文档内容
初中数学
2023年广东省广州市越秀区中考
一模数学试卷
新东方教育科技集团2023年广东省广州市越秀区中考一模
数学试卷
一、单选题
1 单选题
下列实数中，比-3小的数是（ ）
A. -2
B. 4
C. -5
D. 1
答案
C
解析
解：∵-2＞-3，4＞-3，-5＜-3，1＞-3，
∴所给的实数中，比-3小的数是-5．
故选：C．
2 单选题
下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A.
B.
C.
D.
答案
1/24B
解析
本题主要考査中心对称图形和轴对称图形的识别. 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定
义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折買，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 180∘ ，如果旋转后的图形能够与
原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
A选项: 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B选项：该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C选项：该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.
故选: B
3 单选题
某校开展了“空中云班会”的满意度调查，九年级各班满意的人数分别为34，35，35，36.下列关
于这组数据描述错误的是（ ）．
A. 中位数是35
B. 众数是35
C. 平均数是35
D. 方差是2
答案
D
解析
根据中位数、众数、平均数、方差的定义分别求解即可求解．
解：34，35，35，36，
1
中位数是35； 众数是35；平均数是 (34+35+35+36)=35，方差是
4
1 1
(34−35)2+(35−35)2+(35−35)2+(36−35)2 = (1+1)=0.5，
4[ ] 4
故选：D．
本题考查了中位数、众数、平均数、方差，熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的定义是
解题的关键．
4 单选题
下列运算正确的是（ ）
A. （2a2）3=6a6
B. 2a2+3a4=5a6
C. 1
(2a)−2 =
4a2
D. a2（a3-2a）=a6-2a3
2/24答案
C
解析
解：A、（2a2）3=8a6，故A不符合题意；
B、2a2与3a4不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
1
C、(2a)−2 = ，故C符合题意；
4a2
D、a2（a3-2a）=a5-2a3，故D不符合题意；
故选：C．
5 单选题
如图，AB是⊙O的直径，点C，D都是⊙O上的点，若∠CAB=30∘，则∠ADC的度数是
（ ）．
A. 65∘
B. 55∘
C. 60∘
D. 70∘
答案
C
解析
由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90∘，又由∠CAB=30∘
，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．
解： ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠CAB=30∘，
∴∠ABC =90∘−∠CAB=60∘，
∴∠ADC =∠ABC =60∘．
故选：C．
3/24本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．掌握圆周角定理是解题的关键．
6 单选题
若点P(1,3)在直线y=2x+b上，则下列各点也在直线l上的是（ ）．
A. (2,−1)
B. (2,5)
C. (−2,3)
D. (−2,9)
答案
B
解析
先将P(1,3)代入y=2x+b求出b的值，再将各选项的横坐标依次代入即可判断．
解：
∵
点P(1,3)在直线y=2x+b上，
∴3=2×1+b，
解得b=1，
∴y=2x+1，
当x=2时，y=2×2+1=5，因此(2,−1)不在直线l上，(2,5)在直线l上；
当x=−2时，y=−2×2+1=−3，因此(−2,3)，(−2,9)不在直线l上；
故选：B．
本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是求
出b的值．
7 单选题
如图，一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是（ ）．
A. 9
π
2
B. 9√3
4
C. 9π
D. 9√3
π
4
答案
4/24A
解析
根据三视图得出圆锥的底面直径为3，母线长为3，然后根据圆锥侧面积公式进行计算即可求
解．
解：∵个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，
∴底面直径为3，母线长为3，
3 9
∴该圆锥的侧面展开图的面积是π× ×3= π，
2 2
故选：A．
本题考查了三视图的定义，求圆锥侧面积，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
8 单选题
在某校的科技节活动中，九年级开展了测量教学楼高度的实践活动．“阳光小组”决定利用无人机
A测量教学楼BC的高度．如图，已知无人机A与教学楼的水平距离AD为m米，在无人机上测得教学
楼底部B的俯角为α，测得教学楼顶部C的仰角为β．根据以上信息，可以表示教学楼BC（单位：
米）的高度是（ ）．
A. mtanα+mtanβ
m m
B. +
tanα tanβ
C. msinα+msinβ
m m
D. +
sinα sinβ
答案
A
解析
分别解Rt△ACD，Rt△ABD，求出CD、BD的长即可得到答案．
解：由题意得，∠ADC =∠ADB=90∘，
在Rt△ACD中，CD=AD⋅tanβ=mtanβ，
在Rt△ABD中，BD=AD⋅tanα=mtanα，
∴BC =CD+BD=mtanα+mtanβ，
故选：A．
5/24本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确计算是解题的关键．
9 单选题
1
抛物线G：y=− x2+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线G沿直线AB平移得到抛
3
物线H，若抛物线H与y轴交于点D，则点D的纵坐标的最大值是（ ）．
A. 4
15
B. 15
4
C. 3
2
D. 2
3
答案
B
解析
先求出A(−3，0)，B(0，3)，进而求出直线AB的解析式为y=x+3，再推出抛物线G沿直线
AB平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线AB上，设抛物线H的顶点坐标为
1
(m，m+3)，则抛物线H的解析式为y=− (x−m)2+m+3，进而求出
3
1 3 2 15 15
y =− m− + ，则y 的最大值为 ．
D D
3( 2) 4 4
1
解：在y=− x2+3中，当x=0时，y=3，当y=0时，x=±3，
3
∴A(−3，0)，B(0，3)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
−3k+b=0
∴ ，
{b=3
k=1
∴ ，
{b=3
∴直线AB的解析式为y=x+3，
1 1
∵抛物线y=− x2+3的顶点坐标为(0，3)，即抛物线y=− x2+3的顶点在直线AB上，
3 3
∴抛物线G沿直线AB平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线AB上，
设抛物线H的顶点坐标为(m，m+3)，
1
∴抛物线H的解析式为y=− (x−m)2+m+3，
3
1 1 1 3 2 15
在y=− (x−m)2+m+3中，令x=0，则y =− m2+m+3=− m− +
D
3 3 3( 2) 4
，
15
∴y 的最大值为 ，
D
4
故选B．
本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数图象的平移，推出抛物线H的顶点坐标一
定在直线AB上是解题的关键．
6/2410 单选题
如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E，且AC⊥BD，AC =AD，∠CBD=∠CAD，
CB=5，CD=4√5，则AD的长是（ ）．
A. 9
B. 10
C. 40
3
D. 44
3
答案
B
解析
x
设CE =x，AE =y，则AC =AD=x+y，解Rt△EBC得到sin∠CBE = ，利用勾股定
5
√80−x2
理得到DE =√80−x2，解Rt△AED得到sin∠DAE = ，由∠CBD=∠CAD得
x+y
√80−x2 x
到 = ，推出x4+2x3y+x2y2+25x2 =2000；由勾股定理得到
x+y 5
2 40−x2
4√5 −x2 =(x+y)2−y2，则y= ，由此求出x=4，y=6，则AD=x+y=10
( ) x
．
解：设CE =x，AE =y，则AC =AD=x+y，
∵AC⊥BD，
∴∠CEB=∠CED=∠AEB=∠AED=90∘，
CE x
在Rt△EBC中，sin∠CBE = = ，
BC 5
在Rt△CDE中，由勾股定理得 DE =√CD2−CE2 =√80−x2，
DE √80−x2
在Rt△AED中，sin∠DAE = = ，
AD x+y
∵∠CBD=∠CAD，
∴sin∠CBD=sin∠CAD
√80−x2 x
∴ = ，
x+y 5
80−x2 x2
∴ = ，
x2+2xy+y2 25
∴x4+2x3y+x2y2+25x2 =2000；
7/24由勾股定理得DE2 =CD2−CE2 =AD2−AE2，
2
∴ 4√5 −x2 =(x+y)2−y2，
( )
40−x2
∴y= ，
x
40−x2 (40−x2) 2
∴x4+2x3⋅ +x2⋅ +25x2 =2000
x x2
x4+80x2−2x4+x4−80x2+1600+25x2 =2000，
∴25x2 =400，
解得x=4或x=−4（舍去），
40−x2
∴y= =6，
x
∴AD=x+y=10，
故选B．
本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解直角三角形和利用勾股定理建立方程是解题的
关键．
二、填空题
11 填空题
在函数 y=√2x−1 中，自变量 x 的取值范围是 ．
答案
1
x⩾
2
解析
根据题意得：2x−1⩾0，
1
解得，x⩾ ．
2
12 填空题
在平面直角坐标系xOy中，点A（3，a）关于x轴的对称点为B（b,4），则a+b的值是 ．
答案
-1
解析
解：∵点A（3，a）关于x轴的对称点为B（b,4），
∴b=3，a=-4，
∴a+b=3-4=-1．
故答案为：-1．
8/2413 解答题
因式分解：ax2−4ax+4a．
答案
a(x−2)2．
解析
ax2−4ax+4a
=a(x2−4x+4)
=a(x−2)2．
14 填空题
在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总
是一个定值．则∠1+∠2= 度．
答案
240
解析
由等边三角形的性质可得∠A=60∘，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解．
解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60∘，
∵∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE，
∴∠1+∠2=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∵∠AED+∠A+∠ADE =180∘，
∴∠1+∠2=∠A+180∘ =60∘+180∘ =240∘，
故答案为：240．
9/24本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键
是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
15 填空题
如图，在菱形ABCD中，AD与⊙O相切于点A，CD与⊙O相切于点C，点B在⊙O上，则sinB=
．
答案
√3 1
| √3
2 2
解析
如图所示，连接OA，OC，由切线的性质得到∠OAD=∠OCD=90∘，则由四边形内角和定
理得到∠AOC+∠D=180∘，由菱形的性质和圆周角定理得到2∠B+∠B=180∘，求出
√3
∠B=60∘，则sinB= ．
2
解：如图所示，连接OA，OC，
∵AD与⊙O相切于点A，CD与⊙O相切于点C，
∴∠OAD=∠OCD=90∘，
∴∠AOC+∠D=360∘−∠OAD−∠OCD=180∘，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，
又∵∠AOC =2∠B，
∴2∠B+∠B=180∘，
∴∠B=60∘，
√3
∴sinB= ，
2
√3
故答案为： ．
2
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，菱形的性质，四边形内角和定理，正确作出辅助
10/24线是解题的关键．
16 填空题
如图，矩形ABCD中，AB=6，BC =4，点E，F分别为边AB，CD上的动点且AE =CF，将线
段EF绕点F逆时针旋转90∘得到线段FG，连接DG．
（1）当点E为AB的中点时，线段DG的长是 ；
（2）当点E在边AB上运动时，线段DG的最小值是 ．
答案
2√5
1 ；
5
解析
（1）根据AE =CF结合题意，得到FG=FE =BC =4，画出图分析计算即可得出．
（2）方法一：设AE =a，作FH⊥AB于H，作GI⊥CD于I，证出△EFH ≌ △GFI，得到
EH =GI，再分类讨论，当0＜a＜3时，数形结合求出结果，当3＜a＜6时，画图利用勾股定
理计算出结果；方法二：建立坐标系，结合一次函数的知识求解．
（1）如图1所示：
∵ 点E为AB的中点，AE =CF
∴
点F为CD的中点，
∴FD=3
∵FG=FE =BC =4
∴DG=FG−FD=4−3=1
（2）方法1：设AE =a，作FH⊥AB于H，作GI⊥CD于I，
如图所示:
11/24∴∠FHE =∠GIF =90∘
将线段EF绕点F逆时针旋转90∘得到线段FG，
∴∠EFG=90∘，EF =FG
∴∠EFH+∠EFI =∠EFI +∠GFI =90∘
∴∠EFH =∠GFI
∴△EFH ≌ △GFI(AAS)，
∴EH =GI；
①当0＜a＜3时
GI =EH =6−2a，
∴ID=FD−FI =FD−FH =6−a−4=2−a，
14 2 4
∴DG2 =ID2+IG2 =(2−a)2+(6−2a)2 =5a2−28a+40=5 a− +
( 5 ) 5
14 4
当a= 时，DG2取最小值 ，
5 5
2√5
∴DG= ；
5
②当3＜a＜6时，
GI =EH =2a−6
∴ID=FI −FD=FH−FD=2−a
14 2 4
∴DG2 =ID2+IG2 =(2−a)2+(2a−6)2 =5a2−28a+40=5 a− +
( 5 ) 5
14 4
当a= 时，DG2取最小值
5 5
2√5
∴DG= ；
5
12/24方法2：以A为坐标原点建立平面直角坐标系．
设点E(0,a)(0≤a≤6)，则CF =AE =a，
∴F(4,6−a)．
当点G在直线CD的右侧时，如图1，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥MF于N．
∵∠EMF =∠FNG=∠EFG=90∘，
∴∠MEF +∠MFE =90∘，∠MFE+∠NFG=90∘，
∴∠MEF =∠NFG．
由旋转的性质，得EF =FG．
在△MEF与△NFG中，
∠EMF =∠FNG
∵⎧∠MEF =∠NFG，
⎨EF =FG
⎩
∴△MEF ≌ △NFG（AAS）．
∴FN =ME =6−a−a=6−2a，NG=MF =4．
∴G(10−2a,2−a)．
1
令x=10−2a，y=2−a，则y= x−3．
2
1
∴
点G在直线l：y= x−3上．
2
1
当点G在直线CD的左侧时，如图2，同理可证点G在直线l：y= x−3上．
2
设直线l交直线CD于点Q，交x轴于点T．
1
令x=4，得y= ×4−3=−1， ∴Q(4,−1)，DQ=1．
2
1
令y=0，得 x−3=0，即x=6， ∴T(6,0)，DT =2．
2
在Rt△DQT中，QT =√DT2+DQ2 =√22+12 =√5．
当DG⊥QT时，DG的长度最小，此时点G在直线CD的右侧．
1 1
∴S
△DQT
= ⋅DQ⋅DT = ⋅QT ⋅DG
min
，
2 2
1 1
即 ×1×2= ×√5×DG ，
min
2 2
2√5
解得DG = ．
min
5
2√5
故答案为：（1）1；（2） ．
5
本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，
13/24
⎪
⎪熟练掌握知识点并采用数形结合的方法是解题的关键．
三、解答题
17 解答题
4x−2≥3(x−1)
解不等式组：⎧x−5 ．
⎨ ＞x−4
⎩ 2
答案
见解析
解析
解：解不等式4x-2≥3（x-1）得：x≥-1，
x−5
解不等式 ＞x-4得：x＜3，
2
∴该不等式组的解集为-1≤x＜3．
18 解答题
如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上一点，AE =CF，EF交AC于点O．求
证：AO=CO．
答案
证明见解析
解析
直接利用ASA证明△OAE ≌ △OCF即可证明AO=CO．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE =∠OCF，∠OEA=∠OFC，
又∵AE =CF，
∴△OAE ≌ △OCF(ASA)，
∴OA=OC．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对边互相平
行是解题的关键．
14/24
⎪
⎪19 解答题
2 1
已知：A= −
a2−4 a(a−2)
(1) 化简A；
(2) 从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．
8
条件①：若点P(a,a+2)是反比例函数y= 图象上的点；
x
条件②：若a是方程x2+x=8−x的一个根．
答案
1
(1)
a(a+2)
1 1
(2) ① ②
8 8
解析
2 1
(1) 解：A= −
a2−4 a(a−2)
2 1
= −
(a+2)(a−2) a(a−2)
2a a+2
= −
a(a+2)(a−2) a(a−2)(a+2)
1
= ；
a(a+2)
8
(2) 解：①点P(a,a+2)是反比例函数y= 图象上的点，
x
∴a(a+2)=8，
1 1
∴A= = ；
a(a+2) 8
②∵a是方程x2+x=8−x的一个根，
∴a2+a=8−a，
∴a(a+2)=8，
1 1
∴A= = ；
a(a+2) 8
20 解答题
为落实立德树人根本任务，坚持“五育”并举全面发展素质教育．某学校提倡家长引导孩子在家做
一些力所能及的家务劳动．为了解九年级学生平均每周家务劳动时间，随机抽取了部分九年级学生
进行调查，根据调查结果，绘制如下频数分布表：
劳动时间（x/时）频数（学生人数）
0≤x<1 8
1≤x<2 20
2≤x<3 7
3≤x<4 5
请完成下列问题：
15/24(1) 若九年级共有400名学生，估计平均每周家务劳动时间少于2小时的学生大约
有 人．
(2) 学校为了鼓励学生进行家务劳动，计划在参与调查的学生中，抽取2名学生分享劳动心得．若
只从平均每周家务劳动时间不低于3小时的5名学生（其中2名男生，3名女生）中随机抽取，请用
树状图或列表的方法求抽取的两名学生中恰有1名男生和1名女生的概率．
答案
(1) 280
3
(2)
5
解析
8+20
(1) 解：400× =280人，
8+20+7+5
∴估计平均每周家务劳动时间少于2小时的学生大约有280人，
故答案为：280；
(2) 解：设两人男生分别用A、B表示，三名女生分别用C、D、E表示，列表如下：
A B C D E
A （B，A） （C，A） （D，A）（E，A）
B（A，B） （C，B） （D，B）（E，B）
C（A，C）（B，C） （D，C）（E，C）
D（A，D）（B，D）（C，D） （E，D）
E（A，E） （B，E） （C，E） （D，E）
由表格可知一共有20种等可能性的结果数，其中抽取的两名学生中恰有1名男生和1名女生
的结果数有12种，
12 3
∴抽取的两名学生中恰有1名男生和1名女生的概率为 = ．
20 5
21 解答题
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D(4,3)在对角
OD 1 k
线OB上，且 = ．反比例函数y= (k>0,x>0)的图象经过C，D两点，直线CD交x轴于
OB 3 x
点E．
16/24(1) 求k的值；
(2) 求△ODE的面积．
答案
(1) 12
(2) 8
解析
k
(1) 解：
∵
点D(4,3)在反比例函数y= (k>0,x>0)的图象上，
x
k
∴3= ，
4
∴k=3×4=12；
OD 1
(2) 解： ∵ = ，
OB 3
OD 1
∴ = ，
BD 2
∵
四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，
∴∠DOE =∠DBC，∠DEO=∠DCB，
∴△DOE ∽△DBC，
y OD 3 1
∴ D = ，即 = ，
y −y BD y −3 2
C D C
解得y =9，
C
k
∵
反比例函数y= 的图象经过点C，k=12，
x
12 4
∴点C的坐标为 ,9 ，即 ,9 ，
( 9 ) (3 )
设直线CD的解析式为y=mx+n，
4m+n=3
4
将D(4,3)，C ,9 代入y=mx+n，可得⎧4 ，
(3 ) ⎨ m+n=9
⎩3
9
m=−
解得⎧ 4，
⎨n=12
⎩
9
∴
直线CD的解析式为y=− x+12，
4
9 16
令y=− x+12=0，解得x= ，
4 3
16
∴OE = ，
3
1 1 16
∴S
△ODE
= OE⋅y
D
= × ×3=8．
2 2 3
22 解答题
坚定文化自信，为乡村振兴塑形铸魂．为发展旅游经济，某乡村企业制作一批“美丽乡村”主题文
化衫进行销售．第一批文化衫的制作成本是3000元，面市后文化衫供不应求，又用6600元制作了第
二批同款文化衫，制作的数量是第一批数量的2倍，但由于原材料涨价，第二批文化衫每件的成本
17/24
⎪
⎪
⎪
⎪增加了3元．
(1) 该企业制作的第一批文化衫每件的成本是多少元？
(2) 两批文化衫标价相同，在季末清仓时，最后30件按6折全部售出．问每件文化衫标价为多少元
时，才能使两批文化衫的销售盈利率等于50%？
注：盈利率＝（销售金额－成本）÷成本
答案
(1) 第一批文化衫每件的成本是30元
(2) 每件文化衫标价为50元
解析
(1) 解：设第一批文化衫每件的成本是x元，
3000 6600
由题意知， ×2= ，
x x+3
化为整式方程为：3000x+9000=3300x，
解得x=30，
经检验，x=30是所列分式方程的解，
因此第一批文化衫每件的成本是30元；
(2) 解：设每件文化衫标价为y元，
3000 6600
由题意知 + −30 ⋅y+30y×0.6−3000−6600 ÷(3000+6600)=50%，
[( 30 33 ) ]
解得y=50，
即每件文化衫标价为50元时，才能使两批文化衫的销售盈利率等于50%．
23 解答题
⌢
如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC =60∘，BC =6，点D为BC的中点，连接AD，作∠ABC的
角平分线交AD于点E．
(1) 尺规作图：作出线段BE；（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 连接DB，求证：DB=DE；
(3) 4√3
若AE = ，求△ABC的周长．
3
答案
(1) 见解析
18/24(2) 见解析
(3) 16
解析
(1) 解：如图所示，线段BE即为所求；
(2) 证明：如图所示，连接BD，
⌢
∵点D为BC的中点，
⌢ ⌢
∴BD=CD，
∴∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE =∠CBE，
∵∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠DBE =∠CBE+∠CBD，
∴∠DBE =∠DEB，
∴DB=DE；
(3) 解：如图所示，连接CD，
∵A、B、C、D都在⊙O上，
∴∠ABD+∠ACD=180∘，∠BAC+∠BDC =180∘，
∵∠BAC =60∘，
∴∠BDC =120∘，
⌢
∵点D为BC的中点，
⌢ ⌢
∴BD=CD，即BD=CD，
∴∠DBC =∠DCB=30∘，
如图所示，将△ABD绕点D旋转得到△FCD，
∴∠FCD=∠ABD，∠F =∠BAD=∠BCD=30∘，AB=CF，AD=DF，
∴∠FCD+∠ACD=∠ABD+∠ACD=180∘，
∴A、C、F三点共线，
19/24过点D作DG⊥BC于G，
1
∴BG=CG= BC =3，
2
BG
在Rt△BDG中，BD= =2√3，
cos∠DBG
∴DE =BD=2√3，
4√3 10√3
∴AD=AE+DE = +2√3= ，
3 3
10√3
∴DF =AD= ；
3
过点D作DH⊥AF于H，则AF =2HF，
在Rt△DHF中，HF =DF ⋅cosF =5，
∴AF =2HF =10，
∴△ABC的周长AB+AC+BC =CF +AC+BC =AF +BC =10+6=16．
24 解答题
已知抛物线G：y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,a+5b)．
(1) 用含b的代数式表示c；
(2) 若抛物线G与x轴交于两点B，C（点B在点C左侧），且BC =6，求点B的坐标；
(3) 当y≤3时，自变量x的取值范围是：x≤1−m或x≥m+1(m>0)，若点D(n,−9)在抛物
线G上，求n的取值范围．
答案
(1) c=4b
(2) B(−2,0)或 B(−12,0)
(3) −5x )
2 1 2 1
①
b2 16b
∴(x −x )2 =(x +x )2−4x x = − =36
1 2 1 2 1 2 a2 a
b b
解得： =−2或 =18
a a
b
当 =−2，即x +x =2②
1 2
a
x =−2
由①②得 1 ，
{x =4
2
∴B(−2,0)
b
当 =18，即x +x =−18③
a 1 2
x =−12
由①③得 1
{x =−6
2
∴B(−12,0)
综上所述，B(−2,0)或B(−12,0)
(3) 解：∵当y≤3时，自变量x的取值范围是：x≤1−m或x≥m+1(m>0)
∴当y=3时，ax2+bx+4b=3的两个根为x =1−m或x =1+m，且a<0，
1 2
x +x
对称轴为直线x= 1 2 =1
2
b
∴− =1
2a
即b=−2a
∴抛物线解析式为y=ax2−2ax−8a=a(x−1)2−a2−8a(a<0)
令y=0，即ax2−2ax−8a=0
解得：x =−2,x =4，则抛物线G与x轴交点坐标为(−2,0)，(4,0)；
1 2
∵y=3时，3=ax2−2ax−8a，
∴Δ=b2−4ac=(−2a)2−4a(−8a−3)>0，又a<0，
1
解得：a<− ；
3
1 1 2 8
当a=− 时，解析式为y=− x2+ x+
3 3 3 3
∵D(n,−9)在抛物线G上，
1 2 8
∴−9=− n2+ n+
3 3 3
解得：n=−5或n=7
1
∵a<− ，抛物线开口随着a的绝对值的增大开口越小，
3
∴−5
