文档内容
专题 9.3 椭圆
题型一 椭圆的定义
题型二 椭圆的标准方程
题型三 椭圆的焦点三角形
题型四 距离和差的最值问题
题型五 椭圆的简单几何性质
题型六 求椭圆离心率
题型七 求椭圆离心率的取值范围
题型一 椭圆的定义
例1．（2023秋·高三课时练习）已知点P为椭圆 上动点， 分别是椭圆
C的焦点，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【分析】由椭圆的定义可得 ，结合 ，即可求解.
【详解】由椭圆 ，可得 ，所以 ，
又由椭圆的定义可得 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
故选：D.
例2．（2021秋·高三单元测试）在平面直角坐标系 中，已知点 和 ，点
B在椭圆 上，则 =________， 的最小值是________．
【答案】 / 2
【分析】根据椭圆的定义结合正弦定理可求得 的值，根据椭圆的几何性质可求得 的最小值.
【详解】由已知 得 ，
故点A，C为椭圆 的焦点，
由正弦定理及椭圆的定义可得 ，
当B点位于椭圆的左顶点时， 最小，最小值是 ，
故答案为： ；2
练习1．（2022秋·高二课时练习）已知 ，动点C满足 ，则
点C的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线
C．线段 D．点
【答案】C
【分析】由 ，作出判断即可．
【详解】因为 ，
所以 ，知点C的轨迹是线段AB．
故选：C.
练习2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，点 与 的焦点不重合，
若 关于 的焦点的对称点分别为 ， ，线段 的中点在 上，则
（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【分析】根据题意，画出图像，结合条件可得 ， ，再结合椭圆的
定义即可得到结果.【详解】
设 的中点为 ，椭圆的左右焦点分别为 ，则 为 的中点， 为 的中点，
所以 ，同理 ，
所以 .
故选:C
练习3．（2021秋·高三课时练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：
为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（ ）
A．p是q的充分不必要条件
B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件
D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件
【答案】B
【分析】根据 为定值，且定值大于 时轨迹才是椭圆，从而得到答案.
【详解】当 为定值时，
若定值大于 时，点M轨迹是椭圆，若定值等于 ，点M轨迹是线段，若定值小于
，则轨迹不存在；
当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时， 必为定值；
所以 ，但 ，故p为q的必要不充分条件．
故选：B
练习4．（2023春·山东青岛·高三统考开学考试）已知 为椭圆 的左、右
焦点，点 在 上，则 的最小值为___________．
【答案】 /
【分析】利用椭圆的定义和基本不等式直接求最值.
【详解】因为点 在椭圆 上，所以 ，所以.
所以
（当且仅当 ，即 时等号成立 ）.
所以 的最小值为 .
故答案为： .
练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知动点 满足
（ 为大于零的常数）﹐则动点 的轨迹是（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线
【答案】C
【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可得到结果.
【详解】 的几何意义为点 与点 间的距离，
同理 的几何意义为点 与点 间的距离，
且
又由 为大于零的常数，可知 ，
当且仅当 ，即 时取等，
故 ，
即动点 到点 与到点 的距离之和为定值，且大于 ，
所以动点 的轨迹为椭圆，
故选：C.题型二 椭圆的标准方程
例3．（2023秋·高二课时练习）常数 ，椭圆 的长轴长是短轴长的3倍，
则a的值为__________．
【答案】3或
【分析】分 ， 讨论，根据条件列出等式，即求.
【详解】由椭圆 ，可得椭圆 ，
当 时， 表示焦点在x轴上的椭圆，
∴ ，即 ，
当 时， 表示焦点在y轴上的椭圆，
∴ ，即 ，
综上，实数a的值为3或 .
故答案为：3或 .
例4．（2021秋·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为 ，离心率 ；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆 有相同离心率的椭圆的标准方程．
【答案】(1) ＋ ＝1
(2) ＋ ＝1
(3) ＋ ＝1或 ＋ ＝1
【分析】（1）根据椭圆的焦点结合离心率求得 的值，进一步计算得到椭圆的方程；
（2）根据题意得出 为等腰直角三角形，得到 ，再由 ，求得
的值，即可求得椭圆的方程；
（3）由所求椭圆与椭圆 有相同离心率，得到 ，分类讨论，即可求得椭圆的方程.
【详解】（1）（1）依题意，焦点在x轴上，且c＝3，又 ，则a＝4，
∴b2＝a2－c2＝42－32＝7，
∴椭圆的方程为 ．
（2）设椭圆方程为 ，如图所示，
由一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8，
可得 为等腰直角三角形， 为斜边 的中线(高线)，
又由 ，所以 ，所以 ，
故所求椭圆的方程为 .
（3）由题意，椭圆 ，可得长半轴 ，短半轴 ，
，
因为所求椭圆 与椭圆 有相同离心率，可得 ，
解得 ，即 ，
当椭圆的焦点在 轴上时，设所求椭圆的方程为 ，
将点 代入椭圆的方程，可得 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 ；
当椭圆的焦点在 轴上时，设所求椭圆的方程为 ，将点 代入椭圆的方程，可得 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 ，
综上可得，椭圆的方程为 或 .
练习6．（2023·全国·高三对口高考）根据下列条件求椭圆的标准方程
(1)两个焦点的坐标分别是 、 ，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
(2)两个焦点的坐标分别是 、 ，并且椭圆经过点 ；
(3)椭圆经过两点 ， ；
(4)离心率为 且过点 ；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或
【分析】（1）依题意可得 、 ，即可求出 ，从而得解；
（2）依题意可得 ，根据椭圆的定义及两点的距离公式求出 ，即可求出 ，从而得解；
（3）设椭圆方程为 ，代入点的坐标得到方程组，求出参数的值，即
可得解；
（4）分焦点在 轴、 轴两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】（1）依题意 、 ，所以 ，则 ，
所以椭圆方程是 .
（2）依题意椭圆的焦点在 轴上， ．又椭圆经过点 ，，
所以 ，则 ， 椭圆方程是 .
（3）设椭圆方程为 ，
依题意可得 ，解得 ，所以椭圆方程是 .
（4）若焦点在 轴上，则 ，又离心率 ，所以 ，
则 ，所以椭圆方程为 ；
若焦点在 轴上，则 ，又离心率 ， ，
解得 ，所以椭圆方程为 ；
综上可得，所求椭圆方程为 或 .
练习7．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）若椭圆 的焦点在 轴上，且与椭圆 ：
的离心率相同，则椭圆 的一个标准方程为______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】先求得椭圆 ： 的离心率，进而可以得到椭圆 的一个标准方程.
【详解】椭圆 ： 的离心率为 .
则焦点在 轴上离心率为 的椭圆 可取： .
故答案为：
练习8．（2023秋·高三课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端
点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为 ，则这个椭圆的方程为
（ ）
A． B． 或C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得 ，由焦点到椭圆上点的最
短距离为 ，结合 可得.
【详解】
由题意，当椭圆焦点在 轴上，设椭圆方程为： ，
由题意 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以椭圆方程为： ，
当椭圆焦点在 轴上时，同理可得： ，
故选：B
练习9．（2023秋·高二课时练习）已知 分别为椭圆 的左、右焦
点，点P在椭圆上， （O为坐标原点）是面积为 的正三角形，则此椭圆的方程为
__________．
【答案】
【分析】不妨设点 位于第一象限，且 ，由题意得到 ，解得 ，结合
椭圆的定义，求得 ，得到 ，即可求得椭圆的方程.
【详解】不妨设点 位于第一象限，且 ，
因为 是面积为 的正三角形，可得 ，解得 ，
所以 ，由椭圆的定义得 ，
所以 ，则 ，
所以椭圆的标准方程为 .
故答案为： .
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知焦点在 轴上的椭圆 的焦距等于 ，
则实数 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆的焦点在 轴上确定 ，再根据 即可求.
【详解】因为椭圆的焦点在 轴上，所以 ，根据题意可得 ，解得 .
故选：D.
题型三 椭圆的焦点三角形
例5．（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点
与两个焦点 的距离的和等于4，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆中焦点三角形的几何性质，结合椭圆的定义与余弦定理即可求得
各边长，再利用面积公式即可求得 的面积.
【详解】由题可知，焦距 ，则 ，又椭圆上的一点 与两个焦点 的距
离的和等于4，
即 ，所以 ，
在 中， ，
由余弦定理得： ，整理得 ，所以 ，则 ，故 的面积
.
故选：D.
例6．（2023·北京·101中学校考三模）已知 分别是双曲线 的左
右焦点， 是 上的一点，且 ，则 的周长是__________．
【答案】34
【分析】由双曲线定义可得 ，再利用 之间的关系求得 ，从而得到所求周长.
【详解】因为 ，所以 ，
故 ，则 ，
又 ，故 ，则 ， ，
所以 的周长为 .
故答案为：34.
练习11．（2023春·四川内江·高三威远中学校校考期中）已知直线 与椭圆
交于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长是___________.
【答案】20
【分析】根据题意可知直线 经过椭圆 的右焦点 ，结合椭圆的定义即可求
解.
【详解】椭圆 ,所以 ，
得 ，则椭圆的右焦点为 ，
所以直线 经过椭圆 的右焦点 ，
由椭圆的定义可知， 的周长为
.
故答案为：20.
练习12．（2022秋·高三课时练习）已知点 在椭圆 上， 是椭圆的焦点，且 ，求
(1)
(2) 的面积
【答案】(1)48
(2)24
【分析】（1）根据椭圆定义结合勾股定理运算求解；
（2）结合（1）中结果运算求解即可.
【详解】（1）因为椭圆方程为 ，则 ，
即 ，可得 ，
因为 ，则
即 ，所以 .
（2）由（1）得 ，
因为 ，所以 .
练习13．（2023·福建宁德·校考模拟预测）如图， 分别是椭圆的左、右焦点，点P
是以 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 与椭圆交于点Q，若
，则直线 的斜率为__________
【答案】
【分析】根据椭圆的定义及直径所对的圆周角等于 ，利用勾股定理及锐角三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式及斜率的定义即可求解.
【详解】连接 ，如图所示
设 则 ，
由椭圆的定义得
所以
在 中， ,
所以 ,即 ，整理得 ，
所以 ，
所以直线 的斜率为 .
故答案为： .
练习14．（2023秋·广东·高三统考期末）椭圆 的一个焦点是F，过原点O作直线
(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则 的周长的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
【答案】C
【分析】不妨取 为左焦点， 为右焦点，连接 ， ，则 为平行四边形，
的周长大于等于 ，计算得到答案.
【详解】如图所示：不妨取 为左焦点， 为右焦点，连接 ， ，
则 为平行四边形，的周长为 ，
当 ， 为椭圆上下顶点时等号成立.
故选：C
练习15．（2023·广东深圳·统考模拟预测）椭圆 的左右两焦点分别
为 ，点 在椭圆上，正三角形 面积为 ，则椭圆的方程为______ ．
【答案】
【分析】边 的中点的横坐标为 ，代入椭圆方程得到 ，求得
，根据题意得到 且 ，结合
，即可求解.
【详解】如图所示，边 的中点的横坐标为 ，
把 代入椭圆方程可得 ，解得 ，
因为正三角形 的面积为 ，
可得 ，且 ，
即 ，解得 ，
将 ，且 ，代入 ，
可得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以椭圆的方程为 .
故答案为： .题型四 距离和差的最值问题
例7．（2023·全国·高三对口高考）设P是椭圆 上一点，M、N分别是两圆：
和 上的点，则 的最小值、最大值分别是________．
【答案】4，8
【分析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的定义，椭圆上的点到两个焦点
距离之和为定值，再根据圆外一点到圆上点距离的最小值为点到圆心距离减去半径，最大
值为点到圆心距离加上半径，即可求解.
【详解】椭圆的两个焦点坐标为 ，
且恰好为两个圆的圆心坐标，两个圆的半径相等都等于1，
则由椭圆的定义可得
故椭圆上动点 与焦点连线与圆相交于 、 时， 最小，
所以 ，
.
故答案为：4，8.
例8．（2022秋·贵州遵义·高三习水县第五中学校联考期末）已知点 是椭圆 上
一动点， 是圆 上一动点，点 ，则 的最大值为
__________.
【答案】8
【分析】由题意得圆 的圆心是椭圆的左焦点， ，利用椭圆的定义，
结合图像得到 ，然后由 即可求出 的最大值.
【详解】如图,由 ，得 ，则 ，
则圆 的圆心是椭圆的左焦点 ，椭圆的右焦点为 ，
由椭圆的定义得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
，
故答案为：8
练习16．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为
， ，A是C上一点， ，则 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义可得 ，利用 可求
的最大值.
【详解】
设椭圆的半焦距为 ，则 ， ，如图，连接 ，则 ，
而 ，当且仅当 共线且 在 中间时等号成立，
故 的最大值为 .
故选：A.
练习17．（2021秋·高三课时练习）已知点F，F 是椭圆 的左、右焦点，点P
1 2
是该椭圆上的一个动点，那么 的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2
【答案】C
【分析】设 ，由坐标表示 ，由向量模的平方结合椭圆的范围得最小值．
【详解】椭圆 的左右焦点 .
设 ，则 ， ，
∴ ，
又 ，则 .
∴
∵点P在椭圆上，∴ ，
∴当 时， 取最小值2．
故选：C．
练习18．（2020·北京·高三校考强基计划）（多选）已知点 ，P为椭圆
上的动点，则 的（ ）
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
【答案】BD
【分析】利用椭圆的定义可求 的最值.【详解】
注意到Q为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为 ，
则 ，
而 的取值范围是 ，即 ，因此所求最大值为 ，最
小值为 ．
故选：BD.
练习19．（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）已知F是椭圆 的左
焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是 ，则 的最大值是
______．
【答案】21
【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义转化，结合三角形两边之差小于第三边及两点间
的距离公式求解．
【详解】由椭圆 得 ，则椭圆右焦点为 ，点M在椭圆内部，如
图所示，
则
故答案为：21．练习20．（2022·高三课时练习）（多选）已知 是左右焦点分别为 ， 的 上
的动点， ，下列说法正确的有（ ）
A． 的最大值为5 B．
C．存在点 ，使 D． 的最大值为
【答案】BD
【分析】设 ，则 ，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解
判断A；根据椭圆定义判断B；根据 为短轴端点时， 判断C；根据 ， ，
三点共线时， 有最大值 判断D.
【详解】解：对于A选项，设 ，则 ，即 ，
所以
，
又 ，所以当 时， ，故A错误，
对于B选项，由椭圆定义， ，故B正确
对于C选项，当 为短轴端点时，
， ， ，故 ，进而 ，故
C错误，
对于D选项， ，当 ， ， 三点共线时， 有最大值
，故D正确.
故选：BD
题型五 椭圆的简单几何性质
例9．（2023秋·高三课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点
恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆几何性质可知 ，代入椭圆标准方程即可求得结果.【详解】根据题意可设椭圆方程为 ，
易知 ，且 ，解得 ；
所以 ，故椭圆方程为 .
故选：A
例10．（2023秋·高二课时练习）已知P点是椭圆 上的动点，A点坐标为 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意利用两点间距离公式结合椭圆方程运算求解.
【详解】设 ，则 ，
因为P点在椭圆 上，则 ，记 ，
所以 ，
又因为 开口向上，对称轴 ，
且 ，所以当 时， 取到最小值 .
故选：B.
练习21．（2023春·上海长宁·高三上海市第三女子中学校考期中）椭圆 和
（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同
【答案】C
【分析】由椭圆的简单几何性质求解即可.
【详解】对于椭圆 ，， ， ，∴ ， ， ，
∴长轴长 ，短轴长 ，焦距 ，
对于椭圆 ，
， ， ，∴ ， ， ，
∴长轴长 ，短轴长 ，焦距 ，
∴椭圆 和 的长轴长和短轴长均不相等，故顶点不相同，焦距相等.
故选：C.
练习22．（2023秋·高三课时练习）椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过
点 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标，并用描点法画出它的图形．
【答案】(1) ；
(2)长轴长为4；短轴长为 ；离心率为 ；顶点坐标为
，作图见解析
【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；
（2）根据长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标的定义求解，并描出顶点画图即可.
【详解】（1）由题意，椭圆的焦点坐标分别为 ，长轴长
，即 ， ，故椭圆的方
程为 .
（2）由椭圆的方程为 可得，椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为 ，顶点
坐标为 ，作图如下：练习23．（2022秋·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）一个圆经过椭圆 的
三个顶点，且圆心在 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______.
【答案】
【分析】设出圆心与半径，根据过椭圆的上顶点、左右顶点，由半径相等列方程求解.
【详解】由 及圆心位置知：圆经过椭圆的上顶点坐标为 ，左右顶点坐标为
，
设圆的圆心 ，半径为 ，则 ，解得 ， ，
故圆的方程为 .
故答案为： .
练习24．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为
，直线y＝m与C交于A，B两点（A在y轴右侧），O为坐标原点，则下列说法正确
的是（ ）
A．
B．当 时，四边形ABFF 为矩形
1 2
C．若 ，则
D．存在实数m使得四边形ABFO为平行四边形
1
【答案】ABD
【分析】由椭圆的定义与对称性可判断A；求出 ， 的坐标，即可判断B；设
，若 ，则 ，又 ，求得 ，即可判断C；若四边形 为平行四边形，则 ，即 的横坐标为 即可，
代入椭圆方程可得 ，即可判断D.
【详解】
由椭圆与 关于 轴对称，可得 ，故A正确；
当 时，可得 ，又 ，
则 ，则四边形 为矩形，故B正确；
设 ，则 ，
若 ，则 ，又 ，
联立消元得 ，解得 ，故C错误；
若四边形 为平行四边形，则 ，即 的横坐标为 即可，
代入椭圆方程可得 ，故当 时，四边形 为平行四边形，故D正
确．
故选：ABD．练习25．（2022·全国·高三专题练习）设 、 分别是椭圆 的左、右焦点，若
是该椭圆上的一个动点，则 的最大值和最小值分别为（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】A
【分析】设点 ，则 ，且 ，利用平面向量数量积的坐标运算结合
二次函数的基本性质可求得 的最大值和最小值.
【详解】在椭圆 中， ， ， ，则点 、
，
设点 ，则 ，且 ，则 ，
所以， ， ，
所以，
，
所以，当 时， 取最小值 ，
当 时， 取最大值 .
故选：A.
题型六 求椭圆离心率
例11．（2023·山东烟台·统考三模）已知 分别是椭圆 的左、
右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直，直线 与 的另一个交点为 ，若
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出 的坐标，根据 得出 的坐标，根据 在椭圆上列方程求解
即可.【详解】
不妨设 在第一象限，由题意， 的横坐标为 ，
令 ，解得 ，即 .
设 ，又 ， ， ，
由 可得： ，解得 ，
又 在椭圆上，即 ，
整理得 ，解得 .
故选：A
例12．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设 内接于椭圆
， 与椭圆的上顶点重合，边 过 的中心 ，若 边上中线
过点 ，其中 为椭圆 的半焦距，则该椭圆的离心率为______.
【答案】
【分析】画出草图，分析可知 为 的重心，求解即可.
【详解】如图：
边 过 的中心 ，所以 为 的中点，
则 为边 上的中线， 边上中线 过点 ，
所以两中线的交点为 ，即 为 的重心，所以 ，即 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
练习26．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知 ， 是椭圆
的左、右焦点， 是 的上顶点，点 在过 且斜率为 的直线
上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的
离心率．
【详解】由题意可知： ， ， ，直线 的方程为： ，
由 ，点 在第三象限， ，则 ，
代入直线 方程中得 整理得 ，
则 ，∴椭圆的离心率 .
故选：B.
练习27．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为 ， .若 关于直线 的对称点P恰好在
椭圆C上，则椭圆C的离心率为______.
【答案】 /
【分析】根据 ， ，利用斜率公式列方程组求得P点坐标，代入椭圆方
程构造齐次式可解.
【详解】由题知， ， ，设 ，
记直线 与 交于点Q，由题知Q为 的中点，又O为 的中点，所以 ，所以 ...①，
又 ，所以 ...②，
联立①②解得 ，代入椭圆方程得 ，
将 代入上式，整理可得 ，即 ，
解得 或 （舍去），所以 .
故答案为：
练习28．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知椭圆 ：
，过 中心的直线交 于 ， 两点，点 在 轴上，其横坐标是点
横坐标的3倍，直线 交 于点 ，若直线 恰好是以 为直径的圆的切线，则
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得.
【详解】
设 ， ，则 ， ，
设 、 、 ，分别为直线 、 、 的斜率，
则 ， ， ，
因直线 是以 为直径的圆的切线所以 ， ，
所以 ，
又 在直线 上，所以 ，
因 、 在 上，
所以 ， ，
两式相减得 ，
整理得 ，
故 ，即 ，
，
故 ，
故选：D
练习29．（2022秋·高三课时练习）已知 是椭圆 的左、右焦点，
过右焦点 的直线 与椭圆交于 两点，且满足 ， ，则该椭圆的
离心率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的几何性质，得到线段之间的关系，椭圆的离心率 ，
根据等腰三角形三线合一先求 即可.【详解】
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因 ，
所以 ， ，
可得： ， ， ，
所以点 在短轴的顶点上，
在等腰三角形 中，
，
故选为：D
练习30．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点
分别是 ，斜率为 的直线经过左焦点 且交 于 两点（点 在第一象限），设△
的内切圆半径为 的内切圆半径为 ，若 ，则椭圆的离心率的值为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆定义及三角形面积公式得到 ，设 联立椭圆消去x，应
用韦达定理得到椭圆参数的齐次方程，进而求离心率.
【详解】如图所示，由椭圆定义可得 ， ，设△ 的面积为 ， 的面积为 ，因为 ，
所以 ，即 ①，
设直线 ，则联立椭圆方程与直线，
可得 ，
所以 ②， ③，
联立①②③得， ，整理得 ，所以 ．
故选：D
题型七 求椭圆离心率的取值范围
例13．（2023秋·高三课时练习）设 分别是椭圆 的左右焦点，
若椭圆C上存在点P，使线段 的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得以 为圆心，以 为半径的圆与椭圆有交点，由此列出 满足
的不等式关系，即可求得答案.
【详解】由题意椭圆C上存在点P，使线段 的垂直平分线过点 ，
则 ,
且需满足以 为圆心，以 为半径的圆与椭圆有交点，即 ，即 ，又 ，
故椭圆离心率的取值范围是 ，
故选：C
例14．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知 为圆 上
一点，椭圆 焦距为6，点 关于直线 的对称点在椭圆 上，
则椭圆离心率的取值范围为_________________．
【答案】
【分析】转化为圆 关于直线 对称的圆与椭圆有交点，再根据椭圆上的点到焦点
的距离的最大值大于等于半径，最小值小于等于半径列式可得结果.
【详解】圆 关于直线 对称的圆为： ，
依题意可得圆 与椭圆 有交点，
又椭圆的右焦点 是圆的圆心，
所以 ，且 ，又 ，所以 ， .
故答案为： .
练习31．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设 是椭圆
的上顶点， 是 上的一个动点．当 运动到下顶点时， 取
得最大值，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】设 ，由 ，求出 消元可得，
，再根据 以及二次函数的性质可知，
，即可解出．
【详解】设 ， ，因为 ， ，
所以 ， ，
由题意知当 时， 取得最大值，所以 ，可得 ，即 ，则
．
故选：B．
练习32．（2022秋·高三课时练习）椭圆 的焦点在 轴上，则它的离心率的
取值范围是（ ）
A．（0， ） B．（ ， ]
C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的焦点在 轴上，由 得到a的范围，然后利用离心率又
，结合基本不等式求解.
【详解】解：因为椭圆的焦点在 轴上，
∴ ，解得： ，
又 ，
∴它的离心率的取值范围为 ，
故选：C.
练习33．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知点 ，为椭圆 上的两点，点 满足 ，
则 的离心率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 可得 ，因为 ， 为椭圆上的两点，
再有点差法可得 ，两式相减化简可得 ，再由 ，
求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
所以 ，即 ，
，
又因为点 ， 为椭圆 上的两点，
所以 ，两式相减可得： ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，即 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ， 为椭圆上的两点，所以 ，
所以 ，解得： ，即 .
故选：C.练习34．（2023春·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考期中）已知椭圆 的
下顶点为 ，右焦点为 ，直线AF交椭圆 于 点， ，若 ，则椭圆 的
离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】写出直线AF的方程与椭圆的方程联立，得B点横坐标，由向量关系得坐标间的
关系，化简出离心率得取值范围.
【详解】由题设 ，则 ，直线AF的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，
所以B点横坐标为 ，
又因为 ，所以 ，
即 ，得 ，又因为 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】条件 可以用坐标表示，即可将条件 的范围转化为椭圆方程中参数的取
值范围.
练习35．（2023·河北·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，点 为圆 与 的一个公共点，若 ，则当 时，椭
圆 的离心率的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据题意结合椭圆、圆的性质分析可得 ，结合对勾函数求其范围，
进而可得离心率的范围.
【详解】设椭圆 的半焦距为 ，则圆 ，表示以 ，半径为 的圆，
若圆 与椭圆 有公共点，则 ，可得 ，解得 ，
因为 ，且 ，
可得 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
且 ，则 ，解得 ，
可得 ，
整理得 ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
可得 ，则 ，
可得 ；
综上所述：椭圆 的离心率的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a，b，c
的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
