文档内容
9.3 双曲线的定义与性
思维导图
知识点总结
双 曲 线 定 义 ： 设 F ，F 是 平 面 内 的 两 个 定 点 ， 若 平 面 内 的 点 P满 足
1 2
1P.F |-|PF ∥=2a(0<2a<|F F |)，则点P的轨迹是以F ，F 为焦点的双曲线 ||
∣ 2 1 2 1 2
.
双曲线的标准方程及简单几何性质
2. x2 y2 y2 x2
标准方程 - =1(a>0，b>0) - =1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
焦点坐标 左焦点F (-c，0)，右焦点F (c，0) 上焦点F (0，c)，下焦点F (0，-c)
1 2 1 2
焦距 |F F |=2c，其中c叫做半焦距，且c2=a2+b2
1 2
图形 x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈
R
范围
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
实轴端点
a， ， a
顶点
虚轴端点 (±， b0) (0b，± )
( )
实轴长 a，其中a叫做实半轴长
(0 ± ) (± 0)
虚轴长 b，其中b叫做虚半轴长
2
2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】x2 y2 y2 x2
标准方程 - =1(a>0，b>0) - =1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
b a
渐近线 y=± x y=± x
a b
c
离心率 e= (e>1)
a
2b2
双曲线通径公式：过焦点且与双曲线实轴垂直的弦叫做通径，通径长为
a
3. .
典型例题分析
考向一 双曲线的定义
x2
【例 】双曲线C： - y2=1的左、右焦点分别为F ，F ，点P在双曲线上，且|PF |=6，则|PF |=
4 1 2 1 2
1
_答__案___：_____或
2 10
解析：已知|PF |求|PF |用双曲线定义，需注意有绝对值，
1 2
由 题 意 ， ||PF |-|PF ||=4， 所 以 |PF |-|PF |=±4， 故 |PF |=|PF |±4， 结 合 |PF |=6可 得
1 2 1 2 2 1 1
|PF |=2或
2
10.
x2 y2
【变式】双曲线 - =1的左焦点为F，A(1，2)，P为双曲线右支上一点，则|PA|+|PF|的最小值为
4 5
_答__案___：___2__√2+4
解析：如图，直接分析|PA|+|PF|的最小值不易，涉及|PF|，可考虑用定义转化到右焦点来分析，设双曲
线的右焦点为F (3，0)，则|PF|-|PF |=4，所以|PF|=4+|PF |，故|PA|+|PF|=|PA|+|PF |+4
1 1 1 1
，
(1)
由三角形两边之和大于第三边可得|PA|+|PF |≥|AF |=√(1-3) 2+(2-0) 2=2√2，
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当且仅当P与图中P 重合时取等号，
0
结合 可得|PA|+|PF|≥2√2+4，故(|PA|+|PF|) =2√2+4
min
(1) .
反思 可以发现，双曲线定义与椭圆运用思路类似，实际上大部分题目处理思路也相同，故要类比学习
[ ] .
考向二 双曲线的标准方程
x2 y2
【例 】若方程 + =1表示双曲线，则实数m的取值范围为
m 2-m
2 ___________
答案：(-∞，0)∪(2，+∞)
1 1
解析：双曲线标准方程中x2和y2的系数异号，所以 ⋅ <0，解得：m<0或m>2
m 2-m
.
x2 y2
{m>0
反思 对于方程 + =1，若 n>0，则该方程表示椭圆；若mn<0，则该方程表示双曲线
m n
m≠n
[ ] .
【变式】双曲线λx2- y2=1的实轴长是虚轴长的 倍，则λ=
1 2 ___________
答案：
4
x2
b，λx2- y2=1⇒ - y2=1
解析：先把双曲线化为标准方程，找到a和 1 ，
λ
1 1 1
所以a2= ，b2=1，由题意，2a=2×2b，故a2=4b2，即 =4，所以λ=
λ λ 4
.
考向三 渐近线问题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】x2 y2
【例 】已知双曲线C： - =1，则C的右焦点的坐标为；点(4，0)到其渐近线的距离是
6 3
3 ___________
4√3
答案：(3，0)，
3
解析：由题意，a=√6，b=√3，c=√a2+b2=3，所以双曲线C的右焦点的坐标为(3，0)，渐近线方程
√2 |4| 4√3
为y=± x，即x±√2y=0，故点(4，0)到渐近线的距离 d= =
2 √12+(±√2) 2 3
.
反思 无论焦点在哪个坐标轴上，双曲线的渐近线都有个统一的求法：把标准方程中的“ 换成“ ，反
解出y即得渐近线的方程
[ ] 1” 0”
.
x2 y2
【变式 】 新高考Ⅱ卷 若双曲线 - =1的离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为
a2 b2
1 (2021 ) 2 ___________
答案：y=±√3x
c
解析：由离心率可找到a和c的比例关系，再利用c2=a2+b2换算成a和b的关系即可，由题意，e= =2，
a
b
所以c=2a，故√a2+b2=2a，化简得： =√3，所以渐近线方程为y=±√3x
a
.
反思 离心率和渐近线斜率由a，b，c的比值决定，故在求它们的过程中，可对a，b，c按比例赋值，
b
[不会影]响结果例如，本题也可由c=2a直接令a=1，c=2，于是b=√c2-a2=√3，也得出 =√3
a
. .
x2
【变式 】双曲线C与双曲线 - y2=1有相同的渐近线，且过点(2，2)，则双曲线C的方程为
2
2 ___________
y2 x2
答案： - =1
2 4
解析：不知道焦点在哪个坐标轴，讨论当然可以，但较为繁琑，可用共渐近线的双曲线的统一设法，设双
x2 22
曲线C： - y2=λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2，2)，所以 -22=λ，解得：λ=-2，故双曲线C的方
2 2
y2 x2
程为 - =1
2 4
.
x2 y2 x2 y2
反思 与双曲线 - =1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线可设为 - =λ(λ≠0)
a2 b2 a2 b2
[ ] .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向四 离心率问题
【 例 】 全 国 甲 卷 已 知 F ，F 是 双 曲 线 C的 两 个 焦 点 ， P为 C上 一 点 ， 且
1 2
∠F P4F =6(200∘，21-|PF |=3|PF)|，则C的离心率为
1 2 1 2
( )
√7
2
A.
√13
2
B.
√7
C.√13
D答.案：A
{ |PF |=3|PF | {|PF |=3a
解析：涉及|PF |和|PF |，考虑双曲线定义，由题意， 1 2 ，所以 1 ，还剩
1 2 |PF |-|PF |=2a |PF |=a
1 2 2
∠F PF =60∘这个条件没用，可在△PF F 中由余弦定理建立方程求离心率，由余弦定理，
1 2 1 2
|F F | 2=|PF | 2+|PF | 2-2|PF |⋅|PF |⋅cos∠F PF ，即4c2=9a2+a2-2×3a×a×cos60∘，整理
1 2 1 2 1 2 1 2
c2 7 c √7
得： = ，所以C的离心率e= =
a2 4 a 2
.
x2 y2
【变式】 已知双曲线 - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线l交双曲线的右
a2 b2 1 2 2
}
1
支于A、B两点，且|AB|=|AF |，cos∠AF B= ，则双曲线的离心率为( )
1 1 4
√5
2
A.
√3
B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C.2√5
D答.案：
C
又|AB|=|AF |，代入 可得|AB|-|AF |=|BF |=2a，代入 可得|BF |-2a=2a，所以|BF |=4a，
1 2 2 1 1
1 (1) (2)
对于cos∠AF B= 这个条件，我们能想到用余弦定理建立方程求离心率，但若在△AF B中用，它的
1 4 1
三边没有完全求出来，而△BF F 三边均已知了，所以转化到△BF F 中来用，因为|AB|=|AF |，所以
1 2 1 2 1
1
∠F BF =∠AF B， 故 cos∠F BF =cos∠AF B= ， 由 余 弦 定 理 ，
1 2 1 1 2 1 4
1
|F F |
2=|BF
|
2+|BF
|
2-2|BF
|⋅|BF |⋅cos∠F BF
，即4c2=16a2+4a2-2×4a×2a×
，整理
1 2 1 2 1 2 1 2 4
c2 c
得： =4，所以离心率e= =2
a2 a
.
考向五 焦点三角形面积问题
x2 y2
【例 5】 变式 设F(c，0)是双曲线 - =1(a>0，b>0)的右焦点，过原点O的直线与双曲线交于
a2 b2
[ ]
A，B两点，且AF⊥BF，且△ABF的周长为4a+2c，则该双曲线的离心率为
3 ( )
2
A.
5
2
B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】√10
3
C.
√10
2
D.
答案：
解析：D先分析图形，在双曲线中给出右焦点，一定要关注左焦点，如图，记左焦点为F ，由对称性，AB
1
中点为O，又FF 的中点也是O，所以四边形AF BF是平行四边形，结合AF⊥BF知四边形AF BF是
1 1 1
矩形，此时可将条件转移到△AFF 中来，结合双曲线的定义处理，设|AF |=m，|AF|=n，则|BF|=m，
1 1
由 四 边 形 AF BF为 矩 形 知 |AB|=|FF |=2c， 由 题 意 ， △ABF的 周 长
1 1
L=|AB|+|BF|+|AF|=2c+m+n=4a+2c，所以m+n=4a ，由双曲线定义，|m-n|=2a ，又
AF ⊥AF，所以m2+n2=4c2 ，要求离心率，应消去m和n，建立a和c的关系式，将 和 平方相
1
(1) (2)
加可得(m+n) 2+(m-n) 2=16a2(3+)4a2，整理得：m2+n2=10a2，代入 可得10a2=4(c12)，故(2)离心率
c √10 (3)
e= =
a 2
.
x2 y2
【变式】 C： - =1(a>0) F ，F P C
已知双曲线 a2 4 的左、右焦点分别为 1 2，点 在双曲线 上，且
PF ⊥PF ，则△PF F 的面积为
1 2 1 2
答案： ___________
4
解析：涉及焦点三角形，考虑用双曲线的定义，如图，设|PF |=m，|PF |=n，则|m-n|=2a ，上面
1 2
(1)
得到的是长度关系，故用勾股定理翻译垂直，因为PF ⊥PF ，所以m2+n2=|F F | 2=4(a2+4) ，对
1 2 1 2
(2)
比 和 发现，可通过配方求得mn，面积就有了，由 知m2+n2=(m-n) 2+2mn=4a2+16 ，将式
(1) (2) (2) 1 (3)
代入式 可得4a2+2mn=4a2+16，所以mn=8，故S = mn=4
△PKF 2 2
(11 (3) .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向六 直线与双曲线综合问题
x2 y2
【例 】 已知A，B是双曲线C： - =1上的两点，线段AB的中点是M(2，1)，则直线AB的方程
2 3
为 6 ]
答_案__：___3__3__x_- y-5=0
解析：涉及弦中点，想到中点弦斜率积结论，
1 3
M(2，1)⇒k ⋅k =k ⋅ = ，所以k =3，
AB OM AB 2 2 AB
如图，直线AB过点M，故其方程为y-1=3(x-2)，
整理得：3x- y-5=0
反思 在双曲线中，涉及. 弦中点的问题都可以考虑用中点弦斜率积结论来建立方程，求解需要的量
[变式]已知双曲线C：x2- y2=1，过点P(m，1)(m>0)的直线l与双曲线C交于A、B两点，若P. 为线段
AB的中点，则m的取值范围是
[ ]
___________
答案：(0，1)∪(√2，+∞)
1
解析：涉及弦中点，想到中点弦斜率积结论，由题意，k ⋅k =k ⋅ =1，所以k =m，如图，直线l
AB OP AB m AB
过点P，故其方程为y-1=m(x-m)，整理得：y=mx+1-m2，直线l是随m而变化的动直线，且应满足l
{y=mx+1-m2
与C有两个交点，于是联立方程用 Δ>0来求m的范围，联立 消去 y整理得：
x2- y2=1
(1-m2)x2-2m(1-m2)x+2m2-2-m4=0， 因 为 直 线 l与 双 曲 线 C有 个 交 点 ， 所 以
2
{ 1-m2≠0(1)
Δ=4m2(1-m2) 2 -4(1-m2)(2m2-2-m4)>0
由 可得m≠±1，由 可得(1-m2)[m2(1-m2)-2m2+2+m4)=(1-m2)(2-m2)>0，所以m2<1或m2>2，
结合(1)m>0可得0√2
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】基础题型训练
一、单选题
1．与椭圆 有公共焦点，且离心率 的双曲线的方程是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】双曲线与椭圆有公共焦点，先求出椭圆的焦点，然后根据离心率分别求出 ，即可求出双曲线
方程.
【详解】解：因为椭圆 的焦点 ，
设双曲线的方程为 ，则 ,
所以 ，故双曲线的方程是
故选：D
2．若双曲线 的一条渐近线经过点 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】先求出渐近线方程，代入点 化简求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】 双曲线 的渐近线方程为： ，点 在一条渐近线上即
故选：D
3．双曲线 的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得 ，即 ，即得渐近线方程.
【详解】由方程可得双曲线的焦点在 轴上，
实轴长是虚轴长的两倍， ，
则 ，故渐近线方程为 .
故选：C.
4．已知 ， 分别为双曲线 的左、右顶点， 为双曲线左支上一点， 为等腰
三角形且其外接圆的半径为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题目条件求出 的度数，然后再求出 的坐标，将 点的坐标代入双曲线方程找出
的关系即可写出渐近线方程
【详解】如图所示
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 为外接圆的圆心， 是等腰三角形，
又 , 是等边三角形
过 点作 于 点， ，
故 点在双曲线上
，整理得：
故双曲线的渐近线方程为：
故选：B
5．过原点的直线 与双曲线 ： （ ， ）相交于不同的两点 ， ， 为双曲线 的
左焦点，且满足 ， （ 为坐标原点），则双曲线 的渐近线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点 为双曲线的右焦点，根据直线 过原点，由双曲线的对称性得到 ，再利用双曲线
的定义结合 ，得到 ，再根据 ，易得 ，然后由
求解.
【详解】如图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点 为双曲线的右焦点，
因为直线 过原点，由双曲线的对称性得：四边形 是平行四边形，
所以 ，
由双曲线的定义得： ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，则 ，
又因为 ，
所以 ，
则 ，
即 ，
解得 ，即 ，
故选：B
6．在平面直角坐标系 中，双曲线C： 的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线
与C交于A，B两点，若 是正三角形，则C的离心率为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设双曲线半焦距为c，求出 ，由给定的正三角形建立等量关系，结合 计算作答.
【详解】设双曲线半焦距为c，则 ，而 轴，由 得 ，从而有 ，
而 是正三角形，即有 ，则 ，整理得 ，
因此有 ，而 ，解得 ，
所以C的离心率为 .
故选：A
二、多选题
7．已知双曲线E： 的左右焦点分别为 、 ，点P在双曲线E上， =10，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据双曲线定义直接计算可得.
【详解】由双曲线定义可知 ，即 ，
所以 或 .
故选：AD
8．已知双曲线 经过点 ，则（ ）
A． 的实轴长为 B． 的焦距为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． 的离心率为 D． 的渐近线方程是
【答案】BC
【分析】根据双曲线经过点 ,可得双曲线标准方程，根据双曲线的简单几何性质即可逐一判断.
【详解】由题意得 ，得 即双曲线方程为 ．
所以，双曲线的实轴长是 ，焦距是 ，离心率为 ，渐近线方程是
故BC正确，AD错误，
故选：BC
三、填空题
9．焦点在 轴上，虚轴长为 ，且离心率 的双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由双曲线的虚轴长可得 的值，又由双曲线的离心率公式可得
，解可得 ，又由双曲线焦点的位置分析可得答案．
【详解】解：由题，因为焦点在 轴上，所以，设双曲线的方程为 ．
因为虚轴长为 ，且离心率 ，
所以 ， ， ，
所以， ，解得 ， ，
所以所求双曲线的标准方程为 ．
故答案为：
10．已知点 为双曲线 的左顶点，点 和点在 双曲线的右支上， 是等边三角形，则
的面积为 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】根据题意得 ，再根据双曲线和等边三角形的对称性，得到 ，由此得到直线 的
方程，求出点 ，从而可求 的面积.
【详解】由题意得， ，
因为点 和 在双曲线的右分支上， 是等边三角形，
根据对称性得， ，
所以直线 的方程是 ，
代入双曲线方程，得 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础
题.
11．过点 与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程是 .
【答案】
【解析】利用待定系数法设出所求双曲线标准方程 ，再将点 代入可解得结果.
【详解】设与双曲线 有公共渐近线的双曲线标准方程是 ，
因为双曲线 过 ，所以 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以所求双曲线的标准方程为 .
故答案为： .
12．从双曲线 的左焦点 引圆 的切线，切点为 ，且 交双曲
线的右支于点 ，若点 满足 ，则双曲线 的离心率为 ．
【答案】
【分析】设点 是线段 的中点，由切线的性质可求 ， ，根据双曲线的定义可得 ，再由 ，
， 的关系求离心率.
【详解】设双曲线的右焦点为 ，点 是线段 的中点，点 为坐标原点，
由切线的性质可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
由双曲线的定义， ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】四、解答题
13．已知双曲线的焦点在 轴上，并且双曲线过点 和 ，求双曲线的标准方程.
【答案】
【解析】直接设双曲线的方程为 ( )，代入点的坐标解得 ，即得．
【详解】设 ( )，则 ，解得 ，∴方程为 .
14．已知双曲线C： ．
（1）求以C的焦点为顶点、以C的顶点为焦点的椭圆的标准方程；
（2）求与C有公共的焦点，且过点 的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、
离心率以及渐近线方程．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】（1） ；（2） ；实轴长为 、焦距为 、离心率为 ，渐近线方程
为 ．
【解析】（1）求得双曲线的焦点和顶点坐标，可得椭圆的a，c，求得b，可得椭圆方程；
（2）设所求双曲线的方程为 （m， ），由题意可得 ， ，解方程可得
m，n，进而得到所求双曲线的其他性质．
【详解】解：（1）双曲线C： 的焦点为 ，顶点为 ，
设椭圆的标准方程为 ，可得 ， ， ，
则椭圆的方程为 ；
（2）设所求双曲线的方程为 （m， ），
由题意可得 ， ，
解得 ， ，即所求双曲线的方程为 ，
则这条双曲线的实轴长为 、焦距为 、离心率为 以及渐近线方程为 ．
15．在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 的轨迹为 .
求 的方程；
【答案】 ；
【分析】
利用双曲线的定义可知轨迹 是以点 、 为左、右焦点双曲线的右支，求出 、 的值，从而得
的值，即可得出轨迹 的方程；
【详解】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，由双曲线的定义可知，
轨迹 是以点 、 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，可得 ，
，即 ，所以 ，
所以轨迹 的方程为 .
16．已知 为坐标原点，双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，离心率为2，过
的直线与双曲线的右支交于 ， 两点，且 的最小值为6，
(1)求双曲线方程
(2)求 面积的最小值
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）结合题意，得到 的最小值为 ，从而利用双曲线的几何性质得到关于 的方程组，
解之即可；
（2）先由条件得到 ，再联立直线与双曲线方程，结合韦达定理得到 关于 的解析式，利
用换元法与 的单调性即可求得 的最小值.
【详解】（1）依题意得，当 轴时， 取得最小值，不妨设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，故 ，则 ，所以 ，则 ，
又 ，则 ，
联立 ，解得 ，
所以双曲线的方程为 .
（2）由（1）得 ，设 ， ，直线 ，
因为双曲线的渐近线为 ，又由直线 与双曲线的右支交于两点，
所以 ，则 ，从而 ，
联立 ，得 ，
则 ， ， ，
所以 ，
设 ，则 ， ，
令 ，易得 在 上单调递减，则 ，
所以 ，即 面积的最小值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】提升题型训练
一、单选题
1．双曲线 的实轴长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得 ，进而根据双曲线的实轴长为 求解即可.
【详解】解：由题知 ，所以双曲线的实轴长为 .
故选：B
2．已知 是双曲线 的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线
l与双曲线C的一个交点，且 则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】由 得到 ， ，结合 ，求出 ，
，利用双曲线定义得到方程，求出离心率.
【详解】不妨设点M在第一象限，
由题意得： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
故 ，故 ，
因为O为 的中点，
所以 ，
因为 ，故 为等边三角形，
故 ， ，
由双曲线定义可知： ，
即 ，解得： .
故选：C.
3．已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 ，若经过 和 两点的直线平行
于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线的离心率为 ，得到双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为 ，根据直线
的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．
【详解】设双曲线的左焦点 ，离心率 ，即 ，
因为 ，所以 ，
双曲线的渐近线方程为 ，
由题意得：经过 和 两点的直线与 平行，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，
则 ，解得： ，则 ，
故双曲线的标准方程： .
故选：D．
4．已知双曲线 的上、下焦点分别为 ，若存在点 ，使得
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线方程可得实轴长和渐近线方程，结合双曲线定义和点 所在直线可确定双曲线 与
有交点，由此可得渐近线与直线 斜率之间的关系，进而解不等式求得结果.
【详解】由双曲线方程知：实轴长 ，渐近线方程为 ；
由双曲线定义知：在双曲线 上半支任取一点 ，则 ；
在直线 上，
若存在点 ，使得 ，则双曲线 与 有交点，
，解得： （舍）或 ， 实数 的取值范围为 .
故选：C.
5．已知双曲线 与直线 相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范
围为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，即可得到 的范围，再由双曲线的离心率的公式，代入计算，
即可得到结果.
【详解】由 可得， ，则 ，
即 ，解得 ，故 ，
则 ，故 .
故选：D
6．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，若点 到该双曲线渐近线的距离为
1，点P在双曲线上，且 ，则 的面积为（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离结合条件求出 ，然后由双曲线的定义结合余弦
定理可得出 ，由条件求出 , ，结合三角形的面积
公式可得出答案.
【详解】双曲线 的渐近线方程为： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为点 到该双曲线渐近线的距离为1，所以 ．
由题意 ，则 （1）
由余弦定理可得 （2）
将（1）代入（2）可得 ．
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
故 的面积为 ．
故：D
二、多选题
7．设 分别是双曲线 的左､右焦点，且焦距为2，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．当 时， 的离心率是
C． 的取值范围是
D． 到渐近线的距离随着 的增大而增大
【答案】BC
【分析】对A，由a、b、c关系列式求解即可；
对B，由离心率公式直接求即可；
对C，双曲线存在左右焦点，故有 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对D， 到渐近线的距离为 .
【详解】对A， ，∴ ，A错；
对B， ， ，∴ ，B对；
对C，双曲线存在左右焦点，故 ，解得 ，C对；
对D， 到渐近线的距离为 ，随着 的增大而减小，D错.
故选：BC.
8．已知椭圆 过双曲线 的焦点， 的焦点恰为 的顶点， 与 的
交点按逆时针方向分别为 ， ， ， ， 为坐标原点，则（ ）
A． 的离心率为
B． 的右焦点到 的一条渐近线的距离为
C．点 到 的两顶点的距离之和等于
D．四边形 的面积为
【答案】ACD
【分析】根据条件先求解出双曲线方程中 的值，由此可求双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距
离公式即可判断选项A和选项B；根据椭圆的定义判断选项C；计算出椭圆和双曲线的交点坐标，由此可
求四边形 的面积.
【详解】如下图所示，设双曲线的焦距为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意可知： ， ，所以 的离心率为 ，故A正确；
的右焦点 ， 方程中 ，所以 的渐近线方程为 ，
不妨取渐近线 ，所以 到 的距离为 ，故B错误；
根据椭圆定义可知： ，故C正确；
联立 ，所以 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
9．以 为渐近线且经过点 的双曲线方程为 ．
【答案】
【详解】以 为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为 ，代入点 得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
10．已知定点 ，且 ，动点 满足 ，则 的最小值是 .
【答案】6
【分析】根据动点 满足 ，得到点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，不
妨设焦点在x轴上，写出双曲线方程，设 ，利用两点间距离公式求解.
【详解】因为动点 满足 ，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，
则 ，即 ，
不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为 ，
左焦点为 ，右焦点为 ，
设 ，则 ，
所以 ，
所以 的最小值是6，
故答案为：6
11．P是非等轴双曲线 上的一点， 分别是双曲线C左､右焦点，若 ，
则双曲线C的渐近线方程是 .
【答案】
【解析】由双曲线定义可得 ，根据 、已知可解得 ，再由渐近线方程是
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以双曲线C的渐近线方程是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了双曲线的定义、焦点三角形的问题，关键点是焦点三角形中 ，考查了分析
问题、解决问题的能力.
12．已知双曲线方程是 ，过 的直线与双曲线右支交于 ， 两点（其中 点在第一象限），
设点 、 分别为 、 的内心，则 的范围是 .
【答案】
【分析】根据双曲线和三角形内切圆的性质可得点 、 与双曲线右顶点 三点共线，且 ，线
段 ，可分别用直线倾斜角表示出 ，根据倾斜角范围可求出 的范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】
因 ，故 ， ， ，
如图，过 点分别作 ， ， ，垂足分别为 ，
因 为 的内心，
所以 ，
故 点也在双曲线上，即 为双曲线的右顶点，
同理 ，所以 三点共线，
设直线 的倾斜角为 ，
因双曲线的渐近线方程为 ，倾斜角为 ，
根双曲线的对称性，不妨设 ，
因 ，
所以 ，
,
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
因 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：
四、解答题
13．求满足下列条件的曲线标准方程：
(1)两焦点分别为 ， ，且经过点 的椭圆标准方程；
(2)与双曲线 有相同渐近线，且焦距为 的双曲线标准方程.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】(1)利用椭圆的定义以及点在椭圆上求解；(2)根据双曲线及渐近线方程的定义求解.
【详解】（1）设所求椭圆的标准方程为
两焦点分别为 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 椭圆过点 ， ，又
， ，所以椭圆的标准方程为 .
（2）方法一：
(i),若焦点在 轴上，设所求双曲线方程为 ，
因为 与双曲线 有相同渐近线，
所以 ，设该双曲线的焦距为 ，
又因为焦距 所以 ，所以 ，
联立 解得 则双曲线方程为 ，
(ii),若焦点在 轴上，设所求双曲线方程为 ，
因为 与双曲线 有相同渐近线，
所以 ，设该双曲线的焦距为 ，
又因为焦距 所以 ，所以 ，
联立 解得 则双曲线方程为 ，
双曲线的标准方程为： 或
方法二：
设与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程为： （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】焦距为 ，
，
双曲线的标准方程为： 或
14．已知双曲线 ： 与双曲线 有相同的焦点；且 的一条渐近线与直线
平行.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 右支相切（切点不为右顶点），且 分别交双曲线 的两条渐近线于 两点， 为
坐标原点，试判断 的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，2
【分析】（1）根据题意列式求解 ，即可得方程；（2）设直线 ，联立方程由 可得
，根据题意求 的坐标，即可求 的面积，化简整理即可.
【详解】（1）设双曲线 的焦距为 ，
由题意可得： ，则 ，
则双曲线 的方程为 .
（2）由于直线 与双曲线 右支相切（切点不为右顶点），则直线 的斜率存在，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设直线 的方程为 ，
则 ，消 得： ，
则 ，可得： ①
设 与 轴交点为 ，
则 ，
∵双曲线两条渐近线方程为： ，
联立 ，解得 ，即 ，
同理可得： ，
则 （定值）.
15．在一张纸上有一圆 ： ，定点 ，折叠纸片使圆 上某一点 恰好与点 重
合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 ，设折痕 与直线 的交点为 .
(1)求点 的轨迹 方程；
(2)曲线 上一点N，点A、B分别为直线 ： 在第一象限上的点与 ： 在第四象限上的点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若 ， ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得 ，即可得到 ，根据双曲线的定义可得点 的轨
迹为以 ， 为焦点，实轴长为8的双曲线，从而求出 的轨迹方程；
（2）设 ， ， ，且 ， ，根据 ，即可得到
，再表示出 、 ，设 的倾斜角为 ，利用二倍角公式即同角三角函数的基本关系
求出 ，再根据 及对勾函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：依题意可得点 与 关于 对称，则 ，
∴ .
则点 的轨迹为以 ， 为焦点，实轴长为8的双曲线，
∴ ， ，又 ，故 ， ， ，
所以双曲线方程为 ；
（2）解：由题意知， ， 分别为双曲线 ： 的渐近线，
设 ， ， ，且 ， ，
由 得 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ， .∴ ，
整理得 ，即
又 ，同理 ，
设 的倾斜角为 ，
则 .
∴
因为 ，易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ；
∴ 面积取值范围是 .
16．已知 为坐标原点，双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，离心率为2，过
的直线与双曲线的右支交于 ， 两点，且 的最小值为6，
(1)求双曲线方程
(2)求 面积的最小值
【答案】(1)
(2)12
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）结合题意，得到 的最小值为 ，从而利用双曲线的几何性质得到关于 的方程组，
解之即可；
（2）先由条件得到 ，再联立直线与双曲线方程，结合韦达定理得到 关于 的解析式，利
用换元法与 的单调性即可求得 的最小值.
【详解】（1）依题意得，当 轴时， 取得最小值，不妨设 ，
则 ，故 ，则 ，所以 ，则 ，
又 ，则 ，
联立 ，解得 ，
所以双曲线的方程为 .
（2）由（1）得 ，设 ， ，直线 ，
因为双曲线的渐近线为 ，又由直线 与双曲线的右支交于两点，
所以 ，则 ，从而 ，
联立 ，得 ，
则 ， ， ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，则 ， ，
令 ，易得 在 上单调递减，则 ，
所以 ，即 面积的最小值为 .
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