文档内容
9.3 双曲线的定义与性
思维导图
知识点总结
双 曲 线 定 义 ： 设 F ，F 是 平 面 内 的 两 个 定 点 ， 若 平 面 内 的 点 P满 足
1 2
，则点 的轨迹是以 为焦点的双曲线
1P.F |-|PF ∥=2a(0<2a<|F F |) P F ，F ||
∣ 2 1 2 1 2
.
双曲线的标准方程及简单几何性质
2. x2 y2
标准方程 - =1(a>0，b>0)
a2 b2
焦点坐标 左焦点F (-c，0)，右焦点F (c，0)
1 2
焦距 |F F |=2c，其中c叫做半焦距，且c2=a2+b2
1 2
图形 x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈
R
范围
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
实轴端点
， a
顶点
虚轴端点 (0b，± )
( )
实轴长 a，其中a叫做实半轴长
(± 0)
虚轴长 b，其中b叫做虚半轴长
2
2x2 y2
标准方程 - =1(a>0，b>0)
a2 b2
b
渐近线 y=± x
a
离心率
双曲线通径公式：过焦点且与双曲线实轴垂直的弦叫做通径，通径长为______
3. .
典型例题分析
考向一 双曲线的定义
x2
【例 】双曲线C： - y2=1的左、右焦点分别为F ，F ，点P在双曲线上，且|PF |=6，则|PF |=
4 1 2 1 2
1
___________
x2 y2
【变式】双曲线 - =1的左焦点为F，A(1，2)，P为双曲线右支上一点，则|PA|+|PF|的最小值为
4 5
___________
考向二 双曲线的标准方程x2 y2
【例 】若方程 + =1表示双曲线，则实数m的取值范围为
m 2-m
2 ___________
【变式】双曲线λx2- y2=1的实轴长是虚轴长的 倍，则λ=
2 ___________
考向三 渐近线问题
x2 y2
【例 】已知双曲线C： - =1，则C的右焦点的坐标为；点(4，0)到其渐近线的距离是
6 3
3 ___________
【变式 】 新高考Ⅱ卷 若双曲线x2 y2 的离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为
- =1
a2 b2
1 (2021 ) 2 ___________
x2
【变式 】双曲线C与双曲线 - y2=1有相同的渐近线，且过点(2，2)，则双曲线C的方程为
2
2 ___________考向四 离心率问题
【 例 】 全 国 甲 卷 已 知 F ，F 是 双 曲 线 C的 两 个 焦 点 ， P为 C上 一 点 ， 且
1 2
，则 的离心率为
∠F P4F =6(200∘，21-|PF |=3|PF)| C
1 2 1 2
( )
√7
2
A.
√13
2
B.
√7
C.√13
D.
【变式】 已知双曲线x2 y2 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 交双曲线的右
- =1(a>0，b>0) F ，F F l
a2 b2 1 2 2
}
1
支于A、B两点，且|AB|=|AF |，cos∠AF B= ，则双曲线的离心率为( )
1 1 4
√5
2
A.
√3
B.
C.2√5
D.
考向五 焦点三角形面积问题【例 5】
变式 设
是双曲线x2 y2
的右焦点，过原点 的直线与双曲线交于
F(c，0) - =1(a>0，b>0) O
a2 b2
[ ]
A，B两点，且AF⊥BF，且△ABF的周长为4a+2c，则该双曲线的离心率为
3 ( )
2
A.
5
2
B.
√10
3
C.
√10
2
D.
【变式】
已知双曲线
x2 y2
的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且
C： - =1(a>0) F ，F P C
a2 4 1 2
PF ⊥PF ，则△PF F 的面积为
1 2 1 2
___________
考向六 直线与双曲线综合问题
x2 y2
【例 】 已知A，B是双曲线C： - =1上的两点，线段AB的中点是M(2，1)，则直线AB的方程
2 3
为 6 ]
___________
变式 已知双曲线C：x2- y2=1，过点P(m，1)(m>0)的直线l与双曲线C交于A、B两点，若P为线段
[ ]AB的中点，则m的取值范围是
___________
基础题型训练
___
一、单选题
1．与椭圆 有公共焦点，且离心率 的双曲线的方程是
A． B．
C． D．
2．若双曲线 的一条渐近线经过点 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
3．双曲线 的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， 分别为双曲线 的左、右顶点， 为双曲线左支上一点， 为等腰
三角形且其外接圆的半径为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．5．过原点的直线 与双曲线 ： （ ， ）相交于不同的两点 ， ， 为双曲线 的
左焦点，且满足 ， （ 为坐标原点），则双曲线 的渐近线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系 中，双曲线C： 的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线
与C交于A，B两点，若 是正三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知双曲线E： 的左右焦点分别为 、 ，点P在双曲线E上， =10，则 为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线 经过点 ，则（ ）
A． 的实轴长为 B． 的焦距为
C． 的离心率为 D． 的渐近线方程是
三、填空题
9．焦点在 轴上，虚轴长为 ，且离心率 的双曲线的标准方程为 ．
10．已知点 为双曲线 的左顶点，点 和点在 双曲线的右支上， 是等边三角形，则
的面积为 ；11．过点 与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程是 .
12．从双曲线 的左焦点 引圆 的切线，切点为 ，且 交双曲
线的右支于点 ，若点 满足 ，则双曲线 的离心率为 ．
四、解答题
13．已知双曲线的焦点在 轴上，并且双曲线过点 和 ，求双曲线的标准方程.
14．已知双曲线C： ．
（1）求以C的焦点为顶点、以C的顶点为焦点的椭圆的标准方程；
（2）求与C有公共的焦点，且过点 的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、
离心率以及渐近线方程．
15．在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 的轨迹为 .
求 的方程；
16．已知 为坐标原点，双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，离心率为2，过
的直线与双曲线的右支交于 ， 两点，且 的最小值为6，
(1)求双曲线方程
(2)求 面积的最小值提升题型训练
一、单选题
1．双曲线 的实轴长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．已知 是双曲线 的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线
l与双曲线C的一个交点，且 则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 ，若经过 和 两点的直线平行
于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线 的上、下焦点分别为 ，若存在点 ，使得
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知双曲线 与直线 相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，若点 到该双曲线渐近线的距离为
1，点P在双曲线上，且 ，则 的面积为（ ）
A． B．4 C．2 D．
二、多选题
7．设 分别是双曲线 的左､右焦点，且焦距为2，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．当 时， 的离心率是
C． 的取值范围是
D． 到渐近线的距离随着 的增大而增大
8．已知椭圆 过双曲线 的焦点， 的焦点恰为 的顶点， 与 的
交点按逆时针方向分别为 ， ， ， ， 为坐标原点，则（ ）
A． 的离心率为
B． 的右焦点到 的一条渐近线的距离为C．点 到 的两顶点的距离之和等于
D．四边形 的面积为
三、填空题
9．以 为渐近线且经过点 的双曲线方程为 ．
10．已知定点 ，且 ，动点 满足 ，则 的最小值是 .
11．P是非等轴双曲线 上的一点， 分别是双曲线C左､右焦点，若 ，
则双曲线C的渐近线方程是 .
12．已知双曲线方程是 ，过 的直线与双曲线右支交于 ， 两点（其中 点在第一象限），
设点 、 分别为 、 的内心，则 的范围是 .
四、解答题
13．求满足下列条件的曲线标准方程：
(1)两焦点分别为 ， ，且经过点 的椭圆标准方程；
(2)与双曲线 有相同渐近线，且焦距为 的双曲线标准方程.
14．已知双曲线 ： 与双曲线 有相同的焦点；且 的一条渐近线与直线
平行.
(1)求双曲线 的方程；(2)若直线 与双曲线 右支相切（切点不为右顶点），且 分别交双曲线 的两条渐近线于 两点， 为
坐标原点，试判断 的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.
15．在一张纸上有一圆 ： ，定点 ，折叠纸片使圆 上某一点 恰好与点 重
合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 ，设折痕 与直线 的交点为 .
(1)求点 的轨迹 方程；
(2)曲线 上一点N，点A、B分别为直线 ： 在第一象限上的点与 ： 在第四象限上的点，
若 ， ，求 面积的取值范围.
16．已知 为坐标原点，双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，离心率为2，过
的直线与双曲线的右支交于 ， 两点，且 的最小值为6，
(1)求双曲线方程
(2)求 面积的最小值
