为 ,离心率为 .
（1）求 的标准方程；
（2）若动点 为 外一点,且 到 的两条切线相互垂直,求 的轨迹 的方程；
（3）设 的另一个焦点为 ,过 上一点 的切线与（2）所求轨迹 交于点 , ,求证：
.
