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专题 9.3 随机事件与概率
目录
题型一： 有限样本空间...................................................................................................................5
题型二： 随机事件的关系与运算..................................................................................................6
题型三： 古典概型...........................................................................................................................9
题型四： 相互独立事件判断.........................................................................................................11
题型五： 条件概率.........................................................................................................................13
知识点总结
知识点一、样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω ，ω ，…，ω ，则称样本空间Ω＝
1 2 n
{ω，ω，…，ω}为有限样本空间．
1 2 n
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
知识点二、事件的关系和运算含义 符号表示
B⊇A
包含 若事件A发生，则事件B一定发生
(或A⊆B)
事件B包含事件A，事件A也包含事
相等 A＝B
件B
并事件 A∪B
事件A与事件B至少有一个发生
(和事件) (或A＋B)
交事件 A∩B
事件A与事件B同时发生
(积事件) (或AB)
互斥
事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅
(互不相容)
A∪B＝Ω，
事件A和事件B在任何一次试验中有
互为对立
且仅有一个发生
且A∩B＝∅
知识点三、频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A发生的频率f(A)
n
会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用：可以用频率f(A)估计概率P(A)．
n
知识点四、古典概型
(1)具有以下特征的试验叫做古典概型实验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
(2)古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本
点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
知识点五、概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有 P ( A )≥0 .
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 P ( Ω ) ＝ 1 ， P ( ∅ ) ＝ 0 .
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ 1 － P ( A ) ，P(A)＝ 1 － P ( B ) ．
性质5：如果A⊆B，那么 P ( A )≤ P ( B ) ．
特别地，对任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) － P ( A ∩ B ) ．
显然，性质3是性质6的特殊情况.
知识点六、事件的相互独立性
(1)两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B，如果 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) 成立，则称事
件A与事件B相互独立，简称为独立. 必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立.
(2)相互独立的性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与 B，与也都相互独立．知识点七、条件概率与全概率公式
(1)条件概率
①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件 A发生
的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件 A与B，若P(A)>0，则 P ( AB ) ＝
P ( A )· P ( B | A ) ．
(2)条件概率的性质：设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝ P ( B | A ) ＋ P ( C | A ) ；
③设和B互为对立事件，则P(|A)＝ 1 － P ( B | A ) ．
(3)全概率公式
一般地，设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)>0，i＝
1 2 n 1 2 n i
1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(A)P(B|A)．
i i
【常用结论与知识拓展】
(1)为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．
(2)当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事
件互斥是对立的必要不充分条件．
(3)随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验
中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．
(4)若事件A，A，…，A 两两互斥，则P(A∪A∪…∪A)＝P(A)＋P(A)＋…＋P(A)．
1 2 n 1 2 n 1 2 n(5)两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另
一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
(6)P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事
件A发生的概率．
(7)计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．
例题精讲
题型一：有限样本空间
【要点讲解】确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规
律去写，要做到既不重复也不遗漏．
【例1】用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．
设事件 “三个圆的颜色全不相同”，事件 “三个圆的颜色不全相同”，事件
“其中两个圆的颜色相同”，事件 “三个圆的颜色全相同”．
（1）写出试验的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件 ， ， ， ；
（3）事件 与事件 有什么关系？事件 和 的交事件与事件 有什么关系？并说明理
由．
【变式训练1】袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸3次，每次摸取一个球，考虑摸出球的颜色．
（1）试写出此事件的基本事件空间；
（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分不小于5分的概率．
题型二：随机事件的关系与运算
【要点讲解】互斥事件、对立事件的判定方法：①利用基本概念；②利用集合的观点. 两者
的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件
B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生. 两个事件A与
B是对立事件，仅有前两种情况. 因此，互斥未必对立，但对立一定互斥.
【例2】在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋
中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板写道：
摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；
若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按 30天
计）能赚多少钱？【变式训练1】某中学高一年级有1000名学生，他们选择选考科目的情况如表所示：
科目 物理 化学 生物 政治 历史 地理
人数
300
200
100
200
100
100
从这1000名学生中随机抽取1人，分别设：
“该生选了物理”； “该生选了化学”； “该生选了生物”；
“该生选了政治”； “收生选了历史”； “该生选了地理”．
（Ⅰ）求 （B）， ．
（Ⅱ）求 ， ．
（Ⅲ）事件 与 是否相互独立？请说明理由．
【变式训练2】掷一枚骰子，观察它朝上的点数．设事件 “点数为1”， “点数
为偶数”， “点数小于3”， “点数大于2”， “点数是3的倍数”．
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述各事件；（2）事件 与 ， 与 ， 与 之间各有什么关系？
（3）用集合形式表示事件 ， ， ， ．
题型三：古典概型
【要点讲解】用公式计算古典概型的一般步骤：
在计算样本点个数时，常常用计数原理，但当样本点总数较少且无规律时，常用列举法把
所有样本点一一列出，列举要有规律，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举.
【例3】从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男
生的概率为
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【变式训练1】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名
同学中至少有1名女同学的概率是
A． B． C． D．【变式训练2】将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1，2，3，4，5， ，
先后抛掷两次，将得到的点数分别记为 ， ，记向量 ， 的夹
角为 ，则 为钝角的概率是
A． B． C． D．
【变式训练3】在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概
率为
A． B． C． D．
【变式训练4】小明准备将新买的《孟子》《论语》《诗经》3本书立起来随机地放在书架
上，则《论语》《诗经》两本书相邻的概率为
A． B． C． D．
【变式训练5】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴
赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过40的
素数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率是A． B． C． D．
【变式训练6】从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则
抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为
A． B． C． D．
【变式训练7】某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由 0，1，2， ，9中的四个
数字随机组成（如“0013” ．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最
后一个数字是奇数的概率为
A． B． C． D．
【变式训练8】某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、
有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘
游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，
2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个
转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．两
班获胜的概率分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，【变式训练9】从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中任选3根，能构成三角形的概率为
A． B． C． D．
题型四：相互独立事件判断
【要点讲解】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘
法公式直接求解；②正面计算较复杂(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，
可从其对立事件入手计算. 判断事件相互独立，一般用定义判断.
【例4】“抛掷一颗骰子，结果向上的点数小于3”记为事件 ，“抛掷一颗骰子，结果向
上的点数大于1且小于5”记为事件 ，则
A．事件 ， 互斥 B．事件 ， 对立
C．事件 ， 相互独立 D．事件 与 不相互独立
【变式训练1】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件 “第一次点数为偶数”，
事件 “第二次点数为3的倍数”，则
A． 与 是互斥事件 B． 与 是互为对立事件
C． （A） （B） D． （A） （B）
【变式训练2】存在两个事件 和 ，且 （A） ， （B） ，若 与 是两
个①事件，则 （A） （B）；若 与 是两个②事件，则
（A） （B）；其中
A．（1）互斥（2）独立 B．（1）互斥（2）对立
C．（1）独立（2）互斥 D．（1）对立（2）互斥【变式训练3】从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不
对立的两个事件是
A．至少有一本政治与都是数学
B．至少有一本政治与都是政治
C．至少有一本政治与至少有一本数学
D．恰有1本政治与恰有2本政治
【变式训练4】抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件 “两枚骰子的点数之和为偶数”，事
件 “恰有一枚骰子的点数为偶数”，则
A． （A） （B） B． （A） （B）
C． 与 互为对立事件 D． 与 互为互斥但不对立事件
【变式训练5】同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件 表示“两枚骰子的点数之和为
5”，事件 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件 表示“两枚骰子的点数相同”，事
件 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”．则下列说法中正确的是
① 与 互斥
② 与 对立
③ 与 相互独立
④ 与 相互独立
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【变式训练6】已知一个古典概型的样本空间 和事件 ， 如图所示．其中 ，
（A） ， （B） ， ，则事件 与事件A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
【变式训练7】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是 2”为事件 ，
“第二次向上的点数是奇数”为事件 ，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件 ，
则下列说法正确的是
A．事件 与事件 互为对立事件 B．
C． D．事件 与事件 相互不独立
题型五：条件概率
【要点讲解】解决条件概率问题的步骤：第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现
“在……条件下”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率；题目中若没有出现上述字
眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率. 若为条件概率，
则进行第二步，计算概率，这里有两种思路. 思路一：缩减样本空间法计算条件概率. 如求
P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的样本点数，再利用公式P(A|B)＝计算；思路二：直
接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|
B)＝计算. 当直接求事件B发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把事件B分
解，然后借助全概率公式间接求出事件B发生的概率.
【例5】已知某音响设备由五个部件组成， 电视机， 影碟机， 线路， 左声道和右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示．能听到
声音，当且仅当 与 至少有一个正常工作， 正常工作， 与 中至少有一个正常工作．
则听不到声音的概率为
A．0.19738 B．0.00018 C．0.01092 D．0.09828
【变式训练1】已知事件 ， 相互独立， （A） ， （B） ，则
A．0.88 B．0.9 C．0.7 D．0.72
【变式训练2】端午节是我国传统节日，甲，乙，丙 3人端午节来广州旅游的概率分别是
，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有 1人来广州旅游的概
率为
A． B． C． D．
【变式训练3】甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立．设甲
在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为 ， ， ，则甲恰好连胜两局的概率为
A． B． C． D．
【例6】甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.8，0.7，且每次试跳
成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
【变式训练1】甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一
回合的发球方．若甲发球，则本回合甲赢的概率为 ，若乙发球，则本回合甲赢的概率为
，每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第1回合由甲发球．
（1）求第3回合由乙发球的概率；
（2）求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率．
【变式训练2】在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取三局两胜制，即先
胜两局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜出的概率都为 ，比赛不设平局，且各局比赛的胜负互不影响．在甲第一局胜出的情况下，甲获得冠军的概率为
A． B． C． D．
【变式训练3】湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广
大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有
甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条
线路中随机选择一条线路去研学，记事件 为“甲和乙至少有一所学校选择王仙岭中小学
生研学实践基地”，事件 为“甲和乙选择研学线路不同”，则
A． B． C． D．
【例7】甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别
各自随机选择其中一项，记事件 ：甲和乙选择的活动各不同，事件 ：甲和乙恰好一人
选择①，则 等于
A． B． C． D．
【变式训练1】从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件 ：“取出的
5 个不同的数的中位数是 4”，事件 ：“取出的 5 个不同的数的平均数是 4”，则
A． B． C． D．
【变式训练2】居民的某疾病发病率为 ，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是
可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果 呈阳性，而没有患该疾病的人其化
验结果 呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是
A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1【变式训练3】已知一个古典概型，其样本空间中共有 12个样本点，其中事件 有6个样
本点，事件 有4个样本点，事件 有8个样本点，则
A． B． C． D．
【变式训练4】有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比
乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为
A． B． C． D．
【例8】五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、
丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，
学生甲、乙相邻出场的概率为
A． B． C． D．
【变式训练1】2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将甲、乙、丙、丁4
名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，
每座体育馆至少派1名志愿者， 表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”； 表示事件
“志愿者乙派往黄龙体育中心”； 表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则
A．事件 与 相互独立 B．事件 与 为互斥事件
C． D．
【例9】已知 ， ， 为三个随机事件且 （A）， （B）， （C） ，则 ， ，相互独立是 ， ， 两两独立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练1】在高三复习经验交流会上，共有3位女同学和6位男同学进行发言．现用抽
签的方式决定发言顺序，事件 表示“第 位发言的是女同学”，则
A． B． C． D．
【例10】已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，
不放回的取两次，求：
（1）第一次取到正品的概率；
（2）在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率．
【变式训练1】已知甲、乙两个袋子中各装有形状、大小、质地完全相同的 3个红球和3个
黑球，现设计如下试验：从甲、乙两个袋子中各随机取出 1个球，观察两球的颜色，若两
球颜色不同，则将两球交换后放回袋子中，并继续上述摸球过程；若两球颜色相同，则停
止取球，试验结束．
（1）求第1次摸球取出的两球颜色不同的概率；（2）我们知道，当事件 与 相互独立时，有 （A） （B）．那么，当事件
与 不独立时，如何表示积事件 的概率呢？某数学小组通过研究性学习发现如下命
题： （A） ，其中 表示事件 发生的条件下事件 发生的概率，
且对于古典概型中的事件 ， ，有 ．依据上述发现，求“第2次摸球试
验即结束”的概率．
【变式训练2】人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最
重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背
后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修
正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验
模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有
9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该
袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设
首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 （先验概率）．
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第
二次试验结束的概率更大．
