文档内容
专题 9.3 椭圆
题型一 椭圆的定义
题型二 椭圆的标准方程
题型三 椭圆的焦点三角形
题型四 距离和差的最值问题
题型五 椭圆的简单几何性质
题型六 求椭圆离心率
题型七 求椭圆离心率的取值范围
题型一 椭圆的定义
例1．（2023秋·高三课时练习）已知点P为椭圆 上动点， 分别是椭圆
C的焦点，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
例2．（2021秋·高三单元测试）在平面直角坐标系 中，已知点 和 ，点
B在椭圆 上，则 =________， 的最小值是________．
练习1．（2022秋·高二课时练习）已知 ，动点C满足 ，则
点C的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线
C．线段 D．点
练习2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，点 与 的焦点不重合，
若 关于 的焦点的对称点分别为 ， ，线段 的中点在 上，则
（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25练习3．（2021秋·高三课时练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：
为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（ ）
A．p是q的充分不必要条件
B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件
D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件
练习4．（2023春·山东青岛·高三统考开学考试）已知 为椭圆 的左、右
焦点，点 在 上，则 的最小值为___________．
练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知动点 满足
（ 为大于零的常数）﹐则动点 的轨迹是（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线
题型二 椭圆的标准方程
例3．（2023秋·高二课时练习）常数 ，椭圆 的长轴长是短轴长的3倍，
则a的值为__________．
例4．（2021秋·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为 ，离心率 ；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆 有相同离心率的椭圆的标准方程．
练习6．（2023·全国·高三对口高考）根据下列条件求椭圆的标准方程
(1)两个焦点的坐标分别是 、 ，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
(2)两个焦点的坐标分别是 、 ，并且椭圆经过点 ；(3)椭圆经过两点 ， ；
(4)离心率为 且过点 ；
练习7．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）若椭圆 的焦点在 轴上，且与椭圆 ：
的离心率相同，则椭圆 的一个标准方程为______.
练习8．（2023秋·高三课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端
点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为 ，则这个椭圆的方程为
（ ）
A． B． 或
C． D．以上都不对
练习9．（2023秋·高二课时练习）已知 分别为椭圆 的左、右焦
点，点P在椭圆上， （O为坐标原点）是面积为 的正三角形，则此椭圆的方程为
__________．
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知焦点在 轴上的椭圆 的焦距等于 ，
则实数 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
题型三 椭圆的焦点三角形
例5．（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点
与两个焦点 的距离的和等于4，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·北京·101中学校考三模）已知 分别是双曲线 的左右焦点， 是 上的一点，且 ，则 的周长是__________．
练习11．（2023春·四川内江·高三威远中学校校考期中）已知直线 与椭圆
交于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长是___________.
练习12．（2022秋·高三课时练习）已知点 在椭圆 上， 是椭圆的焦点，
且 ，求
(1)
(2) 的面积
练习13．（2023·福建宁德·校考模拟预测）如图， 分别是椭圆的左、右焦点，点P
是以 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 与椭圆交于点Q，若
，则直线 的斜率为__________
练习14．（2023秋·广东·高三统考期末）椭圆 的一个焦点是F，过原点O作直线
(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则 的周长的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
练习15．（2023·广东深圳·统考模拟预测）椭圆 的左右两焦点分别
为 ，点 在椭圆上，正三角形 面积为 ，则椭圆的方程为______ ．
题型四 距离和差的最值问题例7．（2023·全国·高三对口高考）设P是椭圆 上一点，M、N分别是两圆：
和 上的点，则 的最小值、最大值分别是________．
例8．（2022秋·贵州遵义·高三习水县第五中学校联考期末）已知点 是椭圆 上
一动点， 是圆 上一动点，点 ，则 的最大值为
__________.
练习16．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为
， ，A是C上一点， ，则 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
练习17．（2021秋·高三课时练习）已知点F，F 是椭圆 的左、右焦点，点P
1 2
是该椭圆上的一个动点，那么 的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2
练习18．（2020·北京·高三校考强基计划）（多选）已知点 ，P为椭圆
上的动点，则 的（ ）
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
练习19．（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）已知F是椭圆 的左
焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是 ，则 的最大值是
______．
练习20．（2022·高三课时练习）（多选）已知 是左右焦点分别为 ， 的 上的动点， ，下列说法正确的有（ ）
A． 的最大值为5 B．
C．存在点 ，使 D． 的最大值为
题型五 椭圆的简单几何性质
例9．（2023秋·高三课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点
恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
例10．（2023秋·高二课时练习）已知P点是椭圆 上的动点，A点坐标为 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
练习21．（2023春·上海长宁·高三上海市第三女子中学校考期中）椭圆 和
（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同
练习22．（2023秋·高三课时练习）椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过
点 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标，并用描点法画出它的图形．
练习23．（2022秋·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）一个圆经过椭圆 的
三个顶点，且圆心在 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______.练习24．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为
，直线y＝m与C交于A，B两点（A在y轴右侧），O为坐标原点，则下列说法正确
的是（ ）
A．
B．当 时，四边形ABFF 为矩形
1 2
C．若 ，则
D．存在实数m使得四边形ABFO为平行四边形
1
练习25．（2022·全国·高三专题练习）设 、 分别是椭圆 的左、右焦点，若
是该椭圆上的一个动点，则 的最大值和最小值分别为（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
题型六 求椭圆离心率
例11．（2023·山东烟台·统考三模）已知 分别是椭圆 的左、
右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直，直线 与 的另一个交点为 ，若
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设 内接于椭圆
， 与椭圆的上顶点重合，边 过 的中心 ，若 边上中线
过点 ，其中 为椭圆 的半焦距，则该椭圆的离心率为______.
练习26．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知 ， 是椭圆的左、右焦点， 是 的上顶点，点 在过 且斜率为 的直线
上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
练习27．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为 ， .若 关于直线 的对称点P恰好在
椭圆C上，则椭圆C的离心率为______.
练习28．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知椭圆 ：
，过 中心的直线交 于 ， 两点，点 在 轴上，其横坐标是点
横坐标的3倍，直线 交 于点 ，若直线 恰好是以 为直径的圆的切线，则
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
练习29．（2022秋·高三课时练习）已知 是椭圆 的左、右焦点，
过右焦点 的直线 与椭圆交于 两点，且满足 ， ，则该椭圆的
离心率是（ ）
A． B．
C． D．
练习30．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点
分别是 ，斜率为 的直线经过左焦点 且交 于 两点（点 在第一象限），设△
的内切圆半径为 的内切圆半径为 ，若 ，则椭圆的离心率的值为
（ ）A． B．
C． D．
题型七 求椭圆离心率的取值范围
例13．（2023秋·高三课时练习）设 分别是椭圆 的左右焦点，
若椭圆C上存在点P，使线段 的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
例14．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知 为圆 上
一点，椭圆 焦距为6，点 关于直线 的对称点在椭圆 上，
则椭圆离心率的取值范围为_________________．
练习31．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设 是椭圆
的上顶点， 是 上的一个动点．当 运动到下顶点时， 取
得最大值，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习32．（2022秋·高三课时练习）椭圆 的焦点在 轴上，则它的离心率的
取值范围是（ ）
A．（0， ） B．（ ， ]
C． D．练习33．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知点 ，
为椭圆 上的两点，点 满足 ，
则 的离心率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
练习34．（2023春·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考期中）已知椭圆 的
下顶点为 ，右焦点为 ，直线AF交椭圆 于 点， ，若 ，则椭圆 的
离心率的取值范围是______．
练习35．（2023·河北·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，点 为圆 与 的一个公共点，若 ，则当 时，椭
圆 的离心率的取值范围为______.
